第一篇：數學物理方程小結

數學物理方程小結

第七章

數學物理定解問題

數學物理定解問題包含兩個部分：數學物理方程（即泛定方程）和定解條件。

§7.1數學物理方程的導出

一般方法： 第一確定所要研究的物理量u ,第二 分析體系中的任意一個小的部分與鄰近部分的相互作用,根據物理規律, 抓住主要矛盾, 忽略次要矛盾。（在數學上為忽略高級小量.）第三 然后再把物理量u隨時間，空間的變為通過數學算式表示出來, 此表示式即為數學物理方程。

（一）三類典型的數學物理方程

??2u2三維:2?a?u?f(r,t)?t2?2u?u2一維:2?a?f(x,t)2（1）波動方程：

?t?x當無外力時:f?0 此方程 適用于各類波動問題。（特別是微小振動情況.）

??u2三維:?a?u?f(r,t)?t2?u?u2一維:?a?f(x.t)2（2）輸運方程：

?t?x無外源時:f?0此方程 適用于熱傳導問題、擴散問題。

拉氏方程:?u?0（3）Laplace 方程：

泊松方程:?u?f(r.t)?

f?0時泊松方程退化拉程氏.方穩定的溫度和濃度分布適用的數學物理方程為Laplace 方程, 靜電勢u在電荷密度為零處也滿足Laplace 方程。§7.2定解條件

定解條件包含初始條件與邊界條件。

（1）初始條件的個數等于方程中對時間最高次導數的次數。例如波動方程應有二個初始條件, 一般選初始位移u（x,o）和初始速度ut（x,0）。而輸運方程只有一個初始條件選為初始分布u（x,o）,而Laplace 方程沒有初始條件。

（2）三類邊界條件

第一類邊界條件： u(r ,t)|Σ = f

（1）第二類邊界條件： u n|Σ = f

（2）第三類邊界條件：(u+Hun)|Σ= f

（3）

其中H為常數.7.3 二階線性偏微分方程分類

2??a12?a11a22?0,雙曲型,2?a11a22?0,橢圓型, 判別式 ??a122??a12?a11a22?0,拋物型,波動方程是雙曲型的,輸運方程為拋物型的,而拉普拉斯方程為橢圓型的.7.4 達朗貝爾公式

對一維無界的波動方程,當不考慮外力時,定解問題為

2?2u2?u?a?022?t?xu?x,0????x?ut?x,0????x?

11x?at解為:u?x,t?????x?at????x?at???????d??x?at22a對半無界問題作延拓處理: 對第一類齊次邊界條件作奇延拓,而對第二類齊次邊界條件作偶延拓.第八章 分離變量法

8.1 分離變量法

主要步驟:

1.邊界條件齊次化,對非齊次邊界條件首先把它化為齊次的.?2.分離變量 u(x,t)=X(x)T(t)（1）

[以后對三維問題也是如此] ?3.將（1）式代入原方程得出含任意常數λ的常微分方程,(稱為本征方程)而λ為本征值.?4.由齊次邊界條件確定本征值,并求出本征方程.(得出的解為本征函數)?5.根據迭加原理把所有滿足方程的線性無關解迭加后,就能得通解.?6.再由初始條件確定系數.一維波動方程在第一類齊次邊界條件下的

n?atn?at?n?x?通解:u?x,t????ancos?bnsin,?1??sinll?ln?1??n?x代入邊入邊界:u?x,0???ansin???x?,?2?ln?1?2n??an??????sind?,?3?l0l2n????同樣:bn???sind?,?4??n?a0l一維波動方程在第二類齊次邊界條件下的通解:

ll

n?atn?at?n?x?u?x.t??A0?B0t???Ancos?Bnsin,?5??cosll?ln?1?? 11A0??????d?,B0??????d?.?6?l0l02n??2n??An??????cosd?,Bn?????cosd?.?7??l0ln?a0lllll

