知識能力層次
一、填空（每題2分）
１．設方程組有非零解，則
。
2．線性方程組有非零解，則 。
3．方程組有無窮多解，則
。
4．非齊次線性方程組（為矩陣）有惟一解的的充分必要條件是
____________。
5．設是階方陣,是齊次線性方程組的兩個不同的解向量,
則
。
6．設為三階方陣，秩，是線性方程組的解，已知
，則線性方程組的通解為
。
7．三元線性方程組的系數矩陣的秩，已知該方程組的兩個解分別
為
，，則的全部解可表為
。
8．設，欲使線性齊次方程組的基礎解系有兩個解向量，
則=
。
9．當
時，線性方程組無解。
10．方程組=的基礎解系所含向量個數是___
_1______。
11．若5元線性方程組的基礎解系中含有2個線性無關的解向量，
則
3
。
12．設線性方程組有解，則應滿足條件。
13．設齊次線性方程組為，則它的基礎解系中所包含的向量個數為
n-1 。
14．設是非齊次線性方程組的解向量，則是方程組 的
解向量．
15．設為非齊次線性方程組的一組解，如果也是該方程組的一個解，則 １ 。
16．設矩陣，則齊次線性方程組的一個基礎解系為。
17．若方程組有惟一解，則所滿足的條件是。
18．設n元齊次線性方程組的一個基礎解系中線性無關的解向量個數是n，則為
零矩陣
。
19．設是階矩陣，如果，則任何 n個線性無關的n維向量 都是
的基礎解系。
20．設n階矩陣的各行元素之和均為零，且的秩為n-1，則線性方程組的通解為
。
二、單項選擇填空題（每題2分）
1．線性方程組
（
A
）
A.
無解
B.
只有0解
C.
有惟一解
D.
有無窮多解
2．設方程組，
當=（
B
）時，方程組有非零解。
A.0
B.
±1
C.
2
D.
任意實數
3．已知非齊次線性方程組的系數行列式為0，則
（
D
）
A．方程組有無窮多解
B.
方程組無解
C.
方程組有惟一解或無窮多解
D.
方程組可能無解，也可能有無窮多解
4.
若齊次線性方程組有非零解，則的值為（
C ?。?/p>
A．
B．
C．
D．
5．當（
C
）時，僅有零解。
A．
B．
C．
D．
6．設為矩陣，只有零解的充要條件是 ?。?/p>
D
）
A．的行向量組線性無關
B．的行向量組線性相關
C．的列向量組線性相關
D．的列向量組線性無關
7．設A為m×n矩陣，且非齊次線性方程組有惟一解，則必有（ C ?。?/p>
A．m=n B．r
(A)=
m C．r
(A)=n
D．r
(A)<
n
8．若方程組存在基礎解系，則λ等于 ?。ā 。摹 。?/p>
A．2 B．3 C．4
D．5
9.
設矩陣，，則非齊次線性方程組有無窮多解的充分必要條件是
（
B
）
A．
B．
C．
D．
10．若，則元線性方程組 ?。?/p>
D
）
A．有無窮多解
B．有唯一解
C．無解
D．不一定
11.
設齊次線性方程組是非齊次線性方程組的導出組，，是
的解，則下列正確的是
（
A
）
A．是的解
B．是的解
C．是的解
D．是的解
12．設為矩陣，只有零解的充要條件是 ?。?/p>
D
）
A．的行向量組線性無關
B．的行向量組線性相關
C．的列向量組線性相關
D．的列向量組線性無關
13．設齊次線性方程組是非齊次線性方程組的導出組，
，是的解，則下列正確的是 ?。?/p>
A
）
A．是的解
B．是的解
C．是的解
D．是的解
14．已知非齊次線性方程組的系數行列式為0，則
(
D
)
A．方程組有無窮多解
B．
方程組無解
C．方程組有唯一解或無窮多解
D．方程組可能無解，也可能有無窮多解
15．是n元線性方程組有惟一解的 ?。ā 。谩 。?/p>
A．充分必要條件
B．充分條件
C．必要條件
D．無關條件
16．已知線性方程組無解，則 ?。ā 。痢 。?/p>
A.
B.
C.
D.
17．為矩陣，是非齊次線性方程組的導出組，則下列結論正確
的是 ?。?/p>
A
）
A．有無窮多解，則有非零解
B．有無窮多解，則僅有零解
C．僅有零解，則有唯一解
D．有非零解，則有無窮多解
18．設為矩陣，有解，則 ?。ā 。隆 。?/p>
A．當有惟一解時，
B．當有惟一解時，
C．當有無窮解時,只有零解
D.當有無窮解時，
19．線性方程組
有解的充分必要條件是 （ ?。痢 。?/p>
A.
B.
C.
D.
