2020屆市高級中學高三1月調研考試數學（文）試題

一、單選題

1．＝（）

A．﹣1

B．﹣i

C．1

D．i

【答案】A

【解析】根據復數的除法運算得到結果即可.【詳解】

＝

故答案為：A.【點睛】

這個題目考查了復數的除法運算，題目比較簡單.2．已知Sn為等差數列{an}的前n項和，a1＝1，公差為d，則“﹣1＜d＜0”是“S22+S52＜26”的（）

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】解出關于d的不等式，結合充分必要條件的定義，從而求出答案．

【詳解】

∵S22+S52＜26，∴（2+d）2+25（1+2d）2＜26，∴（101d+3）（d+1）＜0，∴﹣1＜d＜﹣，∵﹣1＜d＜0推不出﹣1＜d＜﹣，﹣1＜d＜﹣?﹣1＜d＜0，∴“﹣1＜d＜0”是“S22+S52＜26”的必要不充分條件．

故選：B．

【點睛】

本題考查了充分必要條件，考查解不等式問題，考查了等差數列的前n項公式，是一道基礎題．判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關系．

3．設函數是定義在上的偶函數，且，若，則

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】根據函數的奇偶性求出和的值即可得到結論．

【詳解】

是定義在上的偶函數，，即，則，故選D．

【點睛】

本題主要考查函數值的計算，以及函數奇偶性的應用，意在考查靈活應用所學知識解答問題的能力，屬于基礎題．

4．已知向量的夾角為，且，則（）

A．

B．2

C．

D．84

【答案】C

【解析】先求出，然后由計算即可。

【詳解】

由題意知，，則，所以.故答案為C.【點睛】

本題考查了向量的數量積，向量的模，考查了學生的計算能力，屬于基礎題。

5．設函數，則是（）

A．最小正周期為的奇函數

B．最小正周期為的偶函數

C．最小正周期為的奇函數

D．最小正周期為的偶函數

【答案】D

【解析】函數，化簡可得f（x）=–cos2x，∴f（x）是偶函數．最小正周期T==π，∴f（x）最小正周期為π的偶函數．故選D．

6．已知，設，則的大小關系是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】根據題意，分析可得為減函數，由對數的運算性質分析可得，結合函數的單調性分析可得答案．

【詳解】

解：根據題意，，則，則函數為減函數，又由，則有，則，故選：．

【點睛】

本題考查函數單調性的判斷以及應用，涉及指數函數的性質，注意分析函數，的單調性，屬于基礎題．

7．已知是等差數列，是正項等比數列，且，，則

A．2274

B．2074

C．2226

D．2026

【答案】A

【解析】利用等差數列與等比數列的通項公式即可得出．

【詳解】

設等差數列的公差為d，正項等比數列的公比為，，，，解得，．

則．

故選：A．

【點睛】

本題考查了等差數列與等比數列的通項公式及其性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．

8．秦九韶是我國宋時期的數學家，他在所著的數書九章中提出的多項式求值的秦九韶算法至今仍是比較先進的算法，如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項式值的一個實例，若輸入x的值為2，則輸出v的值為

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】根據程序框圖，進行模擬運算即可．

【詳解】

一次循環，，成立，則，第二次循環，成立，則，第三次循環，成立，則，第四次循環，成立，則，第五次循環，成立，則，第六次循環，不成立，輸出，故選：C．

【點睛】

本題主要考查程序框圖的識別和判斷，了解程序的功能，利用模擬運算法是解決本題的關鍵．

9．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c若，，則的面積

A．1

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】由已知利用正弦定理可得，利用同角三角函數基本關系式可求的值，根據三角形的面積公式即可計算得解．

【詳解】，由正弦定理可得，，的面積．

故選C．

【點睛】

本題主要考查了正弦定理，同角三角函數基本關系式，三角形的面積公式在解三角形中的應用，考查了計算和轉化思想，屬于基礎題．在解與三角形有關的問題時，正弦定理、余弦定理是兩個主要依據.解三角形時，有時可用正弦定理，有時也可用余弦定理，應注意用哪一個定理更方便、簡捷一般來說,當條件中同時出現

