第一篇：一題多變在教學中的運用

一題多變在教學中的運用

利用基本不等式求最值，體現“一題多變”對學生發散思維的啟迪。

“一題多變”是題目結構的變式，將一題演變成多題，而題目實質不變，讓學生解答這樣的問題，能隨時根據變化的情況思考，從中找出它們之間的區別和聯系，以及特殊和一般的關系。使學生不僅能復習、回顧、綜合應用所學的知識，而且使學生把所學的知識、技能、方法、技巧學牢、學活，培養思維的靈活性和解決問題的應變能力。

1(x?2)在x=a處去最小值，求a的值。例、若函數f(x)?x?x?2a?bab?(a?0,b?0)本題考查的是“基本不等式”的簡單應用，即可利用2將問題解決，但它不能夠充分發揮此題的作用，學生易忽視“基本不等式”應用前提“一正二定三相等”。所以我們教學時應在學生易錯、易混淆出進行變式教學，進而促進對“基本不等式”應用的深刻體會。

2變式

1、若x<0，求x+的最大值。x

對于初學者而言，拿到此題不得不仔細推敲它是否可以直接運用“基本不等式”求解。顯然它違背了“基本不等式”中“一正”這樣一個大前提。因此，這一題必須先將變量x化到正數區間，然后運用“基本不等式”進行求解。

1變式

2、若x>2，求f(x)=x+的最小值。x?2

通過觀察此題，當x>2時通過變形可得到x-2>0，將此作為整體，能夠保證其形式與“基本不等式”結構大體上不變，即滿足其前提中的“二定”中形式一致性，從而可運用“基本不等式”將問題解決。

4變式

3、若x>2，求函數f(x)=x+的最值域。x

不難看出當x>2時，是的不等式應用時，等號無法取到，即“三相等”無法滿足，所以只好另尋他法，當我們嘗試研究函數的圖像利用其單調性求函數最值時，即可輕而易舉得到次函數在該題設條件下的值域。

14變式

4、已知a?0,b?0，a?b?2求y??的最小值。ab

對于此題，光從表面是無法看出它與“基本不等式”有什么關聯，但是題設中給出a?b?2這樣一個條件，為此我們將1和4用含有a和b的代數式替換掉，b2a5??，這樣一個式子能夠淺顯的體現“基本不2ab2等式”中“一正二定”這兩個特點，從而就可以利用基本不等式輕易的將其解答。變形整理后可以得到y?以上是“一題多變”的教學模式，這種模式運用到以后的課堂教學的機會很大。因為它對提升學生的運算能力是大有幫助的，油漆在運算合理性、準確性兩方面都有極大提高，學生也能更好的加深對“基本不等式”運用前提的理解記憶②。一題多解在教學中的運用

一題多解在高考中的展示。體現“一題多解”訓練學生發散思維。

由于新課標課程改革，課時少，習題課大幅減少。怎樣才能高效地利用習題課，更好地讓學生掌握知識要領、培養和訓練學生創新思維能力，這些問題一直困擾著教師。從教師實習崗位走過來的我發覺上習題課時，不求多講，只求精講。通過一題多解，引導學生就不同角度、不同方位、不同觀點分析思考同一問題，從而達到擴充思維的機遇，使學生不滿足固定的解題方法，進而去追求新方法。3.1 對于2011年高考山東卷立體幾何題問題一的思考

展示“一題多解”訓練學生發散思維。

由于新課標課程改革，課時少，習題課大幅減少。怎樣才能高效地利用習題課，更好地讓學生掌握知識要領、培養和訓練學生創新思維能力，這些問題一直困擾著教師。從教師實習崗位走過來的我發覺上習題課時，不求多講，只求精講。通過一題多解，引導學生就不同角度、不同方位、不同觀點分析思考同一問題，從而達到擴充思維的機遇，使學生不滿足固定的解題方法，進而去追求新方法③。