20．齊次線性方程組，（
Ｃ
）是它的一個基礎解系。
A.
B.
C.
D.
三、判斷題（每題2分）
1．若是的解，則也是它的解。
（
是
）
2．若是齊次線性方程組的解向量的一個極大無關組，則
是方程組的一個基礎解系。
（
是
）
3．若齊次線性方程組有非零解，則線性方程組就一定有解。（
否
）
4．若有無窮多組解，則有非零解。
（
是
）
5．n線性非齊次方程組只要其系數矩陣的A秩,就一定有無窮多組解。
（
否
）
6．齊次線性方程組的基礎解系不是惟一的。
7．是方程組的一個基礎解系。（
是
）
8．方程組的每個基礎解系中只含有一個解向量。
（
是
）
9．線性方程組在時，是有解的。
（
是
）
10．任何齊次線性方程組都有基礎解系。
（
否
）
11．是方程組的一般解。
（
是
）
12．方程組的一般解可表示為。
（
否
）
13．時，方程組有解。
（
否
）
14．與基礎解系等價的線性無關的向量組也是基礎解系。
（
是
）
15．若是一個線性方程組的解，那么
（其中）也是它的一個解。
（
是
）
16．方程組有非零解。
（
否
）
17．方程組與方程組是同解的方程組。
（
是
）
18．用初等變換解，可以對實行列等行變換。
（
否
）
19．若是的解，是的解，則是的解。
（
否
）
20．給定方程組，當時，方程組有解。
（
否
）
理解能力層次
一、填空（每題2分）
1．已知方程組有無窮多解，則
-1
或3
。
2．設是的解向量，是其導出組的基礎解系，則必線性 無關 。
3.
設四階方陣且，則方程組的
一個解向量為
。
4.
設方程組有解，則其增廣矩陣的行列式=
0
。
5．設，且方程組的解空間的維數為2，則 1 。
6．設為n階方陣，方程組有非零解，則必有一個特征值等于
０
。
7．設，B是三階矩陣，且，若，則
4
。
8．設為矩陣，，為是矩陣，的列向量是的解，則的最大數為 3 。
9．若齊次線性方程組中的系數矩陣的秩，且的代數余子式，則該方程組的通解可以表示為。
10．已知四元非齊次線性方程組，是它的三個解向量，且
，則齊次線性方程組的通解為
_____________。
11．齊次線性方程組有非零解，則應滿足條件。
12．已知四元線性方程組的三個解為，且
，，則方程組的通解是
。
13．已知線性方程組的兩個解為
則該方程組的全部解為
。
14．設齊次線性方程組的基礎解系中含有三個解向量，其中矩陣，則
2
。
15．設四元非齊次線性方程組系數矩陣的秩為3，且，
，其中是它的的三個解向量，則方程組的通解為
。
16．設，，則齊次線性方程組的解空間的一組基為
。
17．已知是非齊次線性方程組線性無關的解，矩陣，且，若是方程組的通解，則常數須滿足關系式
。
18．設是實正交矩陣，且，則線性方程組的解是
。
19．設矩陣，其中
則線性方程組的基礎解系含有解向量的個數是
n-1
。
20．設為階方陣，若齊次線性方程組只有零解，則的解是
只有零解
。
21．設任意一個維向量都是方程組的解，則
0
。
22．設非齊次線性方程組有兩個解，，則該方程組的通解為
。
23．已知齊次線性方程組有無窮多解，則
-5或-6
。24．若線性方程組
無解，則常數應滿足的條件是 .
25．3元非齊次線性方程組有3個解為，，，則系數矩陣=
。
26．若向量，都是線性方程組的解，則系數矩陣
=
。
27．方程組有解的充分必要條件為
。
28．設元非齊次線性方程組有解，其中為階矩陣，則
0
。
29.
已知為階方陣，是的列向量組，行列式，其伴隨矩陣，則齊次線性方程組的通解為
是的極大線性無關組
。
30.
設，，，
其中，則線性方程組的解是。
二、單項選擇填空題（每題2分）
1．齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是
（
C
）
A．的任意兩個列向量線性相關
B．的任意兩個列向量線性無關
C．中必有一列向量是其余列向量的線性組合
D．中任一列向量是其余列向量的線性組合
2．設矩陣，且，則線性方程組
（
D
）
A．可能無解；
B．一定無解；
C．可能有解；
D．一定有解
3．當
=（ Ａ ）時，方程組無解
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
4．為矩陣，秩(A)
=，下列結論正確的是 （ ?。隆 。?/p>
A．齊次線性方程組僅有零解
B．非齊次線性方程組有無窮多解
C．中任一個階子式均不等于零
D．中任意個列向量必線性無關。
5．是個m方程n個未知量的齊次線性方程組有非零解的 ?。ā 。隆 。?/p>
A．充分必要條件
B．充分條件
C．必要條件
D．無關條件
6．設為矩陣，則齊次線性方程組有結論 ?。ā 。谩 。?/p>
A．時，方程組僅有零解
B．時，方程組有非零解，且基礎解系含個線性無關的解向量
C．若有n階子式不為零，則方程組僅有零解
D．若中所有n
-
1階子式不為零，則方程組僅有零解
7．n元線性方程組有惟一解的充分必要條件是 ?。ā 。摹 。?/p>
A．導出組僅有零解
B．為方陣，且時，
C.
