2019-2020學(xué)年河南省豫南九校高二上學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題

一、單選題

1．不等式的解集是

A.B.C.D.【答案】B

【解析】因式分解不等式，可直接求得其解集。

【詳解】，解得.【點(diǎn)睛】

本題考查求不等式解集，屬于基礎(chǔ)題。

2．設(shè)命題，則為（）.A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】命題，則為:,故選C.3．在中，則（）

A.B.C.D.或

【答案】D

【解析】先選用正弦定理求解的大小，再根據(jù)的內(nèi)角和為即可求解的大小.【詳解】

因?yàn)椋霐?shù)值得：；

又因?yàn)椋裕瑒t或；

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，.所以或.故選：D.【點(diǎn)睛】

解三角形過(guò)程中涉及到多解的時(shí)候，不能直接認(rèn)為所有解都合適，要通過(guò)給出的條件判斷邊或角的大小關(guān)系，從而決定解的個(gè)數(shù)，4．記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.若，則的公差為（）

A.3

B.2

C.-2

D.-3

【答案】A

【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，由求得的值，根據(jù)等差數(shù)列公差的計(jì)算公式計(jì)算出公差.【詳解】

由等差數(shù)列性質(zhì)可知，解得，故.故選：A.【點(diǎn)睛】

本小題主要考查等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查等差數(shù)列公差的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.5．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，得到，結(jié)合題中數(shù)據(jù)，即可得出結(jié)果.【詳解】

因?yàn)榈缺葦?shù)列的前項(xiàng)和為，且，則,則.故選A

【點(diǎn)睛】

本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，熟記等比數(shù)列的性質(zhì)即可，屬于常考題型.6．已知實(shí)數(shù)滿足不等式則的最小值為（）

A．

B．5

C．4

D．無(wú)最小值

【答案】C

【解析】首先畫(huà)出可行域，然后結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義即可確定最值.【詳解】

繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，目標(biāo)函數(shù)即：，其中z取得最小值時(shí)，其幾何意義表示直線系在y軸上的截距最小，據(jù)此結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A處取得最大值，聯(lián)立直線方程：，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為：，據(jù)此可知目標(biāo)函數(shù)的最小值為：.故選：C.【點(diǎn)睛】

求線性目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(ab≠0)的最值，當(dāng)b＞0時(shí)，直線過(guò)可行域且在y軸上截距最大時(shí)，z值最大，在y軸截距最小時(shí)，z值最小；當(dāng)b＜0時(shí)，直線過(guò)可行域且在y軸上截距最大時(shí)，z值最小，在y軸上截距最小時(shí)，z值最大.7．已知a、b、c分別是△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，若，則的形狀為（）

A．鈍角三角形

B．直角三角形

C．銳角三角形

D．等邊三角形

【答案】A

【解析】將原式進(jìn)行變形，再利用內(nèi)角和定理轉(zhuǎn)化，最后可得角B的范圍，可得三角形形狀.【詳解】

因?yàn)樵谌切沃校冃螢?/p>

由內(nèi)角和定理可得

化簡(jiǎn)可得：

所以

所以三角形為鈍角三角形

故選A

【點(diǎn)睛】

本題考查了解三角形，主要是公式的變形是解題的關(guān)鍵，屬于較為基礎(chǔ)題.8．設(shè)，則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】利用單調(diào)性，通過(guò)取中間值，即可得到.再不等式的性質(zhì)，以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算，即可得到.再通過(guò)作差法，即可得到，從而得到的大小比較.【詳解】

因?yàn)椋裕驗(yàn)椋裕纯傻茫驗(yàn)椋裕裕蔬xB.【點(diǎn)睛】

本題主要考查了比較大小的問(wèn)題，涉及到單調(diào)性的運(yùn)用、對(duì)數(shù)運(yùn)算公式以及不等式的性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題.對(duì)于比較大小問(wèn)題，常用的方法有：（1）作差法，通過(guò)兩式作差、化簡(jiǎn)，然后與進(jìn)行比較，從而確定大小關(guān)系；（2）作商法，通過(guò)兩式作商、化簡(jiǎn)（注意分母不能為零），然后與進(jìn)行比較，從而確定大小關(guān)系；（3）取中間值法，通過(guò)取特殊的中間值（一般取等），分別比較兩式與中間值的大小關(guān)系，再利用不等式的傳遞性即可得到兩式的大小關(guān)系；（4）構(gòu)造函數(shù)法，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，使得兩式均為該函數(shù)的函數(shù)值，然后利用該函數(shù)的單調(diào)性以及對(duì)應(yīng)自變量的大小關(guān)系，從而得到兩式的大小關(guān)系.9．等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，,則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】由題，等比數(shù)列及其性質(zhì)，易求出，再取，求得，即可求得公比，既而求得答案.【詳解】