第二篇：在習題教學中注意一題多解、一題多變、 一題多問

在習題教學中注意一題多解、一題多變、一題多問 “ 一題多解 ” 是指通過不同的思維途徑，采用多種解題方法解決同一個實際問題的教學方法。它有利于培養學生辨證思維能力，加深對概念、規律的理解和應用，提高學生的應變能力，啟迪學生的發散性思維。在物理解題過程中，我們可以通過 “ 一題多解 ” 訓練拓寬自己的思路，在遇到新的問題時能順利挖掘出物理量間的相互關系和物理規律間的內在聯系，培養求異思維，使自己的思維具有流暢性。注意一題多變誘導學生思路

在習題課中的 “ 一題多變 ” 是指從多角度、多方位對例題進行變化，引出一系列與本例題相關的題目，形成多變導向，使知識進一步精化的教學方法． 思維的變通性是指擺脫定勢的消極影響，不局限于問題的某一方面，能夠隨機應變，舉一反三，觸類旁通。在二輪復習的解題過程中主動出擊，運用變式，通過 “ 一題多變 ” 演繹問題的產生過程，能夠擺脫由生活習慣中原有思維方式和平時解題所帶來的思維定勢，使思維具有變通性。

“ 一題多問 ” 培養思維的嚴密性

思維的嚴密性，主要表現在通過細致縝密的分析，從錯綜復雜的聯系與關系中認識事物的本質。在題目解完后再通過 “ 一題多問 ” 自己考慮問題更全面細致，讓自己的思維具有嚴密性。

這種 “ 多題歸一 ” 的方法還可以培養思維的概括性。思維的概括性是指思維能夠反映一類事物的共同的本質的特征，以及事物之間的本質聯系和規律。許多物理習題具有物理過程、規律和性質類似的問題，它們間只有不同程度的量的差異而無質的區別，在復習過程中做過一定量的習題后進行反思，通過 “ 多題歸一 ”，進行有的放矢的精解和拓寬，可以使思維具有概括性。

第三篇：一題多變心得

一題多變在教學中的運用心得體會

在數學教學中，在課后給學生布置除書上練習題和習題以外的大量習題。使學生感到負擔很重。很多學生根本無法完成，便出現了抄作業的現象。對數學的厭惡感便油然而生。還有從網上尋找各種各樣的所謂的新穎題布置給學生做。這樣也只會挫傷學生的自信心。我們為什么不能從書上的習題入手，進行演變，逐漸加深。讓學生有規律可尋，循序漸進。日積月累過后，學生解題能力自然提高，對于從未見過的新題也會迎刃而解。另外，我們在把變式題布置給學生的同時，便可要求學生運用一題多解，甚至可以要求學生自己對題型進行變式。這樣的作業方式不只可以達到復習鞏固的目的，還可以提高學生的探究能力及學習數學的興趣。

在數學習題教學中，一題多變也得循序漸進，步子要適宜，變得自然流暢，使學生的思維得到充分發散，而又不感到突然。

從下面兩道例題，我們充分的體會一下，各種變式對基礎知識的鞏固要求。

f(x)?1ax2?2x?1的定義域為R，求實數a的取值范圍 例

1、原題：若函數解：由題意得： ax2?2x?1?0在R上恒成立，則要求

a?0且??4?4a?0 ? a?1

變式一：函數f(x)?log2(ax2?2x?1)的定義域為R，求實數a的取值范圍

解：由題意得： ax2?2x?1?0在R上恒成立，則要求

a?0且??4?4a?0 ? a?1

變式二：函數f(x)?log2(ax2?2x?1)的值域為R，求實數a的取值范圍

解：令u?ax2?2x?1能取到所有大于0的實數，則

a?0時，u?2x?1能取到所有大于0的實數 a?0時，a?0且??4?4a?0 ? 0?a?1

綜上0?a?1 4例2 原題： 已知 sin??且a是第二象限角，求tan?

54解： ∵a是第二象限角，且sin??

53sin?4?? ∴cos???1?sin2???，? tan??5cos?34變式一：已知sin??，求tan?

4?0，∴a是第一或第二象限角 534若a是第一象限角，則cos??1?sin2???tan??

5334若a是第二象限角，則cos???1?sin2????tan???

53解：∵sin??變式二：已知sin??m,(m?0)，求tan?

