2019-2020學年市一中高考模擬卷（三）數學試題

一、單選題

1．設x∈R，則“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的()

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】根據不等式的性質，結合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．

【詳解】

解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x＜3，由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，即“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要條件，故選：A．

【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．

2．已知集合，則有（）

A．

B．ü

C．

D．

【答案】B

【解析】根據兩個集合分別表示的平面區域分析可得答案.【詳解】

因為表示四個頂點分別為的正方形圍成的區域(包括邊界),而表示的圓心為原點,半徑為1的圓圍成的區域(包括邊界),所以ü.故選:B

【點睛】

本題考查了集合之間的真子集關系,屬于基礎題.3．將向量=(，)，=(，)，…=(,)組成的系列稱為向量列{}，并定義向量列{}的前項和．如果一個向量列從第二項起,每一項與前一項的差都等于同一個向量，那么稱這樣的向量列為等差向量列。若向量列{}是等差向量列，那么下述四個向量中，與一定平行的向量是

（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】依題意，當

為等差向量列時，設每一項與前一項的差都等于，則可求出通項公式，所以前21項和，故與

平行的向量是，選B.點睛:

本題主要考查新定義:

等差向量列的理解和應用,屬于中檔題.解題思路：設每一項與前一項的差都等于，運用類似等差數列的通項和求和公式，計算可得，由向量共線定理，可得出結論.考查類比的數學思想方法和向量共線定理的運用.4．設集合A＝[0，)，B＝[，1]，函數，若x0∈A，且f[f(x0)]∈A，則x0的取值范圍是()

A．(0，]

B．(，)

C．(，]

D．[0，]

【答案】B

【解析】【詳解】

∵x0∈A，∴f(x0)＝x0＋∈B.∴f[f(x0)]＝f(x0＋)＝2(1－x0－)＝1－2x0.又因為f[f(x0)]∈A，∴0≤1－2x0<，解得

5．函數的最小正周期___________.【答案】

【解析】利用兩角和的正弦公式化簡函數表達式，由此求得函數的最小正周期.【詳解】

依題意，故函數的周期.故填：.【點睛】

本小題主要考查兩角和的正弦公式，考查三角函數最小正周期的求法，屬于基礎題.6．若函數，則其反函數_________.【答案】,【解析】計算二階行列式化簡,再根據求反函數的步驟可求得反函數.【詳解】

因為,因為,所以,所以由得,所以,交換可得,所以，故答案為:,.【點睛】

本題考查了二階行列式的計算,反函數的求法,屬于基礎題.7．在的展開式中，的系數為

.【答案】

【解析】展開式的通項為，由得，所以，所以該項系數為.【考點】二項式定理及二項展開式的通項.8．過原點且與圓相切的直線方程為_______.【答案】

【解析】切線的斜率顯然存在,設出切線方程,利用圓心到直線的距離等于半徑,列方程可解得答案.【詳解】

由得,所以圓心為,半徑為,因為圓心到軸的距離為2,所以所求切線的斜率一定存在,所以設所求切線方程為,即,依題意得,解得,所以所求切線方程為.故答案為:.【點睛】

本題考查了求圓的切線方程,屬于基礎題.9．我國古代數學名著《九章算術》有“米谷粒分”題：糧倉開倉放糧，有人送來米石，驗得米內夾谷，抽樣取米一把，數得粒內夾谷粒，則這批米內夾谷約為__________石；（結果四舍五入，精確到各位）．

【答案】169

【解析】根據古典概型概率公式可得這批米內夾谷的概率約為，所以這批米內夾谷約為石，故答案為.10．拋物線x2=2py（p＞0）的焦點為F，其準線與雙曲線-=1相交于A，B兩點，若△ABF為等邊三角形，則p=___________.【答案】6

【解析】因為拋物線x2=2py的準線和雙曲線-=1相交交點橫坐標為

【考點】本題主要考查拋物線的概念、標準方程、幾何性質，考查分析問題解決問題的能力.11．若復數（x，i為虛數單位）滿足，則的最小值為_______.【答案】6

【解析】根據復數模的計算公式將化為,將其代入到后,利用基本不等式可求得答案.【詳解】

由得,化簡得,即,所以,當且僅當時等號成立.故答案為:6

【點睛】

本題考查了復數的模的公式,基本不等式求最小值,屬于基礎題.12．一個等差數列中，是一個與無關的常數，則此常數的集合為

．

【答案】

【解析】試題分析：設數列的首項為，公差為，是一個與無關的常數或，所以比值常數為

【考點】等差數列通項公式

13．已知直三棱柱的6個頂點都在球O的球面上，若，，則球的表面積為______.【答案】

【解析】把直三棱柱的補成一個長方體，則直三棱柱的外接球和長方體的外接球是同一個球，由長方體的對角線長等于球的直徑，求得球的半徑，再利用球的表面積公式，即可求解．

【詳解】

由題意，直三棱柱的底面為直角三角形，可把直三棱柱的補成一個長方體，則直三棱柱的外接球和長方體的外接球是同一個球，又由長方體的對角線長等于球的直徑，且，即，即，所以球的表面積為．

故答案為：

【點睛】

本題主要考查了直三棱柱與球的組合體問題，以及球的表面積的計算，其中解答中根據組合體的結構特征，求得球的半徑是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題．

14．新一季“中國好聲音”開唱，開場節目是四位導師各選一首自己的代表作供其他導師演唱，每人恰好都是唱別人的歌.假設四首歌已選定，則有______種不同演唱方式.【答案】9

