第一篇：《變化率問題》參考教學設計

§1.1.1

變化率問題

一.內容和內容解析

內容：平均變化率的概念及其求法。

內容解析：本節課是高中數學（選修2-2）第一章導數及其應用的第一節1.1變化率與導數中的1.1.1變化率問題。本節內容通過分析研究氣球膨脹率問題、高臺跳水問題，總結歸納出一般函數的平均變化率概念，在此基礎上，要求學生掌握函數平均變化率解法的一般步驟。平均變化率是個核心概念，它在整個高中數學中占有及其重要的地位，是研究瞬時變化率及其導數概念的基礎。在這個過程中，注意特殊到一般、數形結合等數學思想方法的滲透。

教學重點：函數平均變化率的概念。二.目標和目標解析

新課標對―導數及其應用‖內容的處理有了較大的變化，它不介紹極限的形式化定義及相關知識，也有別于以往教材將導數僅僅作為一種特殊的極限、一種―規則‖來學習的處理方式，而是按照：平均變化率—瞬時變化率—導數的概念—導數的幾何意義這樣的順序來安排，用―逼近‖的方法定義導數，這種概念建立的方式形象、直觀、生動又容易理解，突出了導數概念的本質。平均變化率是本章的一個重要的基本概念，本節課是《導數及其應用》的起始課，對導數概念的形成起著奠基作用。

目標：理解平均變化率的概念及內涵，掌握求平均變化率的一般步驟。目標解析：

1.經歷從生活中的變化率問題抽象概括出函數平均變化率概念的過程，體會從特殊到一般的數學思想，體現了數學知識來源于生活，又服務于生活。

2.通過函數平均變化率幾何意義的教學，讓學生體會數形結合的思想。3.通過例題的解析，讓學生進一步理解函數平均變化率的概念。三.教學問題診斷分析

吹氣球是很多人具有的生活經驗，運動速度是學生非常熟悉的物理知識，這兩個實例的共同點是背景簡單。從簡單的背景出發，既可以利用學生原有的知識經驗，又可以減少因為背景的復雜而可能引起的對數學知識學習的干擾，這是有利的方面。但是如何從具體實例中抽象出共同的數學問題的本質是本節課教學的關鍵。

教學難點：如何從兩個具體的實例中歸納總結出函數平均變化率的概念。四.教學支持條件分析

為了有效實現教學目標，準備計算機、投影儀、多媒體課件等。

1.在信息技術環境下，可以使兩個實例的背景更形象、更逼真，從而激發學生的學習興趣，通過演示平均變化率的幾何意義讓學生更好地體會數形結合思想。

2.通過應用舉例的教學，不斷地提供給學生比較、分析、歸納、綜合的機會，體現了從特殊到一般的思維過程，既關注了學生的認知基礎，又促使學生在原有認知基礎上獲取知識，提高思維能力，保持高水平的思維活動，符合學生的認知規律。

五.教學過程設計 1.問題情景

從生活述語和學生比較熟悉的姚明身高曲線引入課題。

設計意圖：使學生了解生活中的變化率問題，為歸納函數平均變化率提供更多的實際背景。

師生活動：稍加點撥，繼續引導學生舉出生活中的變化率問題。2.數學建構

問題1：大家可能都有過吹氣球的回憶。在吹氣球的過程中,可以發現,隨著氣球內空氣容量的增加,氣球的半徑增加越來越慢.從數學角度,如何描述這種現象呢? 設計意圖：通過熟悉的生活體驗，提煉出數學模型，從而為歸納函數平均變化率概念提供具體背景。

師生活動：由球的體積公式推導半徑關于體積的函數解析式，然后通過計算，用數據來回答問題，解釋上述現象。

思考：當空氣容量從V1增加到V2時,氣球的平均膨脹率是多少? 設計意圖：把問題1中的具體數據運算提升到一般的字母表示，體現從特殊到一般的數學思想。為歸納函數平均變化率概念作鋪墊。師生活動：教師播放多媒體，學生可以直接回答問題，教師板書其正確答案，并利用幾何畫板進行演示分析結果的分析與歸納。