解：由條件0?m?1，所以

當0?m?1時，a是第一或第二象限角 若是第一象限a22角，則

m1?m2 cos??1?sin??1?m?tan???221?m1?mm若a是

2第二

2象限角，則

?m1?m2 cos??1?sin???1?m?tan???221?m?1?mm當m?1時，tan?不存在

變式

三、sin??m,(m?0)，求tan?

解：當m??1或m?1時，tan?不存在

當m?0時，tan??0

m1?m2當a是第一或第四象限角時，tan??

1?m2?m1?m2當a是第二或第三象限角時，tan?? 21?m

總之，在數學習題教學中，選用一些非加探索不能發現其內在聯系的習題，采用一題多解與一題多變的形式進行教學，有助于啟發學生分析思考，逐步把學生引入勝境，從而使學生開拓知識視野，增強能力，發展創造思維，同時還可以幫助學生對知識系統性、特殊性、廣泛性的深刻理解。

數學題是做不完的。我認為要使學生學好數學，還是要從提高學生的數學思維能力和學習趣上下工夫。要利用書本上有限的例題和習題來提高學生的學習興趣和能力。在數學教學過程中，通過利用一切有用條件，進行對比、聯想，采取一題多解與一題多變的形式進行教學。這對培養學生思維的廣闊性、深刻性、探索性、靈活性、獨創性無疑是一條有效的途徑。另外，能力提高的過程中，學生的成就感自然增強，并且在不斷的變化和解決問題的不同途徑中，興趣油然而生。

第四篇：物理教學中的一題多解,多題一解,一題多變

物理教學中的一題多解，多題一解，一題多變

一題多解，多題一解，一題多變等。在中學物理教學中經常用到的教學方法，也就是日常教學方法。所謂常規的方法主要是通過對課本概念和習題的講解來提高學生對物理知識的理解能力和解題能力。其中，習題教學是物理教學的重要組成部分，是概念、原理和規律教學的延續和深化，是達到教學目的，使學生掌握基礎知識和基本技能，培養和提高能力的重要環節。

對于常規的方法——一題多解的教學主要是提高學生的求異思維。我們在教學中應該有計劃、有目的地去引導學生打破常規思維、尋求變異、廣開思路、充分想象，逐步培養學生從不同角度、不同思路上思考問題，看問題有獨創見解，培養學生解題的能力。

對于常規的方法——多題一解。其教學目的就是要教會學生有著高度歸納分析及遷移能力，物理教學中，由于力的概念和規律貫穿物理學的各個部分，除了純力問題，物理學的其它部分，尤其是電磁學的許多綜合問題都跟力學有關，因此，老師應引導學生從不同的問題中，分析出共同的特征和過程，與典型的物理模型相比較，這樣減少學生對不同物理過程不同方法的機械記憶，克服題海戰術，有助于提高思維能力和綜合能力。

對于常規的方法——一題多變的教學，就是抓住習題的中心思想，由點到線，由線到面，很多相近知識或相近題，抓到一個點，就解決一類問題的實效。這種教學有利于培養學生的逆向思維能力、觀察力、應變力和創造力。

以上為大家介紹的三種常規的中學物理教學方法，在教學過程中要把他們相互結合運用，而不是只是教學生單獨一種。如此，才能更好的提高學生學習物理的興趣和愛好；才能進一步的提高學生解題能力；才能使自己的教學水平有著很好的提高。

瑪納斯電廠學校中理組

2015年11月

第五篇：變式教學：一題多問、一題多解、一題多變教學模式

變式教學：一題多問、一題多解、一題多變教學模式

——“利用導數研究函數單調性的解題課”教學設計

【課例解析】 教材的地位與作用

本節課是人教版《數學（選修2-2）》第一章 導數及其應用，§1.3.1函數的單調性與導數的第二課時解題課．

導數是微積分的核心內容之一，它有極其豐富的實際背景和廣泛應用，導數更是研究函數性質的強有力的工具，在解決函數單調性、最大值和最小值等問題時，不但避開了初等函數變形的難點，證明的繁雜，而且使解法程序化，變“巧法”為“通法”，優化解題策略、簡化運算，具有較強的工具性作用．在應用導數研究函數單調性教學的過程中，體會導數的思想及其內涵． 2 學情分析

