第一篇：高考數學復習 概率統計典型例題

高考數學復習概率統計典型例題

例1 下列命題：

(1)3，3，4，4，5，5，5的眾數是5；

(2)3，3，4，4，5，5，5的中位數是4.5；

(3)頻率分布直方圖中每一個小長方形的面積等于該組的頻率；

(4)頻率分布表中各小組的頻數之和等于1

以上各題中正確命題的個數是 [ ]．

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個

分析：回憶統計初步中眾數、中位數、頻數、頻率等概念，認真分析每個命題的真假．

解：(1)數據3，3，4，4，5，5，5中5出現次數最多3次，5是眾數，是真命題．

(2)數據3，3，4，4，5，5，5有七個數據，中間數據是4不是4.5，是假命題．

(3)由頻率分布直方圖中的結構知，是真命題．

(4)頻率分布表中各小組的頻數之和是這組數據的個數而不是1，是假命題．

所以正確命題的個數是2個，應選B．

例2 選擇題：

(1)甲、乙兩個樣本，甲的樣本方差是0.4，乙的樣本方差是0.2，那么 [ ]

A．甲的波動比乙的波動大；

B．乙的波動比甲的波動大；

C．甲、乙的波動大小一樣；

D．甲、乙的波動大小關系不能確定．

(2)在頻率直方圖中，每個小長方形的面積等于 [ ]

A．組距 B．組數

C．每小組的頻數 D．每小組的頻率

分析：用樣本方差來衡量一個樣本波動大小，樣本方差越大說明樣本的波動越大．

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解：(1)∵0.4＞0.2，∴甲的波動比乙的波動大，選A．

例3 為了了解中年人在科技隊伍中的比例，對某科研單位全體科技人員的年齡進行登記，結果如下(單位：歲)

44，40，31，38，43，45，56，45，46，42，55，41，44，46，52，39，46，47，36，50，47，54，50，39，30，48，48，52，39，46，44，41，49，53，64，49，49，61，48，47，59，55，51，67，60，56，65，59，45，28．

列出樣本的頻率分布表，繪出頻率分布直方圖．

解：按五個步驟進行：

(1)求數據最大值和最小值：

已知數據的最大值是67，最小值是28

∴最大值與最小值之差為67-28=39

(2)求組距與組數：

組距為5(歲)，分為8組．

(3)決定分點

(4)列頻分布表

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(5)繪頻率分布直方圖：

例4 某校抽檢64名學生的體重如下(單位：千克)．

列出樣本的頻率分布表，繪出頻率分布直方圖．

分析：對這組數據進行適當整理，一步步按規定步驟進行．

解：(1)計算最大值與最小值的差：48-29=19(千克)

(2)決定組距與組數

樣本容量是64，最大值與最小值的差是19千克，如果取組距為2千克，19÷2=9.5，分10組比較合適．

(3)決定分點，使分點比數據多取一位小數，第一組起點數定為28.5，其它分點見下表．

(4)列頻率分布表．

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(5)畫頻率分布直方圖(見圖3-1)

說明：

長方形的高與頻數成正比，如果設頻數為1的小長方形的高為h，頻數為4時，相應的小長方形的高就應該是4h．

例5 有一個容量為60的樣本，(60名學生的數學考試成績)，分組情況如下表：

(1)填出表中所剩的空格；

(2)畫出頻率分布直方圖．

分析：

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各組頻數之和為60

各組頻率之和為1

解：

因為各小組頻率之和=1

所以第4小組頻率=1-0.05-0.1-0.2-0.3=0.35

所以第4小組頻數=0.35×60=第5小組頻數=0.3×60=18

(2)

例6 某班學生一次數學考試成績的頻率分布直方圖，其中縱軸表示學生數，觀察圖形，回答：

(1)全班有多少學生？

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(2)此次考試平均成績大概是多少？

(3)不及格的人數有多少？占全班多大比例？

(4)如果80分以上的成績算優良，那么這個班的優良率是多少？

分析：根據直方圖的表示意義認真分析求解．

解：(1)29～39分1人，39～49分2人，49～59分3人，59～69分8人，69～79分10人，79～89分14人，89～99分6人．

共計 1+2+3+8+10+14+6=44(人)