問題2：在高臺跳水運動中, 運動員相對于水面的高度h(單位:m)與起跳后的時間t(單位:s)存在函數關系h(t)=－4.9t2+6.5t+10，如果用運動員在某段時間內的平均速度描述其運動狀態, 那么:（1）在0≤t≤0.5這段時間里,運動員的平均速度為多少？（2）在1≤t≤2這段時間里, 運動員的平均速度為多少？

設計意圖：高臺跳水展示了生活中最常見的一種變化率——運動速度，而運動速度是學生非常熟悉的物理知識，這樣可以減少因為背景的復雜而可能引起的對數學知識學習的干擾。通過計算為歸納函數平均變化率概念提供又一重要背景。

師生活動：教師播放多郭晶晶、吳敏霞在2008年北京奧運會上跳水比賽錄像，讓學生在情景中感受速度變化，學生通過計算回答問題。對第（2）小題的答案說明其物理意義。

探究：計算運動員在0≤t≤

65這段時間里的平均速度,并思考下面的問題: 49(1)運動員在這段時間里是靜止的嗎?(2)你認為用平均速度描述運動員的運動狀態有什么問題嗎? 設計意圖：通過計算得出平均速度只能粗略地描述運動狀態，從而為瞬時速度的提出埋下伏筆即為導數的概念作了鋪墊，利用圖像解釋的過程體現了數形結合的數學思想方法。

師生活動：教師播放多媒體，學生通過計算回答問題。對答案加以說明其物理意義（突出數形結合思想——對教材的一個處理）。

思考：當運動員起跳后的時間從t1增加到t2時,運動員的平均速度是多少? 設計意圖：把問題2中的具體數據運算提升到一般的字母表示，體現從特殊到一般的數學思想（體現化歸的數學思想）。并為歸納函數平均變化率概念作鋪墊。

師生活動：教師播放多媒體，學生可以直接回答問題，教師板書其正確答案。通過引導，使學生逐步歸納出問題1、2的共性。定義：一般地,函數y=f(x)中，式子

f(x2)?f(x1)稱為函數f(x)從x1到x2的平

x2?x1均變化率。其中令?x?x2?x1，?y?f(x2)?f(x1)，則:

f(x2)?f(x1)?y。?x2?x1?x設計意圖：歸納概念的過程，體現了從特殊到一般的數學思想。思考：（1）?x,?y的符號是怎樣的？（2）平均變化率有哪些變式？ 設計意圖：加深對概念內涵的理解。

師生活動：教師播放多媒體，師生共同討論得出結果。思考：觀察函數f(x)的圖象平均變化率

f(x2)?f(x1)?y表示什么?（圖略）?x2?x1?x

設計意圖：從幾何角度理解平均變化率的概念即平均變化率的幾何意義，體現數形結合的數學思想。

3.數學應用

例題

(1)計算函數f(x)=2x+1在區間[–3,–1]上的平均變化率；

(2)求函數f(x)=x2+1的平均變化率。

設計意圖：概念的簡單應用，體現了由易到難，由特殊到一般的數學思想，符合學生的認知規律。

師生活動：教師適當點撥，學生口答。

練習（1）已知函數f(x)=-x2+x的圖象上的一點A(-1,-2)及臨近一點B(-1+Δx,-2+Δy),則Δy/Δx=（）A.3 B.3Δx-(Δx)2

C.3-(Δx)2

D.3-Δx

（2）求y=x2在x=x0附近的平均變化率.設計意圖：進一步加深對概念的理解，突出求平均變化率的一般步驟。從課堂練習一到例題，再到課堂練習二，體現了由易到難，由特殊到一般的數學思想。