及、時，往往用余弦定理，而題設中如果邊和正弦、余弦函數交叉出現時，往往運用正弦定理將邊化為正弦函數再結合和、差、倍角的正余弦公式進行解.10．已知，的導函數的部分圖象如圖所示，則下列對的說法正確的是（）

A．最大值為且關于點中心對稱

B．最小值為且在上單調遞減

C．最大值為且關于直線對稱

D．最小值為且在上的值域為

【答案】D

【解析】根據函數圖象與性質，求出A、T、與的值，寫出函數的解析式，判斷選項即可.【詳解】,由圖象可知，，所以，又

又，所以，所以，最小值為，則，所以在上的值域為，故選D.【點睛】

本題主要考查了函數的圖象與性質的應用問題，也考查了導數的應用，屬于中檔題.11．函數的圖象是()

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】首先根據對數函數的性質，求出函數的定義域，再很據復合函數的單調性求出f（x）的單調性，問題得以解決．

【詳解】

因為x﹣＞0，解得x＞1或﹣1＜x＜0，所以函數f（x）=ln（x﹣）的定義域為：（﹣1，0）∪（1，+∞）．

所以選項A、D不正確．

當x∈（﹣1，0）時，g（x）=x﹣是增函數，因為y=lnx是增函數，所以函數f（x）=ln（x-）是增函數．

故選B．

【點睛】

函數圖象的辨識可從以下方面入手：（1）從函數的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數的值域，判斷圖象的上下位置；（2）從函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢；（3）從函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性；（4）從函數的特征點，排除不合要求的圖象.12．設函數的導函數為，且，則（）.A．0

B．-4

C．-2

D．2

【答案】B

【解析】可先求函數的導數，先令求出，再令即可求解

【詳解】

由，令得，解得，則，故選：B

【點睛】

本題考查函數具體導數值的求法，屬于基礎題

二、填空題

13．已知向量，則___________.【答案】

【解析】根據向量夾角公式可求出結果.【詳解】

．

【點睛】

本題考查了向量夾角的運算，牢記平面向量的夾角公式是破解問題的關鍵．

14．已知等比數列的前n項和為，若，則＝_______．

【答案】1

【解析】由題意可得，公比q≠1，則7，63，相除可得公比q，即得的值．

【詳解】

由題意可得，公比q≠1，∴7，63，相除可得

1+q3＝9，∴q＝2，∴a1＝1．

故答案為：1.【點睛】

本題考查等比數列的前n項和公式，求得q值是解題的關鍵，屬于基礎題．

15．已知函數,則滿足的的取值范圍是________．

【答案】.【解析】對的取值情況分類，把問題轉化成具體不等式問題求解。

【詳解】

當時，不等式可化為：，不等式不成立。

當時，等式可化為：，解得：，當時，等式可化為：，解得：，綜上：，故填。

【點睛】

本題考查解不等式問題，分段函數對自變量的范圍討論，代入相應的函數關系式把問題轉化成具體不等式求解。

16．函數的單調減區間為______．

【答案】

【解析】利用誘導公式將函數解析式化簡，然后利用正弦函數的單調性即可得到單調減區間．

【詳解】

解：．

令：，整理得：，所以函數的單調遞減區間為：．

故答案為．

【點睛】

本題考查誘導公式的應用，考查正弦型函數的單調性，屬于基礎題．

三、解答題

17．已知設成立；

指數函數為增函數，如果“”為真，“”為假，求實數的取值范圍．

【答案】或．

【解析】先求出真時的取值范圍，再求出為真時的取值范圍，利用一真一假求出的取值范圍．

【詳解】

若為真：對，恒成立，設，配方得，所以在上的最小值為，所以，解得，所以為真時：；

若為真：，因為”為真，“”為假，所以與一真一假，當真假時，所以，當假真時，所以，綜上所述，實數的取值范圍是或．

【點睛】

對于“為”真，“”為假的問題，我們一般先求出真時參數的范圍，再求出為真時參數的范圍，通過真假和假真得到最終的參數的取值范圍．

18．已知等差數列的前項和為，且，．

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）若數列滿足，求數列的前項和．

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）利用等差數列的前n項和公式和通項公式，求出首項和公差，由此能求出數列{an}的通項公式．