D．的列向量線性無關，且可由的列向量線性表示
8．設為矩陣，，則方程組
(
A
)
A.
當時，有解
B.
當時，有惟一解
C.
當時，有惟一解
D.
當時，有無窮多個解
9．設為矩陣，且，若的行向量組線性無關，則
（
A
）
A、方程組有無窮多解
B、方程組有唯一解
C、方程組無解
D、方程組僅有零解
10.
設矩陣，且，則線性方程組
（
D
）
A．可能無解；
B．一定無解；
C．可能有解；
D．一定有解
11．若線性方程組有惟一解，則的值為 ?。?/p>
D
）
A．
B．
C．
D．異于與的數
12.設是四元非齊次線性方程組的三個解向量，且，，(C為任常數)，則線性方程組的通
解是
(
C
)
A.
B.
C.
D.
13．設矩陣，齊次線性方程組的系數行列式，而中的元素的代數余子式，則這個方程組的每個基礎解系中解向量的個數都是
（
A
）
A．
B．
C．
D．
14.設向量組中是齊次線性方程組的一個基礎解系，則向量組
(
D
)
也是的一個基礎解系
A.
B.
C.
D.
15．設為矩陣，
，是非齊次方程組的三個不同的解，則正確的結論是
(
D
)
A.
線性相關
B.
是的基礎解系
C.
的任何線性組合是的解
D.
當線性無關時，則是的通解,,其中是滿足的任何數
16．要使都是線性方程組的解，只要系數矩陣A為
(
B
)
A.
B.
C.
D.
17．設為矩陣，若有解，是其兩個特解，的基礎解系是，則
(
B
)
A.
的通解是
B.
的通解是
C.
的通解是
D.
的通解是
上述四項中均為任意常數
18．已知是齊次方程的基礎解系，那么基礎解系也可以是 (
B
)
A．
B．
C．
D．
19．齊次線性方程組
的系數矩陣記為，若存在三階矩陣，使得，則
(
C
)
A．
B．
C．
D．
20．已知，，，
，則齊次線性方程組
的通解為
（
Ｂ
）
A．
B．
C．
D．
三、判斷題（每題2分）
1．齊次線性方程組只有零解，則應滿足的條件是。（
否
）
2．若非齊次線性方程組系數矩陣的秩小于n，則方程組有無窮多解。（
否
）
3．設為n階方陣，且，是的兩個不同的解向量，則的通解為?！ 。?/p>
否
）
4．設齊次線性方程組的系數行列式，而中的元素的代數余子式
，則這個方程組的每個基礎解系中解向量的個數都是1。
（
是
）
5．設為矩陣，若非齊次線性方程組的系數矩陣的秩為，則時，
方程組有解。
（
是
）
6．設A，B都是n階非零矩陣，且，則的秩都小于n。
（
是
）
7．設A為n階奇導方陣，A中有一個元素的代數余子式，則齊次線性方程組的基礎解系所含解向量的個數為n
。 （
否
）
8．設為矩陣，只有零解的充要條件是的行向量組線性無關。
（
否
）
9．設為矩陣，只有零解的充要條件是的列向量組線性無關。
（
是
）
10．設為階方陣，，且是的三個線性無關的解向量，則是的一個基礎解系?！ 。?/p>
是
）
11．設為線性無關的n維列向量，，則非齊次線性方程組有惟一解?！ 。?/p>
是
）
12．設是的基礎解系，則為的通解。
（
否
）
13．已知為非齊次線性方程組的兩個不同的解，為對應的齊次方程組的基礎解系，則（其中）是
的通解?！ 。?/p>
是
）
14．設4階方陣的秩是3，且每行元素的和為零，則方程組的基礎解系為
?！ 。?/p>
是
）
15．設為的基礎解系，為一n維列向量，若，則可由線性表示?！ 。?/p>
是
）
16．給定方程組，則對任意的，方程組均有解，且有無窮多解。 （
是
）
17．設為矩陣，為維列向量，則當方程組有解時，加入一個方程
后方程組也有解?！ 。?/p>
否
）
18．設為矩陣，為維列向量，則當方程組無解時，加入一個方程
后方程組也無解?！ 。?/p>
是
）
19．設線性方程組，當時，方程組僅有零解。
（
否
）
20．設為矩陣，非齊次線性方程組系數矩陣的秩，則方程組有解?！ 。?/p>
是
）
簡單應用能力層次
一、計算題（每題5分）
1．求線性方程組
的一般解．
解：
因為系數矩陣
……3分
所以一般解為：，
其中，是自由未知量。
…….……5分
2．求線性方程組的一般解。
解：因為增廣矩陣
…………3分
所以一般解為：
（其中是自由未知量）。
…………5分
3．當取何值時，線性方程組有非零解？并求一般解．
解：
因為增廣矩陣
………3分
所以當=
-2時，線性方程組有無窮多解，且一般解為：
是自由未知量)
…………5
4．當取何值時，線性方程組
有解？并求一般解．
解：因為增廣矩陣
……3分
當=3時，線性方程組有無窮多解，且一般解為：
是自由未知量)。
…………5分
5．求線性方程組的一般解。
解：
因為系數矩陣
……3分
所以一般解為
（其中，是自由未知量）。
.......................……5分
6．設齊次線性方程組
問取何值時方程組有非零解，并求一般解.
