專題9：功與功率

參考答案

題型1：對力做功的理解及計算

1．常見的功的計算方法

(1)恒力做功

①對恒力作用下物體的運動，力對物體做的功用W＝Fscos

α求解．該公式可寫成W＝F·(s·cos

α)＝(F·cos

α)·s.即功等于力與力方向上位移的乘積或功等于位移與位移方向上力的乘積．

②利用動能定理

(2)變力做功

①用動能定理W＝ΔEk或功能關系W＝ΔE，即用能量的增量等效代換變力所做的功．(也可計算恒力功)

②當變力的功率P一定時，可用W＝Pt求功，如機車恒定功率啟動時．

③將變力做功轉化為恒力做功

(3)總功的求法

①總功等于合外力的功

先求出物體所受各力的合力F合，再根據W總＝F合scos

α計算總功，但應注意α應是合力與位移x的夾角．

②總功等于各力做功的代數和分別求出每一個力做的功：

W1＝F1s1cos

α1，W2＝F2s2cos

α2，W3＝F3s3cos

α3，…

再把各個外力的功求代數和即：W總＝W1＋W2＋W3＋…

2．功的計算及正負判斷思維流程

1.一物體在水平面上，受恒定的水平拉力和摩擦力作用沿直線運動，已知在第1秒內合力對物體做的功為45

J，在第1秒末撤去拉力，其v－t圖象如圖所示，g取10

m/s2，則()

A．物體的質量為10

kg

B．物體與水平面間的動摩擦因數為0.2

C．第1秒內摩擦力對物體做的功為60

J

D．第1秒內拉力對物體做的功為60

J

解析：由動能定理，45

J＝mv2/2，第1秒末速度v＝3

m/s，解出m＝10

kg，故A正確；撤去拉力后加速度的大小a＝m/s2＝1

m/s2，摩擦力f＝ma＝10

N，又f＝μmg，解出μ＝0.1，故B錯誤；

第1秒內物體的位移s＝1.5

m，第1秒內摩擦力對物體做的功W＝－fs＝－15

J，故C錯誤；第1秒內加速度a1＝m/s2＝3

m/s2，設第1秒內拉力為F，則F－f＝ma1，第1秒內拉力對物體做的功W′＝Fs＝60

J，故D正確．

答案：AD

2.分別對放在粗糙水平面上的同一物體施一水平拉力和一斜向上的拉力使物體在這兩種情況下的加速度相同，當物體通過相同位移時，這兩種情況下拉力的功和合力的功的正確關系是()

A．拉力的功和合力的功分別相等

B．拉力的功相等，斜向拉時合力的功大

C．合力的功相等，斜向拉時拉力的功大

D．合力的功相等，斜向拉時拉力的功小

解析：兩種情況下加速度相等，合力相等，位移相等，所以合力的功相等，第一種情況拉力的功W1＝F1s，第二種情況下拉力的功W2＝F2scosθ，由受力分

析F1－f1＝ma，F2cos

θ－f2＝ma，f1＞f2，則F1＞F2cos

θ，即W1＞W2，即斜向拉時拉力的功小．

答案：D

3.如圖所示，木板可繞固定水平軸O轉動．木板從水平位置OA緩慢轉到OB位置，木板上的物塊始終相對于木板靜止．在這一過程中，物塊的重力勢能增加了2

J．用N表示物塊受到的支持力，用f表示物塊受到的摩擦力．在此過程中，以下判斷正確的是()

A．N和Ff對物塊都不做功

B．N對物塊做功為2

J，f對物塊不做功

C．N對物塊不做功，f對物塊做功為2

J

D．N和f對物塊所做功的代數和為0

解析：由做功的條件可知：只要有力，并且物塊沿力的方向有位移，那么該力就對物塊做功．由受力分析知，支持力N做正功，但摩擦力f方向始終和速度方向垂直，所以摩擦力不做功．由動能定理WN－mgh＝0，故支持力N

做功為mgh.答案：B

求力對物體做功問題首先從做功的條件判斷力對物體是否做功及做功的正負，一般可以從力和位移的方向關系(恒力做功情況)或力和速度的方向關系(變力做功情況)入手進行分析．求解變力做功，動能定理是最常用的方法.4．沿著高度相同，坡度不同，粗糙程度也不同的斜面向上拉同一物體到頂端，以下說法中正確的是()

