2019-2020學(xué)年市第二中學(xué)高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1．設(shè)全集，集合，則（）．

A.B.C.D.【答案】A

【解析】根據(jù)集合的交集與補集運算即可求解。

【詳解】

由，所以，又，所以

故選：A

【點睛】

本題考查集合的基本運算，屬于基礎(chǔ)題。

2．下列函數(shù)中與具有相同圖象的一個函數(shù)是（）．

A.B.C.D.【答案】D

【解析】對于A，與函數(shù)的定義域不同，所以函數(shù)圖像不同；對于B，與函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不同，值域不同，所以函數(shù)圖象不同；對于C，與函數(shù)的定義域不同，所以函數(shù)圖像不同；對于D，與函數(shù)的定義域相同，對應(yīng)關(guān)系也相同，所以函數(shù)圖象相同，故選D.點睛：本題主要考查了判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題；函數(shù)的值域可由定義域和對應(yīng)關(guān)系唯一確定；當(dāng)且僅當(dāng)定義域和對應(yīng)關(guān)系均相同時才是同一函數(shù)，值得注意的是判斷兩個函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系是否相同，只要看對于定義域內(nèi)任意一個相同的自變量的值，按照這兩個對應(yīng)關(guān)系算出的函數(shù)值是否相同.3．函數(shù)的定義域為

A.B.C.D.【答案】C

【解析】要使函數(shù)有意義需滿足，解得，則函數(shù)的定義域為，故選C.點睛：本題主要考查了常見的函數(shù)的定義域的求法，屬于基礎(chǔ)題；常見的函數(shù)定義域求法有：1、偶次根式下大于等于0；2、分母不為0；3、對數(shù)的真數(shù)部分大于0；4、0的0次方無意義；5、正切函數(shù)中；6、抽象函數(shù)的定義域；7、在實際應(yīng)用中的定義域等.4．已知函數(shù)，則的值等于（）．

A.B.C.D.【答案】D

【解析】將代入函數(shù)第二段表達式，得到，再代入第二段表達式后得到，此時代入第一段就可以求得函數(shù)值.【詳解】

依題意，故選D.【點睛】

本小題主要考查分段函數(shù)求值.第一次代入后，還是無法求得函數(shù)值，要繼續(xù)再代入兩次才可以.屬于基礎(chǔ)題.5．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（）

A.B.C.D.【答案】B

【解析】先求得函數(shù)的對稱軸，再由函數(shù)在上單調(diào)遞增，則對稱軸在區(qū)間的左側(cè)求解．

【詳解】

函數(shù)y＝4x2﹣kx﹣8的對稱軸為：x

∵函數(shù)在上單調(diào)遞增

∴5

∴k≤40

故選B.【點睛】

本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，涉及了二次函數(shù)的對稱性和單調(diào)性，在研究二次函數(shù)單調(diào)性時，一定要明確開口方向和對稱軸．

6．已知為奇函數(shù)，當(dāng)時，則在上是（）

A.增函數(shù)，最小值為

B.增函數(shù)，最大值為

C.減函數(shù)，最小值為

D.減函數(shù)，最大值為

【答案】C

【解析】試題分析：,圖像為開口向下對稱軸為的拋物線,所以時在上單調(diào)遞減．

因為位奇函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱,所以函數(shù)在也單調(diào)遞減．

所以在上,．故C正確．

【考點】1函數(shù)的奇偶性；2二次函數(shù)的單調(diào)性．

7．設(shè)，，則有（）

A.B.C.D.【答案】D

【解析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可以判斷出a＜0，b＞1，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域及單調(diào)性可判斷出0＜c＜1，進而得到a、b、c的大小順序．

【詳解】

∵y=x在定義域上單調(diào)遞減函數(shù)，∴a5＜1=0，y=在定義域上單調(diào)遞增函數(shù)，b1，y=（）x在定義域上單調(diào)遞減函數(shù)，0＜c＝（）0.3＜（）0=1，∴a＜c＜b

故選：D．

【點睛】

本題考查的知識點是利用函數(shù)的單調(diào)性比較數(shù)的大小，熟練掌握指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是解答的關(guān)鍵．

8．已知是函數(shù)的反函數(shù)，則的圖象是（）．

A.B.C.D.【答案】A

【解析】求出的反函數(shù)即可得出選項。

【詳解】的反函數(shù)，即為指數(shù)函數(shù)，恒過，且單調(diào)遞增。

故選：A

【點睛】

本題考查指數(shù)函數(shù)圖像，屬于基礎(chǔ)題。

9．函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間是（）

A.B.C.D.【答案】B

【解析】∵，∴，由函數(shù)零點判定定理可得函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間為．選B．