師生活動：教師板書，并引導學生歸納求平均變化率的一般步驟：（1）作差

（2）作商

最后請一位同學板演，其余同學在草稿上練習。4.總結提高

（1）函數平均變化率的概念是什么？它是通過什么實例歸納總結出來的？（2）求函數平均變化率的一般步驟是怎樣的？（3）這節課主要用了哪些數學思想？

師生活動：最后師生共同歸納總結：函數平均變化率的概念、吹氣球及高臺跳水兩個實例、求函數平均變化率的一般步驟、主要的數學思想有：從特殊到一般，數形結合。

設計意圖：復習重點知識、思想方法，完善學生的認知結構。六.知識鞏固

（1）課本第10頁習題1.1A組:1（2）四人一組合作完成一篇數學小論文，備選題目：《變化率的應用》、《數學來源于生活》、《生活中的平均變化率問題》

（3）備選作業：已知函數f(x)?|x|(1?x)，求

f(0??x)?f(0)的值：

?x設計意圖：對一般學生布置第（1）（2）題，而對學有余力的學生布置（3）題，體現了分層、有梯度的教學，及時鞏固新知識。

第二篇：“平均變化率”一課問題情境的教學設計

“平均變化率”一課是高中新課程蘇教版選修1-1中導數一章的第一課，為了能更好的完成教學任務，聽了很多老師的課，吸取了很多經驗，并結合弗賴登塔爾的數學教育思想，通過自己的教學實踐，有了自己的一點心得，與教學同仁分享。

新教材與以前的教材相比，導數這一章在傳統內容上有所刪減。不再系統的講述極限的概念，而且在要求和側重點上有所調整，本章就著重理解微分的基本思想及其應用。本節是導數這章的第一節，主要通過一些現實生活中的實例來引出平均變化率的概念。從而為過渡到瞬時變化率，理解導數的概念做好準備，讓學生能體會導數的基本思想。因此本節的問題情境的創建是需要重點考慮的。

本節教材中通過引言中的一則案例，提出問題：用怎樣的數學模型刻畫變量變化的快與慢?這樣的數學模型有哪些應用?意圖是在此基礎上提出平均變化率的概念，教學中如何使得平均變化率概念的引入顯得流暢自然?是拋開教材中的案例另辟蹊徑。來構建概念，還是在教材基礎上著力創設“最近發展區”。讓學生知識遷移，主動構建平均變化率的概念呢?

在教學實踐中發現。雖然教材中氣溫曲線的引例貼切學生生活，圖像直觀，有利于構建數學模型，但同樣它也存在著一些缺點：

1、不能反映確定的數量關系。無法用確定的函數關系來描述圖像，這為以后進一步研究導數帶來了困難。

2、例子過于單一，無法符合所有學生的“數學現實”。曼弗賴登塔爾“數學現實”中的一個基本結論是：每個人都有自己生活、工作和思考著的特定客觀世界以及反映這個客觀世界的各種數學概念、它的運算方法、規律和有關的數學知識結構。這就是說，每個人都有自己的一套“數學現實”。從這個意義上說，所謂“現實”不一定限于具體的事物，作為屬于這個現實世界的數學本身，也是“現實”的一部分，或者可以說，每個人也都有自己所接觸到的特定的“數學現實”。這也許和我們常說的“從學生實際出發”差不多，數學教育當然要根據學生的“數學現實”來進行。學生的“實際”知識有多少?學生的“數學水平”有多高?學生的“日常生活常識”有多廣?這些都是教師面對的“現實”，如果我們只是簡單的運用教材中的這一個事例，就未免太狹隘了。

根據以上的實際情況，在問題情境的教學設計中主要做了兩點改變：

1、讓學生根據自己的實際情況來定函數畫草圖，例如有的同學就用函數圖像來表示自己上學途中的情況，有的舉出商品價格和賣出數量關系的圖像等等。一方面調動了學生，另一方面更重要的是使得客觀現實與學生的數學知識的現實彼此融為一體。