一維輸運方程在第一類齊次邊界條件下的通解: u?x,t???cnen?1l??n?a????t?l?2n?xsin,?8?l 2n??cn??????sind?,?9?l0l

一維輸運方程在第二類齊次邊界條件下的通解: u?x,t???cnen?0l??n?a????t?l?2n?xcos,?10?ll12n??c0??????d?,cn??????cosd?,?11?

l0l0l

對其他的齊次邊界條件,如本征函數已知也可直接求解,而對本征函數不熟則只能用分離變量法來求解.8.2 非齊次邊界條件的處理

常用方法有 1)直線法 : 對邊界條件為: u(0,t)=g(t), u(L,t)=h(t).h?t??g?t?x

,可把邊界條件化為齊次,令

v?x,t??u?x,t??g?t??L但一般情況下方程變為非齊次.?只有當g,h為常數時,方程才不變.2)特解法

?把 u化為兩部分,令 u=v+w 使v滿足齊次邊界條件與齊次方程,而使w滿足齊次方程與非齊次邊界條件.下面通過實例來介紹此方法.? 例題

求解下列定解問題

Utt－a2 Uxx

= 0

U|x=0

=0, U|x=L= ASinωt ?

U|t=0

= 0 , Ut∣t=0 = 0 ?(其中A、ω為常數，0＜x＜L , 0＜ t）

?解：令 u=v+w ,使w滿足波動方程與非齊次邊界條件, ?得出

w?x,t?Asin?xasin?t

sin?la第九章

二階常微分方程的級數解法

本征值問題

一.拉普拉斯方程與亥姆霍斯方程在球坐標與柱坐標下分

離變量結果.1.拉普拉斯方程在球坐標下的通解:

1??u?r,?,?????Alrl?BLl?1?Yim??,??,?1?

r?l,m?其中Y

lm

為球函數,拉普拉斯方程在球坐標下的解不依賴于邊界條件.在軸

對

?稱時(1)式退化為

Bl??u?r,?????Alrl?l?P?cos??,?2? 1?lr?l?0?2.拉普拉斯方程在柱坐標下: 6 u??,?,z??R?r?Z?z??????.1??????acosm??bsinm?,??m2?m?0,1,2???2?22??dR1dRm''Z??Z?0.?3?.2?????2?R?0.?4???d??d??????0,?3?的解為:Z?z??A?Bz;?4?式解為:R?E?Fln?,?m?0?,今x???,?4?式為:x2d2RdR22dx2?xdx??x?m?R?0.?5??5?為m階Bessel方程..(5)式其解為m階Bessel函數, 解依賴于邊界條件,當上下底為邊界條件是齊次時, μ<0.對應的解是虛貝塞爾函數.3）亥姆霍斯方程在球坐標與柱坐標下分離變量結果.在球坐標下:

u?r,?,???R?r?Y??,??

其中Y為球函數,R為球貝塞爾函數.在柱

坐

標

下

: u??,?,z??R?r?Z?z??????.1??????acosm??bsinm?,??m2?m?0,1,2???2?Z''??2Z?0.?3?.d2Rd??1dR?d??????k2??2m2?2??2???R?0.?4?令??k2??2;今x???,?4?式為:x2d2RdR22dx2?xdx??x?m?R?0.?5?(5)式其解為m階Bessel函數，二、常微分方程的級數解法

.1.掌握常點鄰域的級數解法.2.掌握正則奇點鄰域的級數解法.3.知道無窮級數退化為多項式的方法.三.知道Sturm-Livouville本征值問題的共同性質

?當k(x),q(x)和ρ(x)都只取非負的值(≥0), Sturm-Livouville方程共同性質為: ?1)當k(x),k’(x)和q(x)連續且x=a和x=b最多為一階極點時,存在無限

?1??2??3????k??多個本征值及對應的本征函數:

y1?x?,y2?x?,y3?x??yk?x??