在本節之前學生已經學習了導數的實際背景和基本概念．學生能理解導數的數學意義、物理意義及幾何意義．掌握了常函數、冪函數、正余弦函數、指數函數、對數函數的導數．掌握了導數的運算法則．已經初步了解了導數與函數單調性的關系，并能利用導數解決簡單的函數單調性問題．本節課此基礎上進一步運用導數解決和函數單調性有關的問題，對大多數學生來說，有足夠的能力掌握本節知識．學生已經初步具有對數學問題自主探究的意識和能力，當然也存在較大的個體差異．需要在教學過程中加以個別指導．

【方法闡釋】

采用心智數學教育方式中變式教學模式進行教學：主要分“創設情景、引入新課，自主探究、成果展示，變式訓練、鞏固落實，歸納總結、提升拓展”四個教學環節．

對探究性問題，教師要啟發引導學生按照“弄清題意—擬訂計劃—執行計劃—反思回顧”四個解題環節獨立完成．

指導學生通過小組交流、成果展示等形式檢查自己的思維方式和對解題步驟格式．通過問題變式，使學生經歷數學問題及解決方法的推廣和運用．學生已經了解和掌握了導數與函數單調性的關系，并能利用導數的知識解決簡單的函數單調性問題的方法，但是對含有參數的函數的單調性問題（確定單調區間問題或已知函數的單調性確定參數范圍問題等），由于教材中沒有涉及，因此是一個盲點，本節課教學設計旨在搭設臺階，降低坡度，通過對問題的不斷變化，進行不斷探索和比較，引導學生從基礎入手，通過分析、對比辨析、歸納、推理、變式教學反例分析來探究解題方法，進行問題解決，使學生形成正確的解題方法，在學習中讓學生學會探究、分析，并學會合作學習．

【目標定位】

1知識與技能目標

理解函數的單調性與其導數的關系，能利用求導的方法探求函數的單調性和單調區間． 2過程與方法目標

經歷使用導數解決求函數單調區間和已知單調區間求參數范圍問題的求解過程．通過分析、歸納、推理、對比辨析、變式教學來探究解題方法，并能通過各類問題的解法對比，感受和掌握導數在函數單調性問題解決過程中的應用． 3 情感、態度與價值觀目標

感受導數為解決單調性問題提供的新思路、方法和途徑，激發學生探究知識的興趣和欲望． 2 教學的重點與難點

本節課的重點是理解函數單調性與其導數的關系，利用導數解決求函數單調區間和已知單調區間求參數范圍問題．難點是解決含參數的函數單調性問題中參數范圍的確定及分類討論等數學思想方法的運用．

【課堂設計】

一、創設情景、引入新課

教師：我們已經學習了函數導數的計算方法和運算法則，并且知道利用導數可以求出函數的單調區間，請同學們自己動手以下探究性問題.探究性問題：求下列函數的單調區間． 1．函數f(x)=x-3x+1的單調遞減區間． 2．函數f(x)=x e的單調區間．

3．（05年北京）已知函數f(x)=-x+3x+9x+a，求f(x)的單調減區間.322x

3二、自主探究、成果展示

學生獨立解決后，小組內學生交流，相互糾正解題中出現的問題． 教師：利用導數求函數的單調區間有哪幾個步驟？

學生1：第一步，求函數導數；第二步，建立導函數不等式，使f(x)>0的區間為原函數的增區間，使f(x)<0的區間為函數的減區間；第三步，回答單調區間．

教師利用實物投影展示在巡視的過程中發現的格式步驟不全、格式步驟規范、格式步驟較多但混亂無序等學生解題過程，規范學生解題思維和書寫格式．

教師：第3題中的參數a對函數的增減性會不會產生影響？為什么？

學生2:對函數增減性不會產生影響．從函數圖像變換看，常數項a的影響就是圖像形狀不改變，只進行上下平移；從函數的導函數看，參數a是常數，其導數為0.不會對其導函數產生任何影響．

我的思考：設計探究性問題，主要目的是使學生進一步熟練導數研究單調性的方法，規范解題格式步驟；其次，三個導函數題都與二次函數有關，且用到指數函數的性質，進一步強化二次不等式的解法和指數函數性質，讓學生體會導數問題的綜合性．再次，第3題中設置了參數a，在此不需單獨討論，但在老師的追問下，有些學生已經意識到有時要對a進行討論，為下面針對參數的分類討論埋下伏筆．

