第三章一維定態問題

3.1）設粒子處在二維無限深勢阱中，求粒子的能量本征值和本征波函數。如，能級的簡并度如何？

解：能量的本征值和本征函數為

若，則

這時，若，則能級不簡并;若，則能級一般是二度簡并的（有偶然簡并情況，如與）

3.2）設粒子限制在矩形匣子中運動，即

求粒子的能量本征值和本征波函數。如，討論能級的簡并度。

解：能量本征值和本征波函數為,當時，時，能級不簡并；

三者中有二者相等，而第三者不等時，能級一般為三重簡并的。

三者皆不相等時，能級一般為6度簡并的。

如

3.3）設粒子處在一維無限深方勢阱中，證明處于定態的粒子

討論的情況，并于經典力學計算結果相比較。

證：設粒子處于第n個本征態，其本征函數

.（1）

（2）

在經典情況下，在區間粒子除與阱壁碰撞（設碰撞時間不計，且為彈性碰撞，即粒子碰撞后僅運動方向改變，但動能、速度不變）外，來回作勻速運動，因此粒子處于范圍的幾率為，故，（3），（4）

當時，量子力學的結果與經典力學結果一致。

3.4）設粒子處在一維無限深方勢阱中，處于基態，求粒子的動量分布。

解：基態波函數為,（參P57，（12））

動量的幾率分布

3.5）設粒子處于半壁高的勢場中

（1）

求粒子的能量本征值。求至少存在一條束縛能級的體積。

解：分區域寫出:

（2）

其中

（3）

方程的解為

（4）

根據對波函數的有限性要求，當時，有限，則

當時，則

于是

（5）

在處，波函數及其一級導數連續，得

（6）

上兩方程相比，得

（7）

即

（7’）

若令

（8）

則由（7）和（3），我們將得到兩個方程：

（10）式是以為半徑的圓。對于束縛態來說，結合（3）、（8）式可知，和都大于零。（10）式表達的圓與曲線在第一象限的交點可決定束縛態能級。當，即，亦即

（11）

時，至少存在一個束縛態能級。這是對粒子質量，位阱深度和寬度的一個限制。

3—6）求不對稱勢阱中粒子的能量本征值。

解：僅討論分立能級的情況，即，當時，故有

由在、處的連續條件，得

（1）

由（1a）可得

（2）

由于皆為正值，故由（1b），知為二，四象限的角。

因而

（3）

又由（1），余切函數的周期為，故由(2)式，(4)

由(3)，得

(5)

結合(4),(5)，得

或

（6）

一般而言，給定一個值，有一個解，相當于有一個能級：

（7）

當時，僅當

才有束縛態，故給定時，僅當

（8）

時才有束縛態（若，則無論和的值如何，至少總有一個能級）

當給定時，由(7)式可求出個能級（若有個能級的話）。相應的波函數為:

其中

3—7）設粒子（能量）從左入射，碰到下列勢阱（圖），求阱壁處的反射系數。

解：勢阱為

在區域Ⅰ上有入射波與反射波，在區域Ⅱ上僅有透射波。故

由，得。

由，得。

從上二式消去c,得。

反射系數

將代入運算，可得

3—8）利用Hermite多項式的遞推關系（附錄A3。式（11）），證明

諧振子波函數滿足下列關系

并由此證明，在態下，證：諧振子波函數

（1）

其中，歸一化常數

（2）的遞推關系為

（3）

3—9）利用Hermite多項式的求導公式。證明（參A3.式（12））

證：A3.式（12）：

3—10）諧振子處于態下，計算，解：由題3—6），由題3—7），對于基態，剛好是測不準關系所規定的下限。

3—11）荷電q的諧振子，受到外電場的作用，（1）

求能量本征值和本征函數。

解：

（2）的本征函數為，本征值

現將的本征值記為，本癥函數記為。

式（1）的勢能項可以寫成其中

（3）

如作坐標平移，令

（4）

由于

（5）

可表成（6）

（6）式中的與（2）式中的相比較，易見和的差別在于變量由換成，并添加了常數項，由此可知

（7）

（8）

即

（9）

(10)

其中

(11)

3—12）設粒子在下列勢阱中運動，求粒子能級。

解：既然粒子不能穿入的區域，則對應的S.eq的本征函數必須在處為零。另一方面，在的區域，這些本征函數和諧振子的本征函數相同（因在這個區域，粒子的和諧振子的完全一樣，粒子的波函數和諧振子的波函數滿足同樣的S.eq）。振子的具有的奇宇稱波函數在處為零，因而這些波函數是這一問題的解（的偶宇稱波函數不滿足邊條件）所以

3—13）設粒子在下列勢阱中運動，(1)

是否存在束縛定態？求存在束縛定態的條件。

解：S.eq:

(2)

對于束縛態（），令

(3)

則

(4)

積分，得躍變的條件

(5)

在處，方程(4)化為

(6)

邊條件為

因此

(7)

再根據點連續條件及躍變條件(5)，分別得

(8)

(9)

由（8）（9）可得（以乘以（9）式，利用（8）式）

(10)

此即確定能級的公式。下列分析至少存在一條束縛態能級的條件。

當勢阱出現第一條能級時，所以,利用,（10）式化為,因此至少存在一條束縛態能級的條件為

（11）

純勢阱中存在唯一的束縛能級。當一側存在無限高勢壘時，由于排斥作用（表現為，對）。束縛態存在與否是要受到影響的。純勢阱的特征長度。

條件（11）可改寫為

（12）

即要求無限高勢壘離開勢阱較遠（）。才能保證勢阱中的束縛態能存在下去。顯然，當（即），時，左側無限高勢壘的影響可以完全忽略，此時，式（10）給出

即

（13）

與勢阱的結論完全相同。

令，則式（10）化為

（14）

由于，所以只當時，式（10）或（14）才有解。解出根之后，利用，即可求出能級

（15）