1-9

已知隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為

求：①系數(shù)k；

②X落在區(qū)間內(nèi)的概率；

③隨機(jī)變量X的概率密度。

解：

第①問

利用右連續(xù)的性質(zhì)

k＝1

第②問

第③問

1-10已知隨機(jī)變量X的概率密度為（拉普拉斯分布），求：

①系數(shù)k

②X落在區(qū)間內(nèi)的概率

③隨機(jī)變量X的分布函數(shù)

解：

第①問

第②問

隨機(jī)變量X落在區(qū)間的概率就是曲線下的曲邊梯形的面積。

第③問

1-11

某繁忙的汽車站，每天有大量的汽車進(jìn)出。設(shè)每輛汽車在一天內(nèi)出事故的概率為0.0001，若每天有1000輛汽車進(jìn)出汽車站，問汽車站出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少？

汽車站出事故的次數(shù)不小于2的概率

答案

1-12

已知隨機(jī)變量的概率密度為

求：①系數(shù)k？②的分布函數(shù)？③？

第③問

方法一：

聯(lián)合分布函數(shù)性質(zhì)：

若任意四個(gè)實(shí)數(shù)，滿足，則

方法二：利用

1-13

已知隨機(jī)變量的概率密度為

①求條件概率密度和？②判斷X和Y是否獨(dú)立？給出理由。

先求邊緣概率密度、注意上下限的選取

1-14

已知離散型隨機(jī)變量X的分布律為

0.2

0.1

0.7

求：①X的分布函數(shù)

②隨機(jī)變量的分布律

1-15

已知隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)高斯分布。求：①隨機(jī)變量的概率密度？②隨機(jī)變量的概率密度？

分析:①

②

答案:

1-16

已知隨機(jī)變量和相互獨(dú)立，概率密度分別為，求隨機(jī)變量的概率密度？

解：設(shè)

求反函數(shù)，求雅克比J＝－1

1-17

已知隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為

求：①邊緣分布律和？

②條件分布律和？

分析：

泊松分布

P19

（1－48）

解：①

②

即X、Y相互獨(dú)立

1-18

已知隨機(jī)變量相互獨(dú)立，概率密度分別為。又隨機(jī)變量

證明：隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為

因?yàn)閨J|＝1,故

已知隨機(jī)變量相互獨(dú)立，概率密度分別為

1-19

已知隨機(jī)變量X服從拉普拉斯分布，其概率密度為

求其數(shù)學(xué)期望與方差？

解:

1-20

已知隨機(jī)變量X可能取值為，且每個(gè)值出現(xiàn)的概率均為。求：①隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望和方差？②隨機(jī)變量的概率密度？③Y的數(shù)學(xué)期望和方差？

①③

答案:

②

Y

P

1/5

1/5

1/5

2/5

離散型隨機(jī)變量的概率密度表達(dá)式　　　　　P12，1-25式

其中

為沖激函數(shù)

1-22

已知兩個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為，方差為，相關(guān)系數(shù)。現(xiàn)定義新隨機(jī)變量為

求的期望，方差以及它們的相關(guān)系數(shù)？

0.13

1-23

已知隨機(jī)變量滿足，皆為常數(shù)。證明：

①

；②

；③

當(dāng)且時(shí)，隨機(jī)變量正交。

①

②

③

1-25

已知隨機(jī)變量相互獨(dú)立，分別服從參數(shù)為和的泊松分布。①求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望和方差？②證明服從參數(shù)為的泊松分布。

解：①

泊松分布

特征函數(shù)的定義

由(1-17題用過)

可得

②根據(jù)特征函數(shù)的性質(zhì)，X

Y相互獨(dú)立，表明Z服從參數(shù)為的泊松分布1-26

已知隨機(jī)變量的聯(lián)合特征函數(shù)為

求：①隨機(jī)變量X的特征函數(shù)

②隨機(jī)變量Y的期望和方差

解：①

②

1-28

已知兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量的特征函數(shù)分別是和，求隨機(jī)變量特征函數(shù)？

解：

特征函數(shù)的性質(zhì)：相互獨(dú)立隨機(jī)變量和的特征函數(shù)等于它們特征函數(shù)之積

X、Y獨(dú)立，因此有

和獨(dú)立

獨(dú)立的等價(jià)條件（充分必要條件）

①

②

③

1-29

已知二維高斯變量中，高斯變量的期望分別為，方差分別為，相關(guān)系數(shù)為。令

①

寫出二維高斯變量的概率密度和特征函數(shù)的矩陣形式，并展開；

②

證明相互獨(dú)立，皆服從標(biāo)準(zhǔn)高斯分布。

解：，系數(shù)矩陣，線性變換，故也服從高斯分布，故不相關(guān)，高斯變量不相關(guān)和獨(dú)立等價(jià)，獨(dú)立

1-30

已知二維高斯變量的兩個(gè)分量相互獨(dú)立，期望皆為0，方差皆為。令

其中為常數(shù)。①證明：服從二維高斯分布；

②求的均值和協(xié)方差矩陣；

③證明：相互獨(dú)立的條件為。

復(fù)習(xí)：

n維高斯變量的性質(zhì)