2、根據學生不同的知識水平。在教材原實例的基礎上增加了和物理學有關系的路程與時間、速度與時間圖像以及數學中的函數圖像。

在教學實踐巾。通過采用上述的問題情境教學，收到了良好的效果，主要體現在以下方面：

1、為學生的“再創造”提供了舞臺。弗賴登塔爾認為數學教育方法的核心是學生的“再創造”。每個人都應該在學習數學的過程中，根據自己的體驗，用自己的思維方式，重新創造有關的數學知識。弗氏認為：數學實質上是人們常識的系統化，每個學生都可能在一定的指導下，通過自己的實踐來獲得這些知識。所以我們必須遵循這樣的原則，那就是數學教育必須以“再創造”的方式來進行。通過上述的問題情境，學生就能結合自己的實際，在教師的適當指導下，用自己的思維方式，發現圖形“陡峭”，變化“快慢”背后的實質。通過自己“創造性”的活動來重現歷史當時概念形成的過程。當然，每個人有不同的“數學現實”，每個人也可能處于不同的思維水平，因而不同的人可以追求并達到不同的水平。一般說來，對于學生的各種獨特的解法，甚至不著邊際的想法在教學過程中我都沒有加以阻撓，而是讓他們充分發展，充分享有“再創造”的自由，讓學生走自己的道路。自然從教師的角度，在適當的時機應引導學生加強反思，鞏固已經獲得的知識，以提高學生的思維水平，尤其必須有意識地啟發，使學生的“創造”活動逐步由不自覺或無目的的狀態，進而發展為有意識有目的的創造活動，以便盡量促使每個人所能達到的水平盡可能地提高。

2、為“數學化”鋪平了道路。人們運用數學的方法觀察現實世界，分析研究各種具體現象，并加以整理組織，這個過程就是數學化。簡單地說，數學地組織現實世界的過程就是數學化。而在“數學化”過程中學生通過反思，對自己的判斷與活動甚至語言表達進行思考并加以證實，以便有意識地了解自身行為后面潛藏的實質，做更為抽象與形式的加工。只有這樣的數學教育――以反思為核心――才能使學生真正深入到數學化過程之中，也才能真正抓住數學思維的內在實質。通過上述的問題情境，學生們找到自己的“數學現實”以后，在老師有意義的指導下，比較順利地開始了“數學化”的過程。并且通過小組合作的形式，使學生在反思過程中的思想相互碰撞，相互影響，產生了良好的效果。例如，有的學生發現自己到校過程中路程和時間的圖形和另外一位學生的圖形相似，但事實上他到校要更快，仔細研究才發現兩者采取的單位長度不同，在老師的指導下，學生就開始反思，用什么能比圖形更好的來刻畫變化的“快慢”。這樣的例子在整個教學過程中經常出現，學生在老師的有意義的指導下，根據自己的水平不同，都能進行“數學化”的過程，雖然水平有高低，但都能了解掌握“平均變化率”。提高了學生的知識水平。掌握了一定的數學知識和技能。

3、為例題的講解提供了有利的素材。上述的問題情境在實施過程中肯定要花費很多的時間，如果在按照教材巾的例題進行講解的話，是無法在一堂課上完成的。但學生在整個的學習過程中研究得自己的“數學現實”已經提供了大量的實例，老師只要依據教材，從中選取幾個恰當的進行分析講解就能達到教學目的。

弗賴登塔爾的數學教育理論的主要論點都是從實際的數學教育出發，而不是從一般教育出發，因而得到了世界各國特別是數學教育界的廣泛重視和研究。回顧我國情況，對數學教育的系統理論還沒有很好研究，也很少借鑒國外的現代數學教育學說，處于一種比較盲目的狀態。而新教材更符合弗賴登塔爾的數學教育理論，本文通過結合這一理論，在新教材的基礎上所作的修改，在教學實踐中充分體現了這一理論所帶來的良好的教學效果。希望通過本文，對讀者有所啟發。使根多的教師把弗賴登塔爾的數學教育理論和中國的數學教育實踐相結合使我們的數學教育事業更進一步。