（Ⅱ）由題意bn＝，利用錯位相減法能求出數列{bn}的前n項和．

【詳解】

（Ⅰ），∴，∴

則

.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，,-

=

=

∴

【點睛】

本題考查等差數列的通項公式及前n項和公式，考查了錯位相減法求和，考查了運算能力，屬于中檔題．

19．已知分別是三個內角的對邊，且．

（1）求角的值．

（2）若，點在邊上，求的長．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）利用正弦定理化簡2asin（C）b，再利用三角恒等變換求出A的值；

（2）根據題意畫出圖形，結合圖形利用余弦定理建立方程組求得AD的長．

【詳解】

（1）中，∴，∴，∴，∴，∴；

（2）如圖所示，設，∴；

由余弦定理得，…①，…②

由①②解得，即的長為．

【點睛】

本題考查了三角恒等變換以及解三角形的應用問題，是中檔題．

20．已知函數.(1)若函數的圖象與軸無交點，求的取值范圍；

(2)若函數在上存在零點，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由題意可得方程f（x）=0的根的判別式△＜0，解不等式即可得到范圍；

（2）求出二次函數的對稱軸方程，判斷f（x）在[﹣1，1]的單調性，再由零點的定義可得f（1）≤0，f（﹣1）≥0，解不等式即可得到所求范圍．

【詳解】

(1)若函數y＝f(x)的圖象與x軸無交點，則方程f(x)＝0的根的判別式Δ<0，即16－4(a＋3)<0，解得a>1.故a的取值范圍為a>1.(2)因為函數f(x)＝x2－4x＋a＋3圖象的對稱軸是x＝2，所以y＝f(x)在[－1,1]上是減函數．

又y＝f(x)在[－1,1]上存在零點，所以,即,解得－8≤a≤0.故實數a的取值范圍為－8≤a≤0.【點睛】

本題考查二次函數的圖象和性質，主要是單調性的判斷和應用，考查不等式的解法，以及運算能力，屬于中檔題．

21．已知函數

Ⅰ求的最小正周期；

Ⅱ若在區間上單調遞增，求實數m的最大值．

【答案】（Ⅰ）最小正周期為（Ⅱ）

【解析】Ⅰ首先利用三角函數關系式的恒等變換，把函數的關系式變形成正弦型函數，進一步求出函數的最小正周期;Ⅱ利用Ⅰ的函數的關系式，進一步利用整體思想和函數的區間的子集關系求出結果．

【詳解】

Ⅰ函數，，所以：函數的最小正周期為．

Ⅱ由于：，令：，解得：，當時，在區間上單調遞增，故：，所以：m的最大值為．

【點睛】

本題考查的知識要點：三角函數關系式的恒等變變換，正弦型函數性質的應用，主要考查學生的運算能力和轉化能力，屬于基礎題型．

22．已知函數，．

（1）若是的極值點，求并討論的單調性；

（2）若時，求的取值范圍．

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】（1）求出原函數的導函數，結合求得，代入導函數，得到，再由在上單調遞增，且，可得當時，單調遞減；當時，單調遞增；（2）由，得，令，利用二次求導可得其最小值，則..的范圍可求．

【詳解】

（1），.因為是的極值點，所以，可得．

所以，.因為在上單調遞增，且時，所以時，，單調遞減；

時，，單調遞增．

故在上單調遞減，在上單調遞增．

（2）由得，因為，所以.設，則.令，則，顯然在內單調遞減，且，所以時，單調遞減，則，即，所以在內單減，從而.所以.【點睛】

本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，由，得函數單調遞增，得函數單調遞減；考查恒成立問題，正確分離參數是關鍵，也是常用的一種手段．通過分離參數可轉化為或恒成立，即或即可，利用導數知識結合單調性求出或即得解.