1.高斯變量的互不相關(guān)與獨(dú)立是等價(jià)的2.高斯變量的線性變換后仍服從高斯分布。

3.高斯變量的邊緣分布仍服從高斯分布

解：①

②

③相互獨(dú)立、二維高斯矢量

因此互不相關(guān)

只要證為對(duì)角證

即

1-31

已知三維高斯隨機(jī)矢量均值為常矢量，方差陣為

證明：相互獨(dú)立。

復(fù)習(xí)：

n維高斯變量的性質(zhì)

1.高斯變量的互不相關(guān)與獨(dú)立是等價(jià)的2.高斯變量的線性變換后仍服從高斯分布。

3.高斯變量的邊緣分布仍服從高斯分布

思路：設(shè)隨機(jī)矢量

由性質(zhì)可得為三維高斯變量，求得方差陣為對(duì)角陣

1-32

已知三維高斯隨機(jī)變量各分量相互獨(dú)立，皆服從標(biāo)準(zhǔn)高斯分布。求和的聯(lián)合特征函數(shù)？

思路：是線性變換故也服從高斯分布，求得就可以寫出聯(lián)合特征函數(shù)，線性變換，故也服從高斯分布

N維高斯變量的聯(lián)合特征函數(shù)

2、已知隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為

(1)條件概率密度

(2)X和Y是否獨(dú)立？給出理由。

解題思路：

解：(1)

(2)

X和Y不相互獨(dú)立

4、已知

(X1,X2,X3)

是三維高斯變量，其期望和方差為

求：(1)

(X1,X2)的邊緣特征函數(shù)。

(2)

(Y1,Y2)的聯(lián)合概率密度

高斯變量的線性變換后仍服從高斯分布

所以(X1,X2)、服從高斯分布

(1)

(2)

2-1

已知隨機(jī)過程，其中

為常數(shù)，隨機(jī)變量

服從標(biāo)準(zhǔn)高斯分布。求

三個(gè)時(shí)刻的一維概率密度？

解：

(離散型隨機(jī)變量分布律)

2-2

如圖2.23所示，已知隨機(jī)過程

僅由四條樣本函數(shù)組成，出現(xiàn)的概率為。

圖2.23

習(xí)題2-2

在和

兩個(gè)時(shí)刻的分布律如下：

1/8

1/4

3/8

1/4

求？

2－23

2-4

已知隨機(jī)過程，其中

皆為隨機(jī)變量。①求隨機(jī)過程的期望

和自相關(guān)函數(shù)

？②若已知隨機(jī)變量相互獨(dú)立，它們的概率密度分別為

和，求的一維概率密度

第②問

方法一：用雅克比做（求隨機(jī)變量函數(shù)的分布）

步驟：

t時(shí)刻，為兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)

①設(shè)二維的隨機(jī)矢量

②求反函數(shù)

③求雅克比行列式J，得到|J|

④利用公式

⑤由聯(lián)合概率密度求邊緣概率密度

⑥t為變量，則得到

方法二：

用特征函數(shù)定義和性質(zhì)（獨(dú)立變量和的特征函數(shù)等于各特征函數(shù)的乘積）做

（特征函數(shù)和概率密度一一對(duì)應(yīng)）

2-5

已知

為平穩(wěn)過程，隨機(jī)變量

。判斷隨機(jī)過程的平穩(wěn)性？

隨機(jī)過程

非平穩(wěn)

2-6

已知隨機(jī)過程，其中隨機(jī)過程

寬平穩(wěn)，表示幅度；角頻率

為常數(shù)；隨機(jī)相位

服從的均勻分布，且與過程

相互獨(dú)立。①求隨機(jī)過程的期望和自相關(guān)函數(shù)？②判斷隨機(jī)過程

是否寬平穩(wěn)？

①

與過程

相互獨(dú)立

2-8

已知平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)為，求過程的均方值和方差？

2-10

已知過程

和，其中隨機(jī)變量

獨(dú)立，均值都為0，方差都為5。①證明

和

各自平穩(wěn)且聯(lián)合平穩(wěn)；②求兩個(gè)過程的互相關(guān)函數(shù)？

①

2-11

已知過程

和

各自平穩(wěn)且聯(lián)合平穩(wěn)，且

。①求的自相關(guān)函數(shù)