因?yàn)榈缺葦?shù)列，由性質(zhì)可得

又因?yàn)?/p>

所以當(dāng)時(shí)，有，即公比

所以

故選C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了等比數(shù)列，掌握好等比數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)是解題的關(guān)鍵，屬于較為基礎(chǔ)題.10．我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶提出了由三角形三邊求三角形面積的“三斜求積”，設(shè)的三個(gè)內(nèi)角，所對(duì)的邊分別為，，面積為，則“三斜求積”公式為，若，則用“三斜求積”公式求得的面積為（）

A.B.1

C.D.【答案】C

【解析】根據(jù)正弦定理：由得的值，再由得的值，利用公式可得結(jié)論．

【詳解】

∵，∴，因?yàn)椋裕瑥亩拿娣e為.故選：C．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查給出新的公式，并用新的公式解題的能力，比較基礎(chǔ)．

11．已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足,若存在兩項(xiàng)使得，則的最小值為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】根據(jù)，求出公比的值，利用存在兩項(xiàng)，使得，寫(xiě)出之間的關(guān)系，結(jié)合基本不等式即可得到最小值

【詳解】

設(shè)等比數(shù)列的公比為，，，存在兩項(xiàng)使得，，,，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，則有，又由，得時(shí)，取最小值為

答案：B

【點(diǎn)睛】

本題考查基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題

12．在中，角，所對(duì)應(yīng)的邊分別為，若，則面積的最大值為（）

A.B.C.D.【答案】A

【解析】中，由正弦定理可得，利用余弦定理可得：．結(jié)合，都用表示，利用余弦定理及其基本不等式的性質(zhì)可得的最小值，可得的最大值，即可得出三角形面積的最大值．

【詳解】

由正弦定理得：

由余弦定理得：，即

當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，,則，所以面積的最大值1.故選:.【點(diǎn)睛】

本題考查了正弦定理、余弦定理和基本不等式，屬于難題.二、填空題

13．在中，角，的對(duì)邊分別是，，若，，則_______.【答案】3

【解析】直接利用余弦定理，轉(zhuǎn)化求解即可。

【詳解】

解：由余弦定理可得：，解得.故答案為：3。

【點(diǎn)睛】

本題考查余弦定理的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題。

14．已知，，且是成立的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．

【答案】

【解析】先解出不等式得出解集為，由題意得出，列出不等式組解出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】

解不等式，即，得，.由于是成立的必要不充分條件，則，所以，解得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為：.【點(diǎn)睛】

本題考查利用充分必要性求參數(shù)的取值范圍，涉及絕對(duì)值不等式的解法，解題的關(guān)鍵就是利用充分必要性轉(zhuǎn)化為兩集合間的包含關(guān)系，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中等題.15．在中，內(nèi)角，所對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)分別為，，且，則的外接圓面積為_(kāi)_________．

【答案】

【解析】根據(jù)正弦定理得到，再根據(jù)計(jì)算得到答案.【詳解】

由正弦定理知：，即，，即.故.故答案為

【點(diǎn)睛】

本題考查了正弦定理，外接圓面積，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.16．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)_____.【答案】

【解析】利用，求得的遞推關(guān)系式，然后利用配湊法將關(guān)系式配成等比數(shù)列的形式，由此求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】

當(dāng)時(shí)，解得；當(dāng)時(shí)，，兩式相減可得，故，設(shè)，故，即，故.故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，故，故.故答案為：

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查已知的表達(dá)式，求的表達(dá)式，考查利用配湊法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于中檔題.三、解答題

17．在中，角所對(duì)的邊分別為，且滿足.(Ⅰ)求角的大小；

(Ⅱ)若，求邊上的中線的長(zhǎng).【答案】（Ⅰ）；

（Ⅱ）.【解析】(Ⅰ)由題意結(jié)合正弦定理邊化角，求得的值即可確定∠A的大小；

(Ⅱ)易知△ABC為等腰三角形，利用余弦定理可得AM的長(zhǎng).【詳解】

（Ⅰ）因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻茫驗(yàn)椋裕驗(yàn)椋裕?/p>

（Ⅱ）由，則，所以，，由余弦定理可得，所以．

【點(diǎn)睛】

在處理三角形中的邊角關(guān)系時(shí)，一般全部化為角的關(guān)系，或全部化為邊的關(guān)系．題中若出現(xiàn)邊的一次式一般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理．

18．已知，，.（1）若為真命題，求的取值范圍；

（2）若為真命題，且為假命題，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）

【解析】(1)分a=0和兩種情況討論即可；（2）因?yàn)闉檎婷}，且為假命題，所以真假或假真，當(dāng)真假，有解出即可，當(dāng)假真，有解出即可.【詳解】