三、變式訓練、鞏固落實

適當改變探究性問題的形式，提出新的問題，進行變式訓練

我的思考：學生在解決這類問題時往往容易忽視函數的定義域以及使導數為零的點的處理，因此針對以上可能出現的問題，設計幾個變式習題，讓學生首先獨立思考，出現問題，然后通過生生和師生的交流，共同分析正確的解題方法，完善對問題的全面和完整解決．

2變式1：求函數f(x)=0.5x-ln x的單調區間.這是針對容易忽視定義域而設計的問題，很多學生沒有考慮到定義域出現錯誤答案：單調增區間為(-1,0),(1,+∞)，單調減區間為(-∞,-1),(0,1)；還有同學得出單調增區間為(-1,0)∪(1,+∞)．

師生剖析錯因：（1）解決函數的解析式、值域、單調性、奇偶性、周期性、對稱性等問題時，必須首先求出函數的定義域，函數的解析式和定義域是函數的兩大要素.(2)函數的單調區間必須是單個的區間不能使區間的并集，也不能寫成集合的形式{x|x<-1}． 正確解法：原函數的定義域為(0,+∞)，單調增區間為(1,+∞)，單調減區間為(0,1).2ax變式2：將前面第2題改編為：求函數f(x)=x e的單調區間.學生在獨立解決問題時，容易忽視討論或討論不全，或不會進行討論，讓學生分組合作交流，各組選出代表在黑板上展示，教師可結合學生板演情況進行又針對性地講解． 正確的解答過程應為：

函數的定義域為R.ax2axax2對函數求導f’(x)=2xe+axe=e(ax+2x)，當a=0時，函數的單調增區間為(0,+∞)，函數的單調減區間為(-∞,0)；

當a>0時，函數的單調增區間為(-∞,-2/a)和(0,+∞)，函數的單調減區間為(-2/a,0)； 當a<0時，函數的單調增區間為(0,-2/a)，函數的單調減區間為(-∞,0)和(-2/a,+∞).我的思考:含有參數的數學問題既是重點又是難點，也是學生的薄弱環節，通過解決這類問題，鍛煉學生的運算能力和分類討論思想的運用能力，教學中從簡單到復雜，循序漸進，學生能通過類比和對比，更容易理解和掌握．另外，a>0和a<0兩種情況下，0與-2/a的大小變化學生容易忽視，教師點評時也要特別強調．

變式3：求函數f(x)=√x-ln(x+1)的單調增區間.針對學生易錯點：忽視使導數為零的點的討論而造成解題不完整而設計的．還是首先讓學生自己解決，交流解題方法．

很多學生會出現錯誤答案：單調增區間為(0,1)和(1,+∞)為了說明問題，把問題特殊化．提出新的問題：我們通過函數圖像或利用函數單調性的定義已3經證實了函數y=x在R上為單調增函數，請同學們利用導數再探求該函數的單調區間，看有什么發現．

部分同學得到單調增區間是(-∞,0),(0,+∞)，這與以前學習的結論出現矛盾，怎樣解決呢？

再思考問題：我們已證明了反比例函數y=1/x的單調性，請同學們利用導數再探求該函數的單調區間，看有什么發現．

所得的單調減區間是(-∞,0),(0,+∞)，與以前學習的結論相同.我的思考：遇到難以解決的問題時，往往要把問題特殊化，與我們已掌握的熟悉問題進行對比分析．

比較以上兩個問題，請各小組討論，對比、總結一下規律.師生共同分析得到：當使導數等于零的解存在時，需對導數等于零的點進行如下處理：若在該點兩側的導數值符號相同，且函數在該點處連續，則將兩個增減性相同的區間合并；若在該點兩側的導數值符號相同，而函數在該點處函數不連續，則不能將將兩個區間合并．

