2018-2019學(xué)年市高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1．已知集合，那么

()

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】解出集合B，利用交集的運(yùn)算求解即可得到答案.【詳解】,，則

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的交集運(yùn)算，屬于簡單題.2．sin70°cos40°﹣cos70°sin40°的值等于（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】根據(jù)兩角和與差的正弦公式即可求解.【詳解】

.故選：A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查兩角和與差的正弦公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.3．下列函數(shù)中與函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的是（）．

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】根據(jù)同一函數(shù)的定義,從定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系兩方面入手進(jìn)行判斷即可.【詳解】

解：的定義域?yàn)?，?duì)應(yīng)法則是“函數(shù)值與自變量相等”．

選項(xiàng)：的定義域?yàn)?定義域與的定義域不同；

選項(xiàng)：，定義域與對(duì)應(yīng)關(guān)系與相同；

選項(xiàng)：,而,對(duì)應(yīng)關(guān)系與不同；

選項(xiàng)：的定義域?yàn)?定義域與的定義域不同．

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了同一函數(shù)的定義,求函數(shù)的定義域、判斷對(duì)應(yīng)關(guān)系是否一不致是解題的關(guān)鍵.4．冪函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)（4，2），那么f（）的值為（）

A．

B．64

C．2

D．

【答案】A

【解析】設(shè)出冪函數(shù)，求出冪函數(shù)代入即可求解.【詳解】

設(shè)冪函數(shù)為，且圖象過點(diǎn)（4，2），解得，所以，故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查冪函數(shù)，需掌握冪函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.5．在下列區(qū)間中，函數(shù)f（x）＝ex+2x﹣5的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）

A．（﹣1，0）

B．（0，1）

C．（1，2）

D．（2，3）

【答案】C

【解析】由零點(diǎn)存在性定理即可得出選項(xiàng).【詳解】

由函數(shù)為連續(xù)函數(shù)，且，所以，所以零點(diǎn)所在的區(qū)間為，故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查零點(diǎn)存在性定理，在運(yùn)用零點(diǎn)存在性定理時(shí)，函數(shù)為連續(xù)函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.6．已知一個(gè)扇形的周長為10cm，圓心角為2rad，則這個(gè)扇形的面積為（）

A．25cm2

B．5cm2

C．cm2

D．cm2

【答案】C

【解析】首先由弧長公式求出扇形的半徑，再由扇形的面積公式即可求解.【詳解】

扇形的弧長，所以周長，即，所以，故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查弧長公式、扇形的面積公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.7．如果角θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)（3，﹣4），那么sin（θ）cos（π﹣θ）的值是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求出、的值，再利用誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】

角θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)（3，﹣4），，故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三角函數(shù)的定義以及誘導(dǎo)公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.8．下列所給四個(gè)圖象中，與所給3件事吻合最好的順序?yàn)椋ǎ?/p>

（1）我離開家不久，發(fā)現(xiàn)自己把作業(yè)本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作業(yè)本再去上學(xué)；（2）我騎著車一路以常速行駛，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽擱了一些時(shí)間；（3）我出發(fā)后，心情輕松，緩緩行進(jìn)，后來為了趕時(shí)間開始加速．

A．①②④

B．④②③

C．①②③

D．④①②

【答案】D

【解析】根據(jù)回家后，離家的距離又變?yōu)榭膳袛啵?）；由途中遇到一次交通堵塞，可判斷中間有一段函數(shù)值沒有發(fā)生變化；由為了趕時(shí)間開始加速，可判斷函數(shù)的圖像上升的速度越來越快；

【詳解】

離開家不久發(fā)現(xiàn)自己把作業(yè)本忘在家里，回到家里，這時(shí)離家的距離為，故應(yīng)先選圖像（4）；

途中遇到一次交通堵塞，這這段時(shí)間與家的距離必為一定值，故應(yīng)選圖像（1）；

后來為了趕時(shí)間開始加速，則可知圖像上升的速度越來越快，故應(yīng)選圖像（2）；

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別，解題的關(guān)鍵是理解題干中表述的變化情況，屬于基礎(chǔ)題.9．將函數(shù)f（x）＝cos（2x）的圖象向右平移個(gè)單位，再將圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，那么所得圖象的函數(shù)表達(dá)式為（）

A．y＝cosx

B．y＝cos（4x）

C．y＝cos4x

D．y＝cos（x）

【答案】A

【解析】根據(jù)圖像的平移伸縮變換即可求解.【詳解】

函數(shù)f（x）＝cos（2x）的圖象向右平移個(gè)單位，得，將圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三角函數(shù)的平移伸縮變化，平移變換的法則：相對(duì)且“左加右減”，屬于基礎(chǔ)題.10．已知兩個(gè)向量||＝1，||＝2，（）2，則向量與的夾角為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】根據(jù)向量的數(shù)量積即可求出夾角.【詳解】

設(shè)向量與的夾角為

由

所以，解得，故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量的數(shù)量積求向量的夾角，需掌握向量數(shù)量積的定義以及計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.11．若a＝40.9，b＝log415，c＝80.4，則（）

