第一篇：變式教學(xué)：一題多問、一題多解、一題多變教學(xué)模式

變式教學(xué)：一題多問、一題多解、一題多變教學(xué)模式

——“利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的解題課”教學(xué)設(shè)計(jì)

【課例解析】 教材的地位與作用

本節(jié)課是人教版《數(shù)學(xué)（選修2-2）》第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，§1.3.1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的第二課時(shí)解題課．

導(dǎo)數(shù)是微積分的核心內(nèi)容之一，它有極其豐富的實(shí)際背景和廣泛應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)更是研究函數(shù)性質(zhì)的強(qiáng)有力的工具，在解決函數(shù)單調(diào)性、最大值和最小值等問題時(shí)，不但避開了初等函數(shù)變形的難點(diǎn)，證明的繁雜，而且使解法程序化，變“巧法”為“通法”，優(yōu)化解題策略、簡(jiǎn)化運(yùn)算，具有較強(qiáng)的工具性作用．在應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性教學(xué)的過程中，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵． 2 學(xué)情分析

在本節(jié)之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的實(shí)際背景和基本概念．學(xué)生能理解導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)意義、物理意義及幾何意義．掌握了常函數(shù)、冪函數(shù)、正余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．掌握了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則．已經(jīng)初步了解了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，并能利用導(dǎo)數(shù)解決簡(jiǎn)單的函數(shù)單調(diào)性問題．本節(jié)課此基礎(chǔ)上進(jìn)一步運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決和函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的問題，對(duì)大多數(shù)學(xué)生來說，有足夠的能力掌握本節(jié)知識(shí)．學(xué)生已經(jīng)初步具有對(duì)數(shù)學(xué)問題自主探究的意識(shí)和能力，當(dāng)然也存在較大的個(gè)體差異．需要在教學(xué)過程中加以個(gè)別指導(dǎo)．

【方法闡釋】

采用心智數(shù)學(xué)教育方式中變式教學(xué)模式進(jìn)行教學(xué)：主要分“創(chuàng)設(shè)情景、引入新課，自主探究、成果展示，變式訓(xùn)練、鞏固落實(shí)，歸納總結(jié)、提升拓展”四個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)．

對(duì)探究性問題，教師要啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生按照“弄清題意—擬訂計(jì)劃—執(zhí)行計(jì)劃—反思回顧”四個(gè)解題環(huán)節(jié)獨(dú)立完成．

指導(dǎo)學(xué)生通過小組交流、成果展示等形式檢查自己的思維方式和對(duì)解題步驟格式．通過問題變式，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)問題及解決方法的推廣和運(yùn)用．學(xué)生已經(jīng)了解和掌握了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，并能利用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)解決簡(jiǎn)單的函數(shù)單調(diào)性問題的方法，但是對(duì)含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性問題（確定單調(diào)區(qū)間問題或已知函數(shù)的單調(diào)性確定參數(shù)范圍問題等），由于教材中沒有涉及，因此是一個(gè)盲點(diǎn)，本節(jié)課教學(xué)設(shè)計(jì)旨在搭設(shè)臺(tái)階，降低坡度，通過對(duì)問題的不斷變化，進(jìn)行不斷探索和比較，引導(dǎo)學(xué)生從基礎(chǔ)入手，通過分析、對(duì)比辨析、歸納、推理、變式教學(xué)反例分析來探究解題方法，進(jìn)行問題解決，使學(xué)生形成正確的解題方法，在學(xué)習(xí)中讓學(xué)生學(xué)會(huì)探究、分析，并學(xué)會(huì)合作學(xué)習(xí)．

【目標(biāo)定位】

1知識(shí)與技能目標(biāo)

理解函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，能利用求導(dǎo)的方法探求函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間． 2過程與方法目標(biāo)

經(jīng)歷使用導(dǎo)數(shù)解決求函數(shù)單調(diào)區(qū)間和已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)范圍問題的求解過程．通過分析、歸納、推理、對(duì)比辨析、變式教學(xué)來探究解題方法，并能通過各類問題的解法對(duì)比，感受和掌握導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性問題解決過程中的應(yīng)用． 3 情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)

感受導(dǎo)數(shù)為解決單調(diào)性問題提供的新思路、方法和途徑，激發(fā)學(xué)生探究知識(shí)的興趣和欲望． 2 教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)

本節(jié)課的重點(diǎn)是理解函數(shù)單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)解決求函數(shù)單調(diào)區(qū)間和已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)范圍問題．難點(diǎn)是解決含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性問題中參數(shù)范圍的確定及分類討論等數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用．

【課堂設(shè)計(jì)】

一、創(chuàng)設(shè)情景、引入新課

教師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法和運(yùn)算法則，并且知道利用導(dǎo)數(shù)可以求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，請(qǐng)同學(xué)們自己動(dòng)手以下探究性問題.探究性問題：求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間． 1．函數(shù)f(x)=x-3x+1的單調(diào)遞減區(qū)間． 2．函數(shù)f(x)=x e的單調(diào)區(qū)間．