解：因為系數矩陣
A
=
……3分
所以當l
=
5時，方程組有非零解.
且一般解為：
（其中是自由未知量）。
.......................……5分
7．設線性方程組
，求其系數矩陣和增廣矩陣的秩，并判斷其解的情況.
解
因為
.......................……3分
所以
r(A)
=
2，r()
=
3.
又因為r(A)
<
r()，所以方程組無解。
.......................……5分
8．求下列線性方程組的一般解。
解：因為增廣矩陣
.......................……3分
所以一般解為：
（其中是自由未知量）
.......................……5分
9．設線性方程組討論當a，b為何值時，方程組無解，有惟一解，有無窮多解。
.......................……3分
所以當且時，方程組無解；
當時，方程組有唯一解；
當且時，方程組有無窮多解。.
......................……5分
10．當取何值時，線性方程組
有解？并求一般解.
解：因為增廣矩陣
................…3分
所以當=0時，線性方程組有無窮多解，且一般解為：
是自由未知量〕。
......................……5分
11．已知線性方程組的增廣矩陣經初等行變換化為
問取何值時，方程組有解？當方程組有解時，求方程組的一般解。
解：當=3時，，方程組有解.
當=3時，..............…3分
一般解為，
其中,
為自由未知量。
.....................……5分
12．當為何值時，方程組有解，并求其通解。
解：
..............…3分
當，同解方程組為令，
令
....................……5分
13.
設線性方程組為，問：、取何值時，方程組無解、
有惟一解、有無窮多解？
在有無窮多解時求出其通解。
解：
..............…2分
當時，方程組有惟一解
當，時，方程組無解
當，時，=＝2<3，方程組有無窮多組解,
其通解為，為任意常數。
....................……5分
14.線性方程組為
，問,各取何值時，線性方程組無解，有唯一解，有無窮多解？在有無窮多解時求出其通解。
解：
..............…3分
當2時，方程組有唯一解
當2，1時，方程組無解
當2，1時，＝2<3，方程組有無窮多組解,其通解為
(為任意常數)。
....................……5分
15．已知是齊次線性方程組的一個解，試求方程組的一個包含的基礎解系。
解：，，..............…2分
令，得方程組的兩個解為：，，
從而所求基礎解系即為和。
..............…5分
16．求解線性方程組。
解
：將增廣矩陣化成階梯形矩陣，即
， ..............…3分
因為
，r(`A)
=
r(A)
=
3，所以，方程組有解．
一般解為:
(x4是自由未知量)。
..............…5分
17．設線性方程組
試問c為何值時，方程組有解？若方程組有解時，求一般解。
解：因為
..............…2分
所以當c
=
0時，方程組有解．且
..............…3分
所以，原方程組的一般解為：
（x3是自由未知量）。
..............…5分
18．試討論a取什么值時，線性方程組有解，并求出解。
解：
..............…3分
當時，方程組有解，解為
..............…5分
19．試討論a取什么值時，線性方程組有解，并求出解。
..............…3分
當時，方程組有解，解為
..............…5分
20．設為４階矩陣，且，試問的基礎解系所含解向量的個數。
解：，，又因為４階矩陣，故中至少有一個３階子式不為０，則中至少有一個非零元素，則，
..............…2分
又，所以，
..............…4分
從而有，故的基礎解系所含解向量的個數為4-1=3個。..............…5分
二、證明題（每題5分）
1.