A．b＞c＞a

B．a(chǎn)＞b＞c

C．c＞a＞b

D．a(chǎn)＞c＞b

【答案】D

【解析】把化為以為底的指數(shù)和對(duì)數(shù)，利用中間值“”以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可比較大小.【詳解】，，又因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，所以，即

綜上可得，a＞c＞b

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用中間值以及函數(shù)的單調(diào)性比較數(shù)的大小，屬于基礎(chǔ)題.12．設(shè)函數(shù),若關(guān)于的方程有四個(gè)不同的解,且,則的取值范圍是

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】由圖像可以知道，故，其中，考慮函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)，所以其值域?yàn)?，選D.點(diǎn)睛：此問題為多變量問題，我們需要通過函數(shù)的圖像找出各個(gè)變量的之間的關(guān)系，把目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，注意的取值范圍.二、填空題

13．_____．

【答案】1

【解析】由指數(shù)冪以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.【詳解】

.故答案為：1

【點(diǎn)睛】

本題主要考查指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算，要熟記對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.14．函數(shù)f（x）滿足f（x），則f（3）的值為_____．

【答案】﹣2

【解析】將代入表達(dá)式，得到，然后再求出的值即可.【詳解】

由，所以，又，所以，故答案為：

【點(diǎn)睛】

本題主要考查分段函數(shù)求值，屬于基礎(chǔ)題.15．已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為_______.【答案】.【解析】分析：根據(jù)題中所給的函數(shù)的圖像，可以求得的值，利用周期公式求出，利用當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最大值1，求出，得到函數(shù)的解析式，即可得結(jié)果.詳解：由題意可知，所以，當(dāng)時(shí)取得最大值1，所以，結(jié)合，解得，所以函數(shù)的解析式是.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)利用圖像求函數(shù)解析式的問題，在解題的過程中，需要明確解析式中的參數(shù)由最值和周期所決定，由特殊點(diǎn)所確定，最后求得結(jié)果.16．函數(shù)y＝cosπx的圖象在y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)為A，第一個(gè)最低點(diǎn)為B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則tan∠OAB的值為_____．

【答案】

【解析】首先求出點(diǎn)的坐標(biāo)以及向量、的坐標(biāo)，再根據(jù)向量的數(shù)量積求出的余弦，由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求解.【詳解】

由題意可知：O（0，0），A（2，1），B（1，﹣1）；

∴，；

∴，∴；

∴tan∠OAB.故答案為：

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)、向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量的數(shù)量積求夾角、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，綜合性比較強(qiáng)，三、解答題

17．已知不共線向量與，其中（2，m），（1，2）．

（1）若（）⊥，求m的值；

（2）若向量2與2共線，求m的值．

【答案】（1）；（2）4.【解析】（1）由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算：即可求解.（2）由向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算：即可求解.【詳解】

（1）（2，m），（1，2），則，∵，∴，解得；

（2），又與共線，∴3（m+4）﹣4（2m﹣2）＝0，解得m＝4．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，需掌握向量垂直、共線的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.18．設(shè)全集U＝R，A＝（x∈R|m≤x≤2}，B＝（x|1≤x＜3}．

（1）若m＝1，求（?UA）∩B；

（2）若A∪B＝B，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

【答案】（1）{x|2＜x＜3}；（2）[1，+∞）．

【解析】（1）由集合的基本運(yùn)算即可求解.（2）由A∪B＝B可得A?B，然后分情況討論：①A＝?；②A≠?即可求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

【詳解】

（1）m＝1時(shí)，A＝{x|1≤x≤2}，且B＝{x|1≤x＜3}，U＝R，∴?UA＝{x|x＜1或x＞2}，∴（?UA）∩B＝{x|2＜x＜3}；

（2）∵A∪B＝B，∴A?B，且A＝{x|m≤x≤2}，①A＝?時(shí)，m＞2；

②A≠?時(shí)，1≤m≤2，∴m的取值范圍為[1，+∞）．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了集合的基本運(yùn)算、考查了集合的基本關(guān)系以及由包含關(guān)系求參數(shù)的取值范圍，屬于基礎(chǔ)題.19．已知f（x）sinxcosx﹣3cos2x．

（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）當(dāng)x∈[0，]時(shí)，求f（x）的最大值和最小值，并寫出函數(shù)取最值時(shí)相對(duì)應(yīng)的x的值．

【答案】（1）[，]，k∈Z；（2）當(dāng)

x時(shí)，最大值；x＝0時(shí)，最小值.【解析】（1）由二倍角公式以及輔助角公式化簡函數(shù)求得，再由正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間即可求解.（2）由x∈[0，]求出2x∈[，]，再由正弦函數(shù)的最值即可求解.【詳解】

