選修2-2

1.1

第1課時

變化率問題

一、選擇題

1．在平均變化率的定義中，自變量x在x0處的增量Δx()

A．大于零

B．小于零

C．等于零

D．不等于零

[答案]　D

[解析]　Δx可正，可負，但不為0，故應選D.2．設函數(shù)y＝f(x)，當自變量x由x0變化到x0＋Δx時，函數(shù)的改變量Δy為()

A．f(x0＋Δx)

B．f(x0)＋Δx

C．f(x0)·Δx

D．f(x0＋Δx)－f(x0)

[答案]　D

[解析]　由定義，函數(shù)值的改變量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，故應選D.3．已知函數(shù)f(x)＝－x2＋x，則f(x)從－1到－0.9的平均變化率為()

A．3

B．0.29

C．2.09

D．2.9

[答案]　D

[解析]　f(－1)＝－(－1)2＋(－1)＝－2.f(－0.9)＝－(－0.9)2＋(－0.9)＝－1.71.∴平均變化率為＝＝2.9，故應選D.4．已知函數(shù)f(x)＝x2＋4上兩點A，B，xA＝1，xB＝1.3，則直線AB的斜率為()

A．2

B．2.3

C．2.09

D．2.1

[答案]　B

[解析]　f(1)＝5，f(1.3)＝5.69.∴kAB＝＝＝2.3，故應選B.5．已知函數(shù)f(x)＝－x2＋2x，函數(shù)f(x)從2到2＋Δx的平均變化率為()

A．2－Δx

B．－2－Δx

C．2＋Δx

D．(Δx)2－2·Δx

[答案]　B

[解析]　∵f(2)＝－22＋2×2＝0，∴f(2＋Δx)＝－(2＋Δx)2＋2(2＋Δx)

＝－2Δx－(Δx)2，∴＝－2－Δx，故應選B.6．已知函數(shù)y＝x2＋1的圖象上一點(1,2)及鄰近一點(1＋Δx,2＋Δy)，則等于()

A．2

B．2x

C．2＋Δx

D．2＋(Δx)2

[答案]　C

[解析]　＝

＝＝2＋Δx.故應選C.7．質(zhì)點運動規(guī)律S(t)＝t2＋3，則從3到3.3內(nèi)，質(zhì)點運動的平均速度為()

A．6.3

B．36.3

C．3.3

D．9.3

[答案]　A

[解析]　S(3)＝12，S(3.3)＝13.89，∴平均速度＝＝＝6.3，故應選A.8．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四個函數(shù)①y＝x、②y＝x2、③y＝x3、④y＝中，平均變化率最大的是()

A．④

B．③

C．②

D．①

[答案]　B

[解析]　Δx＝0.3時，①y＝x在x＝1附近的平均變化率k1＝1；②y＝x2在x＝1附近的平均變化率k2＝2＋Δx＝2.3；③y＝x3在x＝1附近的平均變化率k3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝3.99；④y＝在x＝1附近的平均變化率k4＝－＝－.∴k3＞k2＞k1＞k4，故應選B.9．物體做直線運動所經(jīng)過的路程s可以表示為時間t的函數(shù)s＝s(t)，則物體在時間間隔[t0，t0＋Δt]內(nèi)的平均速度是()

A．v0

B.C.D.[答案]　C

[解析]　由平均變化率的概念知C正確，故應選C.10．已知曲線y＝x2和這條曲線上的一點P，Q是曲線上點P附近的一點，則點Q的坐標為()

A.B.C.D.[答案]　C

[解析]　點Q的橫坐標應為1＋Δx，所以其縱坐標為f(1＋Δx)＝(Δx＋1)2，故應選C.二、填空題

11．已知函數(shù)y＝x3－2，當x＝2時，＝________.[答案](Δx)2＋6Δx＋12

[解析]　＝

＝

＝(Δx)2＋6Δx＋12.12．在x＝2附近，Δx＝時，函數(shù)y＝的平均變化率為________．

[答案]　－

[解析]　＝＝－＝－.13．函數(shù)y＝在x＝1附近，當Δx＝時的平均變化率為________．

[答案]　－2

[解析]　＝＝＝－2.14．已知曲線y＝x2－1上兩點A(2,3)，B(2＋Δx,3＋Δy)，當Δx＝1時，割線AB的斜率是________；當Δx＝0.1時，割線AB的斜率是________．

[答案]　5　4.1

[解析]　當Δx＝1時，割線AB的斜率

k1＝＝＝＝5.當Δx＝0.1時，割線AB的斜率

k2＝＝＝4.1.三、解答題

15．已知函數(shù)f(x)＝2x＋1，g(x)＝－2x，分別計算在區(qū)間[－3，－1]，[0,5]上函數(shù)f(x)及g(x)的平均變化率．

[解析]　函數(shù)f(x)在[－3，－1]上的平均變化率為

＝＝2.函數(shù)f(x)在[0,5]上的平均變化率為

＝2.函數(shù)g(x)在[－3，－1]上的平均變化率為

＝－2.函數(shù)g(x)在[0,5]上的平均變化率為

＝－2.16．過曲線f(x)＝的圖象上兩點A(1,2)，B(1＋Δx,2＋Δy)作曲線的割線AB，求出當Δx＝時割線的斜率．

[解析]　割線AB的斜率k＝＝

＝＝＝－.17．求函數(shù)y＝x2在x＝1、2、3附近的平均變化率，判斷哪一點附近平均變化率最大？

[解析]　在x＝2附近的平均變化率為

k1＝＝＝2＋Δx；

在x＝2附近的平均變化率為

k2＝＝＝4＋Δx；

在x＝3附近的平均變化率為

k3＝＝＝6＋Δx.對任意Δx有，k1＜k2＜k3，∴在x＝3附近的平均變化率最大．

18．(2010·杭州高二檢測)路燈距地面8m，一個身高為1.6m的人以84m/min的速度在地面上從路燈在地面上的射影點C處沿直線離開路燈．

(1)求身影的長度y與人距路燈的距離x之間的關系式；

(2)求人離開路燈的第一個10s內(nèi)身影的平均變化率．

[解析](1)如圖所示，設人從C點運動到B處的路程為xm，AB為身影長度，AB的長度為ym，由于CD∥BE，則＝，即＝，所以y＝f(x)＝x.(2)84m/min＝1.4m/s，在[0,10]內(nèi)自變量的增量為

x2－x1＝1.4×10－1.4×0＝14，f(x2)－f(x1)＝×14－×0＝.所以＝＝.即人離開路燈的第一個10s內(nèi)身影的平均變化率為.