(2)取中間值計算

(3)前三個小組中有1+2+3=6人不及格占全班比例為13.6%．

(4)優良的人數為14+6=20，20÷44=45.5%．

即優良率為45.5%．

說明：頻率分布表比較確切，但直方圖比較直觀，這里給出了直方圖，從圖也可以估計出一些數量的近似值，要學會認識圖形．

例7 回答下列問題：

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總是成立嗎？

(2)一組數據據的方差一定是正數嗎？

總是成立嗎？

(4)為什么全部頻率的累積等于1？

解：(1)證明恒等式的辦法之一，是變形，從較繁的一邊變到較簡單的一邊．這

可見，總是成立．

順水推舟，我們用類似的方法證明(3)；注意

那么有

(2)對任一組數x1，x2，?，xn，方差

這是因為自然數n＞0，而若干個實數的平方和為非負，那么S2是有可對等于0的

從而x1=x2=?=xn，就是說，除了由完全相同的數構成的數組以外，任何數組的方差定為正數．

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(4)設一個數組或樣本的容量為n，共分為m個組，其頻數分別為a1，a2，?，am，按規定，有

a1+a2+?+am=n，而各組的頻率分別a1／n，a2／n，?，am／n，因此，有

說明：在同一個問題里，我們處理了同一組數據x1，?，xn有關的兩個數組f1，f2，?，fk和a1，a2，?，am，前者是說：在這組數中，不同的只有k個，而每個出現的次數分別為f1，?，fk；后者則說明這組數所占的整個范圍被分成了m個等長的區間，出現在各個區間中的xi的個數分別為a1，?，am，可見，a1，?，an是f1，?fk的推廣，而前面說過的眾數，不過是其fi最大的那個數．

弄清研究數組x1，?，xn的有關數和概念間的聯系與區別，是很重要的．

例8 回答下列問題：

(1)什么是總體？個體？樣本？有哪些抽樣方法？

(2)反映樣本(或數據)數量水平的標志值有哪幾個？意義是什么？怎樣求？

(3)反映樣本(或數據)波動(偏差)大小的標志值有哪幾個？怎樣求？有什么區別？

(4)反映樣本(或數據)分布規律的數量指標和幾何對象是什么？獲得的一般步驟是什么？

解：這是一組概念題，我們簡略回答：

(1)在統計學里，把要考查對象的全體叫做總體；其中每個考查對象叫個體；從總體中抽出的一部分個體叫做總體的一個樣本；樣本中個體的數目，叫做樣本的容量．

應指出的是，這里的個體，是指反映某事物性質的數量指標，也就是數據，而不是事物本身，因此，總體的樣本，也都是數的集合．

抽樣方法通常有三種：隨機抽樣、系統抽樣和分層抽樣三種，基本原則是：力求排除主觀因素的影響，使樣本具有較強的代表性．

(2)反映樣本(或數據)數量水平或集中趨勢的標志值有三個，即平均數、眾數和中位數．

有時寫成代換形式；

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有時寫成加權平均的形式：

其中，又有總體平均數(總體中所有個體的平均數)和樣本平均數(樣本中所有個體的平均數)兩種，通常，我們是用樣本平均數去估計總體平均數．且一般說來，樣本容量越大，對總體的估計也就越精確．

(ii)眾數，就是在一組數據中，出現次數最多的數．通常采用爬山法或計票畫“正”法去尋找．(爬山法是：看第一個數出現次數，再看第二、三、??有出現次數比它多的，有，則“爬到”這個數，再往后看??)．

(iii)中位數是當把數據按大小順序排列時，居于中間位置的一個數或兩個數的平均，它與數據的排列順序有關．

此外，還有去尾平均(去掉一個最高和一個最低的，然后平均)、總和等，也能反映總體水平．

(3)反映樣本(數據)偏差或波動大小的標志值有兩個：

(ii)標準差：一組數據方差的平方根：

標準差有兩個優點，一是其度量單位與原數據一致；二是緩解S2過大或過小的現象．方差也可用代換式簡化計算：

(4)反映數據分布規律的是頻率分布和它的直方圖，一般步驟是：

(i)計算極差=最大數-最小數；

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(iii)決定分點(可用比數據多一位小數的辦法)；

(v)畫頻率分布直方圖．

其中，分布表比較確切，直方圖比較直觀．

說明：此例很“大”，但是必要的，因為，當前大多數的中考題，很重視基本內容的表述，通過“填空”和“選擇”加以考查，我們要予以扎實．而更為重要的，這些概念和方法，正是通過偶然認識必然，通過無序把握有序，通過部分估計整體的統計思想在數學中的實現．