A．沿坡度小，長度大的斜面上升克服重力做的功多

B．沿長度大、粗糙程度大的斜面上升克服重力做的功多

C．沿坡度大、粗糙程度大的斜面上升克服重力做的功多

D．上述幾種情況重力做功同樣多

解析：重力做功只與高度有關，與路徑無關，因此，題中所述幾種情況重力做功同樣多．

答案：D

5.如圖所示，用恒力F拉著質量為m的物體沿水平面從A移到B的過程中，下列說法正確的是()

A．有摩擦力時比無摩擦力時F做的功多

B．有摩擦力時與無摩擦力時F做的功少

C．物體加速運動時F做的功比減速運動時F做的功多

D．物體無論是加速、減速還是勻速，力F做的功一樣多

解析：由功的公式W＝Fscos

α可得力F對物體m做的功W＝F·s，與有無摩擦無關，與物體是加速、減速還是勻速也無關，因此只有D正確．

答案：D

6.如圖所示，質量為m的物體置于傾角為θ的斜面上，物體與斜面間的動摩擦因數為μ，在外力作用下，斜面以加速度a沿水平方向向左做勻加速運動，運動中物體m與斜面體相對靜止．則關于斜面對m的支持力和摩擦力的下列說法中錯誤的是()

A．支持力一定做正功

B．摩擦力一定做正功

C．摩擦力可能不做功

D．摩擦力可能做負功

解析：支持力方向垂直斜面向上，故支持力一定做正功．

而摩擦力是否存在需要討論．

當a＝gtan

θ時，摩擦力不存在，不做功

當a>gtan

θ，摩擦力沿斜面向下，做正功

當a

θ，摩擦力沿斜面向上，做負功．

綜上所述，B是錯誤的．

答案：B

7．關于摩擦力做功的下列說法不正確的是()

①．滑動摩擦力阻礙物體的相對運動，一定做負功

②．靜摩擦力起著阻礙物體相對運動趨勢的作用，一定不做功

③．靜摩擦力和滑動摩擦力一定都做負功

④．系統內兩物體間的相互作用的一對摩擦力做功的總和恒等于0

A．①②③

B．②③④

C．①③④

D．①②③④

8.質量為2

kg的物體，放在動摩擦因數為μ＝0.1的水平面上，在水平拉力F的作用下，由靜止開始運動，拉力做的功W和物體發生的位移s之間的關系如圖所示，g＝10

m/s2.下列說法中正確的是()

A．此物體在AB段做勻加速直線運動，且整個過程中拉力的最大功率為15瓦

B．此物體在AB段做勻速直線運動，且整個過程中拉力的最大功率為6瓦

C．此物體在AB段做勻加速直線運動，且整個過程中拉力的最大功率為6瓦

D．此物體在AB段做勻速直線運動，且整個過程中拉力的最大功率為15瓦

解析：前3

m位移內的拉力為5

N，根據牛頓第二定律可得加速度a＝1.5

m/s2，末速度為3

m/s，后6

m位移內拉力等于2

N，所以此物體在AB段做勻速直線運動．

答案：D

9.質量為m＝20

kg的物體，在大小恒定的水平外力F的作用下，沿水平面做直線運動.0～2.0

s內F與運動方向相反，2.0

s～4.0

s內F與運動方向相同，物體的速度－時間圖象如圖5－1－15所示，已知g取10

m/s2.則下列說法錯誤的是()

A．物體在0～4

s內通過的位移為8

m

B．拉力F的大小為100

N

C．物體與地面間的動摩擦因數為0.2

D．物體克服摩擦力做的功為480

J

解析：根據v－t圖象的特點可知，物體在0～4

s內通過的位移為8

m，A正確；0～2

s內物體做勻減速直線運動，加速度為a1＝5

m/s2，a1＝(F＋f)/m,2

s～4

s內物體做勻加速直線運動，加速度為a2＝1

m/s2，a2＝(F－f)/m，又f＝μmg，解得：F＝60

N、μ＝0.2，B錯誤、C正確；由于摩擦力始終對物體做負功，根據圖象可求得物體通過的路程為12

m，由Wf＝μmgx可得物體克服摩擦力做的功為480

J，D正確．

答案：B

題型2：對功率的理解及計算

計算功率的基本思路

1．首先判斷待求的功率是瞬時功率還是平均功率．

2．(1)平均功率的計算方法．

①利用.②利用.(2)瞬時功率的計算方法．

P＝Fvcos

θ，v是t時刻的瞬時速度．

10.如圖所示，水平傳送帶正以2

m/s的速度運行，兩端水平距離l＝8

m，把一質量m＝2

kg的一個物塊輕輕放到傳送帶的A端，物塊在傳送帶的帶動下向右運動，若物塊與傳送帶間的動摩擦因數μ＝0.1，則把這個物塊從A端傳送到B端的過程中，不計物塊的大小，g取10

