第二章

波函數(shù)與Schr?dinger方程

2.1設(shè)質(zhì)量為的粒子在勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)。

（a）證明粒子的能量平均值為，（能量密度）

（b）證明能量守恒公式

（能流密度）

證：（a）粒子的能量平均值為（設(shè)已歸一化）

（1）

（勢(shì)能平均值）

（2）

其中的第一項(xiàng)可化為面積分，而在無(wú)窮遠(yuǎn)處歸一化的波函數(shù)必然為。因此

（3）

結(jié)合式（1）、（2）和（3），可知能量密度

（4）

且能量平均值。

（b）由（4）式，得

（：幾率密度）

（定態(tài)波函數(shù)，幾率密度不隨時(shí)間改變）

所以。

2.2考慮單粒子的Schr?dinger方程

（1）

與為實(shí)函數(shù)。

（a）證明粒子的幾率（粒子數(shù)）不守恒。

（b）證明粒子在空間體積內(nèi)的幾率隨時(shí)間的變化為

證：（a）式（1）取復(fù)共軛，得

（2）

（1）-（2）,得

（3）

即，此即幾率不守恒的微分表達(dá)式。

（b）式（3）對(duì)空間體積積分，得

上式右邊第一項(xiàng)代表單位時(shí)間內(nèi)粒子經(jīng)過(guò)表面進(jìn)入體積的幾率（），而第二項(xiàng)代表體積中“產(chǎn)生”的幾率，這一項(xiàng)表征幾率（或粒子數(shù)）不守恒。

2.3

設(shè)和是Schr?dinger方程的兩個(gè)解，證明。

證：

（1）

（2）

取（1）之復(fù)共軛：

（3）

（3）（2）,得

對(duì)全空間積分：，（無(wú)窮遠(yuǎn)邊界面上，）

即。

2.4）設(shè)一維自由粒子的初態(tài)，求。

解：

2.5

設(shè)一維自由粒子的初態(tài)，求。

提示：利用積分公式

或。

解：作Fourier變換：，（）

（指數(shù)配方）

令，則。

2.6

設(shè)一維自由粒子的初態(tài)為，證明在足夠長(zhǎng)時(shí)間后，式中

是的Fourier變換。

提示：利用。

證：根據(jù)平面波的時(shí)間變化規(guī)律，任意時(shí)刻的波函數(shù)為

（1）

當(dāng)時(shí)間足夠長(zhǎng)后（所謂），上式被積函數(shù)中的指數(shù)函數(shù)具有函數(shù)的性質(zhì)，取，（2）

參照本題的解題提示，即得

（3）

（4）

物理意義：在足夠長(zhǎng)時(shí)間后，各不同k值的分波已經(jīng)互相分離，波群在處的主要成分為，即，強(qiáng)度，因子描述整個(gè)波包的擴(kuò)散，波包強(qiáng)度。

設(shè)整個(gè)波包中最強(qiáng)的動(dòng)量成分為，即時(shí)最大，由（4）式可見(jiàn)，當(dāng)足夠大以后，的最大值出現(xiàn)在處，即處，這表明波包中心處波群的主要成分為。

2.7

寫出動(dòng)量表象中的不含時(shí)Schr?dinger方程。

解：經(jīng)典能量方程。

在動(dòng)量表象中，只要作變換，所以在動(dòng)量表象中，Schr?dinger為：。