設是的一個基礎解系，證明：也是
的一個基礎解系。
證明：是的一個基礎解系，都是的解，且線性無關，從而都是的解，…………….2分
設
即
由線性無關，得，，
僅有零解，
從而線性無關，
也是的一個基礎解系?！?5分
2．證明方程組有解的充要條件是。
證明：……3分
方程組有解，即，即…………5分
3．設n階矩陣可逆，
證明：線性方程組
無解。
證明：線性方程組的系數矩陣為，因為矩陣，所以，
…………….2分
又因為該方程組的增廣矩陣為，而是可逆的，，
…………….4分
從而系數矩陣的秩<增廣矩陣的秩，所以非齊次線性方程組無解。………….5分
4．設實數域上的線性方程組，證明：
（1）如果，則方程組有惟一解；
（2）如果則方程組無解；
（3）如果則方程組有無窮多解。
證明：（1）令，，
因為，，從而方程組有惟一解，由克萊姆法則得其解為：
；
（2），從而方程組無解；
（3），從而方程組有無窮多解?！?5分
5．
證明：含有n個未知量n+1個方程的線性方程組
若有解，則行列式
證明：易知方程組的系數矩陣為矩陣，所以，又因為該非齊次線性方程組有解，所以必須滿足關系式：增廣矩陣的秩，而增廣矩陣為階方陣，且，。
………….5分
6．設是矩陣，是矩陣，證明線性方程組，當時，必有非零解。
證明：是矩陣，是矩陣，且
，，
，由，得，
而是，所以當時，必有非零解。
……………….5分
7．已知行列式，證明方程組無解。
證明：由題設知方程組的增廣矩陣的秩，
……………….2分
而系數矩陣是矩陣，，
……………….4分
故，方程組無解。
……………….5分
8．設是階矩陣，若存在正整數，使線性方程組有解向量，
且，證明：向量組是線性無關的。
證明：設有常數，使得，
上式左乘，，得，………….3分
以此類推，分別左第乘，得，
故向量組線性無關。
……………….5分
9．設是矩陣，，且有惟一解，證明：為可逆矩陣，且的解為。
證明：有惟一解，僅有零解，故，
即為可逆矩陣，
……………….3分
于是由，得，所以。
……………….5分
10．設是矩陣，且,若滿足,證明:。
證明：設，其中為維列向量，，
，故線性無關，
由于，即=，
……………….3分
所以，由于線性無關，
故，所以。
……………….5分
綜合應用能力層次
一、計算題（每題8分）
1.設線性方程組，
討論當為何值時，方程組無解？有惟一解？有無窮多解？（不必求解）
解：……5分
當時，方程組無解；
當時，方程組有惟一解；
當時，方程組有無窮多解
………….……8分
2.設線性方程組，
討論當為何值時，方程組無解？有唯一解？有無窮多解？（不必求解）
解：……5分
當時，方程組無解；
當時，方程組有惟一解；
當時，方程組有無窮多解
………….……8分
3.設線性方程組，
討論當為何值時，方程組無解？有唯一解？有無窮多解？（不必求解）
解：因為對線性方程組的增廣矩陣施行行初等變換得：
所以，當時，，方程組有唯一解。……………..5分
而當時，由上面的結果可知：
所以，當且時，，方程組無解；
當且時，，方程組有無窮多解?！?8分
4.
設線性方程組，
討論當為何值時，方程組無解？有唯一解？有無窮多解？（不必求解）
解：對線性方程組的增廣矩陣施行行初等變換得：
，
…………………
5分
當時，因為，所以方程組有唯一解；
當且時，因為，所以方程組無解；
當且時，因為，所以方程組有無窮多解。…….8分
5.
當，為何值時，線性方程組
有唯一解、無解、有無窮多解？（不必求出解）
解：對方程組系數的增廣矩陣施行初等行變換：
…….5分
由階梯形矩陣可見：
(1)當時，，故此時方程組有唯一解;
(2)當且時，，，故此時方程組無解;
(3)當且時，，故此時方程組有無窮多解.…….8分
6當為何值時，線性方程組
有唯一解、無解、有無窮多解？在有解時，求出方程的通解。
解：
設方程組的增廣矩陣為,對進行初等變換
=
…….…….4分
當a=－3時，
方程組無解。
當a－3且a2時，
方程組有唯一解。最后得到的梯形矩陣對應的梯形方程組為
，
則方程組的解為。
…….…….6分
當a=2時，
方程組有無窮多個解。此時梯形矩陣對應的梯形方程組為
則方程組的解為 ?。╟為任意常數）?！ ?…….8分
7.
求線性方程組的全部解(用其導出組的基礎解系表示).解：
….……5分
全部解為：…8分
8.
的全部解（用其導出組的基礎解系表示）。
解：5分
全部解為：
………8分
9．求線性方程組的全部解（用其導出組的基礎解系表示）。
解：對線性方程組的增廣矩陣進行行初等變換得：
，
…………………………5分
令自由未知量，，得方程組的一個特解：，
令分別取：，，得到導出組的基礎解系為：
；
所以，方程組的全部解為：
（其中、為任意常數）?！?分
10.
