2020屆1月市一模數(shù)學(xué)（理）試題

一、單選題

1．設(shè)集合，則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】先求出集合和集合，由此即可得到結(jié)論.【詳解】

由題意，∴．

故選：B．

【點(diǎn)睛】

本題考查交集的求法，交集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．

2．計(jì)算（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出．

【詳解】

由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則可得：．

故選：D．

【點(diǎn)睛】

本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

3．已知直線平面，則“直線”是“”的()

A．充分但不必要條件

B．必要但不充分條件

C．充要條件

D．既不充分又不必要條件

【答案】B

【解析】當(dāng)且時(shí),我們可以得到或（因?yàn)橹本€與平面的位置關(guān)系不確定）,所以充分性不成立;當(dāng)時(shí),過(guò)直線可做平面與平面交于直線,則有.又有,則有,即.所以必要性成立,故選.4．上海地鐵號(hào)線早高峰時(shí)每隔分鐘一班，其中含列車在車站停留的分鐘，假設(shè)乘客到達(dá)站臺(tái)的時(shí)刻是隨機(jī)的，則該乘客到達(dá)站臺(tái)立即能乘上車的概率為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算問(wèn)題，求出對(duì)應(yīng)時(shí)間的比即可．

【詳解】

每分鐘一班列車，其中列車在車站停留分鐘，根據(jù)幾何概型概率公式可得，該乘客到達(dá)站臺(tái)立即能乘上車的概率為.故選：C．

【點(diǎn)睛】

本題考查了幾何概型的概率計(jì)算問(wèn)題，對(duì)應(yīng)時(shí)間的比值是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．

5．《張丘建算經(jīng)》卷上有題為“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月日織九匹三丈”，其意思為：現(xiàn)一善于織布的女子，從第天開(kāi)始，每天比前一天多織相同量的步（不變的常量），第天織了五尺，一個(gè)月（按天計(jì)算）共織九匹三丈（一匹四丈，一丈十尺），則該女子第天比第天多織布的尺數(shù)為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】設(shè)該女子第一天織布為，利用等差數(shù)列即可得到結(jié)論.【詳解】

記該女子一個(gè)月中的第天所織布的尺數(shù)為，則，則，.故選：A．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等差數(shù)列的計(jì)算，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．

6．已知函數(shù)是一個(gè)求余數(shù)函數(shù)，表示除以的余數(shù)，例如.如圖是某個(gè)算法的程序框圖，若輸入的值為，則輸出的值為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】模擬執(zhí)行程序框圖，根據(jù)題意，大于的約數(shù)有：共個(gè)，即可得解.【詳解】

模擬執(zhí)行程序框圖，可得：，，滿足條件，；

滿足條件，；

滿足條件，；

滿足條件，；

…，可得程序框圖的功能是統(tǒng)計(jì)大于的約數(shù)的個(gè)數(shù)，由于約數(shù)有：共個(gè)，故．

故選：C．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，依次正確寫(xiě)出每次循環(huán)得到的的值是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．

7．已知是不共線的向量，，若三點(diǎn)共線，則滿足（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】利用三點(diǎn)共線，即可得到結(jié)論.【詳解】

由三點(diǎn)共線，得，是不共線的向量，，.故選：B.【點(diǎn)睛】

本題考查了三點(diǎn)共線，向量共線定理，屬于基礎(chǔ)題．

8．已知變量滿足，則的最大值為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】確定不等式表示的平面區(qū)域，明確目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，即可求得最大值.【詳解】

畫(huà)出表示的可行域，如圖，平移直線，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線截距最小，最大，所以，最大值為，故選：A．

【點(diǎn)睛】

本題考查線性規(guī)劃知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.9．已知函數(shù)在上最大值為且遞增，則的最大值為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得的最值，進(jìn)而可得的最值.【詳解】