用心 愛心 專心

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第二篇：工程數學(線性代數與概率統計)第三章典型例題分析

第三章

例1 設A為n階方陣，若存在正整數k和向量?，使Ak??0，且Ak?1??0.證明：向量組?,A?,?,Ak?1?線性無關.證明：（利用線性無關定義證明）假設有常數?1,?2,?,?k，使得

k?1????A????A??0（1）12k將（1）兩邊左乘Ak?1，可得

?1Ak?1???2Ak????kA2k?2??0

由已知條件A??0，可知上式從第二項全等于零，所以?1A又由條件Ak?1kk?1??0，??0，所以?1?0.類似地，將（1）兩邊左乘Ak?2，可得?2?0；

k?1類似地可證得?3??4????k?0，所以向量組?,A?,?,A?線性無關.例2 設向量組?1,?2,?3線性相關，向量組?2,?3,?4線性無關，問：

（1）?1能否由?2,?3線性表示？證明你的結論;（2）?4能否由?1,?2,?3線性表示？證明你的結論.解：（1）?1能由?2,?3線性表示.證明：由于向量組?2,?3,?4線性無關，那么其部分組?2,?3也線性無關。又由已知條件有?1,?2,?3線性相關，故?1能由?2,?3線性表示.(2)?4不能由?1,?2,?3線性表示.證明:假設?4能由?1,?2,?3線性表示,即存在不全為零的常數?1,?2,?3,使得

?4??1?1??2?2??3?3

由(1)的結論,我們可以設?1?k2?2?k3?3,代入上式,可得

?4?(?2??1k2)?2?(?3??1k3)?3

即?4可由?2,?3線性表示,從而?2,?3,?4線性相關,與已知條件矛盾.因此假設不成立, ?4不能由?1,?2,?3線性表示.例3 設兩向量組

(1)?1??1,2,?3?,?2??3,0,1?,?3??9,6,?7?(2)?1??0,1,1?,?2??a,2,1?,?3??b,1,0? TTTTTT已知兩向量組的秩相等,且?3能由?1,?2,?3線性表示,求a,b.解:令A?(?1,?2,?3),B?(?1,?2,?3)

由于矩陣A已知，可以先對A進行初等變換求秩.??139??????????139??139??????????2r1?r2?5????0?6?12?A??206?0?6?12r?r??323??3r?r??31?7?13?01020??00?0??????因此r(A)?2,且?1,?2為(1)的一個極大無關組.由已知條件兩向量組的秩相等,所以r(B)?2,從而B?0,即

0B?11所以aa21b1?a?b?0 03?b.又由條件?能由?,?,?線性表示而?1,?2為(1)的一

123個極大無關組.所以?3能由?1,?2線性表示,則?1?2?3?0,即

?13b???2b?10?0?1?2?3??201,解得 ????310???b?5,所以有a?b?5.例4 求向量組?1??1,?1,1,3?,?2???1,3,5,1?,TTTT?3???2,6,10,a?,?4??4,?1,6,10?, ?5??3,?2,1,c?的秩和一個極大無關組.解:對以?1,?2,?3,?4,?5為列構成的矩陣A,做初等變換

T?1??1A???1??3?1?1??02??00??00?1?2351?240a?2610a3??1?1?2???0??6?1??0??10c??043??13?1???0???7?7??0???8c?11??04?1264?1200?2412?240432431a?6?2a?203?1???4??c?9? 3??1???B1??c?3?當a=2且c=3時, r(B)?3,B中第1、2、4列線性無關，此時向量組的秩為3，?1,?2,?4是一個極大無關組；

