極值點偏移問題的處理策略及探究

所謂極值點偏移問題，是指對于單極值函數，由于函數極值點左右的增減速度不同，使得函數圖像沒有對稱性。若函數在處取得極值，且函數與直線交于,兩點，則的中點為，而往往.如下圖所示.極值點沒有偏移

此類問題在近幾年高考及各種模考，作為熱點以壓軸題的形式給出，很多學生對待此類問題經常是束手無策。而且此類問題變化多樣，有些題型是不含參數的，而更多的題型又是含有參數的。不含參數的如何解決？含參數的又該如何解決，參數如何來處理？是否有更方便的方法來解決？其實，處理的手段有很多，方法也就有很多，我們先來看看此類問題的基本特征，再從幾個典型問題來逐一探索！

【問題特征】

【處理策略】

一、不含參數的問題.例1.（2010天津理）已知函數，如果，且，證明：

【解析】法一：，易得在上單調遞增，在上單調遞減，時，，時，函

數在處取得極大值，且,如圖所示.由，不妨設，則必有，構造函數，則，所以在上單調遞增，也即對恒成立.由，則，所以，即，又因為，且在上單調遞減，所以，即證

法二：欲證，即證，由法一知，故，又因為在上單調遞減，故只需證，又因為，故也即證，構造函數，則等價于證明對恒成立.由，則在上單調遞增，所以，即已證明對恒成立，故原不等式亦成立.法三：由，得，化簡得…?，不妨設，由法一知，.令，則，代入?式，得，反解出，則，故要證：，即證：，又因為，等價于證明：…?，構造函數，則，故在上單調遞增，從而也在上單調遞增，即證?式成立，也即原不等式成立.法四：由法三中?式，兩邊同時取以為底的對數，得，也即，從而，令，則欲證：，等價于證明：…?，構造，則，又令，則，由于對恒成立，故，在上單調遞增，所以，從而，故在上單調遞增，由洛比塔法則知：，即證，即證?式成立，也即原不等式成立.【點評】以上四種方法均是為了實現將雙變元的不等式轉化為單變元不等式，方法一、二利用構造新的函數來達到消元的目的，方法三、四則是利用構造新的變元，將兩個舊的變元都換成新變元來表示，從而達到消元的目的.二、含參數的問題.例2.已知函數有兩個不同的零點，求證：.【解析】思路1：函數的兩個零點，等價于方程的兩個實根，從而這一問題與例1完全等價，例1的四種方法全都可以用；

思路2：也可以利用參數這個媒介去構造出新的函數.解答如下：

因為函數有兩個零點，所以，由得：，要證明，只要證明，由得：，即，即證：，不妨設，記，則，因此只要證明：，再次換元令，即證

構造新函數，求導，得在遞增，所以，因此原不等式獲證.【點評】含參數的極值點偏移問題，在原有的兩個變元的基礎上，又多了一個參數，故思路很自然的就會想到：想盡一切辦法消去參數，從而轉化成不含參數的問題去解決；或者以參數為媒介，構造出一個變元的新的函數。

例3.已知函數，為常數，若函數有兩個零點，試證明：

【解析】法一：消參轉化成無參數問題：，是方程的兩根，也是方

程的兩根，則是，設，則，從而，此問題等價轉化成為例1，下略.法二：利用參數作為媒介，換元后構造新函數：

不妨設，∵，∴，∴，欲證明，即證.∵，∴即證，∴原命題等價于證明，即證：，令，構造，此問題等價轉化成為例2中思路二的解答，下略.法三：直接換元構造新函數：

設，則，反解出：，故，轉化成法二，下同，略.例4.設函數，其圖像與軸交于兩點，且.證明：.【解析】由，易知：的取值范圍為，在上單調遞減，在上單調遞增.法一：利用通法構造新函數，略；

法二：將舊變元轉換成新變元：

∵兩式相減得：，記，則，設，則，所以在上單調遞減，故,而，所以，又∵是上的遞增函數，且，∴.容易想到，但卻是錯解的過程：

欲證：，即要證：，亦要證，也即證：，很自然會想到：對兩式相乘得：，即證：.考慮用基本不等式，也即只要證：.由于.當取將得到，從而.而二元一次不等式對任意不恒成立，故此法錯誤.【迷惑】此題為什么兩式相減能奏效，而變式相乘卻失敗？兩式相減的思想基礎是什么？其他題是否也可以效仿這兩式相減的思路?

