第一篇：初中數學三角形優秀教案

愚公教育——北師大版——三角形精講知識點

第三章 三角形

第一節 認識三角形（1）

【學習目標】

1.認識三角形的定義及相關概念和表示方法 2.理解并能運用三角形的內角和定理.3.掌握三角形的分類.4.掌握直角三角形的表示方法及內角的性質.【學習方法】自主探究與小組合作交流相結合． 【學習過程】 模塊一 預習反饋

一、學習準備

1.觀察下面的屋頂框架

（1）你能從圖中找出四個不同的三角形嗎？（2）這些三角形有什么共同的特點？ 解：（1）能（2）都有 條邊，內角，個頂點。2.多邊形的概念：由若干條不在 上的線段 相連組成的封閉平面圖形。3.（1）什么叫做三角形？ 解：由不在同一直線上的 線段首尾 相接所組成的圖形叫做三角形。（2）如何表示三角形？

解：三角形可用符號“△”表示，如右圖三角形記作：

（3）三角形的邊可以怎么表示？

解：如圖三角形中三邊可表示為AB，BC，AC，頂點A所對的邊BC 也可表示為a，頂點B所對的邊 表示為b，頂點C所對的邊AB表示。4.如果我說三角形有三要素,你能猜出是哪三要素嗎? 解：角：三角形中有 個角：∠A，∠C 頂點：三角形中有 個頂點，頂點，頂點B，頂點 邊：三角形中三邊 AB，AC

二、教材精讀

1.你能用學過的知識解釋 “三角形的三個內角和是 180?”嗎？

1愚公教育——北師大版——三角形精講知識點

解：小明只撕下三角形的一個角，得到了結論，他是這樣做的：（1）如圖所示，剪一個三角形紙片，它的三個內角分別為∠1，∠3.將∠1撕下，按圖所示擺放，其中∠1的頂點與∠2的頂點重合，它的一條邊與∠2的一條 邊重合。由 相等可知∠1的另一邊b與∠3的一邊a平行。

將∠3與∠2的公共邊延長，它與b所夾的角為，由∠1的另一邊b與∠3的一邊a平行 可知∠3= 所以∠1+∠2+∠3=∠1+∠2+ =180?，即三角形內角和為。

2.下面的圖⑴、圖⑵、圖⑶中的三角形被遮住的兩個內角是什么角？請說明理由。

解：圖1，圖2露出的角分別是，由三角形三個內角和等于 可以得到被遮住的兩個角都是 ；當圖3露出的一個角是銳角時，另外兩個角有 可能，即 個銳角，、一直角，、一鈍角。歸納總結：按三角形內角的大小把三角形分為三類

三 角 三

三個內角都是銳角

角 形 有一個內角是 鈍角三角形 的 分 類

三 角 有一個內角是直角 模塊二 合作探究

1.如圖1，已知∠A=50°，求：∠1+∠2+∠3+∠4.解：在?ADE中

∵∠A+ +∠2=180?，∠A=50° ∴ +∠2=180°-∠A =180°-= 在?ABC中

∵∠A+ +∠3=180?，∠A=50° ∴ +∠4=180°-∠A =180°-= ∠1+∠2+∠3+∠4= + = 如圖2，已知AB∥CD，∠B=52°，∠AOB=72°，求∠OCD和∠ODE的度數。解：在?ABO中

∵∠B=52°，∠AOB=72°（已知）

且∠AOB+ +∠B=180°（三角形內角和為）

∴∠A=180°-∠AOB-∠B

2中

愚公教育——北師大版——三角形精講知識點

=180°--= ∵AB∥CD，∠B=52°（已知）∴∠OCD= =52°（）∠ADC=∠A=56°

又∵∠ADC+∠ADE=180°（）∴∠ADE=180°-=180°-56° = 模塊三 形成提升 1.如圖3，（1）圖中一共有_____個三角形，它們分別是________________；（2）以AB為邊的三角形共有_____個，它們分別是_________________；（3）以 ?A為內角的三角形有_____個，它們分別是_________________； 2.在⊿ABC中，∠A：∠B：∠C=7：3：5，求∠A、∠B、∠C的度數, 3.如圖4，AC∥DE, ∠EBD =64°,∠C=58°,∠Ａ=80°,求：∠E和∠EBA的度數。

模塊四 小結反思

本課知識

1.由不在同一直線上的 線段首尾 2.按三角形內角的大小把三角形分為： 3.三角形有三要素：、、二、我的困或：

相接所組成的圖形叫做三角形 三角形、三角形、三角形。

3愚公教育——北師大版——三角形精講知識點

第一節 認識三角形（2）

【學習目標】

1.了解等腰三角形和等邊三角形的概念 2.掌握并能運用三角形三邊的關系的性質.【學習方法】自主探究與小組合作交流相結合． 【學習重難點】三角形三邊關系的理解及運用 【學習過程】 模塊一 預習反饋 一學習準備

1.按三角形內角的大小把三角形分為：三個角都是銳角的是

有一個角是直角的是 有一個角是鈍角的事

2.圖3-11中有幾個三角形？將找到的三角形按角 解：銳角三角形：

直角三角形： 鈍角三角形：

三角形 三角形 三角形。

來分類。

二、教材精讀

1.觀察圖3-11中的三角形，你能發現他們各自的 什么關系？

解：三角形的三邊有的各不相等，有的兩邊相等，有的三邊相等。有 相等的三角形叫等腰三角形 有三邊都相等的三角形式 三角形，也叫正三角形 總結：三角形按邊分

邊上之間有

?

不等邊三角形:三邊都不相等的三角形 ? 三角形 普通等腰三角形

? ? 等腰三角形:有兩條邊相等的三角形? ? ? ?

等邊三角形

2.（1）任意畫一個三角形，量出它的三邊長度，并填空： a=______;b=_______;c=______（2）計算并比較：

a+b____c;b+c____a;c+a____b a-b____c;b-c____a;c-a____b（3）通過以上的計算你認為三角形的三邊存在怎樣的關系？

解：三角形兩邊之和 第三邊，4——三角形精講知識點

三角形兩邊之差 第三邊，（1）元宵節的晚上，房梁上亮起了彩燈，裝有黃色彩燈的電線與裝有紅色彩燈的電線 哪根長呢？說明你的理由。利用你發現的規律填空 AB+AC BC AB+BC AC AC+BC AB（2）任意兩邊之和大于第三邊。你知道為什么嗎？

________________________________________________ 歸納： 兩邊之和大于第三邊。兩邊之差小 邊。第三邊大于兩邊之 ,小于兩邊之。

于 第 三

模塊二 合作探究

1.有兩根長度分別為4cm和9cm的木棒，用長度為3cm的木棒與它們首尾相連能擺成三角形 嗎？為什么?用長度為13cm的木棒呢？如要找根木棒與與已知的兩根木棒首尾相連成一個三 角形,那么那根木棒的長度范圍是多少? 解：取長度為3cm的木棒時，由于 + =7<9，出現了兩邊之和 第三邊的情況，所以 它們不能擺成三角形。

取長度為13cm的木棒時，由于 + =13，出現了兩邊之和 第三邊的情況，所以它 們也不能擺成三角形。模塊三 形成提升

1.⊿ABC三邊分別為4，6，x，則x的取值范圍是（）

A、3? x ? 9 B、2 ? x ?10 C、4 ? x ? 6 D、2 ? x ?10 2.等腰三角形一邊長9cm，另一邊長4cm，則它的第三邊是_________ 3.已知三角形三邊滿足a>b>c且b=7,c=5,則a的取值范圍是_________.4.等腰三角形的兩邊長分別為5cm和2cm，第三邊為奇數，求第三邊長.5.已知一個三角形兩邊相等，周長為56cm，兩邊之比為3：2，求這個三角形各邊的長.

第二篇：初中數學三角形教案

初中數學三角形教案

初中數學三角形教案1

學習目標：

1、經歷探索直角三角形中邊角關系的過程。理解正切的意義和與現實生活的聯系。

2、能夠用tanA表示直角三角形中兩邊的比，表示生活中物體的傾斜程度、坡度等，外能夠用正切進行簡單的計算。

學習重點：

1、從現實情境中探索直角三角形的邊角關系。

2、理解正切、傾斜程度、坡度的數學意義，密切數學與生活的聯系。

學習難點：

理解正切的意義，并用它來表示兩邊的比。

學習方法：

引導—探索法。更多免費教案下載綠色圃中

學習過程：

一、生活中的數學問題：

1、你能比較兩個梯子哪個更陡嗎？你有哪些辦法？

2、生活問題數學化：

⑴如圖：梯子AB和EF哪個更陡？你是怎樣判斷的？

⑵以下三組中，梯子AB和EF哪個更陡？你是怎樣判斷的？

二、直角三角形的邊與角的關系（如圖，回答下列問題）

⑴Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么關系？

⑵有什么關系？

⑶如果改變B2在梯子上的位置（如B3C3）呢？

⑷由此你得出什么結論？

三、例題：

例1、如圖是甲，乙兩個自動扶梯，哪一個自動扶梯比較陡？

例2、在△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，AB=20cm，求tanA和tanB的值。

四、隨堂練習：

1、如圖，△ABC是等腰直角三角形，你能根據圖中所給數據求出tanC嗎？

2、如圖，某人從山腳下的點A走了200m后到達山頂的點B，已知點B到山腳的垂直距離為55m，求山的坡度。（結果精確到0。001）

3、若某人沿坡度i＝3：4的斜坡前進10米，則他所在的位置比原來的位置升高________米。

4、菱形的兩條對角線分別是16和12、較長的一條對角線與菱形的一邊的夾角為θ，則tanθ＝______、

5、如圖，Rt△ABC是一防洪堤背水坡的橫截面圖，斜坡AB的長為12 m，它的坡角為45°，為了提高該堤的防洪能力，現將背水坡改造成坡比為1：1。5的斜坡AD，求DB的長。（結果保留根號）

五、課后練習：

1、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=1，則tanA= _______、

2、在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，則tanA=_______、

3、在△ABC中，AB=AC=3，BC=4，則tanC=______、

4、在Rt△ABC中，∠C是直角，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，且a=24，c= 25，求tanA、tanB的.值。

5、若三角形三邊的比是25：24：7，求最小角的正切值。

6、如圖，在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，EC=1，tanB=，求菱形的邊長和四邊形AECD的周長。

