第五章

力學量隨時間的變化與對稱性

5.1）設力學量不顯含，為本體系的Hamilton量，證明

證.若力學量不顯含，則有,令

則,5.2）設力學量不顯含，證明束縛定態，證：束縛定態為:：。

在束縛定態，有。

其復共軛為。

5.3）表示沿方向平移距離算符.證明下列形式波函數（Bloch波函數）,是的本征態，相應的本征值為

證：,證畢。

5.4）設表示的本征態（本征值為），證明

是角動量沿空間方向的分量的本征態。

證：算符相當于將體系繞軸轉角，算符相當于將體系繞軸轉角，原為的本征態，本征值為，經過兩次轉動，固定于體系的坐標系（即隨體系一起轉動的坐標系）的軸（開始時和實驗室軸重合）已轉到實驗室坐標系的方向，即方向，變成了，即變成了的本征態。本征值是狀態的物理屬性，不受坐標變換的影響，故仍為。（還有解法二，參

錢..《剖析》.P327）

5.5）設Hamilton量。證明下列求和規則。

是的一個分量，是對一切定態求和，是相應于態的能量本征值。

證：

（）

又。

不難得出，對于分量，亦有同樣的結論，證畢。

5.6）設為厄米算符，證明能量表象中求和規則為

（1）

證：式（1）左端

（2）

計算中用到了公式。

由于是厄米算符，有下列算符關系：

（3）

式（2）取共軛，得到

（4）

結合式（2）和（4），得

證畢。

5.7）證明schr?dinger方程變換在Galileo變換下的不變性，即設慣性參照系的速度相對于慣性參照系運動（沿軸方向），空間任何一點

兩個參照系中的坐標滿足下列關系：。

（1）

勢能在兩個參照系中的表示式有下列關系

（2）

證明schr?dinger方程在參照系中表為

在參照系中表為

其中

證：由波函數的統計解釋，和的意義完全相同。，是時刻在點找到粒子的幾率密度；，是時刻在點找到粒子的幾率密度。

但是在給定時刻，給定地點發現粒子的幾率應與參照系的選擇無關，所以相應的幾率應相等，即

（6）

從（1）式有

（6’）

由此可以得出，和兩個波函數彼此只應差絕對值為1的相因子，所以

（7）

（7）

由（1）式，，（3）式變為：

（8）

將（7’）代入（8）式，可得

（9）

選擇適當的，使得（9）（4）。

（10）

（10’）

從（10）可得。

（11）

是的任意函數，將（11）代入（10’），可得

積分，得。

為積分常數，但時，系和系重合，應等于，即應等于，故應取，從而得到

（12）

代入（7’）式，最后得到波函數的變換規律：

（13）

逆變換為

（13’）

相當于式（13）中的，帶的量和不帶的量互換。

討論：的函數形式也可用下法求出：

因和勢能無關，所以只需要比較平面波（自由粒子）在和系中的表現形式，即可確定.沿方向運動的自由粒子，在伽利略變換下，動量、能量的變換關系為

（14）

據此，系和系中相應的平面波波函數為，（15）

（1）、（14）代入（15），即得

此即（13）式，由于這個變換關系僅取決于和系的相對速度，而與粒子的動量無關，所以上式適用于任何自由粒子。它正是所求的變換關系。