3．（05年北京）已知函數(shù)f(x)=-x+3x+9x+a，求f(x)的單調(diào)減區(qū)間.322x

3二、自主探究、成果展示

學(xué)生獨(dú)立解決后，小組內(nèi)學(xué)生交流，相互糾正解題中出現(xiàn)的問題． 教師：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間有哪幾個(gè)步驟？

學(xué)生1：第一步，求函數(shù)導(dǎo)數(shù)；第二步，建立導(dǎo)函數(shù)不等式，使f(x)>0的區(qū)間為原函數(shù)的增區(qū)間，使f(x)<0的區(qū)間為函數(shù)的減區(qū)間；第三步，回答單調(diào)區(qū)間．

教師利用實(shí)物投影展示在巡視的過程中發(fā)現(xiàn)的格式步驟不全、格式步驟規(guī)范、格式步驟較多但混亂無序等學(xué)生解題過程，規(guī)范學(xué)生解題思維和書寫格式．

教師：第3題中的參數(shù)a對(duì)函數(shù)的增減性會(huì)不會(huì)產(chǎn)生影響？為什么？

學(xué)生2:對(duì)函數(shù)增減性不會(huì)產(chǎn)生影響．從函數(shù)圖像變換看，常數(shù)項(xiàng)a的影響就是圖像形狀不改變，只進(jìn)行上下平移；從函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)看，參數(shù)a是常數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為0.不會(huì)對(duì)其導(dǎo)函數(shù)產(chǎn)生任何影響．

我的思考：設(shè)計(jì)探究性問題，主要目的是使學(xué)生進(jìn)一步熟練導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性的方法，規(guī)范解題格式步驟；其次，三個(gè)導(dǎo)函數(shù)題都與二次函數(shù)有關(guān)，且用到指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)一步強(qiáng)化二次不等式的解法和指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，讓學(xué)生體會(huì)導(dǎo)數(shù)問題的綜合性．再次，第3題中設(shè)置了參數(shù)a，在此不需單獨(dú)討論，但在老師的追問下，有些學(xué)生已經(jīng)意識(shí)到有時(shí)要對(duì)a進(jìn)行討論，為下面針對(duì)參數(shù)的分類討論埋下伏筆．

三、變式訓(xùn)練、鞏固落實(shí)

適當(dāng)改變探究性問題的形式，提出新的問題，進(jìn)行變式訓(xùn)練

我的思考：學(xué)生在解決這類問題時(shí)往往容易忽視函數(shù)的定義域以及使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)的處理，因此針對(duì)以上可能出現(xiàn)的問題，設(shè)計(jì)幾個(gè)變式習(xí)題，讓學(xué)生首先獨(dú)立思考，出現(xiàn)問題，然后通過生生和師生的交流，共同分析正確的解題方法，完善對(duì)問題的全面和完整解決．

2變式1：求函數(shù)f(x)=0.5x-ln x的單調(diào)區(qū)間.這是針對(duì)容易忽視定義域而設(shè)計(jì)的問題，很多學(xué)生沒有考慮到定義域出現(xiàn)錯(cuò)誤答案：?jiǎn)握{(diào)增區(qū)間為(-1,0),(1,+∞)，單調(diào)減區(qū)間為(-∞,-1),(0,1)；還有同學(xué)得出單調(diào)增區(qū)間為(-1,0)∪(1,+∞)．

師生剖析錯(cuò)因：（1）解決函數(shù)的解析式、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性等問題時(shí)，必須首先求出函數(shù)的定義域，函數(shù)的解析式和定義域是函數(shù)的兩大要素.(2)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必須是單個(gè)的區(qū)間不能使區(qū)間的并集，也不能寫成集合的形式{x|x<-1}． 正確解法：原函數(shù)的定義域?yàn)?0,+∞)，單調(diào)增區(qū)間為(1,+∞)，單調(diào)減區(qū)間為(0,1).2ax變式2：將前面第2題改編為：求函數(shù)f(x)=x e的單調(diào)區(qū)間.學(xué)生在獨(dú)立解決問題時(shí)，容易忽視討論或討論不全，或不會(huì)進(jìn)行討論，讓學(xué)生分組合作交流，各組選出代表在黑板上展示，教師可結(jié)合學(xué)生板演情況進(jìn)行又針對(duì)性地講解． 正確的解答過程應(yīng)為：

函數(shù)的定義域?yàn)镽.ax2axax2對(duì)函數(shù)求導(dǎo)f’(x)=2xe+axe=e(ax+2x)，當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+∞)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(-∞,0)；