7、已知：如圖，斜坡AB的傾斜角a，且tanα=，現有一小球從坡底A處以20cm/s的速度向坡頂B處移動，則小球以多大的速度向上升高？

8、探究：

⑴、a克糖水中有b克糖（a>b>0），則糖的質量與糖水質量的比為_______；若再添加c克糖（c>0），則糖的質量與糖水的質量的比為________、生活常識告訴我們：添加的糖完全溶解后，糖水會更甜，請根據所列式子及這個生活常識提煉出一個不等式：____________、

⑵、我們知道山坡的坡角越大，則坡越陡，聯想到課本中的結論：tanA的值越大，則坡越陡，我們會得到一個銳角逐漸變大時，它的正切值隨著這個角的變化而變化的規律，請你寫出這個規律：_____________、

⑶、如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=a，BC=b（a>b），延長BA、BC，使AE=CD=c，直線CA、DE交于點F，請運用（2）中得到的規律并根據以上提供的幾何模型證明你提煉出的不等式。

§1。1從梯子的傾斜程度談起（第二課時）

學習目標：

1、經歷探索直角三角形中邊角關系的過程，理解正弦和余弦的意義。

2、能夠運用sinA、cosA表示直角三角形兩邊的比。

3、能根據直角三角形中的邊角關系，進行簡單的計算。

4、理解銳角三角函數的意義。

學習重點：

1、理解銳角三角函數正弦、余弦的意義，并能舉例說明。

2、能用sinA、cosA表示直角三角形兩邊的比。

3、能根據直角三角形的邊角關系，進行簡單的計算。

學習難點：

用函數的觀點理解正弦、余弦和正切。

學習方法：

探索——交流法。

學習過程：

一、正弦、余弦及三角函數的定義

想一想：如圖

（1）直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么關系？

（2）有什么關系？呢？

（3）如果改變A2在梯子A1B上的位置呢？你由此可得出什么結論？

（4）如果改變梯子A1B的傾斜角的大小呢？你由此又可得出什么結論？

請討論后回答。

二、由圖討論梯子的傾斜程度與sinA和cosA的關系：

三、例題：

例1、如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC＝200、sinA＝0。6，求BC的長。

例2、做一做：

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA＝，AC＝10，AB等于多少？sinB呢？cosB、sinA呢？你還能得出類似例1的結論嗎？請用一般式表達。

四、隨堂練習：

1、在等腰三角形ABC中，AB=AC＝5，BC=6，求sinB，cosB，tanB、

2、在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC=20，求△ABC的周長和面積。

3、在△ABC中。∠C=90°，若tanA=

初中數學三角形教案2

教學目的

1、理解三角形、三角形的邊、頂點、內角、外角等概念。

2、會將三角形按角分類。

3、理解等腰三角形、等邊三角形的概念。

重點、難點

1、重點：三角形內角、外角、等腰三角形、等邊三角形等概念。

2、難點：三角形的外角。

教學過程

一、引入新課

在我們生活中幾乎隨時可以看見三角形，它簡單、有趣，也十分有用，三角形可以幫助我們更好地認識周圍世界，可以幫助我們解決很多實際問題。

本章我們將學習三角形的基本性質。

二、新授

1、三角形的概念：

（1）什么是三角形呢？

三角形是由三條不在同一條直線上的線段首尾順次連結組成的平面圖形，這三條線段就是三角形的邊。如圖：AB、BC、AC是這個三角形的三邊，兩邊的公共點叫三角形的.頂點。（如點A）三角形約頂點用大寫字母表示，整個三角形表示為△ABC、

A（頂點）

邊

B C

（2）三角形的內角，外角的概念：每兩條邊所組成的角叫做三角形的內角，如∠BAC、

每個三角形有幾個內角？

三角形中內角的一邊與另一邊的反向延長線所組成的角叫做三角形的外角，如下圖中∠ACD是∠ABC的一個外角，它與內角∠ACB相鄰。

A

外角

B C D

與△ABC的內角∠ACB相鄰的外角有幾個？它們之間有什么關系？

練習：（1）下圖中有幾個三角形？并把它們表示出來。

A

D

B C

（2）指出△ADC的三個內角、三條邊。

學生回答后教師接著問：∠ADC能寫成∠D嗎？∠ACD能寫成∠C嗎？為什么？

（3）有人說CD是△ACD和△BCD的公共的邊，對嗎？AD是△ACD和△ABC的公共邊，對嗎？

（4）∠BDC是△BCD的什么角？是△ACD的什么角？∠BCD是△ACD的外角，對嗎？

（5）請你畫出與△BCD的內角∠B相鄰的外角。

2、三角形按角分類。

讓學生觀察以下三個三角形的內角，它們各有什么特點？并用量角器或三角板加以驗證。

1 2 3

第一個三角形三個內角都是銳角；第二個三角形有一個內角是直角；第三個三角形有一個內角是鈍角。

所有內角都是銳角的三角形叫銳角三角形；有一個內角是直角的三角形叫直角三角形；有一個內角是鈍角的三角形叫鈍角三角形。

三角形按角分類可分為：

銳角三角形（三個內角都是銳角）

直角三角形（有一個內角是直角）

鈍角三角形（有一個內角是鈍角）

3、等腰三角形、等邊三角形的概念：讓學生觀察以下三個三角形，它們的邊各有什么特點？

1 2 3

經過觀察，測量可知：第一個三角形的三邊互不相等；第二個三角形有兩條邊相等（AB=AC）；第三個三角形的三邊都相等。

（1）等腰三角形：兩條邊相等的三角形叫等腰三角形。

相等的兩邊叫做等腰三角形的腰，如上圖（2）AB、AC是這個等腰三角形的腰。

（2）等邊三角形；三條邊都相等的三角形叫等邊三角形（或正三角形）

問：等邊三角形是不是等腰三角形？

[等邊三角形是特殊的等腰三角形，但等腰三角形不一定都是等邊三角形]

三角形按邊來分，可分為：

三邊都不相等的三角形

只有兩邊相等的三角形

等邊三角形

三、鞏固練習

教科書圖9。1。6中找出等腰三角形、正三角形、銳角三角邊、直角三角形、鈍角三角形。

四、小結

1、三角形的概念，一個三角形有三個頂點，三條邊，三個內角，六個外角，和三角形一個內角相鄰的外角有2個，它們是對頂角，若一個頂點只取一個外角，那么只有3個外角。

2、三角形的分類：按角分為三類：

①銳角三角形，②直角三角形，③鈍角三角形按邊分為三類：

①三邊都不相等的三角形；

②等腰三角形。

等邊三角形只是等腰三角形中的一種特殊的三角形。

五、作業

教科書第61頁練習1、2

初中數學三角形教案3

1．梯形的定義及其有關概念

一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形．平行的兩邊叫做梯形的底，其中長邊叫下底；不平行的兩邊叫腰；兩底間的距離叫梯形的高．一腰垂直于底的梯形叫直角梯形，兩腰相等的梯形叫等腰梯形．

2．梯形的性質及其判定

梯形是特殊的四邊形，它具有四邊形所具有的一切性質，此外它的上下兩底平行．

一組對邊平行且另一組對邊不平行的四邊形是梯形，但要判斷另一組對邊不平行比較困難，一般用一組對邊平行且不相等的四邊形是梯形來判斷．

3．等腰梯形的性質和判定

性質：等腰梯形在同一底上的兩個角相等，兩腰相等，兩底平行，兩對角錢相等，是軸對稱圖形，只有一條對稱軸，底的中垂線就是它的對稱軸．

判定：兩腰相等的梯形是等腰梯形；同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形；對角錢相等的梯形是等腰梯形．

梯形重難點分析

本節的重點是等腰梯形的性質和判定.梯形仍是具有特殊條件的四邊形，它與平行四邊形同屬于特殊的四邊形，它只有一組對邊平行，而另一組對邊不平行，但平行四邊形兩組對邊分別平行.而等腰梯形又是特殊的梯形，它的許多性質和判定方法與矩形、菱形、正方形這些特殊的平行四邊形有一定的相似性和可比性.

本節的難點也是等腰梯形的性質和判定.由于等腰梯形又是特殊的.梯形，它的許多性質和判定方法與矩形、菱形、正方形這些特殊的平行四邊形有一定的相似性和可比性，雖然學生在小學時已經接觸過等腰梯形，在認識和理解上有一定的基礎，但還是容易同特殊的平行四邊形混淆，再加上梯形問題往往要轉化成平行四邊形和三角形來處理，經常需要添加輔助線，學生難免會有無從下手的感覺，往往會有對題目一講就明白但自己不會分析解答的情況發生，教師在教學中要加以注意.

梯形的教學建議

1.關于梯形的引入

生活中有許多梯形的例子，小學又接觸過梯形內容，學生對梯形并不陌生，梯形的引入可從下面幾個角度考慮：

①從生活實例引入，如防洪堤壩、飛機機翼，別致窗戶、音箱外形等等；

②從小學學習過的舊知識復習引入；

③從發現的角度引入，比如給出一組圖形，告訴學生這就是梯形，然后尋找這些圖形的共同點，根據共同點對梯形進行定義以及性質、判定的研究；

④可用問題式引入，開始時設計一系列與梯形概念相關的問題由學生進行思考、研究，然后給出梯形的定義和性質.

2.關于梯形的概念

梯形的相關概念小學就已經接觸過，但并不深入，在研究梯形的概念時可設計如下問題加深對梯形相關概念的理解：

①一組對邊平行的四邊形是不是梯形？

②一組對邊平行一組對邊相等的圖形是不是梯形？

③一組對邊相等的圖形是不是梯形？

④一組對邊相等一組對邊不相等的圖形是不是梯形？

⑤對角線相等的圖形是不是梯形？

⑥有兩個角是直角的梯形是不是直角梯形？

⑦兩個角相等的梯形是不是等腰梯形？

⑧對角線相等的梯形是不是等腰梯形？

一、教學目標

1.掌握梯形、等腰梯形、直角梯形的有關概念．

2.掌握等腰梯形的兩個性質：等腰梯形同一底上的兩個角相等；兩條對角線相等.