此題中函數在x=1處是連續的，且在x=1兩側導數的符號相同，因此，該函數的遞增區間為(0,+∞).我的思考：這一組變式訓練主要是通過對基礎題組的解題方法、步驟的變式設置的．通過以上這組變式問題，學生注意到易錯的忽視定義域、在導數為0點左右符號相同時的處理方式等方面，并能對含參數的函數進行合理的分類討論，增加解題的正確率，鍛煉學生的分析能力和解題能力．

教師：我們再對問題進一步深化，采用逆向思維方式，交換題目的條件和結論，來看根據已知函數的單調性來確定參數范圍．

322變式4:已知函數f(x)=（1/3）x-(4a-1)x+(15a-2a-7)x+2在R上是增函數，求實數a的取值范圍.我的思考：解決這類問題易錯點是忽視參數端點的取舍，為此設計變式4，使學生在在出錯體驗后進行問題解決，加深對知識的掌握．在問題給出后，鼓勵學生獨立思考后將各自的解題思路進行交流，再在全班進行交流．

教師巡視后發現學生的解題思路有以下幾種：

思路一：求f(x)?x?2(4a?1)x?(15a?2a?7)，解不等式f(x)?0 ?x?2(4a?1)x?(15a?2a?7)?0

由于該不等式不會解，從而受阻.思路二：

函數f(x)?22'22'13x?(4a?1)x2?(15a2?2a?7)x?2在R上是增函數?f'(x)?0在R上恒3成立???0恒成立，解得實數a的取值范圍為（2，4）.通過投影對比展示學生兩種解答后，大部分學生能看到解法一不正確，解法二思路是正確的． 教師：反思一下我們的解法二，發現當a < 2或 a > 4時，??0，問題不成立．但a = 2或a = 4時?= 0，情況又會怎樣？

學生進一步計算后發現：a = 2或a = 4時?= 0，導函數除在一點為0外，其余各區間均大于0．同以上變式3可知，這時函數單調區間可以連續起來．

解：若函數f(x)?13x?(4a?1)x2?(15a2?2a?7)x?2在R上是增函數，3則f'(x)大于或等于零在R上恒成立

???0恒成立，解得實數a的取值范圍為[2，4].針對變式4中學生出現的兩種思路，教師再提出問題：請同學們思考下面這個問題： 變式

5、（1）若函數f(x)?x3?3ax?2的單調遞減區間為（0,2）求實數a的取值范圍．

（2）若函數f(x)?x?3ax?2的在區間（0,2）上單調遞減，求實數a的取值范圍． 我的思考：“單調遞減區間為（0,2）”與“在區間（0,2）上單調遞減”是兩個截然不同的問題情境．設計這個變式題組，一是讓學生辨析這兩種不同敘述的含義，二是對變式4兩種思路的進一步明晰．

學生獨立思考，然后進行生生交流，最后統一答案．

'（1）解：令導數f(x)?0，即3x?3a?0?x?a，再討論a的符號，223當a>0時，解得?a?x?a，所以函數f(x)的單調減區間為(?a,a)，函數f(x)?x?3ax?2的減區間為（0,2），則（0,2）?(?a,a)，所以a?2，即a?4；

當a=0時，函數的導數f(x)?0恒成立．

所以a = 0時函數f(x)?x?3ax?2不存在單調減區間；

'當a?0時，函數的導數f(x)?0總成立．

3所以a?0時函數f(x)?x?3ax?2不存在單調減區間，3綜上所述，若函數f(x)?x?3ax?2的單調遞減區間為（0,2）則a?4.33'3（2）函數f(x)?x?3ax?2的在區間（0,2）上單調遞減函數

?f'(x)?0在區間（0,2）內恒成立

?3x2?3a?0在區間（0,2）內恒成立?3x2?3a在區間（0,2）內恒成立，?3x2在區間（0,2）內的最大值小于等于3a，即12?3a

所以 a?4.該題是前面變式問題的綜合展現．所以學生能很快完成問題的求解．對個別仍存在模糊認識的同學，在教師引導下，學生會很快發現問題進行糾正．

我的思考：此題旨在鍛煉學生的審題能力和對數學語言精確性和嚴密性的考查.“函數在某區間內單調”和“函數的單調區間是某區間”，前者說明所給區間是該函數單調區間的子集，后者說明所給區間恰好是函數的單調區間．因此在解題中一定要養成認真審題的好習慣．

四、歸納總結、提升拓展

最后，反思解題方法，歸納總結解題規律：

1.如何確定函數的單調區間？在運算過程中，注意哪幾個注意事項？ 2.函數單調的充要條件是什么？

3.已知單調區間或在某個區間上單調時如何計算參數的值或范圍？

讓學生自己通過對所解問題進行總結歸納，反思自己的問題.課外思考作業: 教師設計相應的習題，進一步鞏固本節課所學知識和方法．

1、（05.湖南）若函數f(x)?lnx?