m/s2，求摩擦力對物塊做功的平均功率．

解析：物體剛放到傳送帶上時，由于與傳送帶有相對運動，物塊受向右的滑動摩擦力，物塊做加速運動，摩擦力對物塊做功，求出物塊在摩擦力作用下的位

移和運動時間．

物塊受向右的摩擦力為：f＝μmg＝0.1×2×10

N＝2

N，加速度為a＝＝μg＝0.1×10

m/s2＝1

m/s2

當物塊與傳送帶相對靜止時的位移為：s＝m＝2

m.摩擦力做功為：W＝fs＝2×2

J＝4

J

相對靜止后物塊與傳送帶之間無摩擦力，此后物塊勻速運動到B端，物塊由A端到B端所用的時間為：

則物塊在被傳送過程中所受摩擦力的平均功率為：

.答案：0.8

W

11.圖2008年9月6日，殘奧會在北京開幕．我國運動員侯斌坐在輪椅上靠自身牽引升空點燃主火炬．該裝置可簡化為如圖5－1－8所示的定滑輪模型．假設侯斌和輪椅的總質量為m，需要上升高度h點燃主火炬，設上升時間為t，不計一切摩擦和細繩質量，則()

A．若侯斌拉繩的拉力為F，則上升的加速度為a＝2F/m

B．若侯斌以速度v勻速向下拉繩，則侯斌拉繩的功率等于mgv

C．若侯斌拉繩先加速后勻速最后減速到零，則在整個上升過程中，侯斌拉細繩的力都一定不小于mg/2

D．若侯斌拉繩先加速后勻速最后減速到零，則在整個上升過程中，侯斌拉細繩做功W＝mgh

解析：若侯斌拉繩的拉力為F，把輪椅和侯斌看作整體，則整體受到向上的拉力為2F，由牛頓第二定律得2F－mg＝ma，則上升的加速度為a＝2F/m－g，選項A錯誤；若侯斌以速度v勻速向下拉繩，則侯斌拉繩的力F＝mg/2，拉繩的功率P＝Fv＝mgv/2，選項B錯誤；侯斌自身牽引升空是先加速后勻速最后減速到零，在加速上升階段，侯斌的拉力大于mg/2，勻速運動階段，侯斌的拉力等于mg/2，最后減速上升階段侯斌的拉力小于mg/2，選項C錯誤；對于整個上升過程，由動能定理得W－mgh＝0，侯斌拉細繩做功W＝mgh，選項D正確．

答案：D

12.(2010·徐州模擬)一輛汽車在平直的公路上以某一初速度運動，運動過程中保持恒定的牽引功率，其加速度a和速度的倒數(1/v)圖象如圖5－1－10所示．若已知汽車的質量，則根據圖象所給的信息，不能求出的物理量是()

A．汽車的功率

B．汽車行駛的最大速度

C．汽車所受到的阻力

D．汽車運動到最大速度所需的時間

解析：由P＝F·v，和F－f＝ma得出：a＝·－0，由圖象可求出圖線斜率k，由k＝，可求出汽車的功率P，由＝0時，a＝－2

m/s2，得：－2＝－可求出汽車所受阻力f，再由P＝fvm可求出汽車運動的最大速度vm，但汽車做變加速直線運動，無法求出汽車運動到最大速度的時間，故選D.答案：D

13．將一質量為m的小球以初速度v0從傾角為θ的斜坡頂向外水平拋出，并落在斜坡上，那么當它擊中斜坡時重力做功的功率是()

A．mgv0cot

θ

B．mgv0tan

θ

C．2mgv0cot

θ

D．2mgv0tan

θ

解析：設小球平拋后經過t擊中斜坡，則有tan

θ＝，gt＝2v0tan

θ，小球擊中斜坡時重力做功的功率P＝mg·v豎＝mg·gt＝2mgv0tan

θ，故只有D正確．

答案：D

14.汽車在水平路面上從靜止開始做勻加速直線運動，t1

s末關閉發動機，做勻減速直線運動，t2

s末靜止，其v－t圖象如圖5－1－13所示．圖中α＜β，若汽車牽引力做功為W、平均功率為P，汽車加速和減速過程中克服摩擦力做功分別為W1和W2、平均功率分別為P1和P2，則下列說法錯誤的是()