求線性方程組的全部解（用其導出組的基礎解系表示）。
解：對線性方程組的增廣矩陣施行行初等變換得：
，…………..5分
令自由未知量，，，得到一個特解
，
再取分別為，得到導出組的基礎解系：
，
所以方程組的全部解為
，（為任意常數）….8分
11.
用基礎解系表示線性方程組的全部解。
解：設方程組的系數矩陣為，對其增廣矩陣作初等變換，得：
………………..
5分
原方程組同解于，取得方程組一個特解。
導出組的系數矩陣可化為，
導出組與方程組同解，
取，得基礎解系：。
故原方程組的全部解為:，（為任意系數）……..8分12．已知方程組(Ⅰ)
的解都是方程組
(Ⅱ)
的解，試確定。
解：=，
于是得方程組(Ⅰ)的全部解：
，…………..3分
將代入(Ⅱ)的導出組得，
將代入(Ⅱ)得，
解此四式得。
…………..8分
13．已知非齊次線性方程組
有3個線性無關的解，
(1)證明此方程組的系數矩陣的秩為2.
(2)求的值和方程組的通解.
解:(1)
設a1,a2,a3是方程組的3個線性無關的解,則a2-a1,a3-a1是的兩個線性無關的解.于是的基礎解系中解的個數不少于2,即,從而,
又因為的行向量是兩兩線性無關的,所以,
兩個不等式說明.
(2)對方程組的增廣矩陣作初等行變換:
…………..3分
由,得出,代入后繼續作初等行變換:
…………..5分
得同解方程組,
得到方程組的通解:
(2,-3,0,0)T+c1(-2,1,1,0)T+c2(4,-5,0,1)T,
c1,c2為任常數.
…………..8分
14．設,.討論為何值時,方程組無解、有唯一解、有無窮多解?
并在有無窮多解時，求出其通解.
解：經計算
因此方程組有唯一解
…..……..2分
時，對增廣矩陣作行變換化為階梯形:
因
，即時無解。
…..……..5分
時，同樣對增廣矩陣作行變換化為階梯形:
因，所以時有無窮多解。等價方程組為:
得通解為：，（為任意系數）
…..……..8分
15．已知線性方程組
，試討論：
(1)取何值時，方程組無解；
(2)取何值時,方程有唯一解，并求出其解；
(3)取何值時,方程有無窮多解，并求出其通解。
解：
(1)時，
，無解；
…..……..2分
(2)時，，唯一解
.……..5分
(3)時，，無窮多解,
通解。
…..……..8分
16．已知4階方陣均為4維列向量，其中線性無關,如果,求方程組的通解。
解：令，則由
得，
將代入上式，整理后得，
由線性無關，知，
…..……..5分
解此方程組得，其中k為任意常數。
…..……..8分17．已知線性方程組解：，討論取何值時，方程無解；有惟一解；有無窮多解（不必求解）。
解：
…..……..4分
由于方程有解0，1，
故得時有惟一解；
時有無窮多解；
時無解。
…..……..8分
18．設線性方程組為：，試討論下列問題：
（1）當取什么值時，線性方程組有唯一解？
（2）當取什么值時，線性方程組無解？
（3）當取什么值時，線性方程組有無窮多解？并在有無窮多解時求其解．（要求用導出組的基礎解系及它的特解形式表示其通解）。
解
：線性方程組的系數行列式為
…..……..2
（1）當，即且時，線性方程組有唯一解；
…..……..4分
（2）當時，，線性方程組無解；….…..
6分
（3）當時
線性方程組有無窮多解，且其通解為。
…..……..8分
19．設線性方程組，已知是該方程組的一個解，求方程組的全部解。
解：將代入方程組中得，
…..……..2分
…..……..4分
當時，方程組有無窮多解，此時
，
方程組的全部解為：（c為任常數），
…..……..6分
當時，，于是，故方程組有無窮多解，
全部解為：。
…..……..8分
20．求一齊次線性方程組，使，構成它的一個基礎解系。
解：顯然，所求的方程組是一個5元線性方程組，且，
另一方面，由，得，其中，因此的每一列亦即的每一行，都是方程組的解，且該方程組的一個基礎解系所含解向量的個數為，故只要求方程組的一個基礎解系，則以為系數矩陣的方程組即滿足要求，為此對矩陣施行初等行變換，得
，
…..…….
4分
由此得方程組的一個基礎解系：，
…..…….
6分
故所求的線性方程組為，即。
…..…….