2)所有本征值λn≥03)對應于不同本征值的本征函數帶權正交?y?x?y?x???x?dx?0,?n?m?4)本征函數族構成完備系mnabf?x???n?1?fnyn?x?

第十章 球函數

1.軸對稱的球函數

當物理問題繞某一軸轉動不變時,選此軸為z軸這時物理量u就與φ無關,m=0.此時球函數Y(θ,φ)就為L階勒讓德多項式.即Y=Pl(cosθ)1)勒讓德多項式

1.勒讓德多項式級數形式: 8 Pl?x??ll?1或22?2l?2n?!l?2n???1x.?1? ?ln!2?l?n?!?l?2n?!n?0n2.勒讓德多項式微分形式:

l1dl2Px?1.?2? l?x??ll2l!dx??3.前幾項為: P0(x)= 1, P1(x)=x=cosθ, ?P2(x)=(3x-1)/2, ….?一般勒讓德多項式的冪次取決L ?當L為偶數時都為偶次冪項,L為奇數時都為奇次冪項.對特殊點x=1,0.2Pl?1??1,Pl??x????1?Pl?x?,l?2n?1?！P2n?1?0??0,P2n?0????1?,?2n?！n?4.勒讓德多項式正交關系

?12??P(x)Pxdx?N?lk

(3)

lkl?1?5.勒讓德多項式的模 Nl2?2

2(4),Nl?2l?12l?16.廣義傅里葉級數 :當f(x)在[-1,1]連續可導,且在x=-1與1有限時.f?x???flPl?x?l?1?

(5)2l?1fl?f?x?Pl?x?dx,?2?11?7.在球坐標下Laplace方程: △u= 0的通解為:

軸對稱

?lBl?u?r,??????Alr?l?1?Ylm??,???6?r?l?0m??l?? ?lBl?u???Alr?l?1?Pl?cos??,?7?r?l?0?(6)式有兩系數需要兩條件來確定,對球坐標有兩自然邊界條件,r=0與r→∞,球內解包含r=0，l?u有限, Bl?0,u??AlrPl?cos??

(7)

l?0??l?而Al由球面的邊界條件確定,同樣對球外區域兩系數由球面的邊界條件與r→∞，兩個條件確定.8.母函數

11?2rcos??r2??rlPl?cos??

(8)

l?0?9.遞推公式

?2l?1?xPl?x??lPl?1?x???l?1?Pl?1?x?,Pl?Pl'?1?Pl'?1?2xPl'.?2l?1?Pl?Pl'?1?Pl'?1.?l?0?

二.連帶勒讓德函數

?在一般情況下,物理量u與φ有關,故球函數Y是連帶勒讓德函數與周期函數的乘積.1.連帶勒讓德函數 ??1?x?m22?Pl?m??x?

(1)

?2.連帶勒讓德函數的微分表示

Plm?1?x??2l!lm22dl?m2l1?x.(2)l?mdx?從(2)可得當L一定時,m的取值為

m=0,1,2…L.共有L+1個值.而三角形式球函數Y（θ,φ）中,cosmφ,sinmφ為不同態,共有2L+1個態.3.正交關系

mm2????PxPxdx?Nml?lk.?3??lk1 ??2l?m!2模平方Nml?2l?1?l?m?!4.球函數Y的兩種表示形式.第十一章

柱函數

一、掌握三類柱函數的基本性質

一般我們稱Bessel函數Jm(x)為第一類柱函數.而把Neumann函數Nm(x)稱為第二類柱函數.1）對于第一類柱函數與第二類柱函數的線性組合.1?x??Jm?x??iNm?x?Hm?1H?x??Jm?x??iNm?x?2m

稱為第一種與第二種漢克爾函數.而漢克爾函數稱為第三類柱函數

2)x?0和x??時的行為

limJ0?x??1,limJm?x??0.?m?0?x?0x?0x?0limNm?x???,limJ?m?x???x?0limJm?x??x??2m????cos?x???,?x?24?2m????sin?x????x?24??m?????24?x?2?i??2??,limHm?x??ex???x?m?????24?