A．W＝W1＋W2

B．W1＞W2

C．P＝P1

D．P1＝P2

解析：整個過程動能變化量為零，所以合外力做功為零．A項正確．摩擦力大小相等，第一段位移大，所以B項正確．第一段是加速，故牽引力大于摩擦力，所以P＞P1，C項錯．因兩段平均速度相等，所以摩擦力的平均功率相等，D項正確．

答案：C

型3：機車的啟動方式

機動車輛啟動的兩種方式

恒定功率啟動

恒定加速度啟動

過程分析

階段一：v↑?F＝↓?a＝

↓階段二：F＝F阻?a＝0?P＝F阻·vm

階段一：a＝不變?F不變?v↑?P＝F·v↑，直到P＝P額＝F·vm′階段二：v↑?F＝↓?a＝

↓階段三：

F＝F阻時?a＝0?v達最大值vm＝

運動規律

加速度逐漸減小的變加速直線運動(對應下圖的OA段)?以vm勻速直線運動(對應下圖中的AB段)

以加速度a做勻加速直線運動(對應下圖中的OA段)?勻加速運動能維持的時間t0＝?以vm勻速直線運動，對下圖中的BC段

P—t圖象

v—t圖象

15.汽車發動機的功率為60

kW，汽車的質量為4

t，當它行駛在坡度為0.02(sin

α＝0.02)的長直公路上時，如圖5－1－5所示，所受摩擦阻力為車重的0.1倍(g＝10

m/s2)，求：

(1)汽車所能達到的最大速度vm；

(2)若汽車從靜止開始以0.6

m/s2的加速度做勻加速直線運動，則此過程能維持多長時間？

解析：(1)汽車在坡路上行駛，所受阻力由兩部分構成，即

f＝kmg＋mgsin

α＝4

000

N＋800

N＝4

800

N.又因為當F＝f時，P＝f·vm，所以vm＝m/s＝12.5

m/s.(2)汽車從靜止開始，以a＝0.6

m/s2，勻加速行駛，由F＝ma，有F′－f－mgsin

α＝ma.所以F′＝ma＋kmg＋mgsin

α＝4×103×0.6

N＋4

800

N＝7.2×103

N.保持這一牽引力，汽車可達到勻加速行駛的最大速度vm′，有vm′＝m/s＝8.33

m/s.由運動學規律可以求出勻加速行駛的時間t＝

s＝13.9

s.答案：(1)12.5

m/s(2)13.9

s

16．一輛汽車保持功率不變駛上一斜坡，其牽引力逐漸增大，阻力保持不變，則在汽車駛上斜坡的過程中()

①．加速度逐漸增大

②．速度逐漸增大

③．加速度逐漸減小

④．速度逐漸減小

A．①②正確

Ｂ．①③正確

Ｃ．②③正確

Ｄ．③④正確

解析：由P＝F·v可知，汽車的牽引力逐漸增大，其上坡的速度逐漸減小，汽車的加速度方向沿坡向下，由牛頓第二定律得：mgsin

θ＋f－F＝ma，隨F增大，a逐漸減小，綜上所述，③、④正確，①、②錯誤．

答案：D

17.(2010·龍巖調研)如圖在雄壯的《中國人民解放軍進行曲》中，胡錦濤主席乘國產紅旗牌檢閱車，穿過天安門城樓，經過金水橋，駛上長安街，檢閱了44個精神抖擻、裝備精良的地面方隊．若胡錦濤主席乘坐的國產紅旗牌檢閱車的額定功率為P，檢閱車勻速行進時所受阻力為f，在時間t內勻速通過總長為L的44個精神抖擻、裝備精良的地面方隊，由此可知()

A．在時間t內檢閱車的發動機實際做功為Pt

B．檢閱車勻速行進的速度為

C．檢閱車勻速行進時地面對車輪的摩擦力為滑動摩擦力

D．檢閱車的實際功率為

解析：在檢閱車檢閱時，在水平道路上行進速度很慢，發動機的實際功率一定

小于額定功率，在時間t內檢閱車的發動機實際做功一定小于Pt，選項A錯誤；

由P＝fv計算出的速度為檢閱車的最大速度，檢閱車勻速行進的速度一定小于，選項B錯誤；檢閱車勻速行進時地面對車輪的摩擦力為靜摩擦力，選項C錯誤；檢閱車勻速行進的速度為v＝，牽引力F等于阻力f，檢閱車的實際功率為P′＝Fv＝，選項D正確．

