2019-2020學年市第一中學高一上學期期中數學試題

一、單選題

1．已知集合，則

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】試題分析：集合，而，所以，故選C.【考點】

集合的運算

【名師點睛】集合的交、并、補運算問題，應先把集合化簡再計算，常常借助數軸或韋恩圖進行處理.2．以下函數在R上為減函數的是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】逐一分析選項，得到正確答案.【詳解】

A.的定義域是，且在是減函數，故不正確；

B.的定義域是，函數在和時單調遞減函數，故不正確；

C.在上單調遞減，故正確；

D.在單調遞減，在單調遞增，故不正確.故選：C

【點睛】

本題考查函數的單調性，屬于基礎題型.3．若是函數的零點，則所在的一個區間是（）

A．(0，1)

B．(1，2)

C．(2，3)

D．(3，4)

【答案】B

【解析】根據零點存在性定理，判斷區間端點的函數值，若，可知零點必在此區間.【詳解】

是減函數，且，，零點所在區間是.故選：B

【點睛】

本題考查零點存在性定理，屬于簡單題型，當，若滿足，則存在，使.4．若函數的定義域為[－2，2]，則的值域為（）

A．[－1，7]

B．[0，7]

C．[－2，7]

D．[－2，0]

【答案】C

【解析】判斷函數在的單調性，得到函數的值域.【詳解】

函數，函數的對稱軸是，函數在單調遞減，在單調遞增，當時，可知，時，函數取得最小值-2，當時，函數取得最大值7，函數的值域是.故選：C

【點睛】

本題考查二次函數的值域的求法，屬于簡單題型.5．已知函數f(x)＝那么f?的值為()

A．27

B．

C．－27

D．－

【答案】B

【解析】利用分段函數先求f（）的值，然后在求出f?的值．

【詳解】

f?＝log2＝log22－3＝－3，f?＝f(－3)＝3－3＝.【點睛】

本題主要考查分段函數求值以及指數函數、對數函數的基本運算，屬基礎題．

6．若偶函數f（x）在（-∞，-1]上是增函數，則（）

A．f（-1.5）＜f（-1）＜f（2）

B．f（-1）＜f（-1.5）＜f（2）

C．f（2）＜f（-1）＜f（-1.5）

D．f（2）＜f（-1.5）＜f（-1）

【答案】D

【解析】根據單調性可得，結合奇偶性可得結果.【詳解】

在上是增函數，又，又為偶函數，故選D．

【點睛】

在比較，，的大小時，首先應該根據函數的奇偶性與周期性將，，通過等值變形將自變量置于同一個單調區間，然后根據單調性比較大小．

7．若=log20.5，b=20.5，c=0.52，則，b，c三個數的大小關系是（）

A．＜b＜c

B．b＜c＜

C．＜c＜b

D．c＜＜b

【答案】C

【解析】a=log20.5＜0，b=20.5＞1，0＜c=0.52＜1，則a＜c＜b，故選：C．

8．若時，在同一坐標系中，函數與的圖像大致是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】【詳解】

解析過程略

9．若函數在區間為增函數，則的取值范圍（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】在上是增函數,對稱軸

即.故選D．

點晴：本題考查二次函數的單調性問題，常見題型有：（1）直接求函數的單調區間；（2）根據函數的單調區間求參數.求解這類問題的關鍵是：（1）首先確定二次函數圖象的開口方向；（2）根據題目要求研究二次函數對稱軸與區間的位置關系,要注意題目中的要求和給定的區間.10．函數的定義域為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】由根式內部的代數式大于等于0求解對數不等式得答案．

【詳解】

由log2x-1≥0，解得x≥2．

∴函數的定義域為[2，+∞）．

故選：A．

【點睛】

本題考查函數的定義域及其求法，考查對數不等式的解法，是基礎題．

11．設是上的奇函數，且在區間上遞減，則的解集是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】根據題意，函數f（x）是奇函數，在區間（0，+∞）上單調遞減，且f

（2）=0，則函數f（x）在（-∞，0）上單調遞減，且f（-2）=-f（2）=0，當x＞0時，若f（x）＞0，必有0＜x＜2，當x＜0時，若f（x）＞0，必有x＜-2，即f（x）＞0的解集是（-∞，-2）∪（0，2）；

故答案選：C．

點睛：本題考查函數的單調性與奇偶性的綜合應用，注意奇函數的在對稱區間上的單調性的性質；對于解抽象函數的不等式問題或者有解析式，但是直接解不等式非常麻煩的問題，可以考慮研究函數的單調性和奇偶性等，以及函數零點等，直接根據這些性質得到不等式的解集。

12．已知函數若關于的方程有兩個不同的根，則實數的取值范圍是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】：①當x≥4時，是減函數，且1＜f（x）≤2；②當x＜4時，f（x）=log2x在（0，4）上是增函數，且f（x）＜f（4）=2；且關于x的方程f（x）=k有兩個不同的根可化為函數f（x）與y=k有兩個不同的交點；作出函數的圖象如下：

