2019-2020學年市中學高一上學期期中數(shù)學試題

一、單選題

1．設命題甲“”,命題乙“”，那么甲是乙的（）

A.充分非必要條件

B.必要非充分條件

C.充要條件

D.既非充分又非必要條件

【答案】A

【解析】分析成立的條件,根據(jù)充分性、必要性的概念即可選出正確答案.【詳解】

因為,所以由一定能推出,由,不一定能推出,所以甲是乙的充分非必要條件.故選：A

【點睛】

本題考查了充分非必要條件的判斷,屬于基礎題.2．已知集合,，則與的關系為（）

A.B.C.D.【答案】C

【解析】用列舉法表示集合,這樣就可以選出正確答案.【詳解】

或或或.因此,所以.故選：C

【點睛】

本題考查了集合與集合之間的關系,理解本題中集合元素的屬性特征是解題的關鍵.3．若實數(shù)、、滿足,則下列不等式正確的是（）

A.B.C.D.【答案】B

【解析】利用取特殊值的方法和差比的比較法即可選出正確答案.【詳解】

選項A：當時,顯然滿足,但是,顯然不成立；

選項B：,因為,所以,故本結論成立；

選項C：當時,顯然不成立；

選項D：當時,不等式能成立,但是此時不成立.故選：B

【點睛】

本題考查了利用已知不等式判斷有關不等式是否成立問題,利用特殊值法、差比的比較法、不等式的性質(zhì)是解決這類問題的常用方法.4．已知、、為實數(shù)，，記集合，則下列命題為真命題的是（）

A.若集合的元素個數(shù)為2，則集合的元素個數(shù)也一定為2

B.若集合的元素個數(shù)為2，則集合的元素個數(shù)也一定為2

C.若集合的元素個數(shù)為3，則集合的元素個數(shù)也一定為3

D.若集合的元素個數(shù)為3，則集合的元素個數(shù)也一定為3

【答案】D

【解析】利用一元二次方程根的判別式,結合函數(shù)的表達式,先考慮當集合的元素個數(shù)分別為2、3時,集合的元素個數(shù)情況；再考慮當集合的元素個數(shù)分別為2、3時,集合的元素個數(shù)情況,最后選出正確答案.【詳解】

選項A：當時，集合的元素個數(shù)為2，此時,集合的元素個數(shù)為1,故本選項說法錯誤；

選項B：當時,集合的元素個數(shù)為2,此時，集合的元素個數(shù)為3，故本選項說法錯誤；

選項C：當時，集合的元素個數(shù)為3，此時,集合的元素個數(shù)為2,故本選項說法錯誤；

選項D：若集合的元素個數(shù)為3，方程有三個不等實根,則有,在該條件下方程一定有這一個根，且不是的根，又，所以有兩個不等于的根，即集合的元素個數(shù)也一定為3.故選：D

【點睛】

本題考查了通過方程根的情況求參數(shù)問題,考查了分類討論思想.二、填空題

5．已知集合，且,則實數(shù)的取值范圍是_______

.【答案】

【解析】利用數(shù)軸,根據(jù)集合并集的定義,結合已知,可以求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】

因為集合，且,所以,因此實數(shù)的取值范圍是.故答案為：

【點睛】

本題考查了已知集合運算的結果求參數(shù)問題,利用數(shù)軸、理解掌握集合并集的定義是解題的關鍵.6．若集合，若,則實數(shù)_______

.【答案】

【解析】根據(jù),可以確定,運用分類討論方法進行求解,求解過程中要再計算一下.【詳解】

因為,所以.當時,解得,此時,因此,這與不符,故舍去；

當時,解得,此時,所以符合題意；

當時,方程無實根,綜上所述實數(shù).故答案為：

【點睛】

本題考查了已知集合交集的結果求參數(shù)問題,分類討論是解題的關鍵.7．命題：“若不為零，則都不為零”的逆否命題是。

【答案】若至少有一個為零，則為零

【解析】解：因為命題：“若不為零，則都不為零”的逆否命題是就是將條件和結論同時否定，再作為新命題的結論和條件，即可。故為.若a,b至少一個為0，則ab為0

8．科技節(jié)期間，高一年級的某同學發(fā)明了一個魔術盒，當任意實數(shù)對進入其中時，會得到一個新的實數(shù)：，如把放入其中，就會得到，現(xiàn)將實數(shù)對放入其中，得到實數(shù)，則________.【答案】