答案：D

18.(2009·四川，23)如圖為修建高層建筑常用的塔式起重機．在起重機將質量m＝5×103

kg的重物豎直吊起的過程中，重物由靜止開始向上做勻加速直線運動，加速度a＝0.2

m/s2，當起重機輸出功率達到其允許的最大值時，保持該功率直到重物做vm＝1.02

m/s的勻速運動．取g＝10

m/s2，不計額外功．求：

(1)起重機允許輸出的最大功率；

(2)重物做勻加速運動所經歷的時間和起重機在第2秒末的輸出功率．

解析：(1)設起重機允許輸出的最大功率為P0，重物達到最大速度時，拉力F0等于重力．

P0＝F0vm①

F0＝mg②

代入數據，有：P0＝5.1×104

W③

(2)勻加速運動結束時，起重機達到允許輸出的最大功率，設此時重物受到的拉力為F，速度為v1，勻加速運動經歷時間為t1，有：P0＝Fv1④

F－mg＝ma⑤

v1＝at1⑥

由③④⑤⑥，代入數據，得：t1＝5

s⑦

t＝2

s時，重物處于勻加速運動階段，設此時速度為v2，輸出功率為P，則v2＝at⑧

P＝Fv2⑨

由⑤⑧⑨，代入數據，得：P＝2.04×104

W．⑩

答案：(1)5.1×104

W(2)2.04×104

W

19．(2010·上海浦東區模擬)一輛汽車質量為1×103

kg，最大功率為2×104

W，在水平路面由靜止開始

做直線運動，最大速度為v2，運動中汽車所受阻力恒定．發動機的最大牽引力為3×103

N，其行駛過程中牽引力F與車速的倒數的關系如圖所示．試求

(1)根據圖線ABC判斷汽車做什么運動？

(2)v2的大小；

(3)整個運動過程中的最大加速度；

(4)當汽車的速度為10

m/s時發動機的功率為多大？

解析：(1)圖線AB段牽引力F不變，阻力f不變，汽車做勻加速直線運動，圖線BC的斜率表示汽車的功率P，P不變，則汽車做加速度減小的加速運動，直至達到最大速度v2，此后汽車做勻速直線運動．

(2)汽車速度為v2，牽引力為F1＝1×103

N，v2＝m/s＝20

m/s.(3)汽車做勻加速直線運動時的加速度最大，阻力f＝N＝1

000

N，a＝m/s2＝2

m/s2.(4)與B點對應的速度為v1＝m/s＝6.67

m/s

當汽車的速度為10

m/s時處于圖線BC段，故此時的功率最大為Pm＝2×104

W.答案：(1)AB段勻加速　BC段加速度減小的加速運動(2)20

m/s

(3)2

m/s2(4)2×104

W

20．一列火車總質量m＝500

t，機車發動機的額定功率P＝6×105

W，在軌道上行駛時，軌道對列車的阻力f是車重的0.01倍，g取10

m/s2，求：

(1)火車在水平軌道上行駛的最大速度；

(2)在水平軌道上，發動機以額定功率P工作，當行駛速度為v1＝1

m/s和v2＝10

m/s時，列車的瞬時加速度a1、a2各是多少；

(3)在水平軌道上以36

km/h速度勻速行駛時，發動機的實際功率P′；

(4)若火車從靜止開始，保持0.5

m/s2的加速度做勻加速運動，這一過程維持的最長時間．

解析：(1)列車以額定功率工作時，當牽引力等于阻力，即F＝f＝kmg時列車的加速度為零，速度達最大vm，則：vm＝＝＝＝12

m/s.(2)當v＜vm時列車加速運動，當v＝v1＝1

m/s時，F1＝＝6×105

N，據牛頓第二定律得：a1＝＝1.1

m/s2

當v＝v2＝10

m/s時，F2＝＝6×104

N

據牛頓第二定律得：a2＝＝0.02

m/s2.(3)當v＝36

km/h＝10

m/s時，列車勻速運動，則發動機的實際功率P′＝fv＝5×105

W.(4)據牛頓第二定律得牽引力F′＝f＋ma＝3×105

N，在此過程中，速度增大，發動機功率增大．

當功率為額定功率時速度大小為vm′，即vm′＝＝2

m/s

據vm′＝at，得：t＝＝4

s.答案：(1)12

m/s(2)1.1

m/s2　0.02

m/s2(3)5×105

W(4)4

s