第三篇：1.1變化率與導數 教學設計 教案

教學準備

1.教學目標

（1）理解平均變化率的概念.（2）了解瞬時速度、瞬時變化率、的概念.（3）理解導數的概念

（4）會求函數在某點的導數或瞬時變化率.2.教學重點/難點

教學重點：瞬時速度、瞬時變化率的概念及導數概念的形成和理解 教學難點：會求簡單函數y＝f（x）在x＝x0處的導數

3.教學用具

多媒體、板書

4.標簽

教學過程

一、創設情景、引入課題

【師】十七世紀，在歐洲資本主義發展初期，由于工場的手工業向機器生產過渡，提高了生產力，促進了科學技術的快速發展，其中突出的成就就是數學研究中取得了豐碩的成果―――微積分的產生。

【板演/PPT】

【師】人們發現在高臺跳水運動中,運動員相對于水面的高度h(單位：米)與起跳后的時間t（單位：秒）存在函數關系

h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用運動員在某些時間段內的平均速度粗略地描述其運動狀態? 【板演/PPT】 讓學生自由發言，教師不急于下結論，而是繼續引導學生：欲知結論怎樣，讓我們一起來觀察、研探。

【設計意圖】自然進入課題內容。

二、新知探究 [1]變化率問題 【合作探究】 探究1 氣球膨脹率

【師】很多人都吹過氣球，回憶一下吹氣球的過程,可以發現,隨著氣球內空氣容量的增加,氣球的半徑增加越來越慢.從數學角度,如何描述這種現象呢? 氣球的體積V(單位:L)與半徑r(單位:dm)之間的函數關系是如果將半徑r表示為體積V的函數,那么

【板演/PPT】 【活動】 【分析】

當V從0增加到1時,氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率為（1）當V從1增加到2時,氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率為0.62>0.16 可以看出，隨著氣球體積逐漸增大，它的平均膨脹率逐漸變小了． 【思考】當空氣容量從V1增加到V2時,氣球的平均膨脹率是多少? 解析：探究2 高臺跳水

【師】在高臺跳水運動中,運動員相對于水面的高度h(單位：米)與起跳后的時間t（單位：秒）存在函數關系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用運動員在某些時間段內的平均速度粗略地描述其運動狀態?（請計算）

【板演/PPT】 【生】學生舉手回答

【活動】學生覺得問題有價值，具有挑戰性，迫切想知道解決問題的方法。【師】解析：h(t)=-4.9t2+6.5t+10

【設計意圖】兩個問題由易到難，讓學生一步一個臺階。為引入變化率的概念以及加深對變化率概念的理解服務。

探究3 計算運動員在這段時間里的平均速度,并思考下面的問題:（1）運動員在這段時間里是靜止的嗎?（2）你認為用平均速度描述運動員的運動狀態有什么問題嗎? 【板演/PPT】 【生】學生舉手回答

【師】在高臺跳水運動中,平均速度不能準確反映他在這段時間里運動狀態.【活動】師生共同歸納出結論平均變化率: 上述兩個問題中的函數關系用y＝f（x）表示，那么問題中的變化率可用式子

我們把這個式子稱為函數y=f(x)從x1到x2的平均變化率.習慣上用Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1)這里Δx看作是對于x1的一個“增量”可用x1+Δx代替x2 同樣Δy=f(x2)-f(x1)，于是，平均變化率可以表示為：

【幾何意義】觀察函數f（x）的圖象，平均變化率意義是什么？ 的幾何

【提示】：直線AB的斜率 【生】學生結合圖象思考問題 【設計意圖】問題的目的是： ① 讓學生加深對平均變化率的理解； ② 為下節課學習導數的幾何意義作輔墊； ③ ③培養學生數形結合的能力。[2]導數的概念 探究1 何為瞬時速度 【板演/PPT】

在高臺跳水運動中,平均速度不能反映他在這段時間里運動狀態，需要用瞬時速度描述運動狀態。我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度.平均變化率近似地刻畫了曲線在某一區間上的變化趨勢.【師】如何精確地刻畫曲線在一點處的變化趨勢呢?

求：從2s到(2+△t)s這段時間內平均速度 解：

探究2 當Δt趨近于0時,平均速度有什么變化趨勢?