limNm?x??x??x?2i??1??limHm?x??ex???x3)遞推公式

m?2kk??d?Jm?d???1??1?2k?x?????m??dx?x?dx???k?0k!??m?k?1??2??m?2kk??1?2k1????x2k?1??k?0k!??m?k?1??2??Jm?1?x???.?1?mx dxmJm?x??xmJm?1?x??.2?dx把?1?與?2?展開??Jm?x???Jm?1?x??.3?xJm?x?'Jm?x??m?Jm?1?x??.4?x'?x??mJm4）貝塞爾函數的零點

對m階貝塞爾方程

dxdx2當??0時,對柱側面的齊次邊界條件.R????JJmx2d2R?xdR?x?2?m2R?0.x???????m??0??????0.?1??m?xn?m?記:xn?m?本征值:?n?（J'm???0???0)20

對第一類齊次邊界條件

得出第n個零點

對第二類齊次邊界條件 二．貝塞爾函數的正交關系.? 對于不同本征值的同階貝塞爾函數在區間 ? [0,ρ0]上帶權重ρ正交.?0J? ?m0??m??n?Jm???m?2?k?m???d??[Nn]?nk.?1?

??

? 2）廣義傅里葉-貝塞爾級數

f?????fnJmn?1?

fn????.?2? 1?f???J?????d?.?3???N???m?n?0?m??m?20mnn 13 ? 3）Laplace在柱坐標下的通解 ? 軸對稱m=0,柱內解為

? 在側面為第一類齊次邊界條件時

?0???xnu??,z????Ansh??Rn?1?????0???xnz???Bnch??R???0????xn???z??J0???.?1??????R??1????xn???z???J0?R??.?2??????側面為第二類齊次邊界條件時?

?1???xnu??,z??A0?B0z???Anch??Rn?1?????1???xn?z???Bnsh?R??

? 其中系數An,Bn由上下底邊界條件確定.? 在上下底為齊次邊界條件時, μ? 0,R的解為虛宗量貝塞爾函數.記為Im(x)? 同樣可得Laplace方程在柱內解 ? 當軸對稱時m=0 ? 上下底滿足第一類齊次邊界條件時解為

u??,z???

n?z?sin.?2??H?對第二類齊次邊界條件:???n??AI?n0??Hn?1n?z?n???u??,z???AnI0?.?3??cosH?H?n?0

? 輸運方程與波動方程在柱坐標下的解 ?

1)解的形式:

u(r,t)=T(t)v(r)? V滿足亥姆霍茲方程.在側面與上下底齊次邊界條件下能完全確定本征值,例如上下底滿足 第一類齊次邊界條件.在軸對稱情況下m=0 對輸運方程柱內的解: 上下底滿足第一類齊次邊界條件

0?xn?l?z?u??,z,t???anlJ0?????sinHen?1,l?1?0????02??xn?a?????02??l??2??t?????H?????.?1?

波動方程在柱內的解: ? 在上下底滿足第一類齊次邊界條件下

u??,z,t???nl??0??xl?z00n??.?2?anlcosknlat?bnlsinknlatsinJ0??H??0????

0??xl?02n?knl?()????H??0?2

? 二維極坐標下的解: ? 側面滿足第一類齊次邊界條件

000??u?,t?ccoskat?dsinkatJk?nnnn0n?

（3）?

n?1?????? 側面滿足第二類齊次邊界條件

? u??,t??a0?b0t??cncoskat?dnsinkatJ0k?.?4?

1n1n1nn?1??????

第十二章

積分變換法 ?

一、傅里葉變換法 ? 1。掌握傅里葉變換法的適用條件，即方程中的一個變量是在(-∞,∞)范圍內時,可用Fourier 變換法.? 2。能用傅里葉變換法求解一些筒單的偏微分方程。?