(1)當(dāng)時(shí)，不恒成立，不符合題意；

當(dāng)時(shí)，解得.綜上所述：.(2)，則.因?yàn)闉檎婷}，且為假命題，所以真假或假真，當(dāng)真假，有，即；

當(dāng)假真，有，則無(wú)解.綜上所述，.【點(diǎn)睛】

由簡(jiǎn)單命題和邏輯連接詞構(gòu)成的復(fù)合命題的真假可以用真值表來(lái)判斷，反之根據(jù)復(fù)合命題的真假也可以判斷簡(jiǎn)單命題的真假．假若p且q真，則p

真，q也真；若p或q真，則p，q至少有一個(gè)真；若p且q假，則p，q至少有一個(gè)假．（2）可把“p或q”為真命題轉(zhuǎn)化為并集的運(yùn)算；把“p且q”為真命題轉(zhuǎn)化為交集的運(yùn)算．

19．已知數(shù)列是公比大于1的等比數(shù)列，且是與的等差中項(xiàng)．

I.求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

II.設(shè)，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，記，證明：．

【答案】I.；II.見(jiàn)解析

【解析】I.根據(jù)等差中項(xiàng)性質(zhì)得到，再根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式構(gòu)造方程求得，從而可求得通項(xiàng)公式；II.根據(jù)求得，利用等差數(shù)列求和公式得到；再根據(jù)裂項(xiàng)相消法求得，根據(jù)證得結(jié)論.【詳解】

I.由題意得：

設(shè)數(shù)列公比為，則，即

解得：（舍去）或

則

II.由I.得：，可知為首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列

則

即

【點(diǎn)睛】

本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求解、裂項(xiàng)相消法求解數(shù)列的前項(xiàng)和問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠確定需求和的數(shù)列的通項(xiàng)公式符合裂項(xiàng)相消法的形式，從而使問(wèn)題得以解決.20．已知向量，函數(shù)（）.（Ⅰ）求函數(shù)的最大值和最小正周期；

（Ⅱ）在中，角，所對(duì)的邊分別為，，滿足，且，求的值.【答案】（Ⅰ）函數(shù)的最大值為1，其最小正周期為;（Ⅱ）2.【解析】【試題分析】（1）先運(yùn)用向量的數(shù)量積公式求出，再運(yùn)用三角變換中的余弦倍角公式和兩角差的正弦公式，化簡(jiǎn)得到

.（2）先借助，求出或（此時(shí)，關(guān)于，的方程無(wú)解，舍去），再借助正弦定理將化為，進(jìn)而求出。

解：（Ⅰ）由于

.∴函數(shù)的最大值為1，其最小正周期為.（Ⅱ）由于，∵，∴，則有或，解得或（此時(shí)，關(guān)于，的方程無(wú)解，舍去）.又由，結(jié)合正弦定理可得，所以

21．在中，角所對(duì)的邊分別為,且

.（1）求角C；

（2）若的中線CE的長(zhǎng)為1，求的面積的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)，結(jié)合余弦定理，可得角的大小；

（2）利用三角形中線長(zhǎng)定理，再利用余弦定理化簡(jiǎn)后，結(jié)合基本不等式可得的最大值，即可求得面積的最大值

【詳解】

（1）由，得：，即,由余弦定理得

∴，∵，∴

.（2）由余弦定理：

①，②，由三角形中線長(zhǎng)定理可得：①+②得

即

∵，∴

∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)

所以.【點(diǎn)睛】

本題考查正弦定理、余弦定理及三角形中線長(zhǎng)定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題

22．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（），.數(shù)列為等比數(shù)列，且.（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）先得到數(shù)列是以2為公差的等差數(shù)列，由求出首項(xiàng)，可得的通項(xiàng)公式，由求出等比數(shù)列的首項(xiàng)與公比，從而可得的通項(xiàng)公式；（2）利用（1）得，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，利用錯(cuò)位相減法可得結(jié)果.【詳解】

（1）由已知得：，數(shù)列是以2為公差的等差數(shù)列.，，.設(shè)等比數(shù)列的公比為，，.（2）由題意，得，.上述兩式相減，得,.【點(diǎn)睛】

本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量運(yùn)算，以及等比數(shù)列的求和公式，錯(cuò)位相減法的應(yīng)用，屬于中檔題.“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，利用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：①掌握運(yùn)用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和的條件（一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的積）；②相減時(shí)注意最后一項(xiàng)的符號(hào)；③求和時(shí)注意項(xiàng)數(shù)別出錯(cuò)；④最后結(jié)果一定不能忘記等式兩邊同時(shí)除以.