3.能夠運用梯形的有關概念和性質進行有關問題的論證和計算，進一步培養學生的分析能力和計算能力．

4.通過添加輔助線，把梯形的問題轉化成平行四邊形或三角形問題，使學生體會圖形變換的方法和轉化的思想

二、教法設計

小組討論，引導發現、練習鞏固

三、重點、難點

1．教學重點：等腰梯形性質．

2．教學難點：解決梯形問題的基本方法（將梯形轉化為平行四邊形和三角形及正確運用輔助線）．

四、課時安排

1課時

五、教具學具準備

多媒體，小黑板，常用畫圖工具

六、師生互動活動設計

教師復習引入，學生閱讀課本；學生在教師引導下探索等腰梯形的性質，歸納小結梯形轉化的常見的輔助線

七、教學步驟

【復習提問】

1．什么樣的四邊形是平行四邊形？平行四邊形有什么性質？

2．小學學過的梯形是什么樣的四邊形．

（讓學生動手畫一個梯形，并找3名同學到黑板上來畫，并指出上、下底和腰，然后由學生總結出梯形的概念）．

【引入新課】（板書課題）

梯形同樣是一個特殊的四邊形，與平行四邊形一樣，它也有它的特殊性，今天我們就重點來研究這個問題．

1．梯形及梯形的有關概念

（l）梯形：一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形．

（2）底：平行的一組對邊叫做梯形的底（通常把較短的底叫上底，較長的底叫下底）．

（3）腰：不平行的一組對邊叫做梯形的腰．

（4）高：兩底間的距離叫做梯形高．

（5）直角梯形：一腰垂直于底的梯形．

（6）等腰梯形：兩腰相等的梯形．

（以上這一過程借助多媒體或投影儀演示）

提醒學在注意：

①梯形與平行四邊形同屬于特殊的四邊形，因為它們具有不同的特殊條件，所以必然有不同的性質．

②平行四邊形的對邊平行且相等，而梯形中，平行的一組對邊不能相等（讓學生想一想，為什么不能相等）．

③上、下底的概念是由底的長短來定義的，而并不是指位置來說的．

2．等腰梯形的性質

例1如圖，在梯形中，，，求證：．

分析：我們學過“等腰三角形兩底角相等”，如果能將等腰梯形在同一底上的兩個角轉化為等腰三角形的兩個底角，問題就容易解決了．

證明：（略）

由此得出等舊梯形的性質定理：等腰梯形在同一高上的兩個角相等．

例2?如圖，求證：等腰梯形的兩條對角線相等．

已知：在梯形中，，，求證：．

分析：要證，只要用等腰梯形的性質定理得出，然后再利用，即可得出．

證明過程：（略）．

由此得到多腰梯形的第一條性質：等腰梯形的兩條對角線相等．除此之外，等腰梯形還是軸對稱圖形，對稱軸是過兩底中點的直線．

3．解決梯形問題常用的方法

在證明梯形性質定理時，我們采取的方法是過點作交于，從而把梯形問題轉化成三角形來解，實質上是相當于把采取平行移動到的位置，這種方法叫做平行移動（也可移對角線），這是解決梯形問題常用的方法之—（讓學生想一想，還可以用什么樣的方法作輔助線來解決梯形問題，多找幾名學生回答，然后教師總結，可借助多媒體演示見圖）．

（1）“作高”：使兩腰在兩個直角三角形中．

（2）“移對角線”：使兩條對角線在同一個三角形中．

（3）“延腰”：構造具有公共角的兩個等腰三角形．

（4）“等積變形”，連結梯形上底一端點和另一腰中點，并延長與下底延長線交于一點，構成三角形．

綜上所述：解決梯形問題的基本思想和方法就是通過添加適當的輔助線，把梯形問題轉化為已經熟悉的平行四邊形和三角形問題來解決．

【總結、擴展】

小結：（以提問的方式總結）

（1）梯形的有關概念．

（2）梯形性質（①－③）．

（3）解決梯形問題的基本思想和方法．

（4）解決梯形問題時，常用的幾種輔助線．

八、布置作業

教材P179中2、3、4

九、板書設計

十、隨堂練習

教材P176中1、3

初中數學三角形教案4

一、教學目標

1、使學生知道什么是最簡二次根式，遇到實際式子能夠判斷是不是最簡二次根式、

2、使學生掌握化簡一個二次根式成最簡二次根式的方法、

3、使學生了解把二次根式化簡成最簡二次根式在實際問題中的應用、

二、教學重點和難點

1、重點：能夠把所給的二次根式，化成最簡二次根式、

2、難點：正確運用化一個二次根式成為最簡二次根式的方法、

三、教學方法

通過實際運算的例子，引出最簡二次根式的概念，再通過解題實踐，總結歸納化簡二次根式的方法、

四、教學手段

利用投影儀、

五、教學過程

(一)引入新課

提出問題：如果一個正方形的面積是0.5m 2，那么它的邊長是多少？能不能求出它的近似值？

了、這樣會給解決實際問題帶來方便、

(二)新課

由以上例子可以看出，遇到一個二次根式將它化簡，為解決問題創

這兩個二次根式化簡前后有什么不同，這里要引導學生從兩個方面考慮，一方面是被開方數的因數化簡后是否是整數了，另一方面被開方數中還有沒有開得盡方的因數、

總結滿足什么樣的條件是最簡二次根式、即：滿足下列兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式：

1、被開方數的因數是整數，因式是整式、

2、被開方數中不含能開得盡方的因數或因式、

例1?指出下列根式中的最簡二次根式，并說明為什么、

分析：

說明：這里可以向學生說明，前面兩小節化簡二次根式，就是要求化成最簡二次根式、前面二次根式的運算結果也都是最簡二次根式、

例2?把下列各式化成最簡二次根式：

說明：引導學生觀察例2題中二次根式的特點，即被開方數是整式或整數，再啟發學生總結這類題化簡的方法，先將被開方數或被開方式分解因數或分解因式，然后把開得盡方的因數或因式開出來，從而將式子化簡、

例3?把下列各式化簡成最簡二次根式：

說明：

1.引導學生觀察例題3中二次根式的特點，即被開方數是分數或分式，再啟發學生總結這類題化簡的方法，先利用商的算術平方根的性質把它寫成分式的.形式，然后利用分母有理化化簡、

2.要提問學生

問題，通過這個小題使學生明確如何使用化簡中的條件、

通過例2、例3總結把一個二次根式化成最簡二次根式的兩種情況，并引導學生小結應該注意的問題、

注意：

①化簡時，一般需要把被開方數分解因數或分解因式、

②當一個式子的分母中含有二次根式時，一般應該把它化簡成分母中不含二次根式的式子，也就是把它的分母進行有理化、

(三)小結

1、滿足什么條件的根式是最簡二次根式、

2、把一個二次根式化成最簡二次根式的主要方法、

(四)練習

1、指出下列各式中的最簡二次根式：

2、把下列各式化成最簡二次根式：

六、作業

教材P、187習題11、4；A組1；B組1、

七、板書設計

初中數學三角形教案5

教學目標：

1 、要求學生掌握直角三角形的性質定理 ( 勾股定理 ) 和判定定理，并能應用定理解決與直角三角形有關的問題 。

2 、了解逆命題、互逆命題及逆定理、互逆定理的含義，能結合自己的生活及學習體驗舉出逆命題、互逆命題及逆定理、互逆定理的例子。

3 、進一步掌握推理證明的方法，拓發展演繹推理能力，培養思維能力。

4 、掌握直角三角形全等的判定定理，并能應用定理解決與直角三角形有關的問題。

教學重點：

直角三角形的性質和判定定理；直角三角形 HL 全等判定定理。

教學難點：

勾股定理逆定理的證明方法；直角三角形 HL 全等判定定理。

教學過程：

( 一 )

1 、溫故知新

你記得勾股定理的內容嗎？你曾經用什么方法得到了勾股定理？

（由學生回顧得出勾股定理的內容。）

定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。

2 、學一學

問題情境：在一個三角形中，當兩邊的平方和等于第三邊的平方時，我們曾用度量的方法得出“這個三角形是直角三角形”的結論，你能證明這個結論嗎？

已知：在Δ ABC 中， AB 2 +AC 2 = BC 2

求證：Δ ABC 是直角三角形

（ 1 ） （ 2 ）

（講解證明思路及證明過程，引導學生領會證明思路及證明過程，得出結論。）

結論：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形。

3 、議一議：

①把準備好的卡片隨機地發給學生，學生按卡片的種類被分成 A 、B 兩組，要求拿 A 類卡片的學生 a 說出自己卡片上的內容，然后 尋找拿 B 類卡片的與自己的命題相反的同學 b 。 b 要自己主動站起來，并說出自己卡片上的命題是什么，由學生 a 來判斷他 ( 她 ) 和自己是否在一組。 ( 注意： A 、B 類卡片上的內容要出現適量的不能構成互逆命題、互逆定理的例子，但不能太多。這樣既有利于學生分析、辨別互逆命題、互逆定理，又有利于他們從正例中歸納、總結出互逆命題 、互逆定理的內涵 ) 。

②對學生的表現予以表揚、肯定和鼓勵。然后提問拿 B 卡片的 找到組 的學生：你是如何判斷和誰在一組的

③提取學生回答中的合理性成分，總結歸納，然后提問拿 A 類卡片的學生：你是如何判斷 b 是否和你在同一組

④肯定學生的認識，提問拿 B 類卡片的但沒 找到組 的學生：為什么他們的命題和 A 類同學的命題不能互相構成反面

⑤肯定所有學生的發言和參與，然后讓學生試著自己歸納總結概括出什么是互逆命題、互逆定理。

⑥肯定學生的回答，并在此基礎上進一步升華，給出嚴謹的表述。

⑦結合剛剛講過的勾股定理及其逆定理，應用互逆命題、互逆定理的含義進行分析，加深學生對這一方面的認識。

⑧結合游戲中的命題向學生說明：一個命題是真命題，它的逆命題不一定是真命題。讓學生體會命題變換的辯證關系。

⑨讓學生回憶自己曾學到的互逆命題和互逆定理，說出教師難備的一些命題的逆命題并判斷真假。

4 、關于互逆命題和互逆定理。

（ 1 ）在兩個命題中，如果一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論和條件，那么這兩個命題稱為互逆命題，其中一個命題稱為另一個命題的逆命題。

（ 2 ）一個命題是真命題，它的逆命題卻不一定是真命題。如果一個定理的逆命題經過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理稱為互逆定理，其中一個定理稱為另一個定理的逆定理。

（引導學生理解掌握互逆命題的定義。）

( 二 )