二、Laplace變換法

? 1。掌握Laplace變換法的適用條件，即方程有初值情況,且一個變量 的變化范圍在(0, ∞)

? 2。能用Laplace變換法求解一些筒單的偏微分方程。?

第十三章

格林函數法 ? 1。知道格林函數的定義及物理意義 ? 2。知道泊松方程解的積分形式

? 3。能用電像法求解泊松方程的格林函數。

第二篇：《數學物理方程》教學大綱

《數學物理方程》教學大綱

（Equations of Mathematical Physics）

一.課程編號：040520 二.課程類型：限選課

學時/學分：40/2.5

適用專業：信息與計算科學專業

先修課程：數學分析，高等代數，常微分方程、復變函數 三.課程的性質與任務：

本課程是信息與計算科學專業的一門限選課程。數理方程主要是指在物理學、力學以及工程技術中常見的一些偏微分方程。通過本課程的學習，要求學生掌握數學物理方程的基本知識、解偏微分方程的經典方法與技巧。本課程主要講述三類典型的數學物理方程，即波動方程、熱傳導方程、調和方程的物理背景、定解問題的概念和古典的求解方法, 如波動方程的分離變量法、D`Alembert解法、積分變換法、Green函數法，變分法等。

四、教學主要內容及學時分配

（一）典型方程和定解條件的推導（7學時）

一些典型方程的形式, 定解條件的推導。偏微分方程基本知識、方程的分類與化簡、迭加原理與齊次化原理。

（二）分離變量法（7學時）

三類邊界條件下的分離變量法, 圓域內二維拉普拉斯方程定解問題的求法,求解一類非齊次方程的定解問題,非齊次邊界條件的處理方法.（三）積分變換法（8學時）

Fourier變換和Laplace變換的定義和基本性質，Fourier變換和Laplace變換的在求解數學物理方程中的應用。

（四）行波法（7學時）

一維波動方程的求解方法，高維波動方程的球面平均法，降維法

（五）格林函數（6學時）

微積分中學中的幾個重要公式；調和函數的Green公式和性質；格林函數；格林函數的性質；格林函數的求解方法。

（六）變分法（5學時）

變分法的一些基本概念，泛函極值的必要條件、泛函的條件極值問題

五、教學基本要求

通過教師的教學，使學生達到下列要求

（一）掌握典型方程和定解條件的表達形式，了解一些典型方程的推導過程，會把一個物理問題轉化為定解問題。掌握偏微分方程的基本概念，掌握關于兩個變量的二階線性偏微分方程的分類和化簡，掌握迭加原理與齊次化原理。

（二）掌握分離變量法在三種定解條件下的求解步驟，理解圓域內二維拉普拉斯方程定解問題的求法, 會求解非齊次方程的定解問題,掌握非齊次邊界條件的處理方法。

（三）掌握達朗貝爾公式的推導過程和物理意義，掌握解決柯西始值問題的行波法。了解依賴區間、決定區域、特征線、影響區域和決定區域的概念。掌握三維波動方程的初值問題的徑向對稱解，了解高維波動方程初值問題的球面平均法和降維法。

（四）掌握Fourier變換和Laplace變換的定義和基本性質，會Fourier變換和Laplace變換的在求解某些簡單的數學物理方程定解問題。

（五）掌握Green第一公式和第二公式。掌握調和函數的Green公式和性質，理解格林函數的基本性質。會求半空間和球域上的格林函數。

（六）掌握變分法的基本概念，會求解幾類典型的變分問題的解。

六、課程內容的重點和深廣度要求

教學基本要求中的數學物理方程的基本知識、解偏微分方程的經典方法與技巧是本課程的重點，此外，學生對下列各項也應給予注意：

1.線性偏微分方程的分類與化簡。

2.固有值問題，關于固有值與固有函數討論。3.方程與邊界條件同時齊次化的簡易方法。4.Fourier變換和Laplace變換的定義和基本性質。5.格林函數的定義和基本性質