∵f（x）sinxcox﹣3cos2x，，sin（2x），（1）由2x，可得，k∈z，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間[，]，k∈Z.（2）由x∈[0，]可得，2x∈[，]，當(dāng)2x即x時(shí)，函數(shù)取得最大值，當(dāng)2x即x＝0時(shí)，函數(shù)取得最小值．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二倍角公式、輔助角公式、正弦函數(shù)的性質(zhì)，需熟記公式與性質(zhì)，此題屬于基礎(chǔ)題.20．已知：函數(shù)，（1）求函數(shù)f（x）的定義域；判斷函數(shù)f（x）的奇偶性并說明理由；

（2）判斷函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并用定義加以證明．

【答案】（1）（﹣∞，0）∪（0，+∞），奇函數(shù)，理由見解析；（2）增函數(shù)，證明見解析．

【解析】（1）使函數(shù)表達(dá)式有意義即可求出定義域；由函數(shù)的奇偶性定義即可判斷；

（2）由函數(shù)單調(diào)性定義即可證明.【詳解】

（1）定義域：（﹣∞，0）∪（0，+∞），定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∵f（﹣x）＝﹣xxf（x），∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；

（2）判斷：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，證明：任取x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，∴f（x1）﹣f（x2）（）＝（x1﹣x2）（1），∵x1＜x2，x1，x2∈（0，+∞），∴x1﹣x2＜0，10，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2），∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)的定義域、奇偶性以及單調(diào)性，注意在判斷單調(diào)性時(shí)，首先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，此題屬于基礎(chǔ)題.21．某校學(xué)生社團(tuán)心理學(xué)研究小組在對(duì)學(xué)生上課注意力集中情況的調(diào)查研究中，發(fā)現(xiàn)其在40分鐘的一節(jié)課中，注意力指數(shù)與聽課時(shí)間（單位：分鐘）之間的關(guān)系滿足如圖所示的曲線．當(dāng)時(shí)，曲線是二次函數(shù)圖象的一部分，當(dāng)時(shí)，曲線是函數(shù)圖象的一部分．根據(jù)專家研究，當(dāng)注意力指數(shù)大于80時(shí)學(xué)習(xí)效果最佳．

（1）試求的函數(shù)關(guān)系式；

（2）教師在什么時(shí)段內(nèi)安排核心內(nèi)容，能使得學(xué)生學(xué)習(xí)效果最佳？請說明理由．

【答案】（1）（2）

【解析】【詳解】

【解】（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)，所以當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，將(14，81)代入，得

于是

（2）解不等式組得

解不等式組得

故當(dāng)時(shí)，答：老師在時(shí)段內(nèi)安排核心內(nèi)容能使得學(xué)生學(xué)習(xí)效果最佳．

22．已知函數(shù)f（x）＝x2﹣2x+1+a在區(qū)間[1，2]上有最小值﹣1．

（1）求實(shí)數(shù)a的值；

（2）若關(guān)于x的方程f（log2x）+1﹣2klog2x＝0在[2，4]上有解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

（3）若對(duì)任意的x1，x2∈（1，2]，任意的p∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤m2﹣2mp﹣2成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．（附：函數(shù)g（t）＝t在（0，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增．）

【答案】（1）﹣1；（2）0≤t

；（3）m≤﹣3或m≥3．

【解析】（1）由二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)即可求解.（2）采用換元把方程化為t2﹣（2+2k）t+1＝0在[1，2]上有解，然后再分離參數(shù)法，化為

t與2+2k在[1，2]上有交點(diǎn)即可求解.（3）求出|f（x1）﹣f（x2）|max＜1，把問題轉(zhuǎn)化為1≤m2﹣2mp﹣2恒成立，研究關(guān)于的函數(shù)h（p）＝﹣2mp+m2﹣3，使其最小值大于零即可.【詳解】

（1）函數(shù)f（x）＝x2﹣2x+1+a對(duì)稱軸為x＝1，所以在區(qū)間[1，2]上f（x）min＝f（1）＝a，由根據(jù)題意函數(shù)f（x）＝x2﹣2x+1+a在區(qū)間[1，2]上有最小值﹣1．

所以a＝﹣1．

（2）由（1）知f（x）＝x2﹣2x，若關(guān)于x的方程f（log2x）+1﹣2k?log2x＝0在[2，4]上有解，令t＝log2x，t∈[1，2]

則f（t）+1﹣2kt＝0，即t2﹣（2+2k）t+1＝0在[1，2]上有解，t2+2k在[1，2]上有解，令函數(shù)g（t）＝t，在（0，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增．

所以g（1）≤2+2k≤g（2），即2≤2+2t，解得0≤t．

（3）若對(duì)任意的x1，x2∈（1，2]，|f（x1）﹣f（x2）|max＜1，若對(duì)任意的x1，x2∈（1，2]，任意的p∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤m2﹣2mp﹣2成立，則1≤m2﹣2mp﹣2，即m2﹣2mp﹣3≥0，令h（p）＝﹣2mp+m2﹣3，所以h（﹣1）＝2m+m2﹣3≥0，且h（1）＝﹣2m+m2﹣3≥0，解得m≤﹣3或m≥3．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、函數(shù)與方程以及不等式恒成立問題，綜合性比較強(qiáng)，需有較強(qiáng)的邏輯推理能力，屬于難題.