提問

1 、判斷兩個三角形全等的方法有哪幾種？

2 、有兩邊及其中一邊的對角對應相等的.兩個三角形全等嗎？如果其中一個角是直角呢？ 請證明 你的結論。

探究

啟發學生進一步思考，對于直角三角形這樣的一類特殊三角形，全等三角形判定四個定理是否可以簡化一些？還有沒有其他的判定方法

思考剛才給出的條件是否可以減少，回答：對于 SSS ，根據勾股定理，只要有兩條直角邊或一條直角邊和一條斜邊對應相等就可以了……類似地考慮其他情況。

在這時適時地提出曾經被拋棄的一條假名題：兩邊及其中一邊的對角對應相等的兩個三角形全等在現在成立嗎？

結合直角三角形的特點，想到：如果這個角是直角，那么命題就是真命題。

讓學生自己寫出條件并給出證明。讓先寫完的學生到黑板上板演。

講解學生的板演，借此進一步規范學生的書寫和表達。分析命題的條件，既然其中一邊和它所對的直角對應相等，那么可以把這兩個因素總結為直角三角形的斜邊對應相等，于是直角三角形有自己的全等判定定理：斜邊和一條直角邊對應相等的直角三角形全等，可以簡單地用“斜邊、直角邊”或“ HL ”表示。

5 、練習：

寫出命題“如果有兩個有理數相等，那么它們的平方相等”的逆命題，并判斷是否是真命題。

試著舉出一些其它的例子。

隨堂練習1

判斷命題的真假，并說明理由：

銳角對應相等的兩個直角三角形全等。 假命題

斜邊及 一 銳角對應相等的兩個直角三角形全等。 真命題

兩條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等。 真命題

一條直角邊和另一條直角邊上的中線對應相等的兩個直角三角形全等。 真命題

6 、課堂小結：本節課你都掌握了哪些內容？

初中數學三角形教案6

一、學生知識狀況分析

學生的知識技能基礎：

在七年級的學習中，學生通過觀察、測量、畫圖、拼擺等數學活動，體會了全等三角形中“對應關系”的重要作用。上一節課“相似多邊形”的學習，使學生在探索相似形本質特征的過程中，發展了有條理地思考與表達，歸納，反思，交流等能力。

學生活動經驗基礎：

上述學習經歷為學生繼續探究“相似三角形”積累了豐富的活動經驗和知識基礎。

二、教學任務分析

（一）教材的地位和作用分析：

《相似三角形》在本章中承上啟下，體現了從一般到特殊的數學思想；

是學生今后學習的基礎；

是解決生活中許多實際問題的常用數學模型。

即相似三角形的知識是在全等三角形知識的基礎上的拓廣和發展，相似三角形承接全等三角形，從特殊的相等到一般的成比例予以深化，學好相似三角形的知識，為今后進一步學習探索三角形相似的條件、三角函數及與此有關的比例線段等知識打下良好的基礎。

（二）教學重點：

相似三角形定義的理解和認識。

（三）教學難點：

1、相似三角形的定義所揭示的本質屬性的理解和應用；

2、例2后想一想中“滲透三角形相似與平行的內在聯系”是本節課的第二個難點。

（四）教法與學法分析：

本節課將借助生活實際和圖形變換創設寬松的學習環境；并利用多媒體手段輔助教學，直觀、形象，體現數學的趣味性。

學生則通過觀察類比、動手實踐、自主探索、合作交流的學習方式完成本節課的學習。

（五）教法建議

1、從知識的邏輯體系出發，在知識的引入時可考慮先復習相似形的概念，在探索歸納給出相似三角形的概念

2、在知識的引入上，可以從生活實例的角度出發，在生活中找幾個相似三角形的例子，在此基礎上給出相似三角形的概念

3、在知識的引入上，還可以從知識的建構模式入手，給出幾組圖形，告訴學生這幾組圖形都是相似三角形，由學生研究這些圖形的邊角關系，從而得到對相似三角形的本質認識

4、在相似三角形概念的鞏固中，應注意反例的作用，要適當給出或由學生舉出不是相似三角形的例子來加深對概念的理解

5、在概念的理解過程中，要注意給出不同層次的`圖形，要求學生從中找出相似三角形，既增加學生的參與又加深學生對概念的理解

6、在本節內容中對應邊及對應角的尋找學生常常出現混淆，教師在教學過程中可設計由淺入深的一系列題組由學生尋找其中的對應邊或對應角，并說明根據，有利于知識的掌握

（六）教學目標分析：

通過一些具體問題的情境設置、觀察類比、動手操作；讓學生積極思考、充分參與、合作探究；深化對相似三角形定義的理解和認識。發展學生的想象能力，應用能力，建模意識，空間觀念等，培養學生積極的情感和態度。

教學目標：

1、知識與技能

（1）、掌握相似三角形的定義、表示法，并能根據定義判斷兩個三角形是否相似。

（2）、能根據相似比進行計算，訓練學生判斷能力及對數學定義的運用能力。

2過程與方法

（1）領會教學活動中的類比思想，提高學生學習數學的積極性。

（2）經過本節的學習，培養學生通過類比得到新知識的能力，掌握相似三角形的定義及表示法，會運用相似比解決相似三角形的邊長問題。

3情感態度與價值觀

（1）、經歷相似多邊形有關概念的類比，滲透類比的數學思想，并領會特殊與

一般的關系。

（2）、深化對相似三角形定義的理解和認識。發展學生的想象能力，應用能力，建模意識，空間觀念等，培養學生積極的情感和態度。

三、教學過程分析

本節課共設計了五個環節：

1、情景引入歸納定義

2、運用定義解決問題

3 、加深理解探索規律

4 、回顧反思課堂小結

5、布置作業

初中數學三角形教案7

一、學生起點分析

學生已經了勾股定理，并在先前其他內容學習中已經積累了一定百度一下的逆向思維、逆向研究的經驗，如：已知兩直線平行，有什么樣的結論?

反之，滿足什么條件的兩直線是平行?因而，本課時由勾股定理出發逆向思考獲得逆命題，學生應該已經具備這樣的意識，但具體研究中

可能要用到反證等思路，對現階段學生而言可能還具有一定困難，需要教師適時的引導。

二、學習任務分析

本節課是北師大版數學八年級(上)第一章《勾股定理》第2節。教學任務有：探索勾股定理的逆定理

并利用該定理根據邊長判斷一個三角形是否是直角三角形，利用該定理解決一些簡單的實際問題;通過具體的數，增加對勾股數的直觀體驗。為此確定教學目標：

● 知識與技能目標

1.理解勾股定理逆定理的具體內容及勾股數的概念;

2.能根據所給三角形三邊的條件判斷三角形是否是直角三角形。

● 過程與方法目標

1.經歷一般規律的探索過程，發展學生的抽象思維能力;

2.經歷從實驗到驗證的過程，發展學生的數學歸納能力。

● 情感與態度目標

1.體驗生活中的數學的應用價值，感受數學與人類生活的密切聯系，激發學生學數學、用數學的興趣;

2.在探索過程中體驗成功的喜悅，樹立學習的自信心。

教學重點

理解勾股定理逆定理的具體內容。

三、教法學法

1.教學方法：實驗猜想歸納論證

本節課的教學對象是初二學生,他們的參與意識較強,思維活躍,對通過實驗獲得數學結論已有一定的體驗

但數學思維嚴謹的同學總是心存疑慮，利用邏輯推理的方式，讓同學心服口服顯得非常迫切，為了實現本節課的教學目標,我力求從以下三個方面對學生進行引導:

(1)從創設問題情景入手,通過知識再現,孕育教學過程;

(2)從學生活動出發,通過以舊引新,順勢教學過程;

(3)利用探索,研究手段,通過思維深入,領悟教學過程。

2.課前準備

教具：教材、電腦、多媒體課件。

學具：教材、筆記本、課堂練習本、文具。

四、教學過程設計

本節課設計了七個環節。第一環節：情境引入;第二環節：合作探究;第三環節：小試牛刀;第四環節：

登高望遠;第五環節：鞏固提高;第六環節：交流小結;第七環節：布置作業。

第一環節：情境引入

內容：

情境：1.直角三角形中，三邊長度之間滿足什么樣的關系?

2.如果一個三角形中有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是否就是直角三角形呢?

意圖：

通過情境的創設引入新課，激發學生探究熱情。

效果：

從勾股定理逆向思維這一情景引入，提出問題，激發了學生的求知欲，為下一環節奠定了良好的基礎。

第二環節：合作探究

內容1：探究

下面有三組數，分別是一個三角形的三邊長 ，①5，12，13;②7，24，25;③8，15，17;并回答這樣兩個問題：

1.這三組數都滿足 嗎?

2.分別以每組數為三邊作出三角形，用量角器量一量，它們都是直角三角形嗎?學生分為4人活動小組，每個小組可以任選其中的一組數。

意圖：

通過學生的合作探究，得出若一個三角形的三邊長 ，滿足 ，則這個三角形是直角三角形這一結論;在活動中體驗出數學結論的發現總是要經歷觀察、歸納、猜想和驗證的過程，同時遵循由特殊一般特殊的發展規律。

效果：

經過學生充分討論后，匯總各小組實驗結果發現：①5，12，13滿足 ，可以構成直角三角形;②7，24，25滿足 ，可以構成直角三角形;③8，15，17滿足 ，可以構成直角三角形。

從上面的分組實驗很容易得出如下結論：

如果一個三角形的三邊長 ，滿足 ，那么這個三角形是直角三角形

內容2：說理

提問：有同學認為測量結果可能有誤差，不同意這個發現。你認為這個發現正確嗎?你能給出一個更有說服力的理由嗎?

意圖：讓學生明確，僅僅基于測量結果得到的結論未必可靠，需要進一步通過說理等方式使學生確信結論的可靠性，同時明晰結論：

如果一個三角形的三邊長 ，滿足 ，那么這個三角形是直角三角形

滿足 的.三個正整數，稱為勾股數。

注意事項：為了讓學生確認該結論，需要進行說理，有條件的班級，還可利用幾何畫板動畫演示，讓同學有一個直觀的認識。

活動3：反思總結

提問：

1.同學們還能找出哪些勾股數呢?

2.今天的結論與前面學習勾股定理有哪些異同呢?

3.到今天為止,你能用哪些方法判斷一個三角形是直角三角形呢?

4.通過今天同學們合作探究，你能體驗出一個數學結論的發現要經歷哪些過程呢?