【解決】此題及很多類似的問題，都有著深刻的高等數學背景.拉格朗日中值定理：若函數滿足如下條件：

（1）

函數在閉區間上連續；

（2）

函數在開區間內可導，則在內至少存在一點，使得.當時，即得到羅爾中值定理.上述問題即對應于羅爾中值定理，設函數圖像與軸交于兩點，因此，∴，……

由于，顯然與，與已知

不是充要關系，轉化的過程中范圍發生了改變.例5.（11年，遼寧理）

已知函數

（I）討論的單調性；

（II）設，證明：當時，；

（III）若函數的圖像與軸交于兩點，線段中點的橫坐標為，證明：.【解析】（I）易得：當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞增，在上單調遞減.（II）法一：構造函數，利用函數單調性證明，方法上同，略；

法二：構造以為主元的函數，設函數，則，由，解得，當時，而，所以，故當時，.（III）由（I）知，只有當時，且的最大值，函數才會有兩個零點，不妨設，則，故，由（II）得：，又由在上單調遞減，所以，于是，由（I）知，.【問題的進一步探究】

對數平均不等式的介紹與證明

兩個正數和的對數平均定義：

對數平均與算術平均、幾何平均的大小關系：

（此式記為對數平均不等式）

取等條件：當且僅當時，等號成立.只證：當時，.不失一般性，可設.證明如下：

（I）先證：……?

不等式?

構造函數，則.因為時，所以函數在上單調遞減，故，從而不等式?成立；

（II）再證：……?

不等式?

構造函數，則.因為時，所以函數在上單調遞增，故，從而不等式?成立；

綜合（I）（II）知，對，都有對數平均不等式成立，當且僅當時，等號成立.前面例題用對數平均不等式解決

例1.（2010天津理）已知函數，如果，且，證明：

【解析】法五：由前述方法四，可得，利用對數平均不等式得：，即證：，秒證.說明：由于例2，例3最終可等價轉化成例1的形式，故此處對數平均不等式的方法省略.例4.設函數，其圖像與軸交于兩點，且.證明：.【解析】法三：由前述方法可得：，等式兩邊取以為底的對數，得，化簡得：，由對數平均不等式知：，即，故要證

∵

∴，而

∴顯然成立，故原問題得證.例5.（11年，遼寧理）

已知函數

（I）討論的單調性；

（II）設，證明：當時，；

（III）若函數的圖像與軸交于兩點，線段中點的橫坐標為，證明：.【解析】（I）（II）略，（III）由

故要證

.根據對數平均不等，此不等式顯然成立，故原不等式得證.【挑戰今年高考壓軸題】

（2016年新課標I卷理數壓軸21題）已知函數有兩個零點.證明：.【解析】由，得，可知在上單調遞減，在上單調遞增.要使函數有兩個零點，則必須.法一：構造部分對稱函數

不妨設，由單調性知，所以，又∵在單調遞減，故要證：，等價于證明：，又∵，且

∴，構造函數，由單調性可證，此處略.法二：參變分離再構造差量函數

由已知得：，不難發現，故可整理得：

設，則

那么，當時，單調遞減；當時，單調遞增．

設，構造代數式：

設，則，故單調遞增，有．

因此，對于任意的，．

由可知、不可能在的同一個單調區間上，不妨設，則必有

令，則有

而，在上單調遞增，因此：

整理得：．

法三：參變分離再構造對稱函數

由法二，得，構造，利用單調性可證，此處略.法四：構造加強函數

【分析說明】由于原函數的不對稱，故希望構造一個關于直線對稱的函數，使得當時，當時，結合圖像，易證原不等式成立.【解答】由，故希望構造一個函數，使得，從而在上單調遞增，在上單調遞增，從而構造出（為任意常數），又因為我們希望，而，故取，從而達到目的.故，設的兩個零點為，結合圖像可知：，所以，即原不等式得證.法五：利用“對數平均”不等式，由對數平均不等式得：，從而

等價于：

由，故，證畢.說明：談談其它方法的思路與困惑。