2020屆市高三第一次診斷性檢測數(shù)學(xué)（文）試題

一、單選題

1．若復(fù)數(shù)與（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對稱，則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】直接利用復(fù)平面的對稱得到答案.【詳解】

數(shù)與（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對稱，則

故選：

【點(diǎn)睛】

本題考查了復(fù)平面的對稱問題，屬于簡單題.2．已知集合，若，則實(shí)數(shù)的值為（）

A．或

B．或

C．或

D．或

【答案】D

【解析】根據(jù)集合并集的定義即可得到答案.【詳解】

集合，且，所以或.故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查集合并集的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．

3．若，則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】根據(jù)得到，再利用二倍角公式得到答案.【詳解】，故選：

【點(diǎn)睛】

本題考查了二倍角公式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.4．已知命題：，則為（）

A．，B．，C．，D．，【答案】D

【解析】直接利用全稱命題的否定定義得到答案.【詳解】

命題：，則為：，故選：

【點(diǎn)睛】

本題考查了全稱命題的否定，意在考查學(xué)生的推斷能力.5．某校隨機(jī)抽取100名同學(xué)進(jìn)行“垃圾分類“的問卷測試，測試結(jié)果發(fā)現(xiàn)這100名同學(xué)的得分都在[50，100]內(nèi)，按得分分成5組：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則這100名同學(xué)的得分的中位數(shù)為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】根據(jù)頻率分布直方圖求得中位數(shù)即可.【詳解】

在頻率分步直方圖中，小正方形的面積表示這組數(shù)據(jù)的頻率，中位數(shù)為：.故選：A

【點(diǎn)評】

本題考查頻率分布直方圖的相關(guān)知識，直方圖中的各個(gè)矩形的面積代表了頻率，所有各個(gè)矩形面積之和為1，也考查了中位數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．

6．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】將S9，S5轉(zhuǎn)化為用a5，a3表達(dá)的算式即可得到結(jié)論.【詳解】

由等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，＝＝，且，∴＝×3＝.故選：D．

【點(diǎn)睛】

本題考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，等差中項(xiàng)的性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

7．已知是空間中兩個(gè)不同的平面，是空間中兩條不同的直線，則下列說法正確的是（）

A．若，且，則

B．若，且，則

C．若，且，則

D．若，且，則

【答案】C

【解析】由空間中直線與直線、直線與平面及平面與平面位置關(guān)系逐一核對四個(gè)選項(xiàng)得答案．

【詳解】

由m∥α，n∥β，且α∥β，得m∥n或m與n異面，故A錯(cuò)誤；

由m∥α，n∥β，且α⊥β，得m∥n或m與n相交或m與n異面，故B錯(cuò)誤；

由m⊥α，α∥β，得m⊥β，又n∥β，則m⊥n，故C正確；

由m⊥α，n∥β且α⊥β，得m∥n或m與n相交或m與n異面，故D錯(cuò)誤．

故選：C．

【點(diǎn)睛】

本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查空間中直線與直線、直線與平面及平面與平面位置關(guān)系的判定與應(yīng)用，考查空間想象能力與思維能力，屬于中檔題．

8．將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再把所得圖象向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的解析式為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】利用函數(shù)的圖象平移變換和伸縮變換的應(yīng)用求出結(jié)果即可.【詳解】

函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象，再把所得圖象向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)f（x）＝的圖象.故選：A．

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)圖象的平移和伸縮變換的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題．

9．已知拋物線的焦點(diǎn)為，是拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn)若，則線段的中點(diǎn)到軸的距離為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】拋物線到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，可求出橫坐標(biāo)之和，進(jìn)而求出中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，求出結(jié)果即可.【詳解】

由拋物線方程，得其準(zhǔn)線方程為：，設(shè)，由拋物線的性質(zhì)得，中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，線段的中點(diǎn)到軸的距離為：.故選：B．

【點(diǎn)睛】

本題考查了拋物線定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

10．已知，，則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】利用根式的運(yùn)算性質(zhì)、冪函數(shù)的單調(diào)性可得a，b的大小關(guān)系，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出c＜1．

【詳解】

∵＝，且=＝，∴，．∴．

故選：C．

【點(diǎn)睛】

本題考查了根式的運(yùn)算性質(zhì)、冪函數(shù)的單調(diào)性、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．

11．已知直線與雙曲線：相交于不同的兩點(diǎn)，為雙曲線的左焦點(diǎn)，且滿足，（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的離心率為（）

A．

B．

C．2

D．

【答案】B

【解析】如圖所示：為雙曲線右焦點(diǎn)，連接，計(jì)算得到，再利用余弦定理得到，化簡得到答案.【詳解】

如圖所示：為雙曲線右焦點(diǎn)，連接，根據(jù)對稱性知，在和中，分別利用余弦定理得到：，兩式相加得到

故選：

【點(diǎn)睛】

本題考查了雙曲線的離心率，根據(jù)條件計(jì)算出是解題的關(guān)鍵.12．已知定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，．若關(guān)于的方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和對稱性畫出函數(shù)圖像，過定點(diǎn)，計(jì)算直線和曲線相切的情況計(jì)算斜率得到答案.【詳解】