當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,-2/a)和(0,+∞)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(-2/a,0)； 當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(0,-2/a)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(-∞,0)和(-2/a,+∞).我的思考:含有參數(shù)的數(shù)學(xué)問題既是重點(diǎn)又是難點(diǎn)，也是學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié)，通過解決這類問題，鍛煉學(xué)生的運(yùn)算能力和分類討論思想的運(yùn)用能力，教學(xué)中從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，循序漸進(jìn)，學(xué)生能通過類比和對(duì)比，更容易理解和掌握．另外，a>0和a<0兩種情況下，0與-2/a的大小變化學(xué)生容易忽視，教師點(diǎn)評(píng)時(shí)也要特別強(qiáng)調(diào)．

變式3：求函數(shù)f(x)=√x-ln(x+1)的單調(diào)增區(qū)間.針對(duì)學(xué)生易錯(cuò)點(diǎn)：忽視使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)的討論而造成解題不完整而設(shè)計(jì)的．還是首先讓學(xué)生自己解決，交流解題方法．

很多學(xué)生會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤答案：?jiǎn)握{(diào)增區(qū)間為(0,1)和(1,+∞)為了說明問題，把問題特殊化．提出新的問題：我們通過函數(shù)圖像或利用函數(shù)單調(diào)性的定義已3經(jīng)證實(shí)了函數(shù)y=x在R上為單調(diào)增函數(shù)，請(qǐng)同學(xué)們利用導(dǎo)數(shù)再探求該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，看有什么發(fā)現(xiàn)．

部分同學(xué)得到單調(diào)增區(qū)間是(-∞,0),(0,+∞)，這與以前學(xué)習(xí)的結(jié)論出現(xiàn)矛盾，怎樣解決呢？

再思考問題：我們已證明了反比例函數(shù)y=1/x的單調(diào)性，請(qǐng)同學(xué)們利用導(dǎo)數(shù)再探求該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，看有什么發(fā)現(xiàn)．

所得的單調(diào)減區(qū)間是(-∞,0),(0,+∞)，與以前學(xué)習(xí)的結(jié)論相同.我的思考：遇到難以解決的問題時(shí)，往往要把問題特殊化，與我們已掌握的熟悉問題進(jìn)行對(duì)比分析．

比較以上兩個(gè)問題，請(qǐng)各小組討論，對(duì)比、總結(jié)一下規(guī)律.師生共同分析得到：當(dāng)使導(dǎo)數(shù)等于零的解存在時(shí)，需對(duì)導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)進(jìn)行如下處理：若在該點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值符號(hào)相同，且函數(shù)在該點(diǎn)處連續(xù)，則將兩個(gè)增減性相同的區(qū)間合并；若在該點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值符號(hào)相同，而函數(shù)在該點(diǎn)處函數(shù)不連續(xù)，則不能將將兩個(gè)區(qū)間合并．

此題中函數(shù)在x=1處是連續(xù)的，且在x=1兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)相同，因此，該函數(shù)的遞增區(qū)間為(0,+∞).我的思考：這一組變式訓(xùn)練主要是通過對(duì)基礎(chǔ)題組的解題方法、步驟的變式設(shè)置的．通過以上這組變式問題，學(xué)生注意到易錯(cuò)的忽視定義域、在導(dǎo)數(shù)為0點(diǎn)左右符號(hào)相同時(shí)的處理方式等方面，并能對(duì)含參數(shù)的函數(shù)進(jìn)行合理的分類討論，增加解題的正確率，鍛煉學(xué)生的分析能力和解題能力．

教師：我們?cè)賹?duì)問題進(jìn)一步深化，采用逆向思維方式，交換題目的條件和結(jié)論，來看根據(jù)已知函數(shù)的單調(diào)性來確定參數(shù)范圍．

322變式4:已知函數(shù)f(x)=（1/3）x-(4a-1)x+(15a-2a-7)x+2在R上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.我的思考：解決這類問題易錯(cuò)點(diǎn)是忽視參數(shù)端點(diǎn)的取舍，為此設(shè)計(jì)變式4，使學(xué)生在在出錯(cuò)體驗(yàn)后進(jìn)行問題解決，加深對(duì)知識(shí)的掌握．在問題給出后，鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考后將各自的解題思路進(jìn)行交流，再在全班進(jìn)行交流．

教師巡視后發(fā)現(xiàn)學(xué)生的解題思路有以下幾種：

思路一：求f(x)?x?2(4a?1)x?(15a?2a?7)，解不等式f(x)?0 ?x?2(4a?1)x?(15a?2a?7)?0

由于該不等式不會(huì)解，從而受阻.思路二：

函數(shù)f(x)?22'22'13x?(4a?1)x2?(15a2?2a?7)x?2在R上是增函數(shù)?f'(x)?0在R上恒3成立???0恒成立，解得實(shí)數(shù)a的取值范圍為（2，4）.通過投影對(duì)比展示學(xué)生兩種解答后，大部分學(xué)生能看到解法一不正確，解法二思路是正確的． 教師：反思一下我們的解法二，發(fā)現(xiàn)當(dāng)a < 2或 a > 4時(shí)，??0，問題不成立．但a = 2或a = 4時(shí)?= 0，情況又會(huì)怎樣？

