2021年魯教版八年級數學下冊《第8章一元二次方程》單元綜合能力提升訓練（附答案）

1．下列方程中，一元二次方程共有（）

①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③x2﹣＝4；④x2﹣3x＝4；⑤x2﹣+3＝0．

A．2個

B．3個

C．4個

D．5個

2．已知x＝﹣1是關于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0的一個根，則k的值為（）

A．1

B．﹣1

C．2

D．﹣2

3．已知關于x的一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一個根為﹣1，則k的值為（）

A．﹣5

B．﹣4

C．﹣2

D．2

4．若關于x的一元二次方程ax2+bx+6＝0（a≠0）的其中一個解是x＝1，則2021﹣a﹣b的值是（）

A．2022

B．2025

C．2027

D．2028

5．為切實解決群眾看病貴的問題，藥監部門對藥品價格進行了兩次下調．某種藥品原價為250元/瓶，經兩次下調后價格變為160元/瓶，該藥品平均每次降價的百分率為（）

A．10%

B．15%

C．20%

D．25%

6．關于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1＝0有實數根，則k滿足（）

A．k≥0

B．k≤0且k≠﹣1

C．k＜0且k≠﹣1

D．k≤0

7．如果關于x的方程有正數解，且關于x的方程mx2﹣2x﹣1＝0有兩個不相等的實數根，則符合條件的整數m的值是（）

A．﹣1

B．0

C．1

D．﹣1或1

8．若關于x的一元二次方程ax2﹣2x+2＝0有兩個相等的實數根，則這兩個相等的實數根是（）

A．﹣2

B．

C．2

D．

9．如圖，學校課外生物小組的試驗園地是長20米，寬15米的長方形．為了便于管理，現要在中間開辟一橫兩縱等寬的小道（如圖），要使種植面積為252平方米，則小道的寬為（）

A．5米

B．1米

C．2米

D．3米

10．方程（9x﹣1）2＝1的解是（）

A．x1＝x2＝

B．x1＝x2＝

C．x1＝0，x2＝

D．x1＝0，x2＝﹣

11．已知關于x的方程mx2﹣3x+2＝0有兩個實數根，那么m的取值范圍是

．

12．已知x1、x2是方程x2﹣3x﹣1＝0的根，則式子x12﹣2x1+x2的值為

．

13．a是方程x2+x﹣1＝0的一個根，則代數式﹣2a2﹣2a+2021的值是

．

14．已知α，β方程x2+2x﹣5＝0的兩根，那么α2+3α+β的值是

．

15．如果兩個一元二次方程x2+x+k＝0與x2+kx+1＝0有且只有一個根相同，那么k的值是

．

16．一個等腰三角形的腰和底邊長分別是方程x2﹣8x+12＝0的兩根，則該等腰三角形的周長是

．

17．若實數a、b滿足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，則a+b的值

．

18．已知關于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有兩個實數根為x1，x2，使得x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16成立，則k的值

．

19．方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，則方程a（x+m+2）2+b＝0的解是

．

20．一元二次方程x2﹣6x+5＝0化為（x+h）2＝k的形式是

．

21．解方程：（x+2）2﹣x﹣2＝0．

22．m為實數，關于x的方程x（x﹣2m）+m（m﹣1）＝0有實數根．

（1）求m的取值范圍．

（2）若方程兩實根的平方和為12，試求m的值．

23．已知關于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k+1＝0有兩個實數根．

（1）試求k的取值范圍；

（2）若此方程的兩個實數根x1、x2，是否存在實數k，滿足+＝﹣2，若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．

24．已知：如圖所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，點P從點A開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動．當P、Q兩點中有一點到達終點，則同時停止運動．

（1）如果P，Q分別從A，B同時出發，那么幾秒后，△PBQ的面積等于4cm2？

（2）如果P，Q分別從A，B同時出發，那么幾秒后，PQ的長度等于cm？

（3）△PQB的面積能否等于7cm2？請說明理由．

25．已知平行四邊形ABCD的兩鄰邊AB，AD的長是關于x的方程x2﹣mx+2＝0的兩個實數根．

（1）若AB＝2，那么平行四邊形ABCD的周長是多少？

（2）當m為何值時，平行四邊形ABCD是菱形？求出這時菱形的邊長．

26．扶貧工作小組對果農進行精準扶貧，幫助果農將一種有機生態水果拓寬了市場，與去年相比，今年這種水果的產量增加了25%，每千克的平均批發價降低了1元，批發銷售總額增加了20%．

（1）已知去年這種水果批發銷售總額為10萬元．求這種水果今年每千克的平均批發價是多少元？

（2）今年某水果店從果農處直接批發，專營這種水果，調查發現，若每千克的平均銷售價為41元，則每天可售出300千克；若每千克的平均銷售價每降低3元，每天可多賣出180千克，當水果店一天的利潤為7260元時，求這種水果的平均售價．（計算利潤時，其它費用忽略不計）