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，函數(shù)關(guān)于對稱，過定點(diǎn)

如圖所示，畫出函數(shù)圖像：

當(dāng)與相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為

則

根據(jù)對稱性考慮左邊圖像，根據(jù)圖像驗(yàn)證知是方程唯一解，此時(shí)

故答案為

故選：

【點(diǎn)睛】

本題考查了零點(diǎn)問題，對稱問題，函數(shù)的單調(diào)性，畫出函數(shù)圖像是解題的關(guān)鍵.二、填空題

13．已知實(shí)數(shù)滿足約束條件，則的最大值為_______.【答案】6

【解析】作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，通過平移即可求z的最大值．

【詳解】

作出實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）

由得y＝﹣x+z，平移直線y＝﹣x+z，由圖象可知當(dāng)直線y＝﹣x+z經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線y＝﹣x+z的截距最大，此時(shí)z最大．

由，解得A（2，2），代入目標(biāo)函數(shù)z＝x+2y得z＝2×2+2＝6.故答案為：6．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用圖象平行求得目標(biāo)函數(shù)的最大值和最小值，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃問題中的基本方法，屬于基礎(chǔ)題．

14．設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，則_______.【答案】

【解析】將已知條件轉(zhuǎn)化為基本量a1，q的方程組，解方程組得到a1，q，進(jìn)而可以得到an．

【詳解】

在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，得，解得，∴an＝＝3?3n﹣1＝3n.故答案為：3n

【點(diǎn)睛】

本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，主要考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

15．已知平面向量，滿足，且，則向量與的夾角的大小為______.【答案】

【解析】根據(jù)得到，計(jì)算得到答案.【詳解】

設(shè)向量與的夾角為，故答案為：

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量的夾角，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.16．如圖，在邊長為2的正方形中，邊，的中點(diǎn)分別為，現(xiàn)將，分別沿，折起使點(diǎn)，重合，重合后記為點(diǎn)，得到三棱錐．則三棱錐的外接球體積為____________

【答案】

【解析】根據(jù)兩兩垂直得到，代入體積公式計(jì)算得到答案.【詳解】

易知兩兩垂直，將三棱錐放入對應(yīng)的長方體內(nèi)得到

故答案為：

【點(diǎn)睛】

本題考查了三棱錐的外接球問題，將三棱錐放入對應(yīng)的長方體是解題的關(guān)鍵.三、解答題

17．在中，角的對邊分別為，且.（1）求的值；

（2）若的面積為，且，求的周長.【答案】（1）；（2）

【解析】（1）由已知條件結(jié)合余弦定理可求cosA的值，進(jìn)而根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinA的值．

（2）利用三角形的面積公式可求bc的值，由正弦定理化簡已知等式可得b＝3c，解得b，c的值，根據(jù)余弦定理可求a的值，即可求解三角形的周長．

【詳解】

（1）∵，∴由余弦定理可得2bccosA＝bc，∴cosA＝，∴在△ABC中，sinA＝＝．

（2）∵△ABC的面積為，即bcsinA＝bc＝，∴bc＝6，又∵sinB＝3sinC，由正弦定理可得b＝3c，∴b＝3，c＝2，則a2＝b2+c2﹣2bccosA＝6，所以周長為.【點(diǎn)睛】

本題主要考查了余弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角形的面積公式，正弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．

18．某公司有l(wèi)000名員工，其中男性員工400名，采用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取100名員工進(jìn)行5G手機(jī)購買意向的調(diào)查，將計(jì)劃在今年購買5G手機(jī)的員工稱為“追光族”，計(jì)劃在明年及明年以后才購買5G手機(jī)的員工稱為“觀望者”調(diào)查結(jié)果發(fā)現(xiàn)抽取的這100名員工中屬于“追光族”的女性員工和男性員工各有20人.（Ⅰ）完成下列列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為該公司員工屬于“追光族”與“性別”有關(guān)；

屬于“追光族”

屬于“觀望者”

合計(jì)

女性員工

男性員工

合計(jì)

（Ⅱ）已知被抽取的這l00名員工中有6名是人事部的員工，這6名中有3名屬于“追光族”現(xiàn)從這6名中隨機(jī)抽取3名，求抽取到的3名中恰有1名屬于“追光族”的概率．

附：，其中.0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

【答案】（Ⅰ）表見解析，沒有的把握認(rèn)為該公司員工屬于“追光族”與“性別”有關(guān).（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）完善列聯(lián)表，計(jì)算得到結(jié)論.（Ⅱ）設(shè)人事部的這6名中的3名“追光族”分別為“，”，3名“觀望者”分別為“，，列出所有情況計(jì)算得到答案.【詳解】

（Ⅰ）由題，列聯(lián)表如下：

屬于“追光族”

屬于“觀望者”

合計(jì)

女性員工

男性員工

合計(jì)