當a?2時，r(B)?4，B中第1、2、3、4列線性無關，此時向量組的秩為4，?1,?2,?3,?4是一個極大無關組；

當c?3，r(B)?4，B中第1、2、4、5列線性無關此時向量組的秩為4，?1,?2,?4,?5是一個極大無關組.例5設向量組（1）?1,?2,?3,?4的秩為3；向量組（2）?1,?2,?3,?5的秩為4，證明:向量組?1,?2,?3,?5??4的秩為4.證明：（要證明?1,?2,?3,?5??4的秩為4，可通過證明?1,?2,?3,?5??4線性無關來得到想要的結論）

由向量組（2）的秩為4，可知?1,?2,?3線性無關，又由向量組（1）?1,?2,?3,?4的秩為

3，可知?1,?2,?3,?4線性相關，從而?4可由?1,?2,?3線性表示，即存在不全為零的常數l1,l2,l3，使得?4?l1?1?l2?2?l3?3，不妨設k1?1?k2?2?k3?3?k4(?5??4)?0，將?4代入，可得

(k1?k4l1)?1?(k2?k4l2)?2?(k3?k4l3)?3?k4?5?0

由于?1,?2,?3,?5線性無關，所以

?k1?k4l1?0?k?kl?0?242?k1?k2?k3?k4?0? ?k3?k4l3?0??k4?0故?1,?2,?3,?5??4線性無關，從而該向量組的秩為4.例6 設向量組?1,?2,?,?m(m?1)的秩為?1,?2,?,?m的秩為r

r，?1??2??3????m，?2??1??3????m，?，?m??1??2????m?1，證明向量組

證明:(由推論等價的向量組有相同的秩，此題只需證明兩個向量組等價即可)由已知?1,?2,?,?m可由?1,?2,?,?m線性表示，且有下式成立

?1??2????m?(m?1)(?1??2????m)

從而?i??i??1??2????m?于是有?i?1(?1??2????m)，m?11(?1??2????m)??i，即?1,?2,?,?m也可由m?1?1,?2,?,?m，故向量組?1,?2,?,?m與向量組?1,?2,?,?m等價，從而他們的秩相等，從而向量組?1,?2,?,?m的秩為r.

第三篇：高等數學概率統計基礎部分典型例題解析

高等數學（2）概率統計基礎部分典型例題解析

第1章 隨機事件與概率

例1 填空題

（1）設A與B是兩個事件，則P(A)?P(AB)+。

（2）若P(A)?0.4,P(AB)?0.3，則P(A?B)?。

（3）設A,B互不相容，且P(A)?0，則P(BA)?

。解：（1）因為 A?AB?AB，且AB與AB互斥 所以 P(A)?P(AB)+P(AB)應該填寫： P(AB)（2）因為 A?AB?AB，P(AB)?P(A)?P(AB)?0.4?0.3?0.1

P(B)?P(AB)?P(AB)?0.1?0.3?0.4

所以

P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.4?0.4?0.1?0.7 應該填寫：0.7（3）因為A,B互不相容，即P(AB)?0 所以 P(BA)?應該填寫： 0

例2 單項選擇題

（1）事件A?B又可表示為（）.A.AB

B.AB

C.A?AB

D.AB?AB

（2）擲兩顆均勻的骰子，事件“點數之和為3”的概率是（）A.***P(AB)P(A)?0

B.C.D.（3）若等式（）成立，則事件A,B相互獨立。

A.P(A?B)?P(A)?P(B)

B.P(AB)?P(A)P(BA)

C.P(B)?P(BA)

D.P(A)?1?P(B)

（4）設A與B是相互獨立的兩個事件，且P(A)?A.1212,P(B)?13，則P(A?B)?（）

B.56

C.23

D.34

解：（1）依定義，事件A?B表示A發生但B不發生，因此A?B也可以表示為A?AB.應該選擇：C（2）基本事件總數為36，點數之和為3的事件有（1，2）和（2，1），即事件數為2，故“點數之和為3”的概率是

236?118。

應該選擇：B（3）因為當式子P(B)?P(BA)時，由乘法公式P(AB)?P(A)P(BA)，得

P(AB)?P(A)P(B)

所以事件A,B相互獨立。應該選擇：C（4）因為A與B是相互獨立，所以由加法公式

P(A?B)?P(A)?P(B)?12?13?56。

應該選擇：B 例3 A,B為兩事件，已知P(A)?P(A?B)，P(AB)。

12,P(B)?13,P(BA)?12，求P(AB)，解 P(AB)?P(A)P(BA)?12?12?1412

?13?14?712P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?

