第一篇：動點問題、存在性問題小結

動點問題和存在性問題小結訓練

一、基礎訓練

1.已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示對稱軸為X=﹣．下列結論中，正確的是（）

A．abc＞0 B．a+b=0 C．2b+c＞0 D．4a+c＜2b

2.二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，給出下列結論：

① b2-4ac>0；② 2a+b<0；③ 4a-2b+c=0；④ a：b：c= －1：2：3.其中正確的是()(A)①②(B)②③(C)③④(D)①④

3.已知二次函數的圖象過（-2，0）、（4，0）、（0，3）三點，求這個二次函數的關系式．

4.已知一個二次函數當x = 8時,函數有最大值9,且圖象過點（0，1）,求這個二次函數的關系式．

5.已知二次函數的圖象過（3，0）、（2，-3）二點,且對稱軸是x=1，求這個二次函數的關系式．

6.某商場購進一批單價為4元的日用品．若按每件5元的價格銷售，每月能賣出3萬件；若按每件6元的價格銷售，每月能賣出2萬件，假定每月銷售件數y（件）與價格x（元/件）之間滿足一次函數關系．（1）試求y與x之間的函數關系式；

（2）當銷售價格定為多少時，才能使每月的利潤最大？每月的最大利潤是多少？

7.如圖，在平面直y?ax2?bx?c角坐標系中，拋物線y?ax2?bx?c經過

A（-2，-4），O（0，0），B(2,0)三點.(1)求拋物線的解析式；

（2）若點M是拋物線對稱軸上一點，求AM+OM的最小值．（3）在此拋物線上是否存在點P，使得以點P與點O、A、B為頂點的四邊形是梯形？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．

二、溫故提升

1.如圖，在△ABC中，AB=8，BC=7，AC=6，有一動點P從A沿AB移動到B，移動速度為2單位/秒，有一動點Q從C沿CA移動到A，移動速度為1單位/秒，問兩動點同時移動多少時間時，△PQA與△BCA相似。

2.如圖，已知△ABC是邊長為6cm的等邊三角形,動點P、Q同時從A、B兩點出發，分別沿AB、BC勻速運動，其中點P運動的速度是1cm/s，點Q運動的速度是2cm/s，當點Q到達點C時，P、Q兩點都停止運動，設運動時間為t（s），解答下列問題：（1）當t＝2時，判斷△BPQ的形狀，并說明理由；

（2）設△BPQ的面積為S（cm2），求S與t的函數關系式；

（3）作QR//BA交AC于點R，連結PR，當t為何值時，△APR∽△PRQ？

3.如圖，拋物線y?mx2?2mx?3m?m?0?與x軸交于A、B兩點，與y軸交于

C點.（1）請求出拋物線頂點M的坐標（用含m的代數式表示），A、B兩點的坐標；（2）經探究可知，△BCM與△ABC的面積比不變，試求出這個比值；

（3）是否存在使△BCM為直角三角形的拋物線？若存在，請求出；如果不存在，請說明理由.．如圖, 已知拋物線y?12x2?bx?c與y軸相交于C，與x軸相交于A、B，點A的坐標為（2，0），點C的坐標為（0，-1）.(1）求拋物線的解析式；

(2）點E是線段AC上一動點，過點E作DE⊥x軸于點D，連結DC，當△DCE的面積最大時，求點D的坐標；

(3）在直線BC上是否存在一點P，使△ACP為等腰三角形，若存在，求點P的坐標，若不存在，說明理由.5.如圖，已知拋物線經過A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原點O，頂點為C（1）求拋物線的函數解析式；

（2）設點D在拋物線上，點E在拋物線的對稱軸上，且以AO為邊的四邊形AODE是平行四邊形，求點D的坐標。

6.在平面直角坐標系中，點A和點B分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上，且OA、2OB分別是關于x的方程x-7x+12=0的兩個根（OA＜OB）（1）求直線AB的解析式；

（2）線段AB上一點C使得S△ACO：S△BCO=1：2，請求出點C的坐標；

（3）在（2）的條件下，y軸上是否存在一點D，使得以點A、C、O、D為頂點的四邊形是梯形？若存在，請直接寫出點D的坐標；若不存在，請說明理由

7.如圖，拋物線y=ax+bx+c經過A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點，對稱軸與拋物線相交于點P、與直線BC相交于點M，連接PB．（1）求該拋物線的解析式；

