2019-2020學年第一中學高二上學期期中數學（文）試題

一、單選題

1．的內角，的對邊分別為，，已知，，則（）

A．

B．3

C．

D．

【答案】A

【解析】直接利用余弦定理計算得到答案.【詳解】

利用余弦定理：

故選：

【點睛】

本題考查了余弦定理，意在考查學生的計算能力.2．已知等差數列中，，則（）

A．100

B．99

C．98

D．97

【答案】C

【解析】根據條件先計算等差數列的通項公式，再代入計算得到答案.【詳解】，解得

故，故選：

【點睛】

本題考查了等差數列的通項公式，屬于基礎題型.3．命題“”的否定是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】分析：直接根據“全稱命題”的否定一定是“特稱命題”，寫出結果即可.詳解：“全稱命題”的否定一定是“特稱命題”，命題“”的否定是，故選B.點睛：本題考查命題的否定，“全稱量詞”與“存在量詞”正好構成了意義相反的表達，如“對所有的…都成立”與“至少有一個…不成立”：“都是”與“不都是”等，所以“全稱命題”的否定一定是“存在性命題”，“存在性命題”的否定一定是“全稱命題”.4．橢圓的焦距為8，且橢圓的長軸長為10，則該橢圓的標準方程是（）

A．

B．或

C．

D．或

【答案】B

【解析】根據題意，分析可得、的值，計算可得的值，分析橢圓的焦點位置，即可得答案．

【詳解】

解：根據題意，橢圓的焦距為8，長軸長為10，則，即，則，若橢圓的焦點在軸上，則其標準方程為，若橢圓的焦點在軸上，則其標準方程為，故要求橢圓的標準方程為或，故選：．

【點睛】

本題考查橢圓的標準方程，涉及橢圓的幾何性質，屬于基礎題．

5．已知，若，則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】取特殊值排除選項，再證明選項得到答案.【詳解】

取，則和不成立，排除；

取，不成立，排除；

即

故選：

【點睛】

本題考查了不等關系式的判斷，通過特殊值法可以快速排除選項，簡化運算.6．在中，，則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】根據面積公式得到，再利用余弦定理得到，再利用正弦定理得到答案.【詳解】

利用余弦定理得到：

正弦定理：

故

故選：

【點睛】

本題考查了面積公式，正弦定理，余弦定理，綜合性強，意在考查學生的綜合應用能力.7．若等比數列{an}的前n項和為Sn，則=（）

A．3

B．7

C．10

D．15

【答案】D

【解析】【詳解】

若q=1可得據=2≠3，故q≠1，∴，化簡得1-q8=3（1-q4），可得q8-3q4+2=0，解得q4=1或2，q≠1，解得q4=2，．

故選：D．

8．不等式的解集為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】直接解不等式得到答案.【詳解】

解得

故選：

【點睛】

本題考查了解不等式，屬于簡單題型.9．已知，滿足約束條件，目標函數的最大值為（）

A．-11

B．9

C．17

D．20

【答案】C

【解析】畫出可行域和目標函數，根據直線平移得到最大值.【詳解】

畫出可行域和直線，如圖所示：

當直線平移經過點時，即時，有最大值為

故選：

【點睛】

本題考查了線性規劃問題，畫出可行域是解題的關鍵.10．在中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，則的形狀一定是（）

A．直角三角形

B．等邊三角形

C．等腰三角形

D．等腰直角三角形

【答案】A

【解析】利用平方化倍角公式和邊化角公式化簡得到，結合三角形內角和定理化簡得到，即可確定的形狀。

【詳解】

化簡得

即

即

是直角三角形

故選A

【點睛】

本題考查了平方化倍角公式和正弦定理的邊化角公式，在化簡時，將邊化為角，使邊角混雜變統一，還有三角形內角和定理的運用，這一點往往容易忽略。

11．給出如下四個命題：

①若“”為假命題，則，均為假命題；

②命題“若，則”的否命題為“若，則”；

③“，”的否定是“，”；

④在中，“”是“”的充要條件.其中正確的個數是（）

A．1

B．2

C．3

D．4

【答案】C

【解析】依次判斷每個選項的正誤，判斷得到答案.【詳解】

①若“”為假命題，則，均為假命題或一真一假，①錯誤；

②命題“若，則”的否命題為“若，則”，條件結論均否定，②正確；

③“，”的否定是“，”

根據命題否定的定義，③正確；

④在中，“”是“”的充要條件.根據大角對大邊得到，根據正弦定理得到，充分性；根據正弦定理得到，根據大角對大邊得到，必要性.④正確.故選：

【點睛】

本題考查了命題的判斷，意在考查學生的推斷能力.12．已知，在這兩個實數之間插入三個實數，使這五個數構成等差數列，那么這個等差數列后三項和的最大值為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】根據題意，用表示這個等差數列后三項和為，進而設，利用三角函數的性質能求最大值。

