2020年高三年級第一次診斷性測試理科數學

（卷面分值：150分

考試時間：120分鐘）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的第Ⅰ卷（選擇題

共60分）

1、設集合，則

2、若復數滿足（其中為虛數單位），則

3、已知是兩條不同的直線，是三個不同的平面，則下列命題正確的是

若，則

若，則

若，且，則

若，且，則

4、設，，則有

5、已知向量滿足，且與的夾角為，則

6、已知雙曲線（）的左、右焦點分別為，為虛軸的一個端點，且，則雙曲線的離心率為

7、執行如右圖所示的程序框圖，則輸出的8、從1，2，3，4，5這五個數字中隨機選擇兩個不同的數字，則它們之和為偶數的概率為

9、等比數列的前n項和為，且成等差數列，若，則

10、將奇函數（）的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象，則下列關于的一個單調遞減區間是

11、已知拋物線C：的焦點F，點是拋物線上一點，以M為圓心的圓與直線交于A、B兩點（A在B的上方），若，則拋物線C的方程為

12、已知函數，若對任意，都有，則實數的取值范圍是

第Ⅱ卷（非選擇題

共90分）

二、填空題：本大題共4個小題，每小題5分

13、若實數滿足約束條件，則的最大值為_______

14、已知，為銳角，則_______

15、已知數列滿足：（），若，則____

16.如圖，已知在長方體中，AB

=3,AD

=4,AA1=5，點E為CC1上的一個動點，平面BED1與棱AA1交于點F，給出下列命題：

①四棱錐B1-BED1F的體積為20；

②存在唯一的點E，使截面四邊形BED1F的周長取得最小值；

③當E點不與C，C1重合時，在棱AD上均存在點G，使得CG//平面BED1

④存在唯一一點E，使得B1D⊥平面BED1，且

其中正確的命題是_____________（填寫所有正確的序號）

三、解答題：第17~21題每題12分，解答應寫出文字說明、證明過計算步驟

17、△ABC的內角的對邊分別是，且

（Ⅰ）求∠C的值

（Ⅱ）若，求△ABC面積的最大值；

18、如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD//BC，∠BAD=90°，AD=2BC，M為PD的中點

（Ⅰ）證明：CM//平面PAB

（Ⅱ）若△PBD是等邊三角形，求二面角A-PB-M的余弦值

19、“團購”已經滲透到我們每個人的生活，這離不開快遞行業的發展，下表是2013-2017年全國快遞業務量（億件：精確到0.1）及其增長速度（%）的數據

（Ⅰ）試計算2012年的快遞業務量；

（Ⅱ）分別將2013年，2014年，…，2017年記成年的序號t：1，2，3，4，5；現已知與t具有線性相關關系，試建立關于t的回歸直線方程；

（Ⅲ）根據（Ⅱ）問中所建立的回歸直線方程，估算2019年的快遞業務量

附：回歸直線的斜率和截距地最小二乘法估計公式分別為：，20、已知橢圓C：過點，左焦點F

（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；

（Ⅱ）過點F作于軸不重合的直線，與橢圓交于A，B兩點，點A在直線上的投影N與點B的連線交軸于D點，D點的橫坐標是否為定值?若是，請求出定值；若不是，請說明理由

21、已知函數

（Ⅰ）討論的單調性；

（Ⅱ）若方程有兩個不相等的實數根，求證：

選考題：共10分，二選一

22、在平面直角坐標系中，曲線C：，直線的參數方程為（t為參數），其中，以坐標原點O為極點，軸非負半軸為極軸，建立極坐標系。

（Ⅰ）求曲線的極坐標方程和直線的普通方程；

（Ⅱ）設，的極坐標方程，A，B分別為直線與曲線異于原點的公共點，當時，求直線的斜率；

23、函數

（Ⅰ）求不等式的解集；

（Ⅱ）若的最小值為，且實數滿足，求證：