2、若函數f(x)?12ax?2x,(a?0)存在單調減區間，求實數a的取值范圍.21312x?ax?(a?1)x?1在區間（1，4）內為減函數，在區間(4,??)上為增函321312x?ax?(a?1)x?1在區間（1，4）內為減函數，在區間(6,??)32數，求實數a的值.3、（04年全國）若函數f(x)?上為增函數，求實數a的取值范圍.4、（1）求函數f(x)?x?ax?2的單調區間.（2）（06年山東）求函數f(x)?ax?(a?1)ln(x?1)，其中a??1，求f(x)的單調區間.3【教學鏈接】

微分學的中心問題是求曲線的切線和運動物體的瞬時速度．兩者殊途同歸，都導致了微分學的產生．費馬是較早研究曲線切線的數學家，早在1629年他已有初步設想．1637年在手稿《最大值和最小值的方法》中具體給出了求切線的方法．費馬應用它的方法，解決了許多難題．雖然其方法缺乏嚴密性，但它具有微分學的現代標準方法形式．

費馬的研究給后來牛頓發明系統的微積分理論奠定了基礎．牛頓曾說：“我從費馬的切線作法中得到這個方法的啟示，我推廣了它，把它直接地并且反過來應用于抽象的方程．”牛頓于1665年11月發明正流數術（微分法），1666年5月建立反流數術（積分法）．1666年10月寫成一篇總結性論文，在朋友與同事中傳閱，現以《1666年10月流數簡論》著稱．這是歷史上第一篇系統的微積分文獻．將正反微分運算用于16類問題，展示了牛頓算法的普遍性與系統性．1687年，牛頓的名著《自然哲學及數學原理》出版，首次公開表述了他的微積分方法．此時距他創造微積分已過去22年．

萊布尼茲與牛頓有許多相似之處，都是留名青史的哲學家，都是對多種學科有重大科學貢獻的學者．其中最相似的貢獻就是幾乎同時各自獨立發明了微積分．1666年萊布尼茲寫成《論組合術》，討論平方序列的性質．1675年發明了不定積分符號，同時注意到微分與積分必定是相反的過程，斷定作為求和過程的積分是微分的逆．這一結果的得出雖稍晚于牛頓的同類結果，但是獨立得到的．二者使用的方法也不同，故后人將此稱為牛頓—萊布尼茲公式． 隨著17世紀末懸鏈問題（1690年），最速降線問題（1696年）以及等周問題的提出與解決．令數學界耳目一新．很快顯示出微積分作為一種數學方法的強大功效．

[資料來源] 梁宗巨、王青建、孫宏安.世界數學通史（下冊·二）.沈陽：遼寧教育出版社.2005,1.【教有所思】

（1）結合學生的實際情況，設計問題從基礎入手，逐步加深難度，針對在利用導數求函數的單調性問題中常見的幾類問題和解題中常見的錯誤設計一系列問題，環環連接，使學生始終處于積極思考和探索討論中，形成良好的課堂氛圍，為良好的課堂效果打下基礎．

（2）本節課中，教師始終針對學生的問題進行變換和引導，總是讓學生考慮，學生討論，鍛煉學生獨立解決問題的能力和合作學習的能力，形成自己的數學思想方法，更觸發了學生積極思考、勤奮探索的動力，開發學生的智慧源泉，實現了舉一反三的效果，同時也符合新教材課堂理念，以培養學生能力為主，學生是課堂的主體；突出數學課的特點——教會學生如何解題．

（3）對問題情景的設計和對學生出現的問題進行分析研究時所采用的方式方法，仍然是教師應該進一步改善和探索研究的主題.6