6.泛函極值的必要條件、泛函的條件極值問題。

七、作業、輔導與考試

作業與輔導：作業次數或作業量：每學期約布置20—24次作業，每次平均4題左右。每周一次課外輔導。

考核方法：平時考核占總成績30%，期末考試占70%。

八、本課程與后續課程的關系

本課程是繼數學分析、線性代數、常微分方程、實變函數與泛函分析、復變函數和普通物理之后的一門專業基礎課，它既廣泛地應用上述基礎課程的基本理論、數學思想、解題方法與技巧，又以新的研究對象，發展了這些基礎學科的基本理論，形成研究經典偏微分方程的一系列新的理論和解決問題的方法。為進一步學習偏微分方程專業課程打下良好的基礎。

九、對學生能力培養的要求

學生能夠從物理問題中提煉出方程模型，并能用本課程所學方法解決問題。

十、使用教材及主要參考書

[1] 胡學剛等.數學物理方法.機械工業出版社，1997.[2] 吳方同編著.數學物理方程.武漢大學出版社，2001.[3] 谷超豪、李大潛等.數學物理方程（第二版）.高等教育出版社，2002.[4] 姜禮尚等.數學物理方程講義（第二版）.高等教育出版社，1996.[5] 陳恕行等.數學物理方程.復旦大學出版社，2003.[6] 王元明.工程數學：數學物理方程與特殊函數（第三版）.高等教育出版社，2004.[7] 王元明.工程數學：數學物理方程與特殊函數學習指南.高等教育出版社，2004.[8] 戴嘉尊.數學物理方程.東南大學出版社，2002 [9] Lawrence C Evans.Partial Differential Equations.American Mathematical Society, Provodence, Rhode Island，1998.十一、教學方法和教學媒體的使用

采用啟發式、提問式等教學方法，輔以板書和多媒體相結合的教學手段。

十二、學習方法與建議

建議學生采取課前閱讀，上課時認真聽講，課后多作練習的學習方法。

第三篇：用方程解決問題(小結)

4.3用方程解決問題（小結）

班級 姓名 學號

學習目標：

1．探索具體問題中的數量關系和變化規律，并用方程進行描述，讓學生體驗方程是刻畫現實世界的一種有效模型。

2．進一步培養學生觀察、思考、分析問題、解決問題的能力，滲透建模的數學思想。3.感受數學與生活的緊密聯系，體會數學的價值，激發學生學習數學的興趣。學習難點：

分析與確定問題中的等量關系，能用方程來描述和刻畫事物間的等量關系。教學過程：

一、創設情境，引入新課 問題一：

1.家電下鄉是我國應對當前國際金融危機，惠農強農，帶動工業生產，促進消費，拉動內需的一項重要舉措．國家規定，農民購買家電下鄉產品將得到銷售價格13%的補貼資金．今年5月1日，甲商場向農民銷售某種家電下鄉手機20部．已知從甲商場售出的這20部手機國家共發放了2340元的補貼，若設該手機的銷售價格為x元，以下方程正確的是（）A．20x?13%?2340

C．20x(1?13%)?2340

B．20x?2340?13%

D．13%?x?2340

2.A種飲料比B種飲料單價少1元，小峰買了2瓶A種飲料和3瓶B種飲料，一共花了13元，如果設B種飲料單價為x元/瓶，那么下面所列方程正確的是（）A．2(x?1)?3x?13 C．2x?3(x?1)?13

B．2(x?1)?3x?13 D．2x?3(x?1)?13

3.動物園的門票售價：成人票每張50元，兒童票每張30元。某日動物園售出門票700張，共得29000元。設兒童票售出x張，依題意可列出下列哪一個一元一次方程式？（）A．30x?50(700?x)=29000