1P(AB)?P(AB)3?4? 1P(B)43例4 已知兩個事件A，B相互獨立，且已知P(A)?0.6，P(B)?0.3，求P(A?B)． 解

由P(B)?0.3，得 P(B)?1?P(B)?1?0.3?0.7

所以 P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)

?P(A)?P(B)?P(A)P(B)

?0.6?0.7?0.6?0.7?0.88

例5 設P(A)?0.5，P(AB)?0.3，求P(BA)．

解

因為P(BA)?

P(AB)P(A)

A?A(B?B)?AB?AB

P(A)?P(AB)?P(AB)

P(AB)?P(A)?P(AB)

?0.5?0.3?0.2 P(AB)0.2所以 P(BA)???0.4

P(A)0.5

例6 某籃球運動員一次投籃投中籃框的概率為0.8，該運動員投籃4次，⑴ 求投中籃框不少于3次的概率； ⑵ 求至少投中籃框1次的概率。

解 設Ai?{第i次投中}的事件，i?1,2,3,4，P(Ai)?0.8，P(Ai)?0.2相互獨立（1）投中籃框不少于3次的事件可表為 A1A2A3A4?A1A2A3A4?A1A2A3A4?A1A2A3A4?A1A2A3A4

其概率為

P(A1A2A3A4?A1A2A3A4?A1A2A3A4?A1A2A3A4?A1A2A3A4)

=P(A1A2A3A4)?P(A1A2A3A4)?P(A1A2A3A4)?P(A1A2A3A4)?P(A1A2A3A4)=P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)

=(0.8)4?4?0.2?(0.8)3?0.8192（2）因為，投籃4次均未投中的概率為

P(A1A2A3A4)?(0.2)4?0.0016

所以，至少投中籃框1次的概率為

1?P(A1A2A3A4)?1?0.0016?0.9984

第四篇：應用統計典型例題

關于矩估計與極大似然估計的典型例題 例1，設總體X 具有分布律

23??1X~???22?(1??)(1??)2??

??其中0???1為未知參數。已經取得了樣本值x1?1,x2?2,x3?1，試求參數?的矩估計與極大似然估計。

解：（i）求矩估計量，列矩方程（只有一個未知參數）

E(X)??2?2?2?(1??)?3?(1??)2?3?2??X 43?3?X3?x53??? 得 ?矩?2226（ii）求極大似然估計，寫出似然函數，即樣本出現的概率

L(?)?P(X1?x1,X2?x2,X3?x3)

?P(X1?1,X2?2,X3?1)

?P(X1?1)?P(X2?2)?P(X3?1)??2?2?(1??)??2?2?5(1??)

對數似然

lnL(?)?ln2?5ln??ln(1??)

dlnL(?)51???0 d??1??得極大似然估計為

5??極? 6

例2，某種電子元件的壽命（以

h記）X服從雙參數指數分布，其概率密度為

?1?exp[?(x??)/?],x??f(x)???

?0,其他?其中?，??0均為未知參數，自一批這種零件中隨機抽取n件進行壽命試驗，xx,?,xn.設它們的失效時間分別為1,2（1）求（2）求?，?的最大似然估計量； ?，?的矩估計量。

n解：（1）似然函數，記樣本的聯合概率密度為

L(?，?)?f(x1,x2,?,xn;?，?)??f(xi)

i?1?n1??exp[?(xi??)/?],x1,x2,?,xn????i?1? ?0,其他?n?1?nexp(?(?xi?n?)/?),??x(1)???i?1 ?0,??x(1)?在求極大似然估計時，L(?，?)?0肯定不是最大值的似然函數值，不考

n慮這部分，只考慮另一部分。

取另一部分的對數似然函數

lnL(?,?)??nln??(?xi?n?)/?,??x(1)

i?1

n?xi?n????lnL(?,?)ni?1?????02????? ??lnL(?,?)n??0?????可知關于?，?的駐點不存在，但能判定單調性

?lnL(?,?)n??0知 由???lnL(?,?)??nln??(?xi?n?)/?,??x(1)，i?1n關于?是增函數，故

?極?x(1)??lnL(?,?)n???將之代入到????x?n?ii?1n?2?0中得

??極?x?x(1)