從2s到(2+△t)s這段時間內平均速度

當△ t 趨近于0時, 即無論 t 從小于2的一邊, 還是從大于2的一邊趨近于2時,平均速度都趨近與一個確定的值 –13.1.從物理的角度看, 時間間隔 |△t |無限變小時,平均速度就無限趨近于 t = 2時的瞬時速度.因此, 運動員在 t = 2 時的瞬時速度是 –13.1 m/s.為了表述方便，我們用

表示“當t =2, △t趨近于0時,平均速度 趨近于確定值– 13.1”.【瞬時速度】

我們用

表示 “當t=2, Δt趨近于0時,平均速度趨于確定值-13.1”.局部以勻速代替變速，以平均速度代替瞬時速度，然后通過取極限，從瞬時速度的近似值過渡到瞬時速度的精確值。那么,運動員在某一時刻 的瞬時速度?

【設計意圖】讓學生體會由平均速度到瞬時速度的逼近思想：△t越小，V越接近于t＝2秒時的瞬時速度。

探究3:

（1）.運動員在某一時刻 t0 的瞬時速度怎樣表示?（2）.函數f(x)在 x = x0處的瞬時變化率怎樣表示?

導數的概念:

一般地，函數 y = f(x)在 x = x0 處的瞬時變化率是

稱為函數 y = f(x)在 x = x0 處的導數, 記作

或,【總結提升】

由導數的定義可知, 求函數 y = f(x)的導數的一般方法: [3]例題講解

例題1 將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產品, 需要對原油進行冷卻和加熱.如果第 x h時, 原油的溫度(單位:)為 y=f(x)= x2–7x+15(0≤x≤8).計算第2h與第6h時, 原油溫度的瞬時變化率, 并說明它們的意義.解: 在第2h和第6h時, 原油溫度的瞬時變化率就是

在第2h和第6h時, 原油溫度的瞬時變化率分別為–3和5.它說明在第2h附近, 原油溫度大約以3 /h的速率下降;在第6h附近,原油溫度大約以5 /h的速率上升.[4]本節課知識總結 1.函數的平均變化率

2.求函數的平均變化率的步驟:（1）求函數的增量Δy=f(x2)-f(x1)（2）計算平均變化率

3、求物體運動的瞬時速度：（1）求位移增量Δs=s(t+Δt)-s(t)（2）求平均速度（3）求極限

4、由導數的定義可得求導數的一般步驟：（1）求函數的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0)（2）)平均變化率（3）求極限

三、復習總結和作業布置 [1] 課堂練習

1.函數y＝f(x)的自變量x由x0改變到x0＋Δx時，函數值的改變量Δy為()A．f(x0＋Δx)B．f(x0)＋Δx C．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)2．若一質點按規律s＝8＋t2運動，則在時間段2～2.1中，平均速度是()A．4 B．4.1 C．0.41 D．－1.1 3.求y=x2在x=x0附近的平均速度。

4.過曲線y=f(x)=x3上兩點P（1，1）和Q(1+Δx,1+Δy)作曲線的割線，求出當Δx=0.1時割線的斜率.課堂練習【參考答案】 1.D 解析：分別寫出x＝x0和x＝x0＋Δx對應的函數值f(x0)和f(x0＋Δx)，兩式相減，就得到了函數值的改變量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，故應選D.2.B 解析：3.解析：

4.解析：

課后習題

1、復習本節課所講內容

2、預習下一節課內容

3、課本 P.10習題1.1 A組1,2,3,4.