10．已知奇函數(shù)在時的圖象如圖所示，則不等式的解集為（）

A.B.C.D.【答案】B

【解析】試題分析：∵xf（x）＜0則：當(dāng)x＞0時，f（x）＜0，結(jié)合函數(shù)的圖象可得，1＜x＜2，當(dāng)x＜0時，f（x）＞0，根據(jù)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱可得，-2＜x＜-1，∴不等式xf（x）＜0的解集為（-2，-1）∪（1，2）．故答案為：（-2，-1）∪（1，2）．

【考點】函數(shù)的圖象．

11．若函數(shù)是上的減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）．

A.B.C.D.【答案】D

【解析】利用函數(shù)單調(diào)性，先使分段函數(shù)各段單調(diào)遞減，再在整個定義域內(nèi)單調(diào)遞減即可求解。

【詳解】

函數(shù)是上的減函數(shù)，則解得

故選：D

【點睛】

本題考查分段函數(shù)遞減求參數(shù)的取值范圍，函數(shù)單調(diào)一定是在整個定義域內(nèi)單調(diào)，屬于易錯題。

12．已知，，則的最值是（）．

A.最大值為，最小值

B.最大值為，無最小值

C.最大值為，無最小值

D.既無最大值，又無最小值

【答案】C

【解析】根據(jù)的定義域求出的表達式，利用數(shù)形結(jié)合即可求出函數(shù)的最值。

【詳解】

若時，即，若時，即，或（舍去）

當(dāng)時，當(dāng)或時，則由圖像可知時，函數(shù)的最大值為3，無最小值.故選：C

【點睛】

數(shù)形結(jié)合法，是指利用函數(shù)所表示的幾何意義，借助幾何方法以及函數(shù)的圖像求函數(shù)最值的一種常用方法，這種方法借助幾何意義，以形為數(shù)，不僅可以簡捷地解決問題，又可以避免諸多失誤，是我們開闊思路、正確解題、提高能力的一種重要途徑。因此，在學(xué)習(xí)中，對這種方法要細心研讀，認(rèn)真領(lǐng)會，并正確地應(yīng)用到相關(guān)問題的解決中.二、填空題

13．用列舉法表示集合______．

【答案】

【解析】利用題目條件，依次代入，使，從而確定的值，即可得到所求集合。

【詳解】，為的正因數(shù)，故答案為：

【點睛】

本題考查表示法“列舉法”，熟記表示集合的常見符號，屬于基礎(chǔ)題。

14．函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，則時，_________．

【答案】

【解析】當(dāng)時，所以，又當(dāng)時，滿足函數(shù)方程，當(dāng)時。

15．函數(shù)（常數(shù)）為偶函數(shù)且在是減函數(shù)，則______．

【答案】

【解析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)求出值，代入即可求解。

【詳解】

函數(shù)（常數(shù)）在是減函數(shù)，解得，若，則為奇函數(shù)，不滿足條件；

若，則為偶函數(shù)，滿足條件；

若，則為奇函數(shù)，不滿足條件；

故，則

故答案為：

【點睛】

本題考查了冪函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題。

16．一種專門侵占內(nèi)存的計算機病毒，開機時占據(jù)內(nèi)存，然后每分鐘自身復(fù)制一次，復(fù)制后所占內(nèi)存是原來的倍，那么開機后經(jīng)過______分鐘，該病毒占據(jù)內(nèi)存．（）

【答案】45

【解析】每過一個分鐘，所占內(nèi)存是原來的倍，故個分鐘后，所占內(nèi)存是原來的倍，再利用指數(shù)的運算性質(zhì)可解。

【詳解】

因為開機時占據(jù)內(nèi)存，然后每分鐘自身復(fù)制一次，復(fù)制后所占內(nèi)存是原來的倍，所以分鐘后占據(jù)內(nèi)存，兩個分鐘后占據(jù)內(nèi)存，三個分鐘后占據(jù)內(nèi)存，故個分鐘后，所占內(nèi)存是原來的倍，則應(yīng)有，故答案為：45

【點睛】

本題考查了指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用、指數(shù)的運算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題。