8分
二、證明題（每題8分）
1．已知三階矩陣且的每一個列向量都是方程組的解，
求
(1)的值；(2)證明。
(1)解：由得中至少有一非零列向量，
的每一個列向量都是方程組的解，所給齊次方程組有非零解，則它的行列式
，。
………………..
4分
(2)證明：（反證法）若設，則可逆，因此由題意
與矛盾，所以。
………………..
8分
2．已知方程組，若互不相等，證明方程組無解。
證明：由于增廣矩陣的行列式是范德蒙行列式，且互不相等，
故，
……....…4分
則,而系數矩陣為矩陣,，，方程組無解…8分
3．設有兩個n元齊次線性方程組，。證明：
（1）若的解都是的解，則；
（2）若與同解，則。
證明：（1）由條件知的解空間是的解空間的子空間，因此的解空間的維數不大于的解空間的維數，即，于是；
…………….4分
（2）由條件知的解空間與的解空間是同一空間，因而該空間的維數為
，由此即得。
…………….8分
4．已知非齊次線性方程組
有3個線性無關的解，
（1）證明方程組系數矩陣的秩；
（2）求的值及方程組的通解。
解：（1）設是非齊次方程組三個線性無關的解，
令，則是其導出組的兩個解
設即
因線性無關，所以必有，
即由此得線性無關，
因為導出組至少有兩個線性無關的解，所以其基礎解系至少包含兩個解，故，由此得；
另一方面，導出組的系數矩陣
存在2階不等于零的子式，
所以，，綜上所述，即得。
…………….4分
（2）因非齊次方程組有解，故其增廣矩陣與系數矩陣的秩相等，
由（1）得,故增廣矩陣
的秩也為2，
用初等行變換把上述矩陣化為階梯形
由此得?????，即
利用上述階梯形矩陣，可得同解方程組
即
由此得通解為
：，其中為自由未知數。
…………….8分
5．設方程組(1)
及方程組(2)，
其中，證明：方程組(1)有惟一解的充要條件是方程組(2)有惟一解。
證明：記方程組(1)和方程組(2)的系數矩陣分別為，并令，
則有，即有，于是，若方程組(1)有惟一解，則，即，從而，所以方程組(2)有惟一解?！ ?４分
反之若方程組(2)有惟一解，則，即可逆，所以，若，則，從而由的定義知，因此，矛盾，故，所以方程組(1)有惟一解。
…………….8分
發展應用能力層次
一、計算題（每題10分）
1．設有兩個四元齊次方程組(Ⅰ);
(Ⅱ)
,
（1）線性方程組(Ⅰ)的基礎解系；
（2）求方程組(Ⅰ)和(Ⅱ)的非零公共解。
解：（1）．方程組(Ⅰ)的系數矩陣，
則得(Ⅰ)的基礎解系為：和；..............…3分
（2）．由（1）的結果，方程組(Ⅰ)的一般解為：,
若兩個方程組有公共解，將上式代入方程組(Ⅱ)中，必有，得，
所以(Ⅰ)和(Ⅱ)的非零公共解為：
。 ..............…10分
2．已知非齊次線性方程組，
；
（1）
求解方程組，用其導出組的基礎解系表示通解；
（2）
同解，求的值。
解：（1）設組（I）的系數矩陣為，增廣矩陣為，對作初等行變換，得：
，
因，故（I）有無窮多解，
且通解為，為任意常數?！?5分
（2）將通解代入組（II）第一個方程，得到：
，即，
由得任意性，得。
將通解代入組（II）第二、三個方程，分別得到。
因此，。
…….…………10分
3．設非齊次線性方程組有3個解向量，，求此線性方程組的系數矩陣的秩，并求其通解。其中為常數。
解：設所給方程為，由題設可知是的3個解，因此
，是的兩個線性無關的解，故，
又中有2階子式，因此，
所以，
…………….5分
由于，所以，是的基礎解系，因此可得線性方程組
的通解為：
（其中為任意常數）。
…….…………10分
4．設四元線性齊次方程組，又已知某線性齊次方程組的通解為
，
（1）求線性方程組的基礎解系；
（2）問線性方程組，是否有非零的公共解？若有，則求出所有的非零公共解，若沒有，則加以證明。
解：（1）的系數矩陣為
通解為。
…….…………4分
（2）將的通解代入中，則有，得，當時，則向量滿足方程組，，
故方程組，有非零的公共解，所有非零公共解是。
…….…………10分
5．
已知齊次線性方程組
其中
試討論和b滿足何種關系時，
(1)
方程組僅有零解；
(2)
方程組有非零解.
在有非零解時，求此方程組的一個基礎解系。
解：
方程組的系數行列式
=，
…….…………4分
（1）當時且時，r
(A)=
n，方程組僅有零解；
…….…………6分
（2）當b=0
時，原方程組的同解方程組為：，
由可知，不全為零.
