2019-2020學(xué)年市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1．函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】根據(jù)函數(shù)解析式，寫(xiě)出自變量滿足的條件，即可求解.【詳解】

要使函數(shù)有意義，則，解得且，所以函數(shù)定義域?yàn)?故選：A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了給出解析式的函數(shù)的定義域，屬于中檔題.2．函數(shù)在上的最小值為（）

A．2

B．1

C．

D．

【答案】C

【解析】根據(jù)函數(shù)解析式可知函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求最小值.【詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)，所以函數(shù)在上是減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，.故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，屬于中檔題.3．若且為第三象限角，則的值等于（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及角所在的象限，即可求解.【詳解】

因?yàn)榍覟榈谌笙藿牵裕瑒t.故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，屬于中檔題.4．設(shè)集合，若A為空集，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】分兩種情況分類(lèi)討論，時(shí)符合題意，時(shí)只需滿足

即可求解.【詳解】

當(dāng)時(shí)，原不等式為，A為空集；

當(dāng)時(shí)，因?yàn)锳為空集

所以無(wú)解，只需滿足，解得，綜上實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了一元二次不等式的解為空集，分類(lèi)討論的思想，屬于中檔題.5．已知奇函數(shù)在上是增函數(shù)，若則的大小關(guān)系是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，只需比較，利用對(duì)數(shù)性質(zhì)及指數(shù)性質(zhì)比較，即可求解.【詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，因?yàn)椋液瘮?shù)在上是增函數(shù)，所以，故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.6．已知，則（）

A．2

B．0

C．

D．

【答案】D

【解析】將自變量代入函數(shù)解析式，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)求值即可.【詳解】

.故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算、性質(zhì)，屬于中檔題.7．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】

設(shè)g（x）＝x2﹣ax+1，則要使f（x）＝ln（x2﹣ax+1）在區(qū)間（2，+∞）上單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得：

滿足，即，得a，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是，故選：C．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵，注意真數(shù)大于0的條件的應(yīng)用，屬于易錯(cuò)題型.．

8．已知恒為正數(shù)，則取值范圍是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】分兩種情況分類(lèi)討論，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】

當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，則，解得；

當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，則，解得，又，所以；

綜上取值范圍是.故選：A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、利用單調(diào)性解不等式，分類(lèi)討論，屬于中檔題.9．化簡(jiǎn)得

（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】利用求出，第一個(gè)根號(hào)分子分母同時(shí)乘以，第二個(gè)根號(hào)分子分母同時(shí)乘以，結(jié)合平方關(guān)系即可得到。

【詳解】

故選A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于中檔題。

10．在平面直角坐標(biāo)系中，集合設(shè)集合中所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為，則有（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】利用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象可知，圖象有兩交點(diǎn)，設(shè)兩交點(diǎn)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知，即可得到，進(jìn)而求出.【詳解】

作出函數(shù)與圖象：

設(shè)與圖象交于不同的兩點(diǎn)，設(shè)為，不妨設(shè)，則，在R上遞減，即，即，故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算，數(shù)形結(jié)合，屬于中檔題.11．若對(duì)于定義在上的函數(shù)，其圖象是連續(xù)不斷的，且存在常數(shù)使得對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，則稱是一個(gè)“特征函數(shù)”．下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為（）

①是常數(shù)函數(shù)中唯一的“特征函數(shù)”；

②不是“特征函數(shù)”；

③“特征函數(shù)”至少有一個(gè)零點(diǎn)；

④是一個(gè)“特征函數(shù)”．

A．1

B．2

C．3

D．4

【答案】C

【解析】利用新定義“特征函數(shù)”，對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)進(jìn)行判定，即可求解，得到答案．

【詳解】

對(duì)于①中，設(shè)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)是一個(gè)“特征函數(shù)”，所以不是唯一的一個(gè)常值的“特征函數(shù)”，所以①不正確；

對(duì)于②中，函數(shù)，則，即，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，方程由唯一的解，所以不存在常數(shù)使得對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，所以函數(shù)不是“特征函數(shù)”，所以②正確．

對(duì)于③中，令，可得，所以，若，顯然有實(shí)數(shù)根，若，又因?yàn)榈暮瘮?shù)圖象是連續(xù)的，所以在上必由實(shí)數(shù)根，因此任意的“特征函數(shù)”必有實(shí)根，即任意“特征函數(shù)”至少有一個(gè)零點(diǎn)，所以③是正確；

對(duì)于④中，假設(shè)是一個(gè)“特征函數(shù)”，則對(duì)任意的實(shí)數(shù)成立，則有，而此式有解，所以是“特征函數(shù)”，所以④正確的，所以正確命題共有②③④．