【解析】按照操作過程,得到一個方程,解方程即可.【詳解】

由題意得：.故答案為：8

【點睛】

本題考查了數(shù)學閱讀理解的能力,考查了解方程的能力,屬于基礎題.9．設函數(shù)，若，則________.【答案】

【解析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式,分類討論即可求出的值.【詳解】

當時,因為,所以,而,所以；

當時,因為,所以,而,所以舍去,綜上所述：.故答案為：

【點睛】

本題考查了已知分段函數(shù)的函數(shù)值求自變量取值問題,考查了分類思想,考查了數(shù)學運算能力.10．已知函數(shù),，則________.【答案】

【解析】求出函數(shù)的定義域,再求出函數(shù)的定義域,然后進行運算即可.【詳解】

函數(shù)的定義域為：,而函數(shù)的定義域為：,因此函數(shù)的定義域為,所以.故答案為：

【點睛】

本題考查了求函數(shù)的定義域,考查了數(shù)學運算能力.11．已知不等式的解集中有且只有5個整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是________.【答案】

【解析】在直角坐標系內(nèi),畫出函數(shù)圖象,平移函數(shù)的圖象,利用數(shù)形結合思想,結合已知,可以求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】

在直角坐標系內(nèi),畫出函數(shù)圖象,如下圖所示；

平移函數(shù)的圖象,可以發(fā)現(xiàn)：

當時,不等式的解集中有且只有5個整數(shù).故答案為：

【點睛】

本題考查了利用函數(shù)圖象解決不等式整數(shù)解問題,考查了數(shù)形結合思想.12．若關于的不等式在上的解集為,則實數(shù)的取值范圍是________.【答案】

【解析】根據(jù)一元二次不等式的解法可知：一元二次方程根的判別式小于零,因此可以通過解不等式可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】

因為關于的不等式在上的解集為,所以一元二次方程

根的判別式小于零,即.故答案為：

【點睛】

本題考查了已知一元二次不等式的解集求參數(shù)問題,掌握一元二次不等式的解法是解題的關鍵,考查了方程與不等式之間的聯(lián)系.13．已知函數(shù)的定義域為,則函數(shù)的定義域為________.【答案】

【解析】根據(jù)的定義域,可以得出函數(shù)中自變量的滿足的不等式組,解這個不等式組即可.【詳解】

因為函數(shù)的定義域為,所以有,因此函數(shù)的定義域為.故答案為：

【點睛】

本題考查了求函數(shù)的定義域,掌握求復合函數(shù)的定義域的方法是解題的關鍵.14．已知，則的最小值為

.【答案】3

【解析】試題分析：根據(jù)條件，解得，那么，當且僅當時取得等號，所以的最小值為3，故填：3.【考點】基本不等式

15．已知不等式對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_______.【答案】

【解析】在平面直角坐標系內(nèi),畫出函數(shù)的圖象,畫出函數(shù)的圖象的示意圖,平移函數(shù)的圖象,利用數(shù)形結合，可以求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】

在平面直角坐標系內(nèi),畫出函數(shù)的圖象,畫出函數(shù)圖象的示意圖,如下圖所示：

向右平移函數(shù)圖象的過程中可以發(fā)現(xiàn)：當從左到右平移到與橫軸的交點為時，要想不等式對任意恒成立,即滿足

；再繼續(xù)往右平移時，當函數(shù)圖象的左側經(jīng)過點時,此時,顯然當時,不等式對任意恒成立,綜上所述：實數(shù)的取值范圍是.故答案為：

【點睛】

本題考查了利用函數(shù)圖象求解不等式恒成立問題,考查了數(shù)形結合思想、平移思想.16．對于集合，定義函數(shù)，對于兩個集合、，定義集合,用表示有限集合所含元素的個數(shù),若，則能使取最小值的集合的個數(shù)為________.【答案】