（2）拋物線上是否存在一點Q，使△QMB與△PMB的面積相等？若存在，求點Q的坐標；若不存在，說明理由；

（3）在第一象限、對稱軸右側的拋物線上是否存在一點R，使△RPM與△RMB的面積相等？若存在，直接寫出點R的坐標；若不存在，說明理由．

第二篇：2015 相似三角形存在性問題小結

全國十佳課外輔導機構星火官網：www.tmdps.cn

相似三角形存在性問題

需要注意的問題：

1、若題目中問題為?ABC∽?DEF，則對應線段已經確定。

2、若題目中為?ABC和(與)?DEF相似，則沒有確定對應線段，此時有 三種情況：

①、?ABC∽?DEF

②、?ABC∽?EFD

③、?ABC∽?FDE

3、若題目中為?ABC和(與)?DEF、并且有?A??D（或為90°），則確定了一條對應的線段，此時有二種情況：①、?ABC∽?DEF

②、?ABC∽?DFE 需要分類討論上述的各種情況

例1.如圖，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，點P從點A開始沿AB邊向B點以2cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以4cm/s的速度移動，如果P、Q分別從A、B同時出發，問經過幾秒鐘，△PBQ與△ABC相似．

解題的步驟：①假設經過t時間后，兩個三角形相似并求出滿足要求的t的取值范圍；（設t）

②用未知數t去表示相似邊；（表示邊長）

③根據假設列出相似的各種情況；（出相似）

④根據相似寫出對應的相應線段比，并用各種已知量和未知數t列出分式方程；（解方程）

⑤驗證t是否符合條件。全國十佳課外輔導機構星火官網：www.tmdps.cn 例2．如圖，∠ACB=∠ADC=90°，AC=三角形相似．，AD=2．問當AB的長為多少時，這兩個直角

例

3、已知矩形ABCD，長BC=12cm，寬AB=8cm，P、Q分別是AB、BC上運動的兩點．若P自點A出發，以1cm/s的速度沿AB方向運動，同時，Q自點B出發以2cm/s的速度沿BC方向運動，討論若問題為以P、B、Q為頂點的三角形與△BDC相似？

例

4、如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10． 全國十佳課外輔導機構星火官網：www.tmdps.cn（1）求梯形ABCD的面積S；

（2）動點P從點B出發，以1cm/s的速度，沿B?A?D?C方向，向點C運動；動點Q從點C出發，以1cm/s的速度，沿C?D?A方向，向點A運動，過點Q作QE⊥BC于點E．若P、Q兩點同時出發，當其中一點到達目的地時整個運動隨之結束，設運動時間為t秒．問：在運動過程中，是否存在這樣的t，使得以P、A、D為頂點的三角形與△CQE相似？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由；

思考題 全國十佳課外輔導機構星火官網：www.tmdps.cn 1．如圖在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，點Q從B出發，沿BC方向以2cm/s的速度移動，點P從C出發，沿CA方向以1cm/s的速度移動．若Q、P分別同時從B、C出發，試探究經過多少秒后，以點C、P、Q為頂點的三角形與△CBA相似？

2.如圖所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，試在腰AB上確定點P的位置，使得以P，A，D為頂點的三角形與以P，B，C為頂點的三角形相似．

第三篇：探究動點軌跡問題

探究動點軌跡問題（2）

福州時代中學戴煒

一、實驗內容 探究圓錐曲線中兩直線交點的軌跡問題

掌握利用超級畫板進行動態探究的常用方法

二、設計理念

本講意在通過具體任務，驅動學生進行主動探究，發現規律性質，并能總結出一般結論。最后能體會利用超級畫板探究動態幾何問題的一般方法，并將其應用到更加廣泛的探究過程中去。

三、實驗過程

1.探究問題（軌跡為定點型）x2

?y2?1，過橢圓的右焦點F作與x軸不垂直的直線L，交橢圓于已知橢圓方程為5

A、B兩點，C是點A關于x軸的對稱點，試用超級畫板探究直線BC與x軸的交點N的軌跡。

探究過程

（1）求出橢圓的右焦點?2,0?

x2

?y2?1和過點?2,0?的直線x?my?2，用畫筆標出交點A、B（2）作出橢圓：5

（3）作出點A關于x軸的對稱點C，作直線BC，找出其與x軸的交點N

（4）拖動關于m的滑動塊，觀察點N的軌跡

（5）猜測點N的坐標，你能用數學方法加以說明嗎？

探究結果

直線BC與x軸的交點N是定點，定點的坐標為??5?,0? ?2?