故選：C．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了函數(shù)的基本概念及其應(yīng)用，其中解答中熟記函數(shù)的零點(diǎn)，以及正確理解“特征函數(shù)”，合理判定是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于中檔試題．

二、填空題

12．已知函數(shù)則______．

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】【詳解】,選D.13．已知冪函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，則________

【答案】9

【解析】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式即可求出，利用函數(shù)解析式即可求值.【詳解】

因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，所以，解得，故，所以.故答案為：9

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了求冪函數(shù)的解析式、利用解析式求函數(shù)值，屬于中檔題.14．一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)與面積的數(shù)值都是5，則這個(gè)扇形中心角的弧度數(shù)為_(kāi)_________．

【答案】

【解析】設(shè)扇形的半徑為，由題意可得：，據(jù)此可得這個(gè)扇形中心角的弧度數(shù)為.15．20世紀(jì)30年代，里克特（C.F.Richter）制定了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用測(cè)震儀地震能量的等級(jí)，地震能量越大，測(cè)震儀記錄的地震曲線的振幅就越大，這就是我們常說(shuō)的里氏震級(jí)M，其計(jì)算公式為其中，A是被測(cè)量地震的最大振幅，是“標(biāo)準(zhǔn)地震”的振幅（使用標(biāo)準(zhǔn)地震振幅是為了修正測(cè)震儀距實(shí)際的距離造成的偏差），眾所周知，5級(jí)地震已經(jīng)比較明顯，計(jì)算8級(jí)地震的最大振幅是5級(jí)地震的最大振幅的______倍.【答案】1000

【解析】先根據(jù)求得地震最大振幅關(guān)于M的函數(shù)，將震級(jí)代入分別求出最大振幅，最后求出兩次地震的最大振幅之比即可.【詳解】

由可得，即，當(dāng)時(shí)，地震的最大振幅為；當(dāng)時(shí)，地震的最大振幅為；

所以，兩次地震的最大振幅之比是：，即8級(jí)地震的最大振幅是5級(jí)地震的最大振幅的1000倍.故答案為：1000

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用，以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算，屬于中檔題.16．已知函數(shù)滿足，函數(shù)，且與的圖像的交點(diǎn)為，則

【答案】40

【解析】由知函數(shù)圖象關(guān)于成中心對(duì)稱，圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，故交點(diǎn)關(guān)于成中心對(duì)稱，即可求解.【詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)滿足，所以函數(shù)圖象關(guān)于成中心對(duì)稱，又，所以的圖象也關(guān)于成中心對(duì)稱，因此與的圖像的交點(diǎn)為關(guān)于成中心對(duì)稱，所以

故答案為：40

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了函數(shù)圖象的對(duì)稱性及應(yīng)用，求代數(shù)式的和，考查了運(yùn)算能力，屬于中檔題.三、解答題

17．（1）計(jì)算；

（2）已知，求的值.【答案】（1）0（2）3

【解析】（1）根據(jù)終邊相同的角同名三角函數(shù)值相等化簡(jiǎn)求值即可（2）先根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再利用同角三角函數(shù)間的關(guān)系化為正切即可.【詳解】

（1）

（2）

.【點(diǎn)睛】

本題主要考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，同名三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于中檔題.18．設(shè)

（1）求

（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）

【解析】（1）化簡(jiǎn)集合，根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可求解（2）由可知，結(jié)合數(shù)軸求解即可.【詳解】

（1）由解得，故，因?yàn)椋裕?所以.（2）

因?yàn)椋裕?【點(diǎn)睛】

本題主要考查了集合的交集，并集，子集，涉及一元二次不等式及絕對(duì)值不等式，屬于中檔題.19．已知冪函數(shù)

(1)求的解析式；

(2)(i)若圖像不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，直接寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(ii)若圖像經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，解不等式.【答案】（1）或（2）(i)

單調(diào)遞減區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間

(ii)

.【解析】（1）根據(jù)冪函數(shù)可得，求出m即可（2）(i)根據(jù)圖象不過(guò)原點(diǎn)確定函數(shù)解析式，寫(xiě)出單調(diào)區(qū)間即可(ii)根據(jù)圖象過(guò)原點(diǎn)確定函數(shù)解析式，利用函數(shù)單調(diào)性解不等式.【詳解】

（1）

因?yàn)閮绾瘮?shù)，所以，解得或，所以函數(shù)為或.（2）(i)因?yàn)閳D像不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間.(ii)因?yàn)閳D像經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，且在上為增函數(shù)，所以，又在上為增函數(shù)，所以，解得，所以不等式的解為.【點(diǎn)睛】