【解析】通過定義可以用集合中的補集來解釋，再根據(jù)取最小值時所滿足的條件,最后可以求出集合的個數(shù).【詳解】

因為,所以有,要想

最小,只需最大,且最小,要使

最小,則有，所以集合是集合和集合子集的并集,因此集合的個數(shù)為個.故答案為：8

【點睛】

本題考查了新定義題,考查了集合與集合之間的關系,考查了數(shù)學閱讀能力.三、解答題

17．已知集合,函數(shù)的定義域為集合,且,求實數(shù)的取值范圍.【答案】

【解析】解不等式化簡集合的表示，求出函數(shù)的定義域,結合已知,利用數(shù)軸,可以求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】,或,所以.因為,所以有：或,解得或,綜上所述：實數(shù)的取值范圍是.【點睛】

本題考查了根據(jù)集合關系求參數(shù)問題,考查了解分式不等式,考查了求函數(shù)的定義域,利用數(shù)軸是解題的關鍵.18．若實數(shù)、、滿足,則稱比接近.(1)若比4接近1,求實數(shù)的取值集合；

(2)若、均屬于(1)中集合,求證：比接近0.【答案】(1)

；(2)證明見解析.【解析】(1)根據(jù)題目已知給的信息,可以把比4接近1,轉(zhuǎn)化成不等式,解這個不等式即可；

(2)根據(jù)題意可以得到,想要證明比接近0,只需證明

即可,運用平方法、差比的比較法、因式分解法可以證明出結論.【詳解】

(1)因為比4接近1,所以有,所以實數(shù)的取值集合；

(2)由題意可知：,因為,所以,即

于是有,由題意可知：比接近0.【點睛】

本題考查了解絕對值不等式,考查了證明絕對值不等式,考查了數(shù)學閱讀能力.19．近年來，某企業(yè)每年消耗電費約24萬元，為了節(jié)能減排，決定安裝一個可使用15年的太陽能供電設備接入本企業(yè)電網(wǎng)，安裝這種供電設備的工本費(單位：萬元)與太陽能電池板的面積(單位：平方米)成正比，比例系數(shù)約為0.5．為了保證正常用電，安裝后采用太陽能和電能互補供電的模式．假設在此模式下，安裝后該企業(yè)每年消耗的電費(單位:萬元)與安裝的這種太陽能電池板的面積(單位:平方米)之間的函數(shù)關系是為常數(shù)).記為該村安裝這種太陽能供電設備的費用與該村15年共將消耗的電費之和．

（1）試解釋的實際意義，并建立關于的函數(shù)關系式；

（2）當為多少平方米時，取得最小值？最小值是多少萬元？

【答案】（1）；（2）當為55平方米時,取得最小值為57.5萬元．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意知，將其代入為常數(shù)）即可求出參數(shù)，即可求出關于的函數(shù)關系式；（2）直接對函數(shù)進行求導，求出其極值點，然后討論函數(shù)的單調(diào)性，進

而求出函數(shù)的最小值.試題解析：

（1）的實際意義是安裝這種太陽能電池板的面積為0時的用電費用,即未安裝電陽能供電設備時全村每年消耗的電費.由,得

所以

（2）因為

當且僅當,即時取等號

所以當為55平方米時,取得最小值為57.5萬元．

（2）導數(shù)解法：，令得

當時，當時，．

所以當為55平方米時,取得最小值為57.5萬元．

【考點】導數(shù)的應用；導數(shù)在研究函數(shù)的最值和極值中的應用．

20．已知是滿足下述條件的所有函數(shù)組成的集合：對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意兩個自變量、,均有成立.(1)已知定義域為的函數(shù),求實數(shù)、的取值范圍；