學(xué)生進(jìn)一步計(jì)算后發(fā)現(xiàn)：a = 2或a = 4時(shí)?= 0，導(dǎo)函數(shù)除在一點(diǎn)為0外，其余各區(qū)間均大于0．同以上變式3可知，這時(shí)函數(shù)單調(diào)區(qū)間可以連續(xù)起來．

解：若函數(shù)f(x)?13x?(4a?1)x2?(15a2?2a?7)x?2在R上是增函數(shù)，3則f'(x)大于或等于零在R上恒成立

???0恒成立，解得實(shí)數(shù)a的取值范圍為[2，4].針對(duì)變式4中學(xué)生出現(xiàn)的兩種思路，教師再提出問題：請(qǐng)同學(xué)們思考下面這個(gè)問題： 變式

5、（1）若函數(shù)f(x)?x3?3ax?2的單調(diào)遞減區(qū)間為（0,2）求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

（2）若函數(shù)f(x)?x?3ax?2的在區(qū)間（0,2）上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 我的思考：“單調(diào)遞減區(qū)間為（0,2）”與“在區(qū)間（0,2）上單調(diào)遞減”是兩個(gè)截然不同的問題情境．設(shè)計(jì)這個(gè)變式題組，一是讓學(xué)生辨析這兩種不同敘述的含義，二是對(duì)變式4兩種思路的進(jìn)一步明晰．

學(xué)生獨(dú)立思考，然后進(jìn)行生生交流，最后統(tǒng)一答案．

'（1）解：令導(dǎo)數(shù)f(x)?0，即3x?3a?0?x?a，再討論a的符號(hào)，223當(dāng)a>0時(shí)，解得?a?x?a，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(?a,a)，函數(shù)f(x)?x?3ax?2的減區(qū)間為（0,2），則（0,2）?(?a,a)，所以a?2，即a?4；

當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x)?0恒成立．

所以a = 0時(shí)函數(shù)f(x)?x?3ax?2不存在單調(diào)減區(qū)間；

'當(dāng)a?0時(shí)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x)?0總成立．

3所以a?0時(shí)函數(shù)f(x)?x?3ax?2不存在單調(diào)減區(qū)間，3綜上所述，若函數(shù)f(x)?x?3ax?2的單調(diào)遞減區(qū)間為（0,2）則a?4.33'3（2）函數(shù)f(x)?x?3ax?2的在區(qū)間（0,2）上單調(diào)遞減函數(shù)

?f'(x)?0在區(qū)間（0,2）內(nèi)恒成立

?3x2?3a?0在區(qū)間（0,2）內(nèi)恒成立?3x2?3a在區(qū)間（0,2）內(nèi)恒成立，?3x2在區(qū)間（0,2）內(nèi)的最大值小于等于3a，即12?3a

所以 a?4.該題是前面變式問題的綜合展現(xiàn)．所以學(xué)生能很快完成問題的求解．對(duì)個(gè)別仍存在模糊認(rèn)識(shí)的同學(xué)，在教師引導(dǎo)下，學(xué)生會(huì)很快發(fā)現(xiàn)問題進(jìn)行糾正．

我的思考：此題旨在鍛煉學(xué)生的審題能力和對(duì)數(shù)學(xué)語言精確性和嚴(yán)密性的考查.“函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)”和“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是某區(qū)間”，前者說明所給區(qū)間是該函數(shù)單調(diào)區(qū)間的子集，后者說明所給區(qū)間恰好是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．因此在解題中一定要養(yǎng)成認(rèn)真審題的好習(xí)慣．

四、歸納總結(jié)、提升拓展

最后，反思解題方法，歸納總結(jié)解題規(guī)律：

1.如何確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間？在運(yùn)算過程中，注意哪幾個(gè)注意事項(xiàng)？ 2.函數(shù)單調(diào)的充要條件是什么？

3.已知單調(diào)區(qū)間或在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)時(shí)如何計(jì)算參數(shù)的值或范圍？

讓學(xué)生自己通過對(duì)所解問題進(jìn)行總結(jié)歸納，反思自己的問題.課外思考作業(yè): 教師設(shè)計(jì)相應(yīng)的習(xí)題，進(jìn)一步鞏固本節(jié)課所學(xué)知識(shí)和方法．

1、（05.湖南）若函數(shù)f(x)?lnx?

