2020年高三年級第一次診斷性測試

文科數學

（卷面分值：150分

考試時間：120分鐘）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的第Ⅰ卷（選擇題

共60分）

1.設集合，則

2.若復數滿足（其中為虛數單位），則

3.已知是兩條不同的直線，是三個不同的平面，則下列命題正確的是

若，則

若，則

若，且，則

若，且，則

4.設，，則有

5.已知向量，且，則

6.已知雙曲線（）的左、右焦點分別為，為虛軸的一個端點，且，則雙曲線的離心率為

7.執行如右圖所示的程序框圖，則輸出的8.從1，2，3，4，5這五個數字中隨機選擇兩個不同的數字，則它們之和為偶數的概率為

9.等比數列的前n項和為，且成等差數列，若，則

10.將函數的圖象向左平移個單位長度后得到函數的圖象，則下列關于說法正確的是

最大值為1，圖象關于直線對稱

在上單調遞減，為奇函數

在上單調遞增，為偶函數

周期是，圖象關于點對稱

11.已知拋物線C：的焦點F到準線的距離為2，點P在拋物線上，且，延長PF交C于點Q，則△OPQ的面積為

12.已知函數，若對任意，都有，則實數的取值范圍是

第Ⅱ卷（非選擇題

共90分）

二、填空題：本大題共4個小題，每小題5分

13.若實數滿足約束條件，則的最大值為_______

14.已知，為銳角，則_______

15.已知數列滿足：（），若，則____

16.如圖，已知正方體的棱長為2，E、F、G分別為AB、AD、的中點，給出下列命題：

①異面直線EF與AG所成的角的余弦值為；

②過點E、F、G作正方體的截面，所得的截面的面積是；

③平面

④三棱錐的體積為1

其中正確的命題是_____________（填寫所有正確的序號）

三、解答題：第17~21題每題12分，解答應寫出文字說明、證明過計算步驟

17.△ABC的內角的對邊分別是，且

（Ⅰ）求∠C的值

（Ⅱ）若，求△ABC面積的最大值；

18.如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD//BC，∠BAD=90°，AD=2BC，M為PD的中點

（Ⅰ）證明：CM//平面PAB

（Ⅱ）若△PBD是邊長為2的等邊三角形，求點C到平面PBD的距離

19.“團購”已經滲透到我們每個人的生活，這離不開快遞行業的發展，下表是2013-2017年全國快遞業務量（億件：精確到0.1）及其增長速度（%）的數據

（Ⅰ）試計算2012年的快遞業務量；

（Ⅱ）分別將2013年，2014年，…，2017年記成年的序號t：1，2，3，4，5；現已知與t具有線性相關關系，試建立關于t的回歸直線方程；

（Ⅲ）根據（Ⅱ）問中所建立的回歸直線方程，估算2019年的快遞業務量

附：回歸直線的斜率和截距地最小二乘法估計公式分別為：，20.已知橢圓C：過點，左焦點F

（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；

（Ⅱ）分別為橢圓C的左、右頂點，過點F作直線與橢圓C交于PQ兩點（P點在軸上方），若△的面積與△的面積之比為2：3，求直線的方程

21.已知函數

（Ⅰ）若時，討論的單調性；

（Ⅱ）設，若有兩個零點，求的取值范圍

選考題：共10分，二選一

22.在平面直角坐標系中，曲線C：，直線的參數方程為（t為參數），其中，以坐標原點O為極點，軸非負半軸為極軸，建立極坐標系。

（Ⅰ）求曲線的極坐標方程和直線的普通方程；

（Ⅱ）設，的極坐標方程，A，B分別為直線與曲線異于原點的公共點，當時，求直線的斜率；

23.函數

（Ⅰ）求不等式的解集；

（Ⅱ）若的最小值為，且實數滿足，求證：