由題意可知，，，則，.故選：D．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．

10．已知，不等式對(duì)成立，則的取值范圍為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】易證是奇函數(shù)且在上單調(diào)遞減，利用函數(shù)性質(zhì)得不等式，進(jìn)而解得即可.【詳解】，是奇函數(shù)且在上單調(diào)遞減，不等式即：，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得：，，所以.故選：A．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查不等式恒成立問(wèn)題，利用奇函數(shù)的性質(zhì)得不等式是關(guān)鍵，屬于中檔題.11．在直角坐標(biāo)系中，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線右支上的一點(diǎn)，滿足，若點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值范圍是，則雙曲線的離心率取值范圍為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】由可計(jì)算得，再利用即可得離心率的取值范圍.【詳解】

由可得，，，由于，所以，，，.故選：C．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．

12．已知對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，若不等式（其中）的解集中恰有兩個(gè)整數(shù)，則的取值范圍是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】由，得，進(jìn)而得，再根據(jù)圖像比較點(diǎn)與四個(gè)點(diǎn)，，連線的斜率，即可得到答案.【詳解】

由，得，故，在取得極小值，根據(jù)圖像，欲使解集中恰有兩個(gè)整數(shù)，則比較點(diǎn)與四個(gè)點(diǎn)，，連線的斜率，由可得.故選：C．

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、不等式的解法、數(shù)形結(jié)合方法、等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．

二、填空題

13．若直線是拋物線的一條切線，則__________．

【答案】

【解析】根據(jù)題意，聯(lián)立方程即可得到答案.【詳解】

聯(lián)立直線和拋物線得到．

故答案為：.【點(diǎn)睛】

本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.14．一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體中有一個(gè)實(shí)心圓柱體，圓柱的上、下底面在正方體的上、下底面上，側(cè)面與正方體的側(cè)面相切，則在正方體與圓柱的空隙中能夠放置的最大球的半徑為_(kāi)_________．

【答案】

【解析】在正方體與圓柱的空隙中能夠放置的最大球，即為放置的球與正方體相切與圓柱體也相切，過(guò)球心與圓柱體底面平行的平面截得該圖形的平面圖，利用幾何關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】

如圖，過(guò)球心與圓柱體底面平行的平面截得該圖形的平面圖，設(shè)球的半徑為，則圓柱體底面圓半徑,正方形的邊長(zhǎng)為，由題意可得，解得，即最大球的半徑為.故答案為：.【點(diǎn)睛】

本題主要考查球的半徑的求法，幾何圖形的轉(zhuǎn)化，屬于基礎(chǔ)題.15．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則__________．

【答案】

【解析】由等比數(shù)列前項(xiàng)和的通項(xiàng)公式得，進(jìn)而可得比值.【詳解】

等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，由已知，可知，則．

故答案為：.【點(diǎn)睛】

本題考查等比數(shù)列前項(xiàng)和的代數(shù)表達(dá)式，利用等比數(shù)列的定義是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.16．一只螞蟻從一個(gè)正四面體的頂點(diǎn)出發(fā)，每次從一個(gè)頂點(diǎn)爬行到另一個(gè)頂點(diǎn)，則螞蟻爬行五次還在點(diǎn)的爬行方法種數(shù)是__________．

【答案】

【解析】方法一：根據(jù)題意，螞蟻第一次爬行可以到的任何一點(diǎn)，再利用第二次爬行到與不到進(jìn)行分類計(jì)算，依次計(jì)算即可；

方法二：設(shè)從點(diǎn)出發(fā)爬行次仍在點(diǎn)的爬行方法種數(shù)為，由題意得遞推關(guān)系，進(jìn)而可得結(jié)論.【詳解】

解法一：第一次爬行可以到的任何一點(diǎn)，第二次爬行分到與不到，對(duì)于第二次不到的第三次爬行再分到與不到．爬行方法總數(shù)為（種）．

解法二：設(shè)從點(diǎn)出發(fā)爬行次仍在點(diǎn)的爬行方法種數(shù)為，則，，，．（亦可由遞推式從第二項(xiàng)遞推出第五項(xiàng)的值）

故答案為：.【點(diǎn)睛】

本題主要考查了計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，構(gòu)造數(shù)列，利用遞推關(guān)系解決問(wèn)題，屬于中檔題.三、解答題