故實數k的取值范圍是（1，2）；

故選：D．

點睛：本題考查根的存在性和個數的判斷，數形結合是解決問題的關鍵，原問題等價于于函數f（x）與函數y=k的圖象有兩個不同的交點，在同一個坐標系中作出兩個函數的圖象可得答案．

二、填空題

13．已知函數是奇函數，當時，則______．

【答案】

【解析】由題意知，從而代入函數解析式求解即可．

【詳解】

函數是奇函數，故答案為：．

【點睛】

本題考查了函數的奇偶性的應用屬于基礎題．

14．已知，則的值為_______。

【答案】2

【解析】直接把已知方程兩邊同時平方即得的值.【詳解】

把已知方程兩邊同時平方得故答案為：2

【點睛】

本題主要考查指數冪的運算，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.15．函數的圖像恒過定點，且點在冪函數的圖像上，則__________．

【答案】9

【解析】當，即時，點定點的坐標是，冪函數圖象過點，解得，冪函數為，則，故答案為.16．函數的值域為________.【答案】

【解析】首先換元，設，然后判斷函數的單調性，并求函數的值域.【詳解】

設，當時，函數單調遞減，當時，函數單調遞增，所以當時，函數取得最小值0，當時，函數取得最大值9.故答案為：

【點睛】

本題考查換元法，以及二次函數的值域，屬于簡單題型.三、解答題

17．求值：（1）

（2）2log310＋log30.81

【答案】（1）（2）4

【解析】試題分析：（1）利用分數指數冪的性質運算即可;(2)利用對數的運算性質計算可得結果.試題解析：

(1)，(2)2log310＋log30.81=

18．集合，集合．

（）求，．

（）若全集，求．

【答案】（），或;（）

【解析】由題意集合，利用絕對值不等式及一元一次不等式解出集合A，B；

（1）直接利用交集，并集的運算法則求出A∩B．A∪B；

（2）求出A的補集，然后求解(CUA)∩B，即可．

【詳解】

（），即，得或，故或，又，得，或．

（）或，，∴(．

【點睛】

本題是基礎題，考查一次、二次不等式的解法，集合的基本運算，解題時可以借助數軸解答．

19．如圖所示，動物園要建造一面靠墻的2間面積相同的矩形熊貓居室，如果可供建造圍墻的材料總長是36m。

（1）把每間熊貓居室的面積s（單位：）表示為寬x（單位：m）的函數，求函數的解析式，并寫出定義域；

（2）當寬為多少時才能使所建造的每間熊貓居室面積最大？每間熊貓居室最大面積是多少？

【答案】（1），定義域：；

（2）當寬為6時，每間熊貓居室的最大面積是54

【解析】（1）寬為，長為，求面積；（2）根據（1）可知，定義域：，求二次函數給定區間的最值.【詳解】

（1）寬為，長為，函數的定義域需滿足

.，定義域：

（2），當時，面積取得最大值108，每間熊貓居室的最大面積是.所以，當寬為6時，每間熊貓居室的最大面積是54.【點睛】

本題考查二次函數的實際問題，意在考查抽象，概括，應用和計算能力，屬于簡單題型.20．已知a，b常數，且，，方程有兩個相等的實根.（1）求函數的表達式；

（2）若，判斷的奇偶性.【答案】（1）

；（2）奇函數.【解析】（1），因為有兩個相等的實根，所以，并且，解方程求解；（2）先求，再根據定義判斷函數奇偶性.【詳解】

（1）

有兩個相等的實數根，則，解得，，；

（2）

函數的定義域是，是奇函數.【點睛】

本題考查二次函數解析式的求解，以及函數奇偶性的判斷，屬于簡單題型.21．已知函數是定義在上的偶函數，當時，（1）求函數的解析式，并畫出函數的圖象．

（2）根據圖象寫出的單調區間和值域．

【答案】(1),圖見解析

(2)

函數的單調遞增區間為,單調遞減區間為，函數的值域為

【解析】【詳解】試題分析：解：（1）由，當，又函數為偶函數，故函數的解析式為

（2）由函數的圖像可知，函數的單調遞增區間為

單調遞減區間為，函數的值域為

【考點】函數奇偶性和函數單調性的運用

點評：解決該試題的關鍵是利用對稱性作圖，并能加以結合單調性的性質來求解最值。屬于基礎題。

22．已知函數，且時，總有成立．

求a的值；

判斷并證明函數的單調性；

求在上的值域．

【答案】（1）；

（2）見解析；

(3)

.【解析】【詳解】試題分析：根據條件建立方程關系即可求a的值；

根據函數單調性的定義判斷并證明函數的單調性；

結合函數奇偶性和單調性的定義即可求在上的值域．

試題解析：，即，．

函數為R上的減函數，的定義域為R，任取，且，.．

即

函數為R上的減函數．

由知，函數在上的為減函數，即，即函數的值域為.點晴：證明函數單調性的一般步驟：（1）取值：在定義域上任取，并且（或）；（2）作差：，并將此式變形（要注意變形到能判斷整個式子符號為止）；（3）定號：判斷的正負（要注意說理的充分性），必要時要討論；（4）下結論：根據定義得出其單調性.