17．已知，則函數(shù)的零點個數(shù)是______．

【答案】5個

【解析】畫出分段函數(shù)的圖像，函數(shù)零點轉(zhuǎn)化為的根，再由數(shù)形結(jié)合求與、的交點個數(shù)即可.【詳解】

由函數(shù)的零點，則，即或，的圖像如下：

由數(shù)形結(jié)合可知交點有個，即函數(shù)的零點有個.故答案為：5個

【點睛】

本題函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系，函數(shù)零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為方程根的個數(shù)；若方程根的格式不方便求解，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像的交點，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決，此題屬于綜合性題目.18．已知，則______，定義域為______．

【答案】

【解析】（1）利用換元法即可求解析式.（2）在換元時由的范圍即可確定定義域。

【詳解】

令，則，由，所以，即，且

故答案為：；

【點睛】

本題查考換元法求解析式以及求函數(shù)的定義域，在換元中注意自變量的取值范圍的變化.三、解答題

19．計算下列各式的值.（1）；

（2）．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）根據(jù)指數(shù)與對數(shù)的運算性質(zhì)即可化簡求值。

（2）根據(jù)指數(shù)與對數(shù)的運算性質(zhì)即可化簡求值。

【詳解】

(1)原式

(2)原式

【點睛】

本題考查指數(shù)與對數(shù)的運算性質(zhì)，要熟記指數(shù)與對數(shù)的運算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題。

20．已知集合，且，求實數(shù)，的值及集合，．

【答案】

【解析】試題分析：由，所以，代入方程可得和集合A，再由，可得集合B，運用韋達定理即可得到所求，的值.試題解析：因為，且，所以，解得；又，所以，又，所以，解得，所以.21．已知函數(shù)．

（1）求的值；

（2）判斷函數(shù)在上單調(diào)性，并用定義加以證明；

（3）當(dāng)取什么值時，的圖像在軸上方？

【答案】（1）3；（2）在為減函數(shù)，見解析；（3）或

【解析】（1）代入解析式即可求解。

（2）利用函數(shù)的單調(diào)性定義即可證明。

（3）的圖像在軸上方，只需即可。

【詳解】

（1）=；

（2）函數(shù)在為減函數(shù)．

證明：在區(qū)間上任意取兩個實數(shù)，不妨設(shè)，則，即，所以函數(shù)在為減函數(shù)．

（3）的圖像在軸上方

只需解得或

綜上所述：或

【點睛】

本題考查求函數(shù)值、定義法證明函數(shù)的單調(diào)性、解分式不等式，屬于基礎(chǔ)題。

22．已知對任意的，二次函數(shù)都滿足，其圖象過點，且與軸有唯一交點．

（）求的解析式；

（）設(shè)函數(shù)，求在上的最小值．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）利用“待定系數(shù)法”求函數(shù)解析式即可.（2）由對稱軸位置不確定，分三種情況討論對稱軸所在的位置，即當(dāng)；；，再由函數(shù)的單調(diào)性即可求出最值.【詳解】

（）設(shè)二次函數(shù)，所以，.由于對任意的，都成立，所以有對任意的，都成立，所以．

因為圖像過點，所以，即，且圖像與有唯一交點，從而

解得．

（），對稱軸．

當(dāng)時，即，在區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù)，所以；

當(dāng)時，即，在區(qū)間為單調(diào)遞減函數(shù)，在區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù)，所以；

當(dāng)時，即，在區(qū)間為單調(diào)遞減函數(shù)，所以；

綜上所述：．

【點睛】

本題考查待定系數(shù)法求解析式、二次函數(shù)“動軸定區(qū)間”求最值，注意分類討論，屬于基礎(chǔ)題.23．已知，函數(shù)．

（1）當(dāng)時，求不等式的解集；

（2）若關(guān)于的方程的解集中恰有兩個元素，求的取值范圍．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）將代入函數(shù)表達式，根據(jù)對數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為解不等式即可求解.（2）方程的解集中恰有兩個元素，將化為對數(shù)形式，得到，利用換元法設(shè)，方程化為在區(qū)間有兩個不相等的實數(shù)根，再由二次函數(shù)根的分布即可求解。

【詳解】

（1）

所以不等式的解集為：．

（2）根據(jù)集合中元素的唯一性可知，關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根．

即方程有兩個不相等的實數(shù)根，即方程有兩個不相等的實數(shù)根，令，即方程在區(qū)間有兩個不相等的實數(shù)根，從而有，即，解得

故的取值范圍.【點睛】

本題主要考查對數(shù)與對數(shù)函數(shù)、函數(shù)與方程，屬于綜合性題目.