？②若

和

獨(dú)立，求

？③若

和

獨(dú)立且均值均為0，求

第①問

兩個(gè)聯(lián)合平穩(wěn)的過程的互相關(guān)函數(shù)

第②問

兩平穩(wěn)過程獨(dú)立

第③問

和

獨(dú)立且均值均為0

2-12

已知兩個(gè)相互獨(dú)立的平穩(wěn)過程

和的自相關(guān)函數(shù)為

令隨機(jī)過程，其中

是均值為2，方差為9的隨機(jī)變量，且與

和

相互獨(dú)立。求過程的均值、方差和

自相關(guān)函數(shù)？

隨機(jī)變量A，與

和

相互獨(dú)立

可以證明過程

平穩(wěn)

2-14

已知復(fù)隨機(jī)過程

式中

為n個(gè)實(shí)隨機(jī)變量，為n個(gè)實(shí)數(shù)。求當(dāng)

滿足什么條件時(shí)，復(fù)平穩(wěn)？

復(fù)過程

復(fù)平穩(wěn)條件

①

②

2-16

已知平穩(wěn)過程的均方可導(dǎo)。證明的互相關(guān)函數(shù)和的自相關(guān)函數(shù)分別為

若

為寬平穩(wěn)（實(shí)）過程，則

也是寬平穩(wěn)（實(shí)）過程，且

與

聯(lián)合寬平穩(wěn)。

2-17

已知隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望，求隨機(jī)過程的期望？

2-18

已知平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)

。求：①其導(dǎo)數(shù)的自相關(guān)函數(shù)和方差？②

和的方差比？

不含周期分量

補(bǔ)充題：若某個(gè)噪聲電壓

是一個(gè)各態(tài)歷經(jīng)過程，它的一個(gè)樣本函數(shù)為，求該噪聲的直流分量、交流平均功率

解：直流分量、交流平均功率

各態(tài)歷經(jīng)過程

可以用它的任一個(gè)樣本函數(shù)的時(shí)間平均來代替整個(gè)過程的統(tǒng)計(jì)平均

再利用平穩(wěn)過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)

方法二：

2-19

已知隨機(jī)過程，其中

是均值和方

差皆為1的隨機(jī)變量。令隨機(jī)過程

求的均值、自相關(guān)函數(shù)、協(xié)方差函數(shù)和方差？

解：

1．求均值，利用

隨機(jī)過程的積分運(yùn)算與數(shù)學(xué)期望運(yùn)算的次序可以互換

2.求自相關(guān)函數(shù)

3.求互協(xié)方差函數(shù)

4.求方差

2-20

已知平穩(wěn)高斯過程的自相關(guān)函數(shù)為

①

②

求當(dāng)

固定時(shí)，過程的四個(gè)狀態(tài)的協(xié)方差矩陣？

分析：高斯過程四個(gè)狀態(tài)的解：①

②

2-21

已知平穩(wěn)高斯過程的均值為0，令隨機(jī)過程。

證明

2-22

已知隨機(jī)過程，其中隨機(jī)相位

服從

上的均勻分布；

可能為常數(shù)，也可能為隨機(jī)變量，且若

為隨機(jī)變量時(shí)，和隨機(jī)變量

相互獨(dú)立。當(dāng)

具備什么條件時(shí)，過程各態(tài)歷經(jīng)？

分析：隨機(jī)過程各態(tài)歷經(jīng)要求為平穩(wěn)過程且

解：①

A為常數(shù)時(shí)

為平穩(wěn)過程

A為隨機(jī)變量時(shí)

和隨機(jī)變量

相互獨(dú)立

為平穩(wěn)過程

②

③

l、隨機(jī)過程

X(t)=A+cos(t+B)，其中A是均值為2，方差為1的高斯變量，B是（0，2p）上均勻分布的隨機(jī)變量，且A和B獨(dú)立。求

（1）證明X(t)是平穩(wěn)過程。

（2）X(t)是各態(tài)歷經(jīng)過程嗎？給出理由。

（3）畫出該隨機(jī)過程的一個(gè)樣本函數(shù)。

（1）

（2）

3-1

已知平穩(wěn)過程的功率譜密度為，求：①該過程的平均功率？

②取值在范圍內(nèi)的平均功率？

解

3-7如圖3.10所示，系統(tǒng)的輸入為平穩(wěn)過程，系統(tǒng)的輸出為。證明：輸出的功率譜密度為

3-9

已知平穩(wěn)過程和相互獨(dú)立，它們的均值至少有一個(gè)為零，功率譜密度分別為

令新的隨機(jī)過程

①證明和聯(lián)合平穩(wěn)；

②求的功率譜密度？

③求和的互譜密度？

④求和的互相關(guān)函數(shù)？

⑤求和的互相關(guān)函數(shù)