第四篇：3．1 變化率與導數 教學設計 教案

教學準備

1.教學目標

知識與技能

1.理解平均變化率的概念.2.了解瞬時速度、瞬時變化率、的概念.3.理解導數的概念

4.會求函數在某點的導數或瞬時變化率.過程與方法

理解平均變化率的概念，了解平均變化率的幾何意義，會計算函數在某個區間上的平均變化率．

情感、態度與價值觀

感受數學模型刻畫客觀世界的作用，進一步領會變量數學的思想，提高分析問題、解決問題的能力．

2.教學重點/難點

教學重點

平均變化率的概念． 教學難點

平均變化率概念的形成過程．

3.教學用具

多媒體、板書

4.標簽

教學過程

教學過程設計

創設情景、引入課題

【師】十七世紀，在歐洲資本主義發展初期，由于工場的手工業向機器生產過渡，提高了生產力，促進了科學技術的快速發展，其中突出的成就就是數學研究中取得了豐碩的成果―――微積分的產生。

【師】人們發現在高臺跳水運動中,運動員相對于水面的高度h(單位：米)與起跳后的時間t（單位：秒）存在函數關系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用運動員在某些時間段內的平均速度粗略地描述其運動狀態? 讓學生自由發言，教師不急于下結論，而是繼續引導學生：欲知結論怎樣，讓我們一起來觀察、研探。新知探究 1.變化率問題 探究1 氣球膨脹率

【師】很多人都吹過氣球，回憶一下吹氣球的過程,可以發現,隨著氣球內空氣容量的增加,氣球的半徑增加越來越慢.從數學角度,如何描述這種現象呢? 氣球的體積V(單位:L)與半徑r(單位:dm)之間的函數關系是

如果將半徑r表示為體積V的函數,那么

【分析】

（1）當V從0增加到1時,氣球半徑增加了

氣球的平均膨脹率為

（2）當V從1增加到2時,氣球半徑增加了

氣球的平均膨脹率為 0.62>0.16，可以看出，隨著氣球體積逐漸增大，它的平均膨脹率逐漸變小了． 【思考】當空氣容量從V1增加到V2時,氣球的平均膨脹率是多少?

解析：

探究2

高臺跳水

【師】在高臺跳水運動中,運動員相對于水面的高度h(單位：米)與起跳后的時間t（單位：秒）存在函數關系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用運動員在某些時間段內的平均速度粗略地描述其運動狀態?

【活動】學生覺得問題有價值，具有挑戰性，迫切想知道解決問題的方法。【師】解析：h(t)=-4.9t2+6.5t+10

探究3 計算運動員在這段時間里的平均速度,并思考下面的問題:

（1）運動員在這段時間里是靜止的嗎?（2）你認為用平均速度描述運動員的運動狀態有什么問題嗎? 【師】在高臺跳水運動中,平均速度不能準確反映他在這段時間里運動狀態.【活動】師生共同歸納出結論平均變化率: 上述兩個問題中的函數關系用y＝f（x）表示，那么問題中的變化率可用式子表示.我們把這個式子稱為函數y=f(x)從x1到x2的平均變化率.習慣上用Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1)這里Δx看作是對于x1的一個“增量”可用x1+Δx代替x2 同樣Δy=f(x2)-f(x1)，于是，平均變化率可以表示為：

【幾何意義】觀察函數f（x）的圖象，平均變化率 的幾何意義是什么？

【提示】：直線AB的斜率 【設計意圖】問題的目的是：

①

讓學生加深對平均變化率的理解； ②

為下節課學習導數的幾何意義作輔墊； ③ 培養學生數形結合的能力。2.導數的概念

探究1 何為瞬時速度2.【板演/PPT】

在高臺跳水運動中,平均速度不能反映他在這段時間里運動狀態，需要用瞬時速度描述運動狀態。我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度.平均變化率近似地刻畫了曲線在某一區間上的變化趨勢.【師】如何精確地刻畫曲線在一點處的變化趨勢呢?

求：從2s到(2+△t)s這段時間內平均速度 解：

探究2 當Δt趨近于0時,平均速度有什么變化趨勢? 從2s到(2+△t)s這段時間內平均速度

當△ t 趨近于0時, 即無論 t 從小于2的一邊, 還是從大于2的一邊趨近于2時,平均速度都趨近與一個確定的值 –13.1.從物理的角度看, 時間間隔 |△t |無限變小時,平均速度就無限趨近于 t = 2時的瞬時速度.因此, 運動員在 t = 2 時的瞬時速度是 –13.1 m/s.為了表述方便，我們用

表示“當t =2, △t趨近于0時,平均速度趨近于確定值– 13.1”.【瞬時速度】 我們用

表示 “當t=2, Δt趨近于0時,平均速度趨于確定值-13.1”.局部以勻速代替變速，以平均速度代替瞬時速度，然后通過取極限，從瞬時速度的近似值過渡到瞬時速度的精確值。那么,運動員在某一時刻 的瞬時速度?