B．50x?30(700?x)=29000 C．30x?50(700?x)=29000

D．50x?30(700?x)=29000。

二、合作質疑，探索新知 問題二：

據寧德網報道：

問題三：

整理一批圖書，如果由一個人單獨做要花60小時?，F先由一部分人用一小時整理，隨后增加15人和他們一起又做了兩小時，恰好完成整理工作。假設每個人的工作效率相同，那么先安排整理的人員有多少人？ 問題四：

某中學擬組織九年級師生去韶山舉行畢業聯歡活動．下面是年級組長李老師和小芳、小明同學有關租車問題的對話： 李老師：“平安客運公司有60座和45座兩種型號的客車可供租用，60座客車每輛每天的租金比45座的貴200元．” 小芳：“我們學校八年級師生昨天在這個客運公司租了4輛60座和2輛45座的客車到韶山參觀，一天的租金共計5000元．” 小明：“我們九年級師生租用5輛60座和1輛45座的客車正好坐滿．” 根據以上對話，解答下列問題：

（1）平安客運公司60座和45座的客車每輛每天的租金分別是多少元？

（2）按小明提出的租車方案，九年級師生到該公司租車一天，共需租金多少元？

三、自主歸納，形成方法

學生自主歸納：如何用方程解決問題？ 鞏固練習：

1．請你閱讀下面的詩句:“棲樹一群鴉，鴉樹不知數，三只棲一樹，五只沒去處，五只棲一樹，閑了一棵樹，請你仔細數，鴉樹各幾何？” 詩句中談到的鴉為 只、樹為 棵.2．某商品的價格標簽已丟失，售貨員只知道“它的進價為80元，打七折售出后，仍可獲利5%”．你認為售貨員應標在標簽上的價格為

元．

四、反思設計，分組活動

1、列方程解應用題的一般步驟。

2、列方程解應用題的注意事項。

五、發展能力，拓展延伸

為了拉動內需，全國各地汽車購置稅補貼活動在2009年正式開始．某經銷商在政策出臺前一個月共售出某品牌汽車的手動型和自動型共960臺，政策出臺后的

班長應付（A．45元）

B．90元

C．10元

D．100元

2．有大小兩種船，1艘大船與4艘小船一次可以載乘客46名，2艘大船與3艘小船一次可以載乘客57人．綿陽市仙海湖某船家有3艘大船與6艘小船，一次可以載游客的人數為（）

A．129

B．120

C．108

D．96 3．小悅買書需用48元錢，付款時恰好用了1元和5元的紙幣共12張．設所用的1元紙幣為x張，根據題意，下面所列方程正確的是 A．x?5(12?x)?48

B．x?5(x?12)?48

C．x?12(x?5)?48

D．5x?(12?x)?48

4.已知有10包相同數量的餅干，若將其中1包餅干平分給23名學生，最少剩3片。若將此10包餅干平分給23名學生，則最少剩多少片？（）

A．0

B．3

C．7

D．10

5．某種襯衫每件的標價為150元，如果每件以8折（即按標價的80％）出售，那么這種襯衫每件的實際售價應為

元．

6.某商店一套服裝的進價為200元，若按標價的80％銷售可獲利72元，則該服裝的標價為 _ 元．

7.“家電下鄉”農民得實惠．村民小鄭購買一臺雙門冰箱，在扣除13%的政府財政補貼后，再減去商場贈送的“家電下鄉”消費券100元，實際只花了1 726.13元錢，那么他購買這臺冰箱節省了

元錢．

8.為迎接“建國60周年”國慶，我市準備用燈飾美化紅旗路，需采用A、B兩種不同類型的燈籠200個，且B燈籠的個數是A燈籠的2。3（1）求A、B兩種燈籠各需多少個？

（2）已知A、B兩種燈籠的單價分別為40元、60元，則這次美化工程購置燈籠需多少費用？

9.某超市為“開業三周年”舉行了店慶活動．對A、B兩種商品實行打折出售．打折前，購買5件A商品和1件B商品需用84元；購買6件A商品和3件B商品需用108元．而店慶期間，購買50件A商品和50件B商品僅需960元，這比不打折少花多少錢？