2、若函數(shù)f(x)?12ax?2x,(a?0)存在單調(diào)減區(qū)間，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.21312x?ax?(a?1)x?1在區(qū)間（1，4）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間(4,??)上為增函321312x?ax?(a?1)x?1在區(qū)間（1，4）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間(6,??)32數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值.3、（04年全國(guó)）若函數(shù)f(x)?上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.4、（1）求函數(shù)f(x)?x?ax?2的單調(diào)區(qū)間.（2）（06年山東）求函數(shù)f(x)?ax?(a?1)ln(x?1)，其中a??1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間.3【教學(xué)鏈接】

微分學(xué)的中心問題是求曲線的切線和運(yùn)動(dòng)物體的瞬時(shí)速度．兩者殊途同歸，都導(dǎo)致了微分學(xué)的產(chǎn)生．費(fèi)馬是較早研究曲線切線的數(shù)學(xué)家，早在1629年他已有初步設(shè)想．1637年在手稿《最大值和最小值的方法》中具體給出了求切線的方法．費(fèi)馬應(yīng)用它的方法，解決了許多難題．雖然其方法缺乏嚴(yán)密性，但它具有微分學(xué)的現(xiàn)代標(biāo)準(zhǔn)方法形式．

費(fèi)馬的研究給后來牛頓發(fā)明系統(tǒng)的微積分理論奠定了基礎(chǔ)．牛頓曾說：“我從費(fèi)馬的切線作法中得到這個(gè)方法的啟示，我推廣了它，把它直接地并且反過來應(yīng)用于抽象的方程．”牛頓于1665年11月發(fā)明正流數(shù)術(shù)（微分法），1666年5月建立反流數(shù)術(shù)（積分法）．1666年10月寫成一篇總結(jié)性論文，在朋友與同事中傳閱，現(xiàn)以《1666年10月流數(shù)簡(jiǎn)論》著稱．這是歷史上第一篇系統(tǒng)的微積分文獻(xiàn)．將正反微分運(yùn)算用于16類問題，展示了牛頓算法的普遍性與系統(tǒng)性．1687年，牛頓的名著《自然哲學(xué)及數(shù)學(xué)原理》出版，首次公開表述了他的微積分方法．此時(shí)距他創(chuàng)造微積分已過去22年．

萊布尼茲與牛頓有許多相似之處，都是留名青史的哲學(xué)家，都是對(duì)多種學(xué)科有重大科學(xué)貢獻(xiàn)的學(xué)者．其中最相似的貢獻(xiàn)就是幾乎同時(shí)各自獨(dú)立發(fā)明了微積分．1666年萊布尼茲寫成《論組合術(shù)》，討論平方序列的性質(zhì)．1675年發(fā)明了不定積分符號(hào)，同時(shí)注意到微分與積分必定是相反的過程，斷定作為求和過程的積分是微分的逆．這一結(jié)果的得出雖稍晚于牛頓的同類結(jié)果，但是獨(dú)立得到的．二者使用的方法也不同，故后人將此稱為牛頓—萊布尼茲公式． 隨著17世紀(jì)末懸鏈問題（1690年），最速降線問題（1696年）以及等周問題的提出與解決．令數(shù)學(xué)界耳目一新．很快顯示出微積分作為一種數(shù)學(xué)方法的強(qiáng)大功效．

[資料來源] 梁宗巨、王青建、孫宏安.世界數(shù)學(xué)通史（下冊(cè)·二）.沈陽：遼寧教育出版社.2005,1.【教有所思】

（1）結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況，設(shè)計(jì)問題從基礎(chǔ)入手，逐步加深難度，針對(duì)在利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性問題中常見的幾類問題和解題中常見的錯(cuò)誤設(shè)計(jì)一系列問題，環(huán)環(huán)連接，使學(xué)生始終處于積極思考和探索討論中，形成良好的課堂氛圍，為良好的課堂效果打下基礎(chǔ)．

（2）本節(jié)課中，教師始終針對(duì)學(xué)生的問題進(jìn)行變換和引導(dǎo)，總是讓學(xué)生考慮，學(xué)生討論，鍛煉學(xué)生獨(dú)立解決問題的能力和合作學(xué)習(xí)的能力，形成自己的數(shù)學(xué)思想方法，更觸發(fā)了學(xué)生積極思考、勤奮探索的動(dòng)力，開發(fā)學(xué)生的智慧源泉，實(shí)現(xiàn)了舉一反三的效果，同時(shí)也符合新教材課堂理念，以培養(yǎng)學(xué)生能力為主，學(xué)生是課堂的主體；突出數(shù)學(xué)課的特點(diǎn)——教會(huì)學(xué)生如何解題．

（3）對(duì)問題情景的設(shè)計(jì)和對(duì)學(xué)生出現(xiàn)的問題進(jìn)行分析研究時(shí)所采用的方式方法，仍然是教師應(yīng)該進(jìn)一步改善和探索研究的主題.6

第二篇：在習(xí)題教學(xué)中注意一題多解、一題多變、 一題多問

在習(xí)題教學(xué)中注意一題多解、一題多變、一題多問 “ 一題多解 ” 是指通過不同的思維途徑，采用多種解題方法解決同一個(gè)實(shí)際問題的教學(xué)方法。它有利于培養(yǎng)學(xué)生辨證思維能力，加深對(duì)概念、規(guī)律的理解和應(yīng)用，提高學(xué)生的應(yīng)變能力，啟迪學(xué)生的發(fā)散性思維。在物理解題過程中，我們可以通過 “ 一題多解 ” 訓(xùn)練拓寬自己的思路，在遇到新的問題時(shí)能順利挖掘出物理量間的相互關(guān)系和物理規(guī)律間的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)求異思維，使自己的思維具有流暢性。注意一題多變誘導(dǎo)學(xué)生思路