意圖：進一步讓學生認識該定理與勾股定理之間的關系

第三環節：小試牛刀

內容：

1.下列哪幾組數據能作為直角三角形的三邊長?請說明理由。

①9，12，15; ②15，36，39; ③12，35，36; ④12，18，22

解答：①②

2.一個三角形的三邊長分別是 ，則這個三角形的面積是( )

A 250 B 150 C 200 D 不能確定

解答：B

3.如圖1：在 中， 于 ， ，則 是( )

A 等腰三角形 B 銳角三角形

C 直角三角形 D 鈍角三角形

解答：C

4.將直角三角形的三邊擴大相同的倍數后， (圖1)

得到的三角形是( )

A 直角三角形 B 銳角三角形

C 鈍角三角形 D 不能確定

解答：A

意圖：

通過練習，加強對勾股定理及勾股定理逆定理認識及應用

效果

每題都要求學生獨立完成(5分鐘)，并指出各題分別用了哪些知識。

第四環節：登高望遠

內容：

1.一個零件的形狀如圖2所示，按規定這個零件中 都應是直角。工人師傅量得這個零件各邊尺寸如圖3所示，這個零件符合要求嗎?

解答：符合要求 ， 又 ，

2.一艘在海上朝正北方向航行的輪船，航行240海里時方位儀壞了，憑經驗，船長指揮船左傳90，繼續航行70海里，則距出發地250海里，你能判斷船轉彎后，是否沿正西方向航行?

解答：由題意畫出相應的圖形

AB=240海里,BC=70海里,，AC=250海里;在△ABC中

=(250+240)(250-240)

=4900= = 即 △ABC是Rt△

答:船轉彎后,是沿正西方向航行的。

意圖：

利用勾股定理逆定理解決實際問題，進一步鞏固該定理。

效果：

學生能用自己的語言表達清楚解決問題的過程即可;利用三角形三邊數量關系 判斷一個三角形是直角三角形時，當遇見數據較大時，要懂得將 作適當變形( )，以便于計算。

第五環節：鞏固提高

內容：

1.如圖4，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1， 圖中有幾個直角三角形，你是如何判斷的?與你的同伴交流。

解答：4個直角三角形，它們分別是△ABE、△DEF、△BCF、△BEF

2.如圖5，哪些是直角三角形，哪些不是，說說你的理由?

圖4 圖5

解答：④⑤是直角三角形，①②③⑥不是直角三角形

意圖：

第一題考查學生充分利用所學知識解決問題時，考慮問題要全面，不要漏解;第二題在于考查學生如何利用網格進行計算，從而解決問題。

效果：

學生在對所學知識有一定的熟悉度后，能夠快速做答并能簡要說明理由即可。注意防漏解及網格的應用。

第六環節：交流小結

內容：

師生相互交流總結出：

1.今天所學內容①會利用三角形三邊數量關系 判斷一個三角形是直角三角形;②滿足 的三個正整數，稱為勾股數;

2.從今天所學內容及所作練習中總結出的經驗與方法：①數學是源于生活又服務于生活的;②數學結論的發現總是要經歷觀察、歸納、猜想和驗證的過程，同時遵循由特殊一般特殊的發展規律;③利用三角形三邊數量關系 判斷一個三角形是直角三角形時，當遇見數據較大時，要懂得將 作適當變形， 便于計算。

意圖：

鼓勵學生結合本節課的學習談自己的收獲和感想，體會到勾股定理及其逆定理的廣泛應用及它們的悠久歷史;敢于面對數學學習中的困難，并有獨立克服困難和運用知識解決問題的成功經驗，進一步體會數學的應用價值，發展運用數學的信心和能力，初步形成積極參與數學活動的意識。

效果：

學生暢所欲言自己的切身感受與實際收獲，總結出利用三角形三邊數量關系 判斷一個三角形是直角三角形從古至今在實際生活中的廣泛應用。

第七環節：布置作業

課本習題1.4第1，2，4題。

五、教學反思：

1.充分尊重教材，以勾股定理的逆向思維模式引入如果一個三角形的三邊長 ，滿足 ，是否能得到這個三角形是直角三角形的問題;充分引用教材中出現的例題和練習。

2.注重引導學生積極參與實驗活動，從中體驗任何一個數學結論的發現總是要經歷觀察、歸納、猜想和驗證的過程，同時遵循由特殊一般特殊的發展規律。

3.在利用今天所學知識解決實際問題時，引導學生善于對公式變形，便于簡便計算。

4.注重對學習新知理解應用偏困難的學生的進一步關注。

5.對于勾股定理的逆定理的論證可根據學生的實際情況做適當調整，不做要求。

由于本班學生整體水平較高，因而本設計教學容量相對較大，教學中，應注意根據自己班級學生的狀況進行適當的刪減或調整。

附：板書設計

能得到直角三角形嗎

情景引入 小試牛刀： 登高望遠

初中數學三角形教案8

一、教學目標

1．使學生進一步理解相似比的概念，掌握相似三角形的性質定理1．

2．學生掌握綜合運用相似三角形的判定定理和性質定理1來解決問題．

3．進一步培養學生類比的教學思想．

4．通過相似性質的學習，感受圖形和語言的和諧美

二、教法引導

先學后教，達標導學

三、重點及難點

1．教學重點：是性質定理1的應用．

2．教學難點：是相似三角形的判定1與性質等有關知識的.綜合運用．

四、課時安排

1課時

五、教具學具準備

投影儀、膠片、常用畫圖工具．

六、教學步驟

［復習提問］

1．三角形中三種主要線段是什么？

2．到目前為止，我們學習了相似三角形的哪些性質？

3．什么叫相似比？

［講解新課］

根據相似三角形的定義，我們已經學習了相似三角形的對應角相等，對應邊成比例．

下面我們研究相似三角形的其他性質（見圖）．

建議讓學生類比“全等三角形的對應高、對應中線、對應角平分線相等”來得出性質定理1．

性質定理1：相似三角形對應高的比，對應中線的比和對應角平分的比都等于相似比

初中數學三角形教案9

教材與學情：

解直角三角形的應用是在學生熟練掌握了直角三角形的解法的基礎上進行教學，它是把一些實際問題轉化為解直角三角形的數學問題，對分析問題能力要求較高，這會使學生學習感到困難，在教學中應引起足夠的重視。

信息論原理：

將直角三角形中邊角關系作為已有信息，通過復習（輸入），使學生更牢固地掌握（貯存）；再通過例題講解，達到信息處理；通過總結歸納，使信息優化；通過變式練習，使信息強化并能靈活運用；通過布置作業，使信息得到反饋。

教學目標：

⒈認知目標：

⑴懂得常見名詞（如仰角、俯角）的意義

⑵能正確理解題意，將實際問題轉化為數學

⑶能利用已有知識，通過直接解三角形或列方程的方法解決一些實際問題。

⒉能力目標：培養學生分析問題和解決問題的能力，培養學生思維能力的靈活性。

⒊情感目標：使學生能理論聯系實際，培養學生的對立統一的觀點。

教學重點、難點：

重點：利用解直角三角形來解決一些實際問題

難點：正確理解題意，將實際問題轉化為數學問題。

信息優化策略：

⑴在學生對實際問題的探究中，神經興奮，思維活動始終處于積極狀態

⑵在歸納、變換中激發學生思維的靈活性、敏捷性和創造性。

⑶重視學法指導，以加速教學效績信息的'順利體現。

教學媒體：

投影儀、教具（一個銳角三角形，可變換圖2－圖7）

高潮設計：

1、例1、例2圖形基本相同，但解法不同；這是為什么？學生的思維處于積極探求狀態中，從而激發學生學習的積極性和主動性

2、將一個銳角三角形紙片通過旋轉、翻折等變換，使學生對問題本質有了更深的認識

教學過程：

一、復習引入，輸入并貯存信息：

1.提問：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°。

⑴三邊a、b、c有什么關系？

⑵兩銳角∠A、∠B有怎樣的關系？

⑶邊與角之間有怎樣的關系？

2.提問：解直角三角形應具備怎樣的條件：

注：直角三角形的邊角關系及解直角三角形的條件由投影給出，便于學生貯存信息

二、實例講解，處理信息：

例1.（投影）在水平線上一點C，測得同頂的仰角為30°，向山沿直線 前進20為到D處，再測山頂A的仰角為60°，求山高AB。

⑴引導學生將實際問題轉化為數學問題。

⑵分析：求AB可以解Rt△ABD和

Rt△ABC，但兩三角形中都不具備直接條件，但由于∠ADB＝2∠C，很容易發現AD＝CD＝20米，故可以解Rt△ABD，求得AB。

⑶解題過程，學生練習。

⑷思考：假如∠ADB＝45°，能否直接來解一個三角形呢？請看例2。

例2.（投影）在水平線上一點C，測得山頂A的仰角為30°，向山沿直線前進20米到D處，再測山頂A的仰角為45°，求山高AB。

分析：

⑴在Rt△ABC和Rt△ABD中，都沒有兩個已知元素，故不能直接解一個三角形來求出AB。

⑵考慮到AB是兩直角三角形的直角邊，而CD是兩直角三角形的直角邊，而CD均不是兩個直角三角形的直角邊，但CD＝BC＝BD，啟以學生設AB＝X，通過 列方程來解，然后板書解題過程。

解：設山高AB＝x米

在Rt△ADB中，∠B＝90°∠ADB＝45°

∵BD＝AB＝x（米）

在Rt△ABC中，tgC＝AB/BC

∴BC＝AB/tgC＝√3（米）

∵CD＝BC－BD

∴√3x－x＝20 解得 x＝（10√3＋10）米

答：山高AB是（10√3＋10）米

三、歸納總結，優化信息

例2的圖開完全一樣，如圖，均已知∠1、∠2及CD，例1中 ∠2＝2∠1 求AB，則需解Rt△ABD例2中∠2≠2∠1求AB，則利用CD=BC-BD，列方程來解。

四、變式訓練，強化信息

(投影)練習1：如圖，山上有鐵塔CD為m米，從地上一點測得塔頂C的仰角為∝，塔底D的仰角為β，求山高BD。

練習2：如圖，海岸上有A、B兩點相距120米，由A、B兩點觀測海上一保輪船C，得∠CAB＝60°∠CBA＝75°，求輪船C到海岸AB的距離。

練習3：在塔PQ的正西方向A點測得頂端P的

仰角為30°，在塔的正南方向B點處，測得頂端P的仰角為45°且AB＝60米，求塔高PQ。

教師待學生解題完畢后，進行講評，并利用教具揭示各題實質：

⑴將基本圖形4旋轉90°，即得圖5；將基本圖形4中的Rt△ABD翻折180°，即可得圖6；將基本圖形4中Rt△ABD繞AB旋轉90°，即可得圖7的立體圖形。

⑵引導學生歸納三個練習題的等量關系：

練習1的等量關系是AB＝AB；練習2的等量關系是AD＋BD＝AB；練習3的等量關系是AQ2＋BQ2＝AB2

五、作業布置，反饋信息

《幾何》第三冊P57第10題，P58第4題。

板書設計：

解直角三角形的應用

例1已知：………例2已知：………小結：………

求：………求：………

解：………解：………

練習1已知：………練習2已知：………練習3已知：………

求：………求：………求：………

解：………解：………解：………

第三篇：初中數學《認識三角形》教案

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初中數學《認識三角形》教案 教學目的

掌握三角形的角平分線、中線、高線的概念，并會畫出任意三角形的角平分線、中線、高線，特別注意鈍角三角形高的畫法.讓學生從實踐中得到三角形的三條中線、角平分線、高分別交于一點，直角三角形三條高的交點就是直角頂點，鈍角三角形有兩條高位于三角形的外部.重點、難點

1．重點：三角形角平分線、中線、高的概念及其畫法.2．難點：鈍角三角形高的畫法.教學過程

一、復習提問

1．什么叫角平分線?如何畫一個角的平分線? 2．已知A、B分別是直線l上和直線l外一點，分別過點A、點B畫直線l的垂線.l A

3．三角形按角分類可分為哪幾種?