【解析】將問題轉化為四個元素填四個空的全錯位排列后,再按照元素1的位置分3類討論計算結果相加即可得到.【詳解】

將四位導師抽象為四個元素,設為1,2,3,4,四首歌抽象為四個空位,設為1,2,3,4,依題意轉化為四個元素填四個空的全錯位排列,第一類:元素1填在2號空位,則元素2有3種填法,元素3,4填法唯一,此時共有3種填法;

第二類,元素1填在3號空位,則元素3有3種填法,元素2,4填法唯一,此時共有3種填法;

第三類,元素1填在4號空位,則元素4有3種填法,元素2,3填法唯一,此時共有3種填法;

根據分類計算原理可得共有3+3+3=9種填法.綜上所述,共有9種不同的演唱方式.故答案為:9

【點睛】

本題考查了有限制條件的排列問題,屬于中檔題.15．若函數的圖象關于點成中心對稱，則______.【答案】3

【解析】在函數的圖象上取兩點，求出它們關于點對稱的點,后,代入,解方程組可得答案.【詳解】

在函數的圖象上取兩點，則它們關于點對稱的點,也在函數的圖象上,即,即,解得,所以.故答案為:3

【點睛】

本題考查了函數圖象的對稱中心的性質,屬于基礎題.16．在平面直角坐標系中，是坐標原點，兩定點滿足，由點集所表示的區域的面積是__________．

【答案】4

【解析】【詳解】

由||＝||＝·＝2，知cos∠AOB＝，又0≤∠AOB≤π，則∠AOB＝，又A，B是兩定點，可設A(，1)，B(0,2)，P(x，y)，由＝λ＋μ，可得?.因為|λ|＋|μ|≤1，所以＋≤1，等價于

由可行域可得S0＝×2×＝，所以由對稱性可知點P所表示的區域面積S＝4S0＝4

三、解答題

17．已知，.（1）若，求的值；

（2）在（1）的條件下，若，求sinβ的值.【答案】(1),(2)

【解析】(1)由可得,再由萬能公式可得的值,(2)利用可得答案.【詳解】

(1)因為,所以,即,所以.(2)由(1)知，且,所以,所以,所以，又,所以,所以,所以

.【點睛】

本題考查了向量平行的坐標表示,二倍角的正弦公式,同角公式,兩角差的正弦公式,屬于基礎題.18．如圖，正四棱錐內接于圓錐，圓錐的軸截面是邊長為10cm的正三角形.（1）求異面直線PA與BC所成角的大小；

（2）若正四棱錐由圓錐削去一部分得到，則需要削去部分的體積為多少？（精確到）

【答案】(1),(2).【解析】(1)根據可知,就是異面直線PA與BC所成的角,在三角形中由余弦定理可求得,(2)用圓錐的體積減去正四棱錐的體積即可得到答案.【詳解】

(1)在正四棱錐中，所以就是異面直線PA與BC所成的角,在正方形中，所以,在三角形中，所以,所以,所以異面直線PA與BC所成角的大小為.(2)在直角三角形中，所以圓錐的體積,正四棱錐的體積,所以需要削去部分的體積為.所以需要削去部分的體積約為.【點睛】

本題考查了正四棱錐的結構特征,異面直線所成角,椎體的體積公式,屬于中檔題.19．首項為的無窮等比數列所有項的和為1，為的前n項和，又，常數，數列滿足.（1）求數列的通項公式；

（2）若是遞減數列，求t的最小值.【答案】(1),(2)1

【解析】(1)根據無窮等比數列所有項的和為1,求出公比,再根據等比數列的通項公式可得;

(2)求出后代入可得，然后根據數列遞減可得恒成立,由不等式恒成立可得答案.【詳解】

(1)設無窮等比數列的公比為,則,所以,解得,所以,(2)因為,所以,所以,所以,因為是遞減數列,所以

恒成立,所以恒成立,所以恒成立,因為為遞減函數,所以時,取得最大值,所以,又因為,所以的最小值為1.【點睛】

本題考查了無窮等比數列的和,等比數列的通項公式和前項和,數列的單調性,屬于中檔題.20．設S、T是R的兩個非空子集，如果函數滿足：①；②對任意，當時，恒有，那么稱函數為集合S到集合T的“保序同構函數”.（1）試寫出集合到集合R的一個“保序同構函數”；

（2）求證：不存在從集合Z到集合Q的“保序同構函數”；

（3）已知是集合到集合的“保序同構函數”，求s和t的最大值.【答案】(1),(2)證明見解析,(3)的最大值為1,的最大值為

【解析】(1)直接由題意寫出即可;

(2)用反證法證明即可;

(3)用定義證明在上遞增,在上遞減后,可得,.【詳解】

(1)取,該函數是集合到集合R的一個“保序同構函數”;

證明:任取,則,因為在上為增函數,所以,即,由定義可知,函數是集合到集合R的一個“保序同構函數”.(2)證明:假設存在一個從集合到集合的“保序同構函數”,由“保序同構函數”的定義可知,集合和集合中的元素必須是一一對應的,不妨設整數0和1在中的像分別為和,根據保序性,因為0<1,所以,又也是有理數,但是沒有確定的原像,因為0和1之間沒有另外的整數了,故假設不成立,故不存在從集合Z到集合Q的“保序同構函數”.(3)設,則,所以當時，所以,即,所以在上遞增,當時，所以,即,所以在上遞減,因為是集合到集合的“保序同構函數”,所以在上遞增,所以,所以的最大值為1,的最大值為.【點睛】

本題考查了正切函數的單調性,函數單調性的定義,利用單調性求函數的最值,屬于難題.