本題主要考查了冪函數(shù)的定義，奇偶性，單調(diào)性，屬于中檔題.20．已知函數(shù)其反函數(shù)為

(1)求證：對(duì)任意都有，對(duì)任意都有

(2)令，討論的定義域并判斷其單調(diào)性（無(wú)需證明）.(3)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；

【答案】（1）詳見(jiàn)解析（2）詳見(jiàn)解析（3）

【解析】（1）寫(xiě)出其反函數(shù)為，根據(jù)解析式即可證明（2）寫(xiě)出，分類(lèi)討論，寫(xiě)出定義域及單調(diào)性即可（3）寫(xiě)出，利用換元法求其值域即可.【詳解】

（1）證明：因?yàn)椋詫?duì)任意都有.因?yàn)槠浞春瘮?shù)為，當(dāng)時(shí)，所以對(duì)任意都有.（2）因?yàn)椋裕?dāng)時(shí)，解得，且函數(shù)在上為增函數(shù)

當(dāng)時(shí)，解得，且函數(shù)在上為增函數(shù)

所以時(shí)函數(shù)定義域?yàn)椋瘮?shù)在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)函數(shù)定義域?yàn)椋瘮?shù)在上為增函數(shù).（3）當(dāng)時(shí)，,令，則

因?yàn)閷?duì)稱軸為，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故函數(shù)的值域?yàn)?【點(diǎn)睛】

本題主要考查了指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及運(yùn)算，換元法，二次函數(shù)求值域，屬于中檔題.21．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)；

(1)求實(shí)數(shù)的值.(2)試判斷函數(shù)的單調(diào)性的定義證明；

(3)若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）1（2）減函數(shù)，證明見(jiàn)解析（3）

【解析】（1）根據(jù)題意由函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)知，代入計(jì)算即可（2）首先對(duì)解析式變形，用作差法判斷函數(shù)單調(diào)性即可（3）根據(jù)函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性可得恒成立，只需求函數(shù)的最小值即可.【詳解】

（1）因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，即，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.（2）由（1）知

函數(shù)為R上的減函數(shù)，證明如下；

設(shè)，則

因?yàn)椋剩瑒t是R上的減函數(shù).（3）因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以

又是R上的減函數(shù)，所以恒成立，令，因?yàn)椋裕?dāng)時(shí)，所以時(shí)，不等式恒成立.故實(shí)數(shù)的取值范圍..【點(diǎn)睛】

本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性及證明，二次不等式恒成立，屬于難題.22．已知二次函數(shù)滿足①對(duì)于任意，都有；②；③的圖像與軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為4.（1）求的解析式；

（2）記

①若為單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；

②記的最小值為，討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【答案】（1）（2）①或②詳見(jiàn)解析

【解析】（1）根據(jù)條件可知二次函數(shù)對(duì)稱軸，的圖像與軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為4可求出交點(diǎn)，利用交點(diǎn)式求函數(shù)解析式（2）①寫(xiě)出二次函數(shù)，根據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間關(guān)系可求出的取值范圍②分類(lèi)討論求出函數(shù)的最小值，換元后作出函數(shù)圖象，再利用數(shù)形結(jié)合研究函數(shù)的零點(diǎn)，注意分類(lèi)討論思想在解題中的應(yīng)用.【詳解】

（1）因?yàn)槎魏瘮?shù)中，所以對(duì)稱軸，又的圖像與軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為4，所以與軸交點(diǎn)為

設(shè)，又，所以

即.（2）①,對(duì)稱軸為，因?yàn)闉閱握{(diào)函數(shù)，所以或

解得或.故的取值范圍是或.②,對(duì)稱軸為，當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)，即時(shí)，綜上

函數(shù)零點(diǎn)即為方程的根，令，即的根，作出的簡(jiǎn)圖如圖所示：

（i）當(dāng)時(shí)，或，解得或，有3個(gè)零點(diǎn).（ii）當(dāng)時(shí)，有唯一解，解得，有2個(gè)零點(diǎn).（iii）當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同的解，解得或，有4個(gè)零點(diǎn).（iv）當(dāng)時(shí)，，解得，有2個(gè)零點(diǎn).（v）當(dāng)時(shí)，無(wú)解，無(wú)零點(diǎn).綜上：當(dāng)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，4個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)或時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】

本題主要考查了二次函數(shù)的解析式，單調(diào)性，最值，函數(shù)的零點(diǎn)，涉及分類(lèi)討論思想及數(shù)形結(jié)合，屬于難題.