二、新授

今天我們要學習三角形中的三種重要線段——中線、角平分線和高.1．三角形的中線：三角形的一個頂點與它的對邊中點的連線叫三角形的中線.如圖，點D是BC邊的中點，即AD是△ABC的中線.問：三角形有幾條中線?若已知AD是三角形的中線，你可得到什么結論?

2．三角形的角平分線：三角形內角的平分線與對邊的交點和這個內角頂點之間的線段叫三角形的角平分線.如圖，∠1=∠2，那么CE是△ABC的角平分線.問：三角形有幾條角平分線?三角形的角平分線和角平分線有什么不同?

3．三角形的高：過三角形頂點作對邊的垂線，垂足與頂點間的線段叫三角形的高.如圖BF⊥AC，垂足為F，則BF是△ABC的高，三角形有3條高.例1．如圖△ABC，邊BC上的高畫得對嗎?為什么? [分析]根據三角形高的概念，BC邊上的高應是BC邊所對的頂點 A向BC作垂線，頂點A與垂足間的線段，所以(1)，(2)，(4)都錯了，只有(3)是對的.4．做一做：讓學生拿出昨天做的三個銳角三角形.(1)分別畫出中線、角平分線、高.(2)你能用折紙的辦法得到這些線段嗎?試一試.(只要求折出一條中線、一條高，一條角平分線)

(3)把銳角三角形換成直角三角形、鈍角三角形再試一試.將你的結果與同伴進行交流.5．議一議：

(1)一個三角形中三條中線(高、角平分線)之間的位置關系怎樣? 悅考網www.tmdps.cn

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[三條中線交于一點，三條角平分線交于一點，三條高所在的直線交于一點]

(2)一個三角形的三條中線(角平分線)的交點與三角形有怎樣的位置關系?

[三條中線(角平分線)相交于一點，這一點在三角形內部]

(3)直角三角形的三條高，它們有怎樣的位置關系?鈍角三角形呢?

[直角三角形有一條高在三角形內部，另外兩條就是直角三角形的兩條直角邊，三條高的交點就是直角三角形的直角頂點，鈍角三角形有一條高在形內，兩條高在形外，三條高所在的直線的交點在形外.]

(4)你能折出鈍角三角形的三條高嗎?

三、鞏固練習

教科書第62頁練習.第l題 也可以讓學生剪下一個等腰三角形，用折紙的方法驗證底邊上的高、中線、角平分線互相重合.四、小結：1．三角形的三種重要線段——中線、高、角平分線的概念.2．三角形的中線、高、角平分線的畫法.3．三角形的三條中線(高、角平分線)之間的位置關系以及它們與三角形間的位置關系.五、作業

補充作業

初中數學《三角形的邊》教案 教學目標

1.認識三角形,了解三角形的意義,認識三角形的邊、內角、頂點，能用符號語言表示三角形.2.經歷度量三角形邊長的實踐活動中,理解三角形三邊不等的關系.3.懂得判斷三條線段可否構成一個三角形的方法,并能運用它解決有關的問題.4.幫助學生樹立幾何知識源于客觀實際,用客觀實際的觀念,激發學生學習的興趣.重點、難點

重點:

1.對三角形有關概念的了解,能用符號語言表示三條形.2.能從圖中識別三角形.3.通過度量三角形的邊長的實踐活動,從中理解三角形三邊間的不等關系.難點:

1.在具體的圖形中不重復,且不遺漏地識別所有三角形.2.用三角形三邊不等關系判定三條線段可否組成三角形.教學過程

一、看一看

1.投影:圖形見章前P68-69圖.教師敘述: 三角形是一種最常見的幾何圖形之一.(看條件許可, 可以把古埃及的金字塔、飛機、飛船、分子結構??的投影,給同學放映)從古埃及的金字塔到現代的飛機、上天的飛船,從宏大的建筑如P68-69的圖,到微小的分子結構, 處處都有三角形的身影.結合以上的實際使學生了解到:我們所研究的“三角形”這個課題來源于實際生活之中.學生活動:(1)交流在日常生活中所看到的三角形.悅考網www.tmdps.cn

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(2)選派代表說明三角形的存在于我們的生活之中.2.板書:在黑板上老師畫出以下幾個圖形.(1)教師引導學生觀察上圖:區別三條線段是否存在首尾順序相接所組成的.圖(1)三條線段AC、CB、AB是否首尾順序相接.(是)

(2)觀察發現,以上的圖,哪些是三角形?

(3)描述三角形的特點:

板書:“不在一直線上三條線段首尾順次相接組成的圖形叫做三角形”.教師提問:上述對三角形的描述中你認為有幾個部分要引起重視.學生回答:

a.不在一直線上的三條線段.b.首尾順次相接.二、讀一讀

指導學生閱讀課本P71,第一部分至思考,一段課文,并回答以下問題:

(1)什么叫三角形?

(2)三角形有幾條邊?有幾個內角?有幾個頂點?

(3)三角形ABC用符號表示________.(4)三角形ABC的邊AB、AC和BC可用小寫字母分別表示為________.三角形有三條邊,三個內角,三個頂點.組成三角形的線段叫做三角形的邊;相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內角;相鄰兩邊的公共端點是三角形的頂點, 三角形ABC用符號表示為△ABC,三角形ABC的三邊,AB可用邊AB的所對的角C的小寫字母c 表示,AC可用b表示,BC可用a表示.三、做一做

畫出一個△ABC,假設有一只小蟲要從B點出發,沿三角形的邊爬到C,它有幾種路線可以選擇?各條路線的長一樣嗎?

同學們在畫圖計算的過程中,展示議論,并指定回答以上問題:

(1)小蟲從B出發沿三角形的邊爬到C有如下幾條路線.a.從B→C

b.從B→A→C

(2)從B沿邊BC到C的路線長為BC的長.從B沿邊BA到A,從A沿邊C到C的路線長為BA+AC.經過測量可以說BA+AC>BC,可以說這兩條路線的長是不一樣的.四、議一議

1.在用一個三角形中,任意兩邊之和與第三邊有什么關系?

2.在同一個三角形中,任意兩邊之差與第三邊有什么關系?

3.三角形三邊有怎樣的不等關系?

通過動手實驗同學們可以得到哪些結論?

三角形的任意兩邊之和大于第三邊;任意兩邊之差小于第三邊.五、想一想

三角形按邊分可以,分成幾類?按角分呢?

(1)三角形按邊分類如下: 悅考網www.tmdps.cn

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三角形

不等三角形

等腰三角形

底和腰不等的等腰三角形

等邊三角形

(2)三角形按角分類如下:

三角形

直角三角形

斜三角形

銳角三角形

鈍角三角形

六、練一練

有三根木棒長分別為3cm、6cm和2cm,用這木棒能否圍成一個三角形?

分析:(1)三條線段能否構成一個三角形, 關鍵在撿判定它們是否符合三角形三邊的不等關系,符合即可的構成一個三角形,看不符合就不可能構成一個三角形.(2)要讓學生明確兩條木棒長為3cm和6cm,要想用三根木棒合起來構成一個三角形,這第三根木棒的長度應介于3cm和8cm之間,由于它的第三根木棒長只有2cm,所以不可能用這三條木棒構成一個三角形.錯導:∵3cm+6cm>2cm

∴用3cm、6cm、2cm的木棒可以構成一個三角形.錯因:三角形的三邊之間的關系為任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊,這里3+6>2,沒錯,可6-3不小于2,所以回答這類問題應先確定最大邊,然后看小于最大量的兩量之和是否大于最大值,大時就可構成,小時就無法構成.七、憶一憶

今天我們學了哪些內容:

1.三角形的有關概念(邊、角、頂點)

2.會用符號表示一個三角形.3.通過實踐了解三角形的三邊不等關系.八、作業

1.課本P71練習1.2,P75練習7.1 1.2.2.補充：如圖，線段、相交于點，能否確定 與 的大小，并加以說明．

初中數學《等腰三角形》教案 等腰三角形的識別

教學目的

1．通過探索一個三角形是等腰三角形的條件，培養學生的探索能力。

2．能利用一個三角形是等腰三角形的條件，正確判斷某個三角形是否為等腰三角形。

重點、難點

重點：讓學生掌握一個三角形是等腰三角形的條件和正確應用。

難點：一個三角形是等腰三角形的條件的正確文字敘述。

教學過程

一、復習引入

等腰三角形具有哪些性質?

等腰三角形的兩底角相等，底邊上的高、中線及頂角平分線“三線合一”。

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二、新課

對于一個三角形，怎樣識別它是不是等腰三角形呢?我們已經知道的方法是看它是否有兩條邊相等。這一節，我們再學習另一種識別方法。

我們已學過，等腰三角形的兩個底角相等，反過來，在一個三角形中，如果有兩個角相等，那么它是等腰三角形嗎?

為了回答這個問題，請同學們分別拿出一張半透明紙，做一個實驗，按以下方法進行操作：

1．在半透明紙上畫一個線段BC。

2．以BC為始邊，分別以點B和點C為頂點，用量角器畫兩個相等的角，兩角終邊的交點為A。

3．用刻度尺找出BC的中點D，連接AD，然后沿AD對折。

問題1：AB與AC是否重合?