在習(xí)題課中的 “ 一題多變 ” 是指從多角度、多方位對(duì)例題進(jìn)行變化，引出一系列與本例題相關(guān)的題目，形成多變導(dǎo)向，使知識(shí)進(jìn)一步精化的教學(xué)方法． 思維的變通性是指擺脫定勢(shì)的消極影響，不局限于問題的某一方面，能夠隨機(jī)應(yīng)變，舉一反三，觸類旁通。在二輪復(fù)習(xí)的解題過程中主動(dòng)出擊，運(yùn)用變式，通過 “ 一題多變 ” 演繹問題的產(chǎn)生過程，能夠擺脫由生活習(xí)慣中原有思維方式和平時(shí)解題所帶來的思維定勢(shì)，使思維具有變通性。

“ 一題多問 ” 培養(yǎng)思維的嚴(yán)密性

思維的嚴(yán)密性，主要表現(xiàn)在通過細(xì)致縝密的分析，從錯(cuò)綜復(fù)雜的聯(lián)系與關(guān)系中認(rèn)識(shí)事物的本質(zhì)。在題目解完后再通過 “ 一題多問 ” 自己考慮問題更全面細(xì)致，讓自己的思維具有嚴(yán)密性。

這種 “ 多題歸一 ” 的方法還可以培養(yǎng)思維的概括性。思維的概括性是指思維能夠反映一類事物的共同的本質(zhì)的特征，以及事物之間的本質(zhì)聯(lián)系和規(guī)律。許多物理習(xí)題具有物理過程、規(guī)律和性質(zhì)類似的問題，它們間只有不同程度的量的差異而無質(zhì)的區(qū)別，在復(fù)習(xí)過程中做過一定量的習(xí)題后進(jìn)行反思，通過 “ 多題歸一 ”，進(jìn)行有的放矢的精解和拓寬，可以使思維具有概括性。

第三篇：一題多變心得

一題多變?cè)诮虒W(xué)中的運(yùn)用心得體會(huì)

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，在課后給學(xué)生布置除書上練習(xí)題和習(xí)題以外的大量習(xí)題。使學(xué)生感到負(fù)擔(dān)很重。很多學(xué)生根本無法完成，便出現(xiàn)了抄作業(yè)的現(xiàn)象。對(duì)數(shù)學(xué)的厭惡感便油然而生。還有從網(wǎng)上尋找各種各樣的所謂的新穎題布置給學(xué)生做。這樣也只會(huì)挫傷學(xué)生的自信心。我們?yōu)槭裁床荒軓臅系牧?xí)題入手，進(jìn)行演變，逐漸加深。讓學(xué)生有規(guī)律可尋，循序漸進(jìn)。日積月累過后，學(xué)生解題能力自然提高，對(duì)于從未見過的新題也會(huì)迎刃而解。另外，我們?cè)诎炎兪筋}布置給學(xué)生的同時(shí)，便可要求學(xué)生運(yùn)用一題多解，甚至可以要求學(xué)生自己對(duì)題型進(jìn)行變式。這樣的作業(yè)方式不只可以達(dá)到復(fù)習(xí)鞏固的目的，還可以提高學(xué)生的探究能力及學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

在數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)中，一題多變也得循序漸進(jìn)，步子要適宜，變得自然流暢，使學(xué)生的思維得到充分發(fā)散，而又不感到突然。

從下面兩道例題，我們充分的體會(huì)一下，各種變式對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的鞏固要求。

f(x)?1ax2?2x?1的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍 例

1、原題：若函數(shù)解：由題意得： ax2?2x?1?0在R上恒成立，則要求

a?0且??4?4a?0 ? a?1

變式一：函數(shù)f(x)?log2(ax2?2x?1)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍

解：由題意得： ax2?2x?1?0在R上恒成立，則要求

a?0且??4?4a?0 ? a?1

變式二：函數(shù)f(x)?log2(ax2?2x?1)的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍

解：令u?ax2?2x?1能取到所有大于0的實(shí)數(shù)，則

a?0時(shí)，u?2x?1能取到所有大于0的實(shí)數(shù) a?0時(shí)，a?0且??4?4a?0 ? 0?a?1

綜上0?a?1 4例2 原題： 已知 sin??且a是第二象限角，求tan?

54解： ∵a是第二象限角，且sin??

53sin?4?? ∴cos???1?sin2???，? tan??5cos?34變式一：已知sin??，求tan?

4?0，∴a是第一或第二象限角 534若a是第一象限角，則cos??1?sin2???tan??

5334若a是第二象限角，則cos???1?sin2????tan???

53解：∵sin??變式二：已知sin??m,(m?0)，求tan?