x2y2

拓展探究：若橢圓的方程為2?2?1，試用超級畫板探究N點的軌跡是否仍是定點。ab

2.探究問題（軌跡為圓錐曲線型）

x2

?y2?1，點A、B是橢圓長軸的兩個端點，直線（1）已知橢圓C的方程為4

x?m(?2?m?2)與橢圓C交于P,Q兩點，且AP和BQ交于S點，試用超級畫板探究，當m變化時S的軌跡，并求出該軌跡方程。

x2x2y22

?y?1改為橢圓2?2?1，點A、B是橢圓長軸的兩個端（2）若將橢圓C：4ab

點，直線x?m??a?x?a?與橢圓C交于P,Q兩點，且AP和BQ交于S點，試求S的軌跡方程。

x2y2x2y2

（3）若將橢圓C：2?2?1改為雙曲線2?2?1，點A、B是雙曲線實軸的兩

abab

個端點，直線x?m與雙曲線C交于P,Q兩點，且AP和BQ交于S點，試求S的軌跡方程。

探究過程

x2

?y2?1和點A（-2,0）（1）作出橢圓：，點B（2,0）4

（2）作出直線x?m，用畫筆標出交點P、Q（3）作直線AP、BQ，用畫筆標出交點S（4）拖動關于m的滑動塊，觀察點S的軌跡（5）你能求出S的軌跡方程嗎？

x2y2x2y2

（6）用類似的方法探究橢圓方程為2?2?1和雙曲線方程為2?2?1時S的軌

abab

跡。

探究結果

x2

?y2?1（1）S的軌跡為雙曲線，方程為4x2y2

（2）S的軌跡為雙曲線，方程為2?2?1

ab

x2y2

（3）S的軌跡為橢圓，方程為2?2?1

ab

互動交流：結合“交軌法”求軌跡方程做相應討論和總結。

x2y2x2y2

以問題（3）為例，若將橢圓C：2?2?1改為雙曲線2?2?1，點A、B是雙

abab

曲線實軸的兩個端點，直線x?m與雙曲線C交于P,Q兩點，且AP和BQ交于S點，試求S的軌跡方程。

解析過程：設P點的坐標為?x1,y1?，則Q點的坐標為?x1,?y1?.又有A??a,0?,B?a,0? 則直線AP的方程為y?

y1

?x?a?① x1?a

y1

?x?a?② x1?a

直線BQ的方程為y?

y1222

①×②得y??2③ x?a??2

x1?a

x12y12

又因點P在雙曲線上，故2?2?1

abm222

即y?2?x1?a?