問題2：本實驗的條件與結論如何用文字語言加以敘述?

如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等，簡寫成“等角對等邊”。[來源

也就是說，如果一個三角形中有兩個角相等，那么它就是等腰三角形。一個三角形是等腰三角形的條件，可以用來判定一個三角形是否為等腰三角形。

例1．在△ABC中，已知∠A＝40°，∠B＝70°，判斷△ABC是什么三角形，為什么?

問題3：三個角都是60°的三角形是等邊三角形嗎?你能說明理由嗎? 等腰直角三角形：頂角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形，如圖所示。問題4：你能說出等腰直角三角形各角的大小嗎?

問題5：請你畫一個等腰直角三角形，使∠C＝90°，CD是底邊上的高，數一數圖中共有幾個等腰直角三角形?

三、練習鞏固

練習l、2、3。

四、小結

這節課，我們學習了一個三角形是等腰三角形的條件：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等(簡寫成“等角對等邊”)，此條件可以做為判斷一個三角形是等腰三角形的依據。因此，要牢記并能熟練應用它。

五、作業

資料來自：悅考網www.tmdps.cn 悅考網www.tmdps.cn

第四篇：初中數學三角形證明（范文）

1.如圖△ABC，∠AFD＝

158°，求∠EDF的度數。

2.如圖，∠C

＝48°，∠E＝25°，∠BDF＝140°，求∠A與∠EFD的度數。

3.如圖，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC邊上的高，求∠DBC

4.如圖，在△ABC中，已知AD是△

ABC角平分線，DE是△ADC的高線，∠B＝60，∠C＝45，求∠ADB和∠ADE的度數．

5.如圖△ABC的周長為18

cm，BE、CF

分別為AC、AB邊上的中線，BE、CF相交于點O，AO的延長線交BC于D，且AF=3 cm,AE=2 cm，求BD的長.解題思路：

（1）求角度問題要考慮：角平分線、三角形內角和定理、兩內角之和等于第三角的外角

（2）先列等式，然后根據題目要求去掉無關信息，最后采用“消元法”的思路轉換解決，求出未知

（3）對于某些題要結合外圍圖形和條件，比如四邊形、三角形全等、直線關系（平行、相交）來解答。

00第八講三角形證明

（一）6.已知：AB=4，AC=2，D是BC中點，AD是整數，求ADEC DAB7.已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中點，F 求證：∠1=∠2E A8.已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求證：∠B=2∠C AB A9.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求證：EAE=AD+BEBDC10如圖所示，已知∠1=∠2，EF⊥AD于P，交BC延長線于M，求證：2∠M=（∠ACB-∠B）解題思路：(1)三角形的證明一般思路是證全等和相似（八年級）（2）分析題目先看求什么？然后考慮求未知必須先求什么？需證明那些量相等，或哪個三角形相等然后找出已知條件所能得出的結論，然后看它們能不能證出所要的關系（3）如果不能證出數量關系要考慮添加輔助線來“湊出”條件，然后在證明

11.如圖，A,F,E,B四點共線，AC?CE，BD?DF，AE?BF，A

17.如圖，△ABC中，AD是∠CAB的平分線，且AB=AC+CD，求AC?BD。求證：?ACF??BDE。較難

12.如圖，在?ABC中，BE是∠ABC的平分線，AD?BE，垂足為D。求證：?2??1??C

13.已知如圖，∠BAC=90°，AB=AC，BD⊥DE，CE⊥DE，求證：DE=BD+CE.14.在△ABC中，?ACB?90?，AC?BC，直線MN經過點C，且AD?MN于D，BE?MN于E求證：?ADC≌?CEB

15.如圖,已知AC∥BD，EA、EB分別平分∠CAB和∠DBA，CD過點E，則AB與AC+BD相等嗎？請說明理由

16.已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求證：AC-AB=2BE

證：∠C=2∠BCD

BF

18.如圖，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平

A

E

分線，BD的延長線垂直于過C點的直線于E，直線CE交 D

BA的延長線于F．BC

求證：BD=2CE．Q

A

E

19.已知BE，CF是△ABC的高，且BP=AC，CQ=AB，試確定 P

AP與AQ的數量關系和位置關系B

C

20.△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D為BC中點，E、F分別在 AC、AB上，且DE⊥DF，試判斷DE、DF的數量關系，并說明 理由．

(附加題)如圖①，E、F分別為線段AC上的兩個動點，且DE⊥ AC于E，BF⊥AC于F，若AB=

CD，AF=CE，BD交AC于點 M．

（1）求證：MB=MD，ME=MF

（2）當E、F兩點移動到如圖②的位置時，其余條件不變，上 述結論能否成立？若成立請給予證明；若不成立請說明理由．

第五篇：初中數學優秀教案

《4.2二元一次方程組》教學設計

一．教學目標：

1．認知目標：1）了解二元一次方程組的概念。

2）理解二元一次方程組的解的概念。

3）會用列表嘗試的方法找二元一次方程組的解。2．能力目標：1）滲透把實際問題抽象成數學模型的思想。

2）通過嘗試求解，培養學生的探索能力。3．情感目標：1）培養學生細致，認真的學習習慣。

2）在積極的教學評價中，促進師生的情感交流。二．教學重難點

重點：二元一次方程組及其解的概念

難點：用列表嘗試的方法求出方程組的解。三．教學過程

(一)創設情景，引入課題

1.本班共有40人，請問能確定男女生各幾人嗎？為什么？

（1）如果設本班男生x人，女生y人，用方程如何表示？(x+y=40)（2）這是什么方程？根據什么？

2.男生比女生多了2人。設男生x人,女生y人.方程如何表示？ x，y的值是多少？

3.本班男生比女生多2人且男女生共40人.設該班男生x人,女生y人。方程如何表示? 兩個方程中的x表示什么？類似的兩個方程中的y都表示？

象這樣，同一個未知數表示相同的量，我們就應用大括號把它們連起來組成一個方程組。4.點明課題:二元一次方程組。

[設計意圖：從學生身邊取數據,讓他們感受到生活中處處有數學]

（二）探究新知，練習鞏固 1．二元一次方程組的概念

（1）請同學們看課本,了解二元一次方程組的的概念，并找出關鍵詞由教師板書。

[讓學生看書,引起他們對教材重視。找關鍵詞，加深他們對概念的了解.]（2）練習：判斷下列是不是二元一次方程組: x+y=3，x+y=200，2x-3=7，3x+4y=3 y+z=5，x=y+10，2y+1=5，4x-y2=2 學生作出判斷并要說明理由。2．二元一次方程組的解的概念

（1）由學生給出引例的答案，教師指出這就是此方程組的解。（2）練習：把下列各組數的題序填入圖中適當的位置： x=1

x=-2

x=-

x=

y=0

y=2

y=1

y=

方程x+y=0的解，方程2x+3y=2的解，方程組

x+y=0 的解。

2x+3y=2（3）既滿足第一個方程也滿足第二個方程的解叫作二元一次方程組的解。（4）練習：已知

x=0 是方程組

x-b=y 的解，求a,b的值。

y=0.5

5x+2a=2y

（三）合作探索，嘗試求解

現在我們一起來探索如何尋找方程組的解呢？ 1.已知兩個整數x,y，試找出方程組

3x+y=8

的解.2x+3y=10 學生兩人一小組合作探索。并讓已經找出方程組解的學生利用實物投影，講明自己的解題思路。

提煉方法：列表嘗試法。

一般思路：由一個方程取適當的xy的值,代到另一個方程嘗試.[把課堂還給學生,讓他們探索并解答問題,在獲取新知識的同時也積累數學活動的經驗.] 2.據了解，某商店出售兩種不同星號的“紅雙喜”牌乒乓球。其中“紅雙喜”二星乒乓球每盒6只，三星乒乓球每盒3只。某同學一共買了4盒，剛好有15個球。

(1)設該同學“紅雙喜”二星乒乓球買了x盒，三星乒乓球買了y盒，請根據問題中的條件列出關于x、y的方程組。(2)用列表嘗試的方法解出這個方程組的解。由學生獨立完成，并分析講解。(四)課堂小結，布置作業

1.這節課學哪些知識和方法?(二元一次方程組及解概念,列表嘗試法)2.你還有什么問題或想法需要和大家交流? 3.作業本。

教學設計說明：

1．本課設計主線有兩條。其一是知識線，內容從二元一次方程組的概念到二元一次方程組解的概念再到列表嘗試法，環環相扣，層層遞進；第二是能力培養線，學生從看書理解二元一次方程組的概念到學會歸納解的概念，再到自主探索，用列表嘗試法解題，循序漸進，逐步提高。2．“讓學生成為課堂的真正主體”是本課設計的主要理念。由學生給出數據，得出結果，再讓他們在積極嘗試后進行講解，實現生生互評。把課堂的一切交給學生，相信他們能在已有的知識上進一步學習提高，教師只是點播和引導者。

3．本課在設計時對教材也進行了適當改動。例題方面考慮到數碼時代，學生對膠卷已漸失興趣，所以改為學生比較熟悉的乒乓球為體裁。另一方面，充分挖掘練習的作用，為知識的落實打下軋實的基礎，為學生今后的進一步學習做好鋪墊。

《二元一次方程組》教學設計

七年級下冊（浙江版）

一、教學任務分析 教學目標 活動 知識與技能 過程與方法 情感與態度

活動一：

一根20厘米長的鐵絲，首尾相連圍成正方形、長方形。(1)讓學生了解二元一次方程組的概念；

(2)通過具體情況理解二元一次方程組解的概念。

(1)通過具體問題的對比，讓學生經歷二元一次方程組的形成過程；

(2)讓學生初步感受二元一次方程組的核心思想及利用方程組解決問題的基本策略。通過小組合作學習，培養學生的合作意識和團隊精神。

活動二：

學生之間比一比，賽一賽。讓學生鞏固二元一次方程組的概念以及二元一次方程組解的概念。通過學生之間的比賽、交流，讓學生真正理解二元一次方程組的核心思想。營造和諧、活潑的課堂氛圍，激勵全體學生參與教學活動。