解：由條件0?m?1，所以

當(dāng)0?m?1時(shí)，a是第一或第二象限角 若是第一象限a22角，則

m1?m2 cos??1?sin??1?m?tan???221?m1?mm若a是

2第二

2象限角，則

?m1?m2 cos??1?sin???1?m?tan???221?m?1?mm當(dāng)m?1時(shí)，tan?不存在

變式

三、sin??m,(m?0)，求tan?

解：當(dāng)m??1或m?1時(shí)，tan?不存在

當(dāng)m?0時(shí)，tan??0

m1?m2當(dāng)a是第一或第四象限角時(shí)，tan??

1?m2?m1?m2當(dāng)a是第二或第三象限角時(shí)，tan?? 21?m

總之，在數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)中，選用一些非加探索不能發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在聯(lián)系的習(xí)題，采用一題多解與一題多變的形式進(jìn)行教學(xué)，有助于啟發(fā)學(xué)生分析思考，逐步把學(xué)生引入勝境，從而使學(xué)生開拓知識(shí)視野，增強(qiáng)能力，發(fā)展創(chuàng)造思維，同時(shí)還可以幫助學(xué)生對(duì)知識(shí)系統(tǒng)性、特殊性、廣泛性的深刻理解。

數(shù)學(xué)題是做不完的。我認(rèn)為要使學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)，還是要從提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和學(xué)習(xí)趣上下工夫。要利用書本上有限的例題和習(xí)題來提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和能力。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，通過利用一切有用條件，進(jìn)行對(duì)比、聯(lián)想，采取一題多解與一題多變的形式進(jìn)行教學(xué)。這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性、深刻性、探索性、靈活性、獨(dú)創(chuàng)性無疑是一條有效的途徑。另外，能力提高的過程中，學(xué)生的成就感自然增強(qiáng)，并且在不斷的變化和解決問題的不同途徑中，興趣油然而生。

第四篇：一題多解培養(yǎng)思維能力

一題多解培養(yǎng)思維能力

一道應(yīng)用題的解題方法往往不是唯一的。因此，要學(xué)會(huì)從多方面多角度思考問題，以培養(yǎng)自己的思維能力。

例1甲、乙兩人要運(yùn)240噸貨物，甲單獨(dú)運(yùn)8小時(shí)能運(yùn)完，乙單獨(dú)運(yùn)6小時(shí)能運(yùn)完，兩人合作幾小時(shí)能運(yùn)完？

思路1：要求兩人合作多少小時(shí)運(yùn)完，必須先 求出甲、乙兩人每天各運(yùn)多少噸，然后用總噸數(shù)除以每天合運(yùn)的噸數(shù)即得。

1思路2：把這堆貨物看成整體“1”，乙8

111，兩人合運(yùn)一天可以運(yùn)這堆貨物的（），用686

工作總量除以工作效率就得工作時(shí)間。

3例2一服裝廠計(jì)劃生產(chǎn)2500套服裝，前6天完成，照這樣計(jì)5

算，剩下的還要幾天能完成？

思路1：先求剩下的任務(wù)，再求還要幾天。

思路2：先求完成任務(wù)需要的時(shí)間，再求剩下的還要幾天。思路3：剩下的任務(wù)包含幾個(gè)6天所完成的任務(wù)，就需幾個(gè)6天。

33另外，有一種簡(jiǎn)便的方法是：6÷×（1-）。你能說出這樣列55

式的算理嗎？

第五篇：一題多解的物理題(修改版)

一 題 多 解 的 物 理 題

湖北省監(jiān)利縣第一初級(jí)中學(xué) 王世旺

物理解題中經(jīng)常會(huì)遇到一題多解的情況，這樣的題，既可以考查學(xué)生的綜合解題能力，也可以活躍學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生良好的解題習(xí)慣。茲選湖北省教學(xué)研究室編寫的義務(wù)教育教科書物理練習(xí)冊(cè)八年級(jí)上第10頁中的一道題為例，略作分析。題目如下：

野兔在草地上以10 m/s 讀速度向前方50 m 處的樹洞奔逃，禿鷹在野兔后方110 m 處以40 m/s 的速度貼著地面飛行追擊野兔，問野兔能否安全逃進(jìn)樹洞？（要求至少用兩種方法）

題中明確說明至少要用兩種方法，顯然解法在兩種以上。可以通過比較時(shí)間，或者比較路程，或者比較速度來進(jìn)行分析判斷。為了便于分析，我們先對(duì)問題中可能出現(xiàn)的路程、時(shí)間、速度做一個(gè)說明，然后根據(jù)可能出現(xiàn)的情況逐一分析。

時(shí)間：

t1——野兔跑進(jìn)樹洞所需的時(shí)間(5s)； t2——禿鷹飛到樹洞所需的時(shí)間（4s）;t3——禿鷹抓到野兔所需的時(shí)間(3.7s)。