【詳解】

設中間三項為，則，所以，所以后三項的和為，又因為，所以可令，所以

故選：

【點睛】

本題主要考查等差數列的性質和三角函數的性質。

二、填空題

13．若命題“?t∈R，t2-2t-a＜0”是假命題，則實數a的取值范圍是

______.【答案】

【解析】【詳解】

命題“?t∈R，t2-2t-a＜0”是假命題，等價于?t∈R，t2-2t-a≥0是真命題，∴△=4+4a≤0，解得a≤-1．

∴實數a的取值范圍是（-∞，-1]．

故答案為（-∞，-1]．

14．在中，角所對的邊分別為，若，則______．

【答案】

【解析】【詳解】

由正弦定理及可得，又，所以，即,由余弦定理可得，則，應填答案

15．已知正實數，滿足，則的最大值是______.【答案】

【解析】利用均值不等式得到，再計算得到答案.【詳解】

正實數，則

當時等號成立.故答案為：

【點睛】

本題考查了均值不等式，意在考查學生的應用能力.16．若數列滿足，則______.【答案】

【解析】直接利用數列的遞推關系式的應用和疊乘法的應用求出數列的通項公式，進一步利用數列的通項公式求出結果．

【詳解】

解：數列滿足，①

當時，②

①②得，所以，，所有的式子相乘得，所以

即首項符合通項，故，所以

故答案為：

【點睛】

本題考查的知識要點：數列的遞推關系式的應用，疊乘法的應用，主要考查學生的運算能力和轉換能力及思維能力，屬于基礎題型．

三、解答題

17．已知，.設：函數在上單調遞減；：關于的不等式的解集為.如果“”為真，“”為假，求的取值范圍.【答案】

【解析】將題目分為真假和假真兩種情況，分別計算得到答案.【詳解】

若為真，即函數在上單調遞減，則；

若為真，即關于的不等式的解集為，則，解得.由“”為真，“”為假，可知，中一真一假.如果真假，則，解得；

如果假真，則，解得.綜上所述，的取值范圍為.【點睛】

本題考查了根據命題的真假計算參數范圍，確定，為一真一假是解題的關鍵.18．已知數列是首項為1，公比為的等比數列，并且，成等差數列.（1）求的值；

（2）若數列滿足，求數列的前項和.【答案】（1）（2）

【解析】（1）直接利用已知條件整理得到關于公比的等式，解之即可求出公比；

（2）利用求出的公比，先求出兩個數列的通項公式，再對數列采用分組求和即可．

【詳解】

解：（1）由，成等差數列，得，即，由于，所以，所以或（舍），所以.（2）由（1）知，所以.又，所以數列的前項和為：

.【點睛】

本題考查等差數列與等比數列的基礎知識，考查方程思想在解決數列問題中的應用以及等差數列和等比數列的前項和公式的應用．主要考查學生的運算能力．

19．如圖，港口在港口的正東120海里處，小島在港口的北偏東的方向，且在港口北偏西的方向上，一艘科學考察船從港口出發，沿北偏東的方向以20海里/小時的速度駛離港口.一艘給養快艇從港口以60海里/小時的速度駛向小島，在島轉運補給物資后以相同的航速送往科考船.已知兩船同時出發，補給裝船時間為1小時.（1）求給養快艇從港口到小島的航行時間；

（2）給養快艇駛離港口后，最少經過多少小時能和科考船相遇？

【答案】（1）快艇從港口到小島的航行時間為小時（2）給養快艇駛離港口后，最少經過3小時能和科考船相遇

【解析】（1）給養快艇從港口到小島的航行時間，已知其速度，則只要求得的路程，再利用路程公式即可求得所需的時間．

（2）由（1）知，給養快艇從港口駛離2小時后，從小島出發與科考船匯合，根據題意確定各邊長和各角的值，然后由余弦定理解決問題．

【詳解】

（1）由題意知，在中，，所以，于是，而快艇的速度為海里/小時，所以快艇從港口到小島的航行時間為小時.（2）由（1）知，給養快艇從港口駛離2小時后，從小島出發與科考船匯合.為使航行的時間最少，快艇從小島駛離后必須按直線方向航行，設給養快艇駛離港口小時后恰與科考船在處相遇.在中，而在中，，由余弦定理，得，即，化簡，得，解得或（舍去）.故.即給養快艇駛離港口后，最少經過3小時能和科考船相遇.【點睛】

本題主要考查余弦定理的應用，考查學生分析解決問題的能力．余弦定理在解實際問題時有著廣泛的應用，一定要熟練的掌握．

20．已知，且.（1）當，分別為何值時，取得最小值？

（2）當，分別為何值時，取得最小值？

【答案】（1），時，最?。?），時,最小

【解析】（1）利用均值不等式將等式變換為不等式，計算得到答案.（2）利用1的代換將轉化為，展開利用均值不等式得到答案.【詳解】

（1）因為，且，所以，所以，當且僅當，即，時取等號，所以的最小值為32.（2）由已知得，所以，當且僅當，即，時取等號.因此的最小值為.【點睛】

本題考查了均值不等式的應用，其中1的代換是一個常用的方法，需要同學們熟練掌握.21．已知數列的前項和為，.（1）求，的值及數列的通項公式；

（2）求證：.【答案】（1），,（2）證明見解析

【解析】（1）代入數據計算，，再利用公式計算得到答案.（2），利用裂項求和計算得到答案.【詳解】

（1）因為，①

知，又，得，同理，由①知當時，②

①-②得，所以，所以，所以，上式對于也成立，因此.（2）由（1）可知，所以，所以.【點睛】

本題考查數列的通項公式，裂項求和，意在考查學生對于數列公式和方法的靈活運用.22．在中，內角，的對邊分別是，，且.（Ⅰ）求角的大?。?/p>

（Ⅱ）點滿足，且線段，求的最大值.【答案】(1)

(2)6

【解析】試題分析：（Ⅰ）首先利用正弦定理將已知等式中的角化為邊，由此得到間的關系，然后由余弦定理求得，從而求角的大小；（Ⅱ）首先利用余弦定理得到間的關系，然后利用基本不等式即可求得最大值．

試題解析：（Ⅰ）∵，由正弦定理得，∴，即，又∵，∴，∵，∴．

（Ⅱ）在中由余弦定理知：，∴，∵，∴，即，當且僅當，即，時取等號，所以的最大值為6．