27．某電腦銷售店電腦原價為每臺5000元，元旦期間開展了促銷活動，將原價經過兩次下調后，促銷價為每臺4050元．

（1）求平均每次下調的百分率；

（2）某校計劃以促銷價購買100臺電腦．該店還給予以下兩種優惠方案以供選擇：①打9.8折銷售；②不打折，送12個月的免費保修費，免費保修費為每臺每月10元．請問哪種方案更優惠？

參考答案

1．解：①3x2+x＝20，④x2﹣3x＝4，⑤x2﹣+3＝0符合一元二次方程的定義；

②2x2﹣3xy+4＝0中含有兩個未知數，不是一元二次方程；

③x2﹣＝4不是整式方程，不符合一元二次方程的定義，不是一元二次方程；

綜上所述，一元二次方程共有3個．

故選：B．

2．解：把x＝1代入方程得：1﹣k﹣2＝0，解得：k＝﹣1，故選：B．

3．解：∵關于x的一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一個根為﹣1，∴（﹣1）2+k×（﹣1）﹣3＝0，解得，k＝﹣2，故選：C．

4．解：∵關于x的一元二次方程ax2+bx+6＝0（a≠0）的一個解是x＝1，∴a+b+6＝0，∴a+b＝﹣6，∴2021﹣a﹣b＝2021﹣（a+b）＝2021﹣（﹣6）＝2021+6＝2027，故選：C．

5．解：設這種藥品平均每次降價的百分率是x，由題意得250（1﹣x）2＝160，解得x＝1.8（不合題意，舍去），x＝0.2，則這種藥品平均每次降價的百分率是20%．

故選：C．

6．解：∵關于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1＝0有實數根，∴，解得：k≤0且k≠﹣1．

故選：B．

7．解：∵關于x的方程mx2﹣2x﹣1＝0有兩個不相等的實數根，∴m≠0且△＝（﹣2）2﹣4?m?（﹣1）＞0，解得m＞﹣2且m≠0，關于x的方程去分母得﹣1﹣2（x﹣2）＝（1﹣mx），解得x＝﹣，∵關于x的方程有正數解，∴﹣＞0且﹣≠2，解得m＜2且m≠1，∴a的范圍為﹣2＜m＜2且m≠0，m≠1，∴符合條件的整數m的值是﹣1．

故選：A．

8．解：∵關于x的一元二次方程ax2﹣2x+2＝0有兩個相等的實數根，∴△＝0，即（﹣2）2﹣4a×2＝0，解得，a＝，原方程可化為x2﹣2x+2＝0，整理得，x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，故選：C．

9．解：設該小道的寬為x米，依題意得

（20﹣2x）（15﹣x）＝252，整理得x2﹣25x+24＝0，即：（x﹣24）（x﹣1）＝0，解得x1＝24（舍去），x2＝1．

即：該小道的寬為1米．

故選：B．

10．解：∵（9x﹣1）2＝1，∴9x﹣1＝1或9x﹣1＝﹣1，解得x1＝0，x2＝，故選：C．

11．解：mx2﹣2x+1＝0有兩個實數根，當m＝0時，方程化為﹣3x+2＝0，解得：x＝，不合題意；

故m≠0，則有b2﹣4ac＝9﹣4m×2≥0，解得：m≤，則m的取值范圍是m≤1且m≠0．

故答案為：m≤且m≠0．

12．解：∵x1、x2是方程x2﹣3x﹣1＝0的根，∴x1+x2＝3，x12﹣3x1﹣1＝0，∴x12﹣3x1＝1，∴x12﹣2x1+x2＝x12﹣3x1+x1+x2＝1+3＝4．

故答案為：4．

13．解：∵a是方程x2+x﹣1＝0的一個根，∴a2﹣a﹣1＝0，整理得，a2﹣a＝1，∴﹣2a2﹣2a+2021＝﹣2（a2﹣a）+2021＝﹣2×1+2021＝2019．

故答案是：2019．

14．解：∵α，β方程x2+2x﹣5＝0的兩根，∴α2+2α﹣5＝0，α+β＝﹣2，∴α2+2α＝5，∴α2+3α+β＝α2+2α+α+β＝5﹣2＝3．

故答案為：3．

15．解：設它們的相同根為t，根據題意得t2+t+k＝0①，t2+kt+1＝0②，②﹣①得（k﹣1）t＝k﹣1，∵t有且只有一個值，∴k﹣1≠0，∴t＝1，把t＝1代入①得1+1+k＝0，∴k＝﹣2．