解:

3-11

已知可微平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)為，其導(dǎo)數(shù)為。求互譜密度和功率譜密度？

Ⅰ.平穩(wěn)過程

維納－辛欽定理

Ⅱ.2-17

已知平穩(wěn)過程的均方可導(dǎo)。證明的互相關(guān)函數(shù)和的自相關(guān)函數(shù)分別為

Ⅲ.傅立葉變換的微分性質(zhì)

3-17

已知平穩(wěn)過程的物理功率譜密度為，①求的功率譜密度和自相關(guān)函數(shù)？畫出的圖形。

②判斷過程是白噪聲還是色噪聲？給出理由

白噪聲的定義

若平穩(wěn)隨機(jī)過程的均值為零，功率譜密度在整個(gè)頻率軸上均勻分布，滿足

(3-70)

其中為正實(shí)常數(shù)，則稱此過程為白噪聲過程，簡稱白噪聲。

4-4設(shè)有限時(shí)間積分器的單位沖激響應(yīng)

h(t)=U(t)－U(t－0.5)

它的輸入是功率譜密度為的白噪聲，試求系統(tǒng)輸出的總平均功率、交流平均功率和輸入輸出互相關(guān)函數(shù)

白噪聲

4-5

已知系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，其輸入平穩(wěn)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)為，求系統(tǒng)輸出的直流功率和輸出信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)？

分析：直流功率＝直流分量的平方

解:

輸入平穩(wěn)

輸出的直流分量

輸出的直流功率

4-7

已知如圖4.21

所示的線性系統(tǒng)，系統(tǒng)輸入信號(hào)是物理譜密度為的白噪聲，求：①系統(tǒng)的傳遞函數(shù)？②輸出的均方值？其中

4-11

已知系統(tǒng)的輸入為單位譜密度的白噪聲，輸出的功率譜密度為

求此穩(wěn)定系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)？

解：

4-12

已知系統(tǒng)輸入信號(hào)的功率譜密度為

設(shè)計(jì)一穩(wěn)定的線性系統(tǒng)，使得系統(tǒng)的輸出為單位譜密度的白噪聲？

解：

4-14

功率譜密度為的白噪聲作用于的低通網(wǎng)絡(luò)上，等效噪聲帶寬為。若在電阻上的輸出平均功率為。求的值？

書P162，解：對(duì)于低通情況

或者調(diào)用公式

圖4.24

習(xí)題4-18

4-18

如圖4.24所示的線性系統(tǒng)，系統(tǒng)輸入是零均值，物理譜密度為1的白噪聲，且。

①判斷和分別服從什么分布？給出理由。

②證明是嚴(yán)平穩(wěn)過程。

③求和的互相關(guān)函數(shù)，的功率譜密度？

④寫出的一維概率密度表達(dá)式？

⑤判斷同一時(shí)刻，和是否獨(dú)立？給出理由。

解：①是白噪聲

（白噪聲帶寬無限，由定義），線性系統(tǒng)，系統(tǒng)傳遞函數(shù)，是個(gè)低通線性系統(tǒng)（帶寬有限）

由4.5節(jié)結(jié)論2若系統(tǒng)輸入信號(hào)的等效噪聲帶寬遠(yuǎn)大于系統(tǒng)的帶寬，則輸出接近于高斯分布可知，為高斯過程。

由4.5節(jié)結(jié)論1可知，為高斯過程。

和服從高斯分布

②證明是嚴(yán)平穩(wěn)過程

證：是白噪聲（寬平穩(wěn)過程），通過線性系統(tǒng)的輸出也是寬平穩(wěn)過程（4.2.2結(jié)論1）。

對(duì)于高斯過程，寬平穩(wěn)和嚴(yán)平穩(wěn)等價(jià)。

③求和的互相關(guān)函數(shù)，的功率譜密度

習(xí)題3-7的結(jié)論

④求一維概率密度表達(dá)式，則易得

思考1：上述隨機(jī)過程的一維概率密度表達(dá)式中沒有時(shí)間參量，根據(jù)嚴(yán)平穩(wěn)過程的特性也可以推到。

思考2：試著寫出這個(gè)過程一維、二維的概率密度和特征函數(shù)形式。

⑤判斷同一時(shí)刻，和是否獨(dú)立？給出理由

和獨(dú)立（高斯過程）

等價(jià)

互不相關(guān)（零均值）

等價(jià)

正交

和聯(lián)合平穩(wěn)，再由兩者的相互關(guān)系可得

即不正交

和在同一時(shí)刻不獨(dú)立。

—

END

—