路程：

s1——野兔離樹洞的距離(50m)；

s2——禿鷹離樹洞的距離(160m)； s3——禿鷹離野兔的距離(110m)；

s4——野兔跑進(jìn)樹洞這段時(shí)間內(nèi)禿鷹所跑的距離(200m)；

s5——禿鷹跑到樹洞的時(shí)間內(nèi)t3內(nèi)，野兔可能跑的路程(40m)；

速度：

v1——野兔的速度（10 m/s）;v2——禿鷹的飛行速度（40m/s）;v3——兔子跑進(jìn)樹洞的最低安全速度(12.5m/s)； v4——禿鷹抓住野兔的最低飛行速度(32m/s).列舉了這么多物理量（后面括號(hào)中給出的數(shù)據(jù)或?yàn)橐阎蚩捎?jì)算得出的），我們就可以選擇適當(dāng)?shù)奈锢砹縼肀容^判斷了。解題思路有如下三類：

第一類：比較時(shí)間

解法一：比較野兔跑進(jìn)樹洞所需的時(shí)間t1和禿鷹飛到樹洞所需的時(shí)間t2；若t1 ＞ t2，則野兔不能安全逃進(jìn)樹洞；反之能安全逃進(jìn)樹洞

解法二：比較野兔跑進(jìn)樹洞所需的時(shí)間t1和禿鷹抓到野兔所需的時(shí)間t3；若t1 ＞ t3，則野兔不能安全逃進(jìn)樹洞；反之能安全逃進(jìn)樹洞

解法三：比較禿鷹飛到樹洞所需的時(shí)間t2和禿鷹抓到野兔所需的時(shí)間t3；若t2 ＞ t3，則野兔不能安全逃進(jìn)樹洞；反之能安全逃進(jìn)樹洞。

第二類：比較路程

解法四：比較在野兔安全逃進(jìn)洞的時(shí)間t1內(nèi)可以禿鷹飛行的路程s4和禿鷹離樹洞的距離s2，若s4 ＜ s2，則野兔是安全的，否則，不安全。

解法五：比較在禿鷹飛到樹洞的時(shí)間t2內(nèi)野兔所跑的路程s5和野兔到樹洞的距離s1, 若s5 ＞ s1,則野兔是安全的，否則，不安全。

第三類：比較速度

解法六：比較野兔的奔逃速度v1和野兔跑進(jìn)樹洞的最低安全速度v3, 若 v1 ＞ v3, 則野兔是安全的，否則，不安全。

解法七：比較禿鷹的飛行速度v2和禿鷹抓住野兔的最低飛行速度v4, 若v4 ＞ v2, 則野兔是安全的，否則，不安全。

學(xué)生可以選擇上面提供的任意兩條思路完成答題任務(wù)。具體解題過程如下： 解法一：野兔逃進(jìn)樹洞所需的時(shí)間：

t1=s1/t1=50m/(10m/s)=5s

禿鷹飛到樹洞所需的時(shí)間：

t2=s2/t2=(110m+50m)/(40m/s)=4s 因?yàn)閠1>t2, 所以野兔不能安全逃進(jìn)樹洞。

解法二：野兔逃進(jìn)樹洞所需的時(shí)間：

t1=s1/t1=50m/(10m/s)=5s

禿鷹抓住野兔所需的時(shí)間： t3=s3/(v2-v1)=110m/(40m/s – 10m/s)=3.7s

因?yàn)閠1>t3, 所以野兔不能安全逃進(jìn)樹洞。

解法三：禿鷹飛到樹洞所需的時(shí)間：

t2=s2/t2=(110m+50m)/(40m/s)=4s 禿鷹抓住野兔所需的時(shí)間：

t3=s3/(v2-v1)=110m/(40m/s – 10m/s)=3.7s 因?yàn)閠2>t3 , 所以野兔不能安全逃進(jìn)樹洞。

解法四：野兔逃進(jìn)樹洞所需的時(shí)間：

t1=s1/t1=50m/(10m/s)=5s

在時(shí)間t1內(nèi)禿鷹飛行飛路程：

s4=v2t1=40m/s×5m/s=200m

因?yàn)閟4>s2, 所以野兔不能安全逃進(jìn)樹洞。

解法五：禿鷹飛到樹洞所需的時(shí)間：

t2=s2/t2=(110m+50m)/(40m/s)=4s

在時(shí)間t2內(nèi)，野兔所跑的路程：

s5=v1t2=10m/s×4s=40m 因?yàn)閟5

解法六：禿鷹飛到樹洞所需的時(shí)間：

t2=s2/t2=(110m+50m)/(40m/s)=4s

野兔逃進(jìn)樹洞的最低安全速度：

v3=s1/t2=50m/4s=12.5m/s

因?yàn)関1

解法七：野兔逃進(jìn)樹洞所需的時(shí)間：

t1=s1/t1=50m/(10m/s)=5s 禿鷹抓住野兔所需的最低飛行速度：

v4=s2/t1=(110m+50m)/5s=32m/s 因?yàn)関2