∵，∴沒有的把握認(rèn)為該公司員工屬于“追光族”與“性別”有關(guān).（Ⅱ）設(shè)人事部的這6名中的3名“追光族”分別為“，”，3名“觀望者”分別為“，”.則從人事部的這6名中隨機(jī)抽取3名的所有可能情況有“；；；；；；；；；；；；；；；；；；；”共20種.其中，抽取到的3名中恰有1名屬于“追光族”的所有可能情況有“；；；；；；；；”共9種.∴抽取到的3名中恰有1名屬于“追光族”的概率.【點(diǎn)睛】

本題考查了列聯(lián)表，概率的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.19．如圖，在四棱錐中，平面，底面為菱形，且，分別為，的中點(diǎn)．

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）點(diǎn)在棱上，且，證明：平面．

【答案】（Ⅰ）證明見解析（Ⅱ）證明見解析

【解析】（Ⅰ）證明和得到平面.（Ⅱ）根據(jù)相似得到證明平面.【詳解】

（Ⅰ）如圖，連接.∵底面為菱形，且，∴三角形為正三角形.∵為的中點(diǎn)，∴.又∵平面，平面，∴.∵，平面，∴平面.（Ⅱ）連接交于點(diǎn)，連接.∵為的中點(diǎn)，∴在底面中，∴.∴，∴在三角形中，.又∵平面，平面，∴平面.【點(diǎn)睛】

本題考查了線面垂直和線面平行，意在考查學(xué)生的空間想象能力和推斷能力.20．已知函數(shù)，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，證明對任意的都成立.【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）證明見解析

【解析】（Ⅰ）求導(dǎo)得到討論，和四種情況得到答案.（Ⅱ）要證明即，求導(dǎo)得到函數(shù)

得到證明.【詳解】

（Ⅰ）.∵，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，.∴.令，則.令，∵函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，，∴存在唯一的，使得.∵當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

∴函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.又∵，∴，即對任意的都成立.【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，恒成立問題，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵

21．已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線（不與軸重合）與橢圓相交于，兩點(diǎn)，直線：與軸相交于點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，直線與直線的交點(diǎn)為.（Ⅰ）求四邊形（為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的取值范圍；

（Ⅱ）證明直線與軸平行.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）證明見解析

【解析】（Ⅰ）令直線：，聯(lián)立方程利用韋達(dá)定理得到，，換元帶入化簡得到答案.（Ⅱ）直線的方程為，令得，.代入（Ⅰ）中式子化簡得到答案.【詳解】

（Ⅰ）由題，令直線：，.聯(lián)立消去，得.∵，，∴.∴四邊形的面積.令，∴，∴.∵（當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號），∴.∴四邊形面積的取值范圍為.（Ⅱ）∵，∴.∴直線的斜率，直線的方程為.令得，.……①

由（Ⅰ），.∴，.化簡①，得.∴直線與軸平行.【點(diǎn)睛】

本題考查了面積的范圍，直線的平行問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.22．在平面直角坐標(biāo)系中，已知是曲線：上的動(dòng)點(diǎn)，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求曲線，的極坐標(biāo)方程；

（2）在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)，射線與曲線，分別相交于異于極點(diǎn)的兩點(diǎn)，求的面積.【答案】（1）曲線：，曲線：；（2）

【解析】（1）由題意，點(diǎn)Q的軌跡是以（2，0）為圓心，以2為半徑的圓，寫出其普通方程，再結(jié)合ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，可得曲線C1，C2的極坐標(biāo)方程；

（2）在極坐標(biāo)系中，設(shè)A，B的極徑分別為ρ1，ρ2，求得|AB|＝|ρ1﹣ρ2|，再求出M（3，）到射線的距離h＝，即可求得△MAB的面積．

【詳解】

（1）由題意，點(diǎn)Q的軌跡是以（2，0）為圓心，以2為半徑的圓，則曲線C2：，∵ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ＝4sinθ，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cosθ；

（2）在極坐標(biāo)系中，設(shè)A，B的極徑分別為ρ1，ρ2，又點(diǎn)到射線的距離為的面積

【點(diǎn)睛】

本題考查簡單曲線的極坐標(biāo)方程，考查參數(shù)方程化普通方程，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．

23．已知函數(shù)

（1）解不等式；

（2）若，求證：

【答案】（1）；（2）見解析.【解析】（1）原不等式可化為：|x﹣3|≥4﹣|2x+1|，即|2x+1|+|x﹣3|≥4，分段討論求出即可；

（2）由基本不等式得的最小值，轉(zhuǎn)化為|x+|﹣f（x）≤恒成立即可．

【詳解】

（1）原不等式化為，即

①時(shí)，不等式化為，解得；

②時(shí)，不等式化為，解得，；

③時(shí)，不等式化為，解得，.綜上可得：原不等式解集為.（2），當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)取等號.又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.【點(diǎn)睛】

考查絕對值不等式的解法和絕對值不等式的性質(zhì)，利用分類討論的思想結(jié)合絕對值的性質(zhì)和基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．