2019-2020學年吉林省長春市德惠市實驗中學、前郭五中等九校高一上學期期中數學試題

一、單選題

1．已知集合，,則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】首先求集合，然后求.【詳解】

解得或，或，.故選:D.【點睛】

本題考查集合的交集，屬于簡單題型.2．下列各組函數中，表示同一函數的是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】逐一分析選項，比較函數的三個要素，得到正確結果.【詳解】

A.的定義域是，的定義域是，兩個函數的定義域不相同，不是同一函數.B.的定義域是，解得，定義域,的定義域是，解得或，即或，兩個函數的定義域不同，不是同一函數；

C.兩個函數的定義域相同，并且，兩個函數的定義域和解析式相同，是同一函數；

D.的定義域是，的定義域是，不是同一函數.故選:C.【點睛】

本題考查判斷函數是否是同一函數，函數的三個要素是定義域，對應關系，值域，當定義域和對應關系相同，兩個函數是同一函數，若三要素有一個不同就不是同一函數.3．函數的定義域為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】根據函數解析式，寫出解析式成立的條件即可求出函數定義域.【詳解】

要使函數有意義，則需：，解得或，所以函數的定義域為

故選：B

【點睛】

本題主要考查了有解析式的函數的定義域的求法，屬于中檔題.4．下列函數中，圖象關于原點對稱且在定義域內單調遞增的是（）.A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】逐一分析選項，得到正確結果.【詳解】

A.滿足，函數是奇函數，關于原點對稱，函數是單調遞減函數；

B.定義域是，滿足，所以函數是偶函數；

C.定義域，滿足，函數是偶函數；

D..定義域，滿足，函數是奇函數，增函數-減函數=增函數，滿足條件；

故選:D.【點睛】

本題考查函數的性質，意在考查對函數性質的靈活掌握，屬于基礎題型.5．已知函數,則的值等于（）

A．2

B．1

C．3

D．9

【答案】A

【解析】是奇函數，即，而，利用函數性質求解.【詳解】

是奇函數，即，.故選:A.【點睛】

本題考查利用函數是奇函數，求函數值，本題的關鍵是觀察，后面的問題就迎刃而解.6．已知冪函數的圖象不過原點，則的值為（）

A．0

B．-1

C．2

D．0或2

【答案】A

【解析】根據函數是冪函數可知，得出：或，然后驗證，得到的值.【詳解】

函數是冪函數，解得：或，當時，過原點，不滿足條件；

當時，不過原點，滿足條件，.故選:A.【點睛】

本題考查冪函數的解析式和函數性質，形如的函數是冪函數，熟記和時，函數的性質和圖象是解題的關鍵，本題主要考查基礎知識的掌握情況.7．函數(其中)的圖象不可能是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】對于，當時，且，故可能；對于，當且時，當且時，在為減函數，故可能；對于,當且時，當且時，在上為增函數，故可能，且不可能.故選C.點睛：函數圖象的識辨可從以下方面入手：(1)從函數的定義域，判斷圖象的左右位置，從函數的值域，判斷圖象的上下位置；(2)從函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢；(3)從函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性；(4)從函數的特征點，排除不合要求的圖象．利用上述方法排除、篩選選項．

8．若函數在上單調遞減，則實數的取值范圍是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】分段函數若滿足在上的單調遞減函數，需滿足每段都是單調遞減，并且在分界點處的函數值比較大小，列不等式求的取值范圍.【詳解】

若滿足分段函數是上的單調遞減函數，需滿足，解得：

即的取值范圍是.故選:C.【點睛】

本題考查已知分段函數的單調性，求參數的取值范圍，屬于基礎題型，這類題型，容易忘記分界點處的函數值需比較大小，需謹記這點.9．當時，則的取值范圍是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】首先討論和兩種情況，當時，時，解得：，然后再分別畫圖象，當滿足條件的時候，根據圖象求的范圍.【詳解】

當時，，不成立，當時，當時，解得：，如圖，若時，時，.故選:B.【點睛】

本題考查根據恒成立的不等式求參數的取值范圍，意在考查數形結合分析和臨界條件分析問題和解決問題的能力，同時需熟練掌握底數對圖象的影響.10．已知函數，若函數的值域為，則的取值范圍是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】若函數的值域是，需滿足內層函數和軸有交點，即求的取值范圍.【詳解】，若滿足函數的值域是，需滿足

和軸有交點，即

解得或，故選:B.【點睛】

本題考查根據復合函數的值域，求參數取值范圍的問題，屬于中檔題型，學習中弄清這兩個問題1.的定義域，求參數取值范圍，2.函數的值域為，求參數取值范圍.11．已知函數為偶函數，且對于任意的，都有,設，則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】首先判斷函數在的單調性，然后根據偶函數化簡，然后比較2，的大小，比較的大小關系.【詳解】

若，則函數在是單調遞增函數，并且函數是偶函數滿足，即，在單調遞增，即.故選:C.【點睛】

本題考查利用函數的奇偶性和函數的單調性比較函數值的大小，意在考查函數性質的應用，意在考查轉化和變形能力，屬于基礎題型.12．已知，若函數有三個零點，則實數的取值范圍是

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】本道題將零點問題轉化成交點個數問題，利用數形結合思想，即可。