【設計意圖】讓學生體會由平均速度到瞬時速度的逼近思想：△t越小，V越接近于t＝2秒時的瞬時速度。探究3:（1）.運動員在某一時刻 t0 的瞬時速度怎樣表示?（2）.函數f(x)在 x = x0處的瞬時變化率怎樣表示?

導數的概念: 一般地，函數 y = f(x)在 x = x0 處的瞬時變化率是

稱為函數 y = f(x)在 x = x0 處的導數，記作

由導數的定義可知, 求函數 y = f(x)的導數的一般方法: 1.求函數的改變量2.求平均變化率

3.求值

【典例精講】

例1 將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產品, 需要對原油進行冷卻和加熱.如果第 x h時, 原油的溫度(單位:)為 y=f(x)= x2–7x+15(0≤x≤8).計算第2h與第6h時, 原油溫度的瞬時變化率, 并說明它們的意義.解: 在第2h和第6h時, 原油溫度的瞬時變化率就是

根據導數的定義，在第2h和第6h時, 原油溫度的瞬時變化率分別為–3和5.它說明在第2h附近, 原油溫度大約以3/h的速率下降;在第6h附近,原油溫度大約以5 /h的速率上升.例2.求函數處的導數．

【小結】

1．求導方法簡記為：一差、二化、三趨近．

2．求函數在某一點導數的方法有兩種：一種是直接求出函數在該點的導數；另一種是求出導函數，再求導數在該點的函數值，此方法是常用方法． 【變式訓練】

用定義求函數f(x)＝x2在x＝1處的導數．

【當堂訓練】

1.函數y＝f(x)的自變量x由x0改變到x0＋Δx時，函數值的改變量Δy為()A．f(x0＋Δx)

B．f(x0)＋Δx C．f(x0)·Δx

D．f(x0＋Δx)－f(x0)2．若一質點按規律s＝8＋t2運動，則在時間段2～2.1中，平均速度是()A．4

B．4.1 C．0.41

D．－1.1 3.求y=x2在x=x0附近的平均速度。

4.過曲線y=f(x)=x3上兩點P（1，1）和Q(1+Δx,1+Δy)作曲線的割線，求出當Δx=0.1時割線的斜率.【參考答案】 1.D 解析：分別寫出x＝x0和x＝x0＋Δx對應的函數值f(x0)和f(x0＋Δx)，兩式相減，就得到了函數值的改變量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，故應選D.2.B

【作業布置】

1、復習本節課所講內容

2、預習下一節課內容

3、課本 P.10習題1.1 A組1,2,3,4.課堂小結

1、函數的平均變化率

2、求函數的平均變化率的步驟:（1）求函數的增量Δy=f(x2)-f(x1)（2）計算平均變化率

3、求物體運動的瞬時速度：（1）求位移增量Δs=s(t+Δt)-s(t)（2）求平均速度

（3）求極限

4、由導數的定義可得求導數的一般步驟：（1）求函數的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0)（2）求平均變化率

（3）求極限

課后習題

課本 P10習題1.1 A組1,2,3,4.板書

第五篇：1.1變化率與導數 教學設計 教案

教學準備

1.教學目標

知道了物體的運動規律，用極限來定義物體的瞬時速度，學會求物體的瞬時速度掌握導數的定義.2.教學重點/難點

【教學重點】：

理解掌握物體的瞬時速度的意義和導數的定義.【教學難點】：

理解掌握物體的瞬時速度的意義和導數的定義.3.教學用具

多媒體

4.標簽

變化率與導數

教學過程

課堂小結

課后習題