10.2009年北京市生產運營用水和居民家庭用水的總和為5.8億立方米，其中居民家庭用水比生產運營用水的3倍還多0.6億立方米，問生產運營用水和居民家庭用水各多少億立方

米

11．受氣候等因素的影響，今年某些農產品的價格有所上漲.張大叔在承包的10畝地里所種植的甲、乙兩種蔬菜共獲利13800元.其中甲種蔬菜每畝獲利1200元，乙種蔬菜每畝獲利1500元.則甲、乙兩種蔬菜各種植了多少畝？

12.北京市實施交通管理新措施以來，全市公共交通客運量顯著增加.據統計，2008年10月11日到2009年2月28日期間，地面公交日均客運量與軌道交通日均客運量總和為1696萬人次，地面公交日均客運量比軌道交通日均客運量的4倍少69萬人次.在此期間，地面公交和軌道交通日均客運量各為多少萬人次？

第四篇：數學物理方程課程組教學研討會 - 中國科學技術大學教務處

中國科學技術大學本科教育

教 學 簡 報

2011年第8期(總第498期)中國科學技術大學教務處 6月1日

“數學物理方程”課程組第二次教學研討會召開

5月20日下午，我院“數學物理方程”課程組召開了本學期第二次課程組教學研討會。

本次會議，圍繞著部分學生與老師對本課程教學內容以及教學要求等提出的建議展開激烈討論。課程組教師都注意到，“數學物理方程”課程既作為非數學學生數學課程的結束課程，又作為量子力學等現代物理課程的基礎課程，教學中不僅需要綜合利用前期所學的數學知識，特別是微積分學以及線性代數的有關知識，同時還涉及力學、熱學等多門物理學科的知識，因此對學生前期學習程度有著較高的要求，對授課教師的知識面也提出了較高要求。

研討會上，有教師提出可以邀請物理等學科的教師參與到本課程組的建設中來，邀請有關物理學科的專家就“數學物理方程”在物理中的應用作些科普性的報告，增強學生以及數學老師對于本課程應用背景的了解，同時鼓勵組內成員參加微積分以及線性代數等前期數學課程的教學，以對數學公共課程有一個宏觀掌控，對本課程的教學會大有幫助。

研討會還就學期末有關事宜作出安排，就考試內容作出統一部署，同時安排有關教員準備試卷初稿，以供大家討論。最后，課程組向大家通報今年暑期即將在內蒙古大學召開的“全國數學物理方法年會”情況，鼓勵課程組教師積極參加該會議，與國內同行專家交流學習，開闊視野，從而進一步提高自己的授課水平。

數學科學學院

第五篇：四年級數學《方程》說課稿

大家好！今天我說課的內容是《方程》。

在本節課中，充分體現“以學生的發展為本，著眼于學生終身學習的愿望和能力”這一教學理念。牢固樹立以學生為中心的教育主體觀，以學生能力發展為重點的教育質量觀，為學生的發展而教！

首先，為滿足學習需要而教。面對不同的課堂、不同的學生，如何讓學生獲得更好的發展，重要的是了解學生的需要，激發認知內驅力。如：課始，提出問題：關于方程，你想知道些什么？引起學生強烈的求知欲。

其次，為發展數學思維而教。通過天平直觀演示，教師一步一步地引導學生找出相等的數量關系，并討論如何用式子表示。然后，脫離天平的直觀演示，引導學生發現相等的數量關系，嘗試用式子表示。接著，學生自主找出相等的數量關系，并用式子表示。層層遞進，從直觀到抽象、由扶到放。最后，通過觀察、分析、合作分類，自主建立關于方程的數學模型，揭示方程的意義，在主動獲取新知的同時，發展學生的數學思維。