????x?則極(1)，極?x?x(1)一定能使得似然函數達到最大，故?，?的極大似然估計為

????極?x?x(1)? ???x??極(1)

（2）列矩方程組（兩個未知參數）

??1?E(X)??xexp[?(x??)/?]dx?????X?????n??2112222?E(X)?xexp[?(x??)/?]dx?(???)????Xi????ni?1?解出

n?12???(X?X)?矩?ini?1??1n??2??X?(X?X)?i?矩ni?1? 例3，設總體X~U[0,?]，其中??0為未知參數，X1,X2,?,Xn為來自總體X的一組簡單隨機樣本，12大似然估計。

解：似然函數，即樣本的聯合概率密度

nx,x,?,xn為樣本觀察值，求未知參數?的極

?1?n,0?x1,x2,?,xn??L(?)?f(x1,x2,?,xn;?)??f(xi)??? i?1??0,elseL(?)?0肯定不是最大值，考慮另一部分的最大值，取對數似然

lnL(?)??nln?,??x(n)

dlnL(?)n???0 d??知lnL(?)??nln?在??x(n)內是單調遞減的，故?的極大似然估計值為

取x(n)能使得似然函數達到最大，則???x，極大似然估計量為???X ?(n)(n)極極

第五篇：概率統計復習重點

概率統計復習重點：

1.全概率公式應用題。

練習題：有兩只口袋，甲袋裝有a只白球，b只黑球，乙袋中裝有n只白球，m只黑球，(1)從甲袋中任取1球放入乙袋，然后再從乙袋中任取1球，求最后從乙袋中取出的是白球的概率。

(2)從甲袋中任取2球放入乙袋，然后再從乙袋中任取1球，求最后從乙袋中取出的是白球的概率。

(3)從甲袋中任取3球放入乙袋，然后再從乙袋中任取1球，求最后從乙袋中取出的是白球的概率。

2.一個正態總體方差的區間估計。兩個正態總體的區間估計不考。

3.二維連續型隨機變量聯合概率密度函數及其性質，邊緣概率密度函數的求法，判斷兩個

隨機變量的獨立性。

4.已知二維連續型隨機變量的聯合概率密度函數，求兩個隨機變量的數學期望，協方差。5.6.7.8.一個正態總體均值的假設檢驗，方差未知。兩個正態總體的假設檢驗不考。切比雪夫不等式。會求兩隨機變量的函數的相關系數。樣本方差與樣本二階中心矩的關系。

9.常見分布如均勻分布、正態分布、泊松分布的數學期望和方差；數學期望與方差的性質。

10.條件概率公式、加法公式。

11.矩估計、無偏估計。

概率統計復習重點：

1.全概率公式應用題。

練習題：有兩只口袋，甲袋裝有a只白球，b只黑球，乙袋中裝有n只白球，m只黑球，(1)從甲袋中任取1球放入乙袋，然后再從乙袋中任取1球，求最后從乙袋中取出的是白球的概率。

(2)從甲袋中任取2球放入乙袋，然后再從乙袋中任取1球，求最后從乙袋中取出的是白球的概率。

(3)從甲袋中任取3球放入乙袋，然后再從乙袋中任取1球，求最后從乙袋中取出的是白球的概率。

2.一個正態總體方差的區間估計。兩個正態總體的區間估計不考。

3.二維連續型隨機變量聯合概率密度函數及其性質，邊緣概率密度函數的求法，判斷兩個

隨機變量的獨立性。

4.已知二維連續型隨機變量的聯合概率密度函數，求兩個隨機變量的數學期望，協方差。

5.一個正態總體均值的假設檢驗，方差未知。兩個正態總體的假設檢驗不考。

6.切比雪夫不等式。

7.會求兩隨機變量的函數的相關系數。

8.樣本方差與樣本二階中心矩的關系。

9.常見分布如均勻分布、正態分布、泊松分布的數學期望和方差；數學期望與方差的性質。

10.條件概率公式、加法公式。

11.矩估計、無偏估計。