n

x2y2

代入③并整理得2?2?1,此即為點S的軌跡方程.ab

拓展探究：（1）若直線x?m改為垂直于y軸的直線，最終的軌跡如何？

（2）若將問題架構在拋物線上，如拋物線y?2x上任意一點P向其準線l引垂線，垂足為Q，連接頂點O與P的直線和連接焦點F與Q的直線交于R點，則R點的軌跡如何？

結果：軌跡方程為y??2x?x 3.探究問題（軌跡為直線型）

前面的探究問題中，直線的平移是生成點M軌跡的因素之一，若將直線的平移改為旋轉，點S的軌跡如何？

x2

?y2?1，已知曲線C的方程為曲線C與x軸的交點分別為A、B，設直線x?my?14

與曲線C交于P,Q兩點，且AP和BQ交于S點，試用超級畫板探究，當m變化時，S的軌跡是不是恒在一條直線上？如果是，請求出該直線方程。

探究過程

x2

?y2?1和直線x?my?1，用畫筆標出點A、B和交點P、Q，（1）作出曲線C：4

作直線AP、PQ，找出交點S，拖動關于m的滑動塊，觀察S的軌跡，判斷S的軌跡是不是恒在一條直線上，并求出該直線方程。

x2y2

（2）插入變量尺a、b，作出橢圓2?2?1；控制橢圓的長短軸大小，觀察軌跡變

ab

化；

（3）猜測影響軌跡位置與形狀的因素，你能用數學方法加以說明嗎？ 探究結果

（1）m改變時，S的軌跡為一條直線，直線方程為x?4

x2y2

（2）插入變量尺，作出橢圓2?2?1，改變a的值，軌跡位置發生改變，改變b

ab的值，軌跡位置不變；

x2y22

（3）假設橢圓方程為2?2?1，則按上述方法做出的點S的軌跡為直線x?a

ab

拓展探究

x2y2

（1）若曲線C由橢圓變為雙曲線2?2?1，S的軌跡是不是仍在一條直線上？你

ab

能否求出該直線方程。

x2y2

（2）假設橢圓方程為2?2?1，前面的探究問題中，A、B點為曲線和x軸的交點，ab

現在若將A、B點改為x軸上的定點（-2，0）和（2，0），則點S的軌跡還是直線嗎？請試用超級畫板探究，判斷S的軌跡為何種類型的曲線。

結果：當a?2時，S的軌跡為一個橢圓

當1?a?2時，S的軌跡為一個雙曲線

第四篇：全等三角形動點問題

全等三角形動點問題專練

班級：

姓名：

1.已知:AB⊥BD, ED⊥BD, AC=CE, BC=DE。

（1）試猜想線段AC與CE的位置關系，并證明你的結論.（2）若將CD沿CB方向平移至圖2情形，其余條件不變, 結論AC1⊥C2E還成立嗎?請說明理由。

（3）若將CD沿CB方向平移至圖3情形，其余條件不變, 結論AC1⊥C2E還成立嗎?請說明理由。

AEBCD 圖1

AAEEFFBC2C1DC2BC1D

圖2 圖3 1 / 4

2.如圖所示，有一直角三角形△ABC，∠C=900，AC=10cm，BC=5cm，一條線段PQ=AB，P、Q兩點分別在AC上和過A點且垂直于AC的射線AM上運動，問P點運動到AC上什么位置時，△ABC才能和△APQ全等？

MQBDCA

3.在△ABC中，AB=AC，P是△ABC內任意一點，將AP繞點A順時針旋轉至AQ，使∠QAP=∠BAC，連接BQ，CP；

（1）如圖1，試說明BQ=CP；（2）若將點P在△ABC外，如圖2，其它條件不變，結論依然成立嗎？試說明理由。

AQAPPQPBC

BC

/ 4

4.如圖1，在△ABC中，點P為BC邊中點，直線a繞頂點A旋轉，若點B、P在直線a的異側，BM⊥直線a于點M，CN⊥直線a于點N，連接PM、PN.（1）延長MP交CN于點E（如圖2），①求證：△BPM≌△CPE；②求證：PM?PN；（2）若直線a繞點A旋轉到圖3的位置時，點B、P在直線a的同側，其它條件不變.此時PM?PN還成立嗎？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；

（3）若直線a繞點A旋轉到與BC邊平行的位置時，其它條件不變，請直接判斷PM?PN還成立嗎？不必說明理由.圖1

圖2

/ 4

圖3

5.在等邊△ABC的頂點A、C處各有一只蝸牛，它們同時出發，分別以每分鐘1米的速度由A向B和由C向A爬行，其中一只蝸牛爬到終點時，另一只也停止運動，經過t分鐘后，它們分別爬行到D、E處，請問：

（1）如圖1，在爬行過程中，CD和BE始終相等嗎？（2）如果將原題中的“由A向B和由C向A爬行”，改為“沿著AB和CA的延長線爬行”，EB與CD交于點Q，其他條件不變，蝸牛爬行過程中∠CQE的大小保持不變，請利用圖2說明：∠CQE=60°；

（3）如果將原題中“由C向A爬行”改為“沿著BC的延長線爬行，連接DE交AC于F”，其他條件不變，如圖3，則爬行過程中，DF始終等于EF是否正確？

EAAADEDBCFBCEBCDQ

圖1

圖2

圖3

/ 4

第五篇：動點問題解題總結

解題關鍵是動中求靜

一．建立動點問題的函數解析式（特點：動點問題反映的是一種函數思想,由于某一個點或某圖形的有條件地運動變化,引起未知量與已知量間的一種變化關系,這種變化關系就是動點問題中的函數關系.那么,我們怎樣建立這種函數解析式呢?）1.應用勾股定理建立函數解析式 2.應用比例式子建立函數解析式

3.應用求圖形面積的方法建立函數關系式

二.動態幾何型壓軸題（特點：問題背景是特殊圖形，考查問題也是特殊圖形，所以要把握好一般與特殊的關系；分析過程中，特別要關注圖形的特性，如特殊角、特殊圖形的性質、圖形的特殊位置。動點問題一直是中考熱點，近幾年考查探究運動中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四邊形、梯形、特殊角或其三角函數、線段或面積的最值。）此類題型一般考察點動問題、線動問題、面動問題。解題方法：

1、特殊探路，一般推證。

2、動手實踐，操作確認。

3、建立聯系，計算說明。

三.雙動點問題。點動、線動、形動構成的問題稱之為動態幾何問題.它主要以幾何圖形為載體，運動變化為主線，集多個知識點為一體，集多種解題思想于一題.這類題綜合性強，能力要求高，它能全面的考查學生的實踐操作能力，空間想象能力以及分析問題和解決問題的能力。主要分一下四種。

1.以雙動點為載體，探求函數圖像問題

2.以雙動點為載體，探求結論開放性問題

3.以雙動點為載體，探求存在性問題

4.以雙動點為載體，探求函數最值問題

四.函數中因動點產生的相似三角形問題

五.以圓為載體的動點問題