不妨設，
得原方程組的一個基礎解系為
，，,
當時，有，原方程組的系數矩陣可化為
由此得原方程組的同解方程組為:，，
.
原方程組的一個基礎解系為：。
…….…………10分
6．設,
,
,
,
試討論當為何值時,
(1)不能由線性表示；
(2)可由唯一地線性表示,
并求出表示式；
(3)可由線性表示,
但表示式不唯一,
并求出表示式。
解：設有數使得
(*)
記.
對矩陣施以初等行變換,
有
…….…………2分
(1)當時,
有
.
可知,故方程組(*)無解,
不能由線性表示；
…….…………4分
(2)當,
且時,
有
,方程組(*)有唯一解：,
,
．
此時可由唯一地線性表示,
其表示式為：；……………7分
(3)當時,
對矩陣施以初等行變換,
有
，
,方程組(*)有無窮多解,其全部解為:
,
,
，
其中為任意常數．
可由線性表示,
但表示式不唯一, 其表示式為：
。
…….…………10分
7．設有齊次線性方程組
試問取何值時，該方程組有非零解，并求出其通解
解：方程組的系數行列式為
當，即或時，方程組有非零解
…….…………4分
當時，
故方程組的同解方程組為：
由此得基礎解系為，
于是方程組的通解為：，其中為任意常數
.…7分
當時，
故方程組的同解方程組為：
，由此得基礎解系為
于是方程組的通解為：，其中k為任意常數。
…….…………10分
8．已知3階矩陣的第一行是不全為零，矩陣B＝（k為常數），且，求線性方程組的通解
解：（1）如果，則,由知，因此，
所以的通解是：，其中為任常數；
…….……5分
（2）如果k
=9，則,那么，或2
若,則的通解是，其中t為任常數，
若,對，設，
則方程組的通解是，其中為任常數。
…….…………10分
9．已知線性方程組
（Ⅰ）
的一個基礎解系為，，，，試寫出線性方程組（Ⅱ）的通解。
解：方程組（Ⅰ），（Ⅱ）的系數矩陣分別記為，則由題設可知，于是，可見的n個行向量的轉置向量為（Ⅱ）的n個解向量，
由于的秩為n，故（Ⅱ）的解空間維數為，…….…………5分
又的秩為2n與（Ⅰ）的解空間維數之差，即為n，故的n個行向量線性無關，從而它們的轉置向量構成（Ⅱ）的一個基礎解系，于是得到（Ⅱ）的通解：
，
其中為任意常數。
…….…………10分
10．求以為解向量的齊次線性方程組。
解：因為，
所以的一個極大無關組是，
…….…………3分
作矩陣，
易得線性的基礎解系由決定，
取自由未知量得一基礎解系為，6分
于是所求方程組的系數矩陣為，
所求的齊次線性方程組為。
…….…………10分
二、證明題（每題10分）
1．已知平面上三條不同直線的方程分別為
試證這三條直線交于一點的充分必要條件為。
證明：必要性：
設三條直線交于一點，則線性方程組
有惟一解，故系數矩陣與增廣矩陣的秩均為2，
于是，由于
但根據題設，故；
………….5分
充分性：
由，則從必要性的證明可知，，故秩()<
3
由于
故秩(A)=2，于是，秩(A)=
秩()=2,
因此方程組（*）有惟一解，即三直線交于一點。
………….10分
2．設是非齊次線性方程組的一個解，是對應的齊次線性方程組的基礎解系，證明：線性無關。
證明：（反證法）假設線性相關，則必存在一組不全為零的數，使，
即有，
設，則，否則由上式知線性相關，因而與基礎解系矛盾。所以， ………….5分
于是有，從而與是非齊次線性方程組的一個解矛盾，因此所給向量組是線性無關的。 ………….10分
3．設是齊次線性方程組的基礎解系，向量滿足，證明：向量組線性無關。
證明：設數，使，
即
…………….3分
假設，則可由線性表示，
即是方程的解，與題設矛盾，
因此，，
…………….7分
然后由線性無關，得，
所以向量組線性無關。
…………….10分
4．設為實矩陣，是維實列向量，證明：
（1）秩；
（2）非齊次線性方程組有解。
證明：（１）先證與是同解方程組，
因為若是的解，即，則，
所以的解都是的解，
當是的解時，即，由，
可知，故的解都是的解，
因此與是同解方程組，
由此，可知它們的基礎解系含個解，故秩；….5分
（2）由可知
，
因此，故非齊次線性方程組有解?！?10分
5．證明：方程組（其中均為整數）只有零解。
證明：方程組的系數行列式為，
若令，則由于均為整數，得也均為整數
為整數，，所以方程組有惟一解，即只有零解。 …………….10分
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