17．已知，的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，為銳角，且.（1）求角的大小；

（2）若，求的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用誘導(dǎo)公式和倍角公式對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)，將代入即可得到答案；

（2）利用余弦定理求得的值，代入三角形面積公式求得三角形的面積.【詳解】

（1）函數(shù)，由得：，為銳角，；

（2）由余弦定理有，，，.【點(diǎn)睛】

本題主要考查正弦定理和余弦定理的運(yùn)用，要求學(xué)生對(duì)正弦定理和余弦定理公式及變形公式熟練應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.18．如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，是等邊三角形，側(cè)面底面，，點(diǎn)、點(diǎn)分別在棱、棱上，，點(diǎn)是線段上的任意一點(diǎn).（1）求證：平面；

（2）求二面角的大小.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）先證平面，再證平面，進(jìn)而可得平面平面，即可得到答案；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，取平面的法向量，利用向量法求出二面角即可.【詳解】

（1）連接，由，得

平面

且，又，則四邊形為平行四邊形，故，平面

又

面面，又面

平面.（2）如圖，以中點(diǎn)為原點(diǎn)，的中垂線為軸，直線為軸，過(guò)于平行的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系

則面的其中一個(gè)法向量，設(shè)面的一個(gè)法向量

又，，令得，則

故二面角的大小為.【點(diǎn)睛】

本題考查了線面平行的判定，利用向量法求法向量，求二面角的大小，屬于中檔題．

19．在貫徹中共中央、國(guó)務(wù)院關(guān)于精準(zhǔn)扶貧政策的過(guò)程中，某單位在某市定點(diǎn)幫扶某村戶貧困戶.為了做到精準(zhǔn)幫扶，工作組對(duì)這戶村民的年收入情況、危舊房情況、患病情況等進(jìn)行調(diào)查，并把調(diào)查結(jié)果轉(zhuǎn)化為各戶的貧困指標(biāo).將指標(biāo)按照，，分成五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.規(guī)定若，則認(rèn)定該戶為“絕對(duì)貧困戶”，否則認(rèn)定該戶為“相對(duì)貧困戶”；當(dāng)時(shí)，認(rèn)定該戶為“亟待幫住戶”.工作組又對(duì)這戶家庭的受教育水平進(jìn)行評(píng)測(cè)，家庭受教育水平記為“良好”與“不好”兩種.（1）完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為絕對(duì)貧困戶數(shù)與受教育水平不好有關(guān)：

受教育水平良好

受教育水平不好

總計(jì)

絕對(duì)貧困戶

相對(duì)貧困戶

總計(jì)

（2）上級(jí)部門為了調(diào)查這個(gè)村的特困戶分布情況，在貧困指標(biāo)處于的貧困戶中，隨機(jī)選取兩戶，用表示所選兩戶中“亟待幫助戶”的戶數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：，其中.【答案】（1）列聯(lián)表見(jiàn)解析，有；（2）分布列見(jiàn)解析，.【解析】（1）根據(jù)題意填寫(xiě)列聯(lián)表，計(jì)算，對(duì)照臨界值得出結(jié)論；

（2）根據(jù)題意可得貧困指標(biāo)在的貧困戶共有（戶），“亟待幫助戶”共有（戶），則的可能值為，，列出分布列，計(jì)算期望值即可.【詳解】

（1）由題意可知，絕對(duì)貧困戶有（戶），可得出如列聯(lián)表：

受教育水平

良好

受教育水平

不好

總計(jì)

絕對(duì)貧困戶

相對(duì)貧困戶

總計(jì)

．

故有的把握認(rèn)為絕對(duì)貧困戶數(shù)與受教育水平不好有關(guān)．

（2）貧困指標(biāo)在的貧困戶共有（戶），“亟待幫助戶”共有（戶），依題意的可能值為，，，則的分布列為

故．

【點(diǎn)睛】

本題考查了列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)應(yīng)用問(wèn)題，也考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，屬于中檔題．