故答案為﹣2．

16．解：∵x2﹣8x+12＝0，∴（x﹣2）（x﹣6）＝0，∴x1＝2，x2＝6．

∵三角形是等腰三角形，必須滿足三角形三邊的關系，∴腰長是6，底邊是2，周長為：6+6+2＝14，故答案為：14．

17．解：當a＝b時，由a2﹣8a+5＝0解得a＝4±，∴a+b＝8±2；

當a≠b時，a、b可看作方程x2﹣8x+5＝0的兩根，∴a+b＝8．

故答案為8或8±2．

18．解：∵關于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有兩個實數根，∴△＝（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，解得k≤，由根與系數的關系得x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+2k，∵x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16．

∴x1x2﹣[（x1+x2）2﹣2x1x2]＝﹣16，即﹣（x1+x2）2+3x1?x2＝﹣16，∴﹣（2k+1）2+3（k2+2k）＝﹣16，整理得k2﹣2k﹣15＝0，解得k1＝5（舍去），k2＝﹣3．

∴k＝﹣3，故答案為﹣3．

19．解：∵方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，∴方程a（x+m+2）2+b＝0的兩個解是x3＝﹣2﹣2＝﹣4，x4＝1﹣2＝﹣1，故答案為：x3＝﹣4，x4＝﹣1．

20．解：移項，得x2﹣6x＝﹣5，配方得，x2﹣6x+9＝﹣5+9，（x﹣3）2＝4．

故答案為：（x﹣3）2＝4．

21．解：（x+2）2﹣x﹣2＝0，（x+2）（x+2﹣1）＝0，x+2＝0或x+2﹣1＝0，∴x1＝﹣2，x2＝﹣1．

22．解：（1）已知方程整理為x2﹣2mx+m2﹣m＝0是一元二次方程

∵△＝4m2﹣4（m2﹣m）＝4m≥0，∴m≥0．即m的取值范圍是m≥0；

（2）設方程兩實根為x1，x2，則x1+x2＝2m，x1x2＝m2﹣m，由x12+x22＝12，得（x1+x2）2﹣2x1x2＝12，∴4m2﹣2（m2﹣m）＝12，整理，得m2+m﹣6＝0，解得m＝2或m＝﹣3，∵m≥0，∴m＝2．

23．解：（1）∵此方程有兩個實數根

∴△≥0即△＝（﹣2k）2﹣4×1×（k2+k+1）＝﹣4k﹣4≥0，∴k≤﹣1；

（2）存在，∵x1+x2＝2k，∴，∴k1＝k2＝﹣1符合題意，即k＝﹣1．

24．解：（1）設經過x秒以后，△PBQ面積為4cm2（0＜x≤3.5）此時AP＝xcm，BP＝（5﹣x）cm，BQ＝2xcm，由，得，整理得：x2﹣5x+4＝0，解得：x＝1或x＝4（舍）；

答：1秒后△PBQ的面積等于4cm2；

（2）設經過t秒后，PQ的長度等于，由PQ2＝BP2+BQ2，即40＝（5﹣t）2+（2t）2，解得：t＝﹣1（舍去）或3．

則3秒后，PQ的長度為；

（3）假設經過t秒后，△PBQ的面積等于7cm2，即，整理得：t2﹣5t+7＝0，由于b2﹣4ac＝25﹣28＝﹣3＜0，則原方程沒有實數根，所以△PQB的面積不能等于7cm2．

25．解：（1）當x＝2時，4﹣2m+2＝0，解得：m＝3，∴x2﹣3x+2＝0，解得：x1＝2，x2＝1，∴平行四邊形的周長為2×（1+2）＝6；

（2）∵當AB＝AD時，平行四邊形ABCD是菱形，即：△＝0，∴m2﹣4×2＝0，解得：，又∵AB+AD＝m＞0，∴，∴方程為x2﹣2x+2＝0，解得，x1＝x2＝，∴菱形的邊長為．

26．解：（1）設這種水果今年每千克的平均批發價是x元，則這種水果去年每千克的平均批發價是（x+1）元，依題意得：（1+20%）（x+1）＝（1+25%）x，解得：x＝24．

答：這種水果今年每千克的平均批發價是24元．

（2）設每千克的平均銷售價降低了y元，則每千克的平均利潤為41﹣y﹣24＝（17﹣y）元，每天的銷售量為300+＝（300+60y）千克，依題意得：（17﹣y）（300+60y）＝7260，整理得：y2﹣12y+36＝0，解得：y1＝y2＝6，∴41﹣y＝35（元）．

答：這種水果的平均售價為35元．

27．解：（1）設平均每次降價的百分率為x，依題意得：5000（1﹣x）2＝4050，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合題意，舍去）．

答：平均每次降價的百分率為10%．

（2）選擇方案①所需費用為4050×100×0.98＝396900（元）；

選擇方案②所需費用為4050×100﹣100×10×12＝393000（元）．

∵396900元＞393000元，∴方案②更優惠．