(2)設定義域為的函數(shù),且,求正實數(shù)的取值范圍；

(3)已知函數(shù)的定義域為,求證：.【答案】(1)，；(2)；(3)證明見解析.【解析】(1)根據(jù)題意得到不等式,通過不等式可以求出實數(shù)、的取值范圍；

(2)求出時,正實數(shù)的取值范圍,然后根據(jù)補集思想,求出正實數(shù)的取值范圍即可；

(3)設,利用分子有理化,絕對值不等式的性質(zhì)，可以證明出,這樣就可以證明出.【詳解】

(1)因為定義域為的函數(shù),所以均有

成立,即,顯然,因此，；

(2)

設定義域為的函數(shù),且,所以均有

成立,即,設,即在上恒成立，因此有：,因此當時,正實數(shù)的取值范圍為：；

(3)

設,所以有,顯然

也成立.【點睛】

本題考查了數(shù)學閱讀能力,考查了有關不等式恒成立問題,理解題意、運用絕對值的性質(zhì)、分子有理化的方法是解題的關鍵.21．對于正整數(shù)集合（,）,如果去掉其中任意一個元素（）之后,剩余的所有元素組成的集合都能分為兩個交集為空集的集合,且這兩個集合的所有元素之和相等，就稱集合為“和諧集”.(1)判斷集合是否為“和諧集”,并說明理由；

(2)求證：集合是“和諧集”；

(3)求證：若集合是“和諧集”,則集合中元素個數(shù)為奇數(shù).【答案】(1)不是；理由見解析；(2)證明見解析；(3)證明見解析.【解析】(1)根據(jù)集合中這5個數(shù)字的特征,可以去掉2即可判斷出集合不是“和諧集”；

(2)集合去掉任意一個元素進行分類討論,找到符合題意的兩個集合即可證明集合是“和諧集”；

(3)判斷任意一個元素（）的奇偶性相同,分類討論,可以證明出若集合是“和諧集”,則集合中元素個數(shù)為奇數(shù).【詳解】

(1)當集合去掉元素2時，剩下元素組成兩個集合的交集為空集有以下幾種情況：,經(jīng)過計算可以發(fā)現(xiàn)每給兩個集合的所有元素之和不相等,故集合不是“和諧集”；

(2)集合所有元素之和為49.當去掉元素1時,剩下的元素之和為48,剩下元素可以組合這兩個集合,顯然符合題意；

當去掉元素3時,剩下的元素之和為46,剩下元素可以組合這兩個集合,顯然符合題意；

當去掉元素5時,剩下的元素之和為44,剩下元素可以組合這兩個集合,顯然符合題意；

當去掉元素7時,剩下的元素之和為42,剩下元素可以組合這兩個集合,顯然符合題意；

當去掉元素9時,剩下的元素之和為40,剩下元素可以組合這兩個集合,顯然符合題意；

當去掉元素11時,剩下的元素之和為38,剩下元素可以組合這兩個集合,顯然符合題意；

當去掉元素13時,剩下的元素之和為36,剩下元素可以組合這兩個集合,顯然符合題意；

(3)設正整數(shù)集合（，）所有元素之和為,由題意可知

均為偶數(shù),因此任意一個元素（）的奇偶性相同.若是奇數(shù),所以（）也都是奇數(shù),由于,顯然為奇數(shù)；

若是偶數(shù),所以（）也都是偶數(shù).此時設（）顯然也是“和諧集”,重復上述操作有限次,便可以使得各項都為奇數(shù)的“和諧集”,此時各項的和也是奇數(shù),集合中元素的個數(shù)也是奇數(shù),綜上所述：若集合是“和諧集”,則集合中元素個數(shù)為奇數(shù).【點睛】

本題考查了新定義的理解與運用,正確理解題意,運用分類討論的方法是解題的關鍵.