20．已知橢圓的離心率為，其右頂點(diǎn)為，下頂點(diǎn)為，定點(diǎn)，的面積為，過(guò)點(diǎn)作與軸不重合的直線交橢圓于兩點(diǎn)，直線分別與軸交于兩點(diǎn).（1）求橢圓的方程；

（2）試探究的橫坐標(biāo)的乘積是否為定值，說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）是，理由見(jiàn)解析.【解析】（1）求出，代入即可；

（2）設(shè)直線的方程為，的坐標(biāo)分別為，求出，的橫坐標(biāo)，利用直線和橢圓聯(lián)立，由韋達(dá)定理得,，即可求出.【詳解】

（1）由已知，的坐標(biāo)分別是由于的面積為，又由得，解得：，或（舍去），橢圓方程為；

（2）設(shè)直線的方程為，的坐標(biāo)分別為

則直線的方程為，令，得點(diǎn)的橫坐標(biāo)

直線的方程為，令，得點(diǎn)的橫坐標(biāo)

把直線代入橢圓得

由韋達(dá)定理得,∴，是定值．

【點(diǎn)睛】

本題考查了橢圓的方程，直線與橢圓的綜合，圓錐曲線的定值問(wèn)題，屬于中檔題．

21．已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）當(dāng)時(shí)，單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是，；當(dāng)時(shí)，單調(diào)增區(qū)間是，沒(méi)有單調(diào)減區(qū)間；（2）.【解析】（1）先求函數(shù)的定義域，利用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得或，當(dāng)時(shí)，分，討論即可得到答案；

（2）當(dāng)時(shí)，由（1）知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而在上的最小值為，由題意得，即，令，求新函數(shù)的最大值即可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】

（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋桑没?當(dāng)即時(shí)，由得，由得或；

當(dāng)即時(shí)，當(dāng)時(shí)都有；

當(dāng)時(shí)，單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是，；

當(dāng)時(shí)，單調(diào)增區(qū)間是，沒(méi)有單調(diào)減區(qū)間.（2）當(dāng)時(shí)，由（1）知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而在上的最小值為.對(duì)任意，存在，使得，即存在，使的值不超過(guò)在區(qū)間上的最小值.由，.令，則當(dāng)時(shí)，.，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，.故在上單調(diào)遞減，從而，從而.【點(diǎn)睛】

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、方程與不等式的解法、等價(jià)轉(zhuǎn)化方法、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．

22．在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓的極坐標(biāo)方程為.（1）求圓的直角坐標(biāo)方程；

（2）若直線與圓交于兩點(diǎn)，定點(diǎn)，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，即可得到圓的直角坐標(biāo)方程；

（2）將直線的參數(shù)方程代入圓的直角坐標(biāo)方程，化簡(jiǎn)整理，再由韋達(dá)定理和的幾何意義，即可求得.【詳解】

（1）將代入，得：，即圓的直角坐標(biāo)方程為；

（2）設(shè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，把直線l的參數(shù)方程代入，得：

化簡(jiǎn)得，．

【點(diǎn)睛】

本題考查極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化，同時(shí)考查直線與圓的位置關(guān)系，考查直線參數(shù)方程的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.23．[選修4-5：不等式選講]

已知實(shí)數(shù)正數(shù)x,y滿足．

（1）解關(guān)于x的不等式；

（2）證明：

【答案】(1).(2)見(jiàn)解析.【解析】（1）利用零點(diǎn)分段法即可求解.（2）利用“1”的轉(zhuǎn)換，以及基本不等式即可證明.【詳解】

（1）

解得，所以不等式的解集為

（2）解法1：

且，.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.解法2：

且，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.【點(diǎn)睛】

主要考查了絕對(duì)值不等式的求解、不等式證明、以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.對(duì)于絕對(duì)值不等式的求解，主要運(yùn)用零點(diǎn)分段法，也可以運(yùn)用圖像法.而不等式的證明，關(guān)鍵是靈活運(yùn)用不等式的性質(zhì)以及基本不等式.