【詳解】

有三個零點，有一個零點，故，有兩個零點，代入的解析式，得到，構造新函數，繪制這兩個函數的圖像，如圖可知

因而介于A,O之間，建立不等關系，解得a的范圍為，故選A。

【點睛】

本道題考查了函數零點問題，難度加大。

二、填空題

13．在對應法則的作用下,中元素與中元素一一對應，則與中元素對應的中元素是____________.【答案】

【解析】首先將中的元素寫成，根據對應關系求的值.【詳解】，那么

即與中的元素對應的就是，故填：.【點睛】

本題考查映射求原象，重點理解對應關系，屬于簡單題型.14．已知函數的圖象過定點P，則點P的坐標為_______.【答案】

【解析】解析式中的指數求出的值，再代入解析式求出的值，即得到定點的坐標.【詳解】

由于函數經過定點，令，可得，求得，故函數，則它的圖象恒過點，故答案是.【點睛】

該題考查的是有關指數型函數圖象過定點的問題，需要把握住，從而求得結果，屬于簡單題目.15．若函數且，則____________.【答案】1

【解析】首先根據兩個函數值求，再求和.【詳解】

根據條件可知，解得：，即，故填：1.【點睛】

本題考查分段函數求值，意在考查基本的計算能力，屬于簡單題型.16．已知函數在區間上單調遞減，則的取值范圍是_____________.【答案】

【解析】首先分成，根據復合函數的單調性可知，外層函數是單調遞增函數，即，內層函數在區間

單調遞減，并且最小值大于0，即，求解的取值范圍.【詳解】，若滿足函數在上單調遞減，只需滿足，解得.故填：.【點睛】

本題考查根據復合函數的單調性求參數的取值范圍，復合函數單調性的判斷方法，首先分成內外層函數，然后根據“同增異減”判斷函數的單調性.三、解答題

17．計算下列各式的值：

（1）；

（2）．

【答案】(1)(2)0

【解析】代入指數運算法則和根式和分數指數冪的公式轉化求解；（2）代入對數運算法則求解.【詳解】

（1）原式

.（2）原式

.【點睛】

本題考查分數指數冪和對數的運算法則，意在考查轉化和計算能力，屬于基礎題型.18．設集合.（1）若,求.（2），求實數的取值范圍.【答案】（1）（2）

【解析】（1）首先求集合和，再求；（2）首先解集合，若，再根據包含關系列不等式組，求的取值范圍.【詳解】

解：（1）當m=5,(2)

ⅰ）令，無解

ⅱ）

【點睛】

本題考查集合的運算，以及根據集合的包含關系求參數的取值范圍，一般含有參數的不等式可以采用分解因式求不等式的解集，根據集合的包含關系求參數時，1.不要忘了空集的情況，2,.一般需要借助數軸表示集合的包含關系.19．已知函數，（且）.（1）求的定義域及的定義域.（2）判斷并證明的奇偶性.【答案】（1）函數的定義域為，函數的定義域為（2）是奇函數，證明見解析

【解析】（1）首先求函數的定義域，令，解得，求的定義域，令，求定義域；（2）定義域關于原點對稱，判斷與的關系得到函數的奇偶性.【詳解】

解：（1）函數>0

函數的定義域為

函數的定義域是

（2）是奇函數

證明：函數的定義域為，定義域關于原點對稱

（或證明）

是奇函數

【點睛】

本題考查函數的定義域，以及定義法判斷函數的奇偶性，尤其是求抽象函數的定義域，已知的定義域是，那么的定義域就是令，再解，就是定義域.20．函數和的圖像的示意圖如圖所示，兩函數的圖像在第一象限只有兩個交點

（1）請指出示意圖中曲線分別對應哪一個函數；

（2）比較的大小，并按從小到大的順序排列；

（3）設函數,則函數的兩個零點為，如果，其中為整數，指出的值，并說明理由。

【答案】（Ⅰ）C1對應的函數為，C2對應的函數為.（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】（Ⅰ）根據指數函數與冪函數圖像特點進行判斷選擇（Ⅱ）根據計算結果比較大小（Ⅲ）根據零點存在定理求解.【詳解】

解：（Ⅰ）C1對應的函數為，C2對應的函數為.（Ⅱ）

所以從小到大依次為。

（Ⅲ）計算得

理由如下：

令，由于，則函數的兩個零點

因此整數

【點睛】

本題考查指數函數與冪函數圖像特點以及零點存在定理應用，考查基本分析求解能力，屬基礎題.21．已知函數,（1）求函數的值域.（2）設,求的最值及相應的的值.【答案】（1）（2）當x=1時，有最大值0；當x=2時，有最小值-1

【解析】（1）利用函數是單調遞增函數，直接求值域；（2）求函數，再換元，設，，求二次函數的最值.【詳解】

解：（1）的值域是

（2）的定義域為，的定義域為，設當

當=0即x=1時，有最大值0

當=1即x=2時，有最小值-1

綜上:當x=1時，有最大值0；當x=2時，有最小值-1

【點睛】

本題考查對數函數根據單調性求最值，以及換元法求二次函數的最值，本題有一個易錯點是函數的定義域和的定義域不相同，的定義域應是.22．已知函數．

求方程的實根；

若對于任意，不等式恒成立，求實數m的最大值．

【答案】（1）x=0；（2）4

【解析】(1)由題得,再解即得.(2)先化簡得，再利用基本不等式求右邊函數的最小值即得解.【詳解】

（1）

(2)由條件知

所以

而.當且僅當f(x)=,即f(x)=2,x=0時取得最小值.所以,所以實數m的最大值為4.【點睛】

(1)本題主要考查指數方程的解法，考查不等式的恒成立問題，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理轉化能力.(2)處理參數問題常用的方法有分離參數和分類討論.本題利用的是分離參數法.