活動三：

生活中的數學問題。讓學生學會利用二元一次方程組解決生活中的實際問題。(1)讓學生體驗應用問題可列方程組解決；

(2)讓學生經歷列表嘗試法求二元一次方程組解的過程。

教學重點 二元一次方程組的形成思想及解的概念 教學難點 二元一次方程組的形成過程

根據學生的認知序，教材的知識序，結合新課程理念，確定下列教學目標：

二、教學準備

多媒體課件，一根20厘米長的鐵絲.三、教學過程

環節一創設情境，探索新知

問題1：假設你們每人手上有一根長20cm的鐵絲，將這根鐵絲首尾相連圍成一個正方形，圍出來的正方形都完全一樣嗎？

問題2：同樣用這根20厘米長的鐵絲，首尾相連圍成的長方形都完全一樣嗎？你能用二元一次方程來表示嗎？ 【設計意圖】

①通過問題情境復習舊知，真正理解二元一次方程的意義； ②為探索新知做好鋪墊。

問題3：前面兩個問題中都存在二元一次方程 ,為何圍成的長方形有無數種情況，而圍成的正方形只有一種情況？ 【設計意圖】

通過兩個問題的對比，讓學生感受到與同時滿足時，存在解的唯一性的過程，為二元一次方程組的形成做鋪墊。

問題4：你能否通過增加一個條件，使同學們圍成的長方形都完全一樣嗎？希望大家能增加更多不同類型的條件。【設計意圖】

①開放性問題的設置不僅激發學生的求知欲，而且通過該開放性問題讓學生真正感受二元一次方程組的形成；

②培養學生的合作意識以及團隊精神； ③通過此問題引出二元一次方程組的概念。【操作形式】

①學生先思考，再分組合作，小組匯報；

②根據學生的匯報，教師引導，從而引出二元一次方程組的概念； ③教師備用：.鞏固概念

請在下列方程中選出兩個方程，組成二元一次方程組。

問題5 你怎么能肯定，你所增加的一個條件就一定使長方形確定下來了呢？ 【操作形式】

①通過問題的解決，導出二元一次方程組解的定義； ②讓學生真正理解什么叫二元一次方程組的解。環節二變題訓練鞏固新知 比一比，賽一賽 1.方程組的解是（）A、B、C、D、2．下列哪一個二元一次方程組的解為（）A、B、C、D、3．你能通過下列表格的填寫找到二元一次方程組的解嗎？的解

x … 5.5 6 6.5 7 7.5 … y …

… 的解

x … y … 5.5 6

6.5 7

7.5 …

…

環節三感受生活運用新知，小聰全家外出旅游，估計需要膠卷底片120張，商店里有兩種型號的膠卷：A 型每卷36張底片，B型每卷12張底片。小聰一共買了4 卷膠卷，剛好有120張底片，如果兩種膠卷分別買x卷和y卷.請根據問題中的條件列出關于x , y的方程組，并用列表嘗試的方法求出A型和B型膠卷的數量.【設計意圖】

①讓學生繼續體驗對于含有兩個未知數的實際問題，可以列方程組來解決； ②讓學生再次經歷列表嘗試解二元一次方程組的方法。③在用二元一次方程組解決問題之后，進一步追問：“你能列一元一次方程求出A、B兩種型號的卷數嗎？”

環節四總結回顧梳理新知

①每位同學自己寫一個二元一次方程組_____________;(同學之間互相檢查,為什么是二元一次方程組?)②你有什么方法找到這個方程組的解.備用：

1．請編一個二元一次方程組，使得此方程組的解為，_____________________, 2．若關于x、y的二元一次方程組的解為，則a=_____,b=______.環節五作業布置

①數學作業本(1)號本4.2節 ②課本A、B組練習設計說明：

1.本節課設計充分結合學生的已有知識以及生活經驗，通過一根20厘米長的鐵絲，設計一些由易到難的問題串，引導學生去探究.在看得見，摸得著的長方形拼折過程中，引發學生的興趣，提煉數學的本質.2.本節課的設計旨在培養學生的數學思維.以一根20厘米長的鐵絲，在圍正方形和長方形的對比過程中，逐漸提煉出方程組的形成思想，并和學生一起概括出二元一次方程組及其解的概念。通過讓學生添加形成長方形的條件，使學生在獨立思考、小組交流中體會出方程組形成的過程以及方程組解的本質；在“比一比、連一連、寫一寫”的練習中，學生及時應用所學的概念和方法，鞏固提高.編擬的三個問題環環相扣，體現了基礎性訓練與探索性、思維性訓練相結合的習題體系，使學生的思維品質在質疑的過程中不斷升華和發展，培養思維的嚴謹性和造創性。

3.本節課的設計以情景創設為背景，以教師為主導，學生為主體，力求體現知識的形成過程； 4.在課堂中，盡量為學生提供“做中學”，“想中學”，“動中學”的空間.借助已有的知識和方法主動探索新知識，擴大認知結構，發展能力，從而使課堂教學真正落實到學生的發展上.4.2 二元一次方程組

教材：《義務教育課程標準實驗教科書數學七年級下冊》

一、教學目標：

1、了解二元一次方程組的概念；

2、理解二元一次方程組的解的概念；

3、會檢驗一對數是不是二元一次方程組的解，會利用列表嘗試的方法求簡單二元一次方程組的解；

4、通過對實際問題的分析，使學生進一步體會方程組是刻畫現實世界的有效數學模型，同時培養學生觀察、歸納、概括能力。

二、教學重點：

二元一次方程組及其概念。

三、教學難點：

利用列表嘗試的方法求簡單二元一次方程組的解。

四、教學方法與教學手段： 引導探索、合作交流 教學流程： 教學環節 教學流程 流程意圖 引 入 新

課 在上課前先讓學生欣賞各種各樣的奧運商品，有昂貴的金屬“鳥巢”、有各種金銀幣、也小到我們所用的奧運筆，奧運書包等。在奧運主題的大背景下體現研究問題的必要性。

講 授 新 課 活動一: 為了響應奧運精神，初一（9）班要舉辦“迎奧運”知識競賽，并以福娃玩具和奧運筆作為獎品。因此，黃老師想了解一個福娃和一支奧運筆的價格分別為多少元？

信息一：

信息二：

設問：

1、由信息一能得到福娃和筆的價格嗎？

2、有了兩個信息，能得到福娃和筆的價格嗎？

3、你是怎么得到的？

師：告訴同學們比較直觀的方法------列表嘗試法 已知x+2y=56，填寫下表：

x … 33 34 35 36 37 38 … y

已知2x+3y=102，填寫下表：

x … 33 34 35 36 37 38 … y

設問：由這兩個表格，你能得到福娃和筆的價格嗎？

由活動一讓學生體會到有兩個未知量的實際問題，用一個二元一次方程無法解決，但可以由兩個方程共同解決，從而引出二元一次方程組的概念；通過列表求解，讓學生歸納得到二元一次方程組解的概念；同時，讓學生初步了解解二元一次方程組的一種方法------列表嘗試法。

講 授 新 課

二、概念形成：

（1）由活動一得出二元一次方程組的概念： 像這樣由兩個一次方程組成，且含有兩個未知數的方程組，叫做二元一次方程組。設問：二元一次方程組必須滿足幾個要求？ 對照定義，請你判斷：

1、下列方程組中，是二元一次方程組的有 ①②③ ④ ⑤

（2）由列表嘗試求解的過程得出二元一次方程組的解的概念： 能同時滿足兩個方程的解，叫做這個二元一次方程組的解。對照定義，請你判斷：

2、方程組的解是（）（A）（B）（C）（D）

3、把下列各組數的題序填入圖中適當的位置： ①②③④

方程x+y=0的解方程2x+3y=2的解

（3）怎樣用列表嘗試法求二元一次方程組的解。由活動一得到二元一次方程組和二元一次方程組的解的概念，并對概念通過練習及時鞏固，特別對于第3題，很多學生會對這兩個橢圓無法理解，要及時分析。通過練習進一步讓學生體會方程組的解與其中各方程之間的關系。同時掌握怎樣用列表嘗試法求二元一次方程組的解。

合 作 交

流 活動二：[合作交流] 了解了一個福娃和一支筆的價格分別是36元和10元，黃老師就開始準備知識競賽的有關事項了。她準備設定一等獎、二等獎、三等獎共6名，并且獎品設制如下表 一等獎 二等獎 三等獎

買獎品的總費用是198元，如果設一等獎1名，設二等獎和三等獎的人數分別為x名和y名，請根據問題中的條件列出關于x、y的方程組，并用列表嘗試的方法求解。

設問：你能用一元一次方程來解嗎？ 綜合運用知識培養學生探究、創新的精神和合作交流的意識。對于列表嘗試法解簡單二元一次方程組的解是一個難點，在學生合作過程中，教師還有必要進行引導。

通過讓學生列一元一次方程與二元一次方程組的簡單比較，為下節課的代入法解二元一次方程組作伏筆。

互 動 游 戲

以四人小組為單位，設計一個5角和1元硬幣的問題情境，使該問題可應用二元一次方程組來解決。并把你們編的問題情境讓另一個小組來列方程組。通過互動游戲，更加體現同學與同學的合作關系，也嘗試讓學生自編習題，提高學生探索問題、分析問題的能力。

小 結、作

業 課堂小結：

談談本節課你學到了哪些知識。作業：

書本上的作業題和作業本。

教學設計說明：

本節課重點是二元一次方程組概念和二元一次方程組的解的概念形成，難點是怎樣用嘗試列表法求二元一次方程組的解。為了解決重點和突破難點，本節課在設計時以“奧運”為主線索，在這個歷史的大背景下研究實際問題的需要，主要通過安排兩個活動來達到教學的目的。在活動一中，通過對含有兩個未知數的實際問題的解決，從設一個二元一次方程的無法解決，到由兩個方程的組成可以達到目的的這一過程，讓學生體會到有兩個未知量的實際問題，用一個二元一次方程無法解決，但可以由兩個方程共同解決，從而引出二元一次方程組的概念；通過列表求解，讓學生歸納得到二元一次方程組解的概念；同時，讓學生初步了解解二元一次方程組的一種方法------列表嘗試法。

由活動一得到二元一次方程組和二元一次方程組的解的概念，并對概念通過練習及時鞏固，特別對于第3題，很多學生會對這兩個橢圓無法理解，要及時分析。通過練習進一步讓學生體會方程組的解與其中各方程之間的關系。同時掌握怎樣用列表嘗試法求二元一次方程組的解。

在學生理解概念的前提下，及時地開展一個合作交流，即能起到鞏固知識的作用，同時也可以通過

綜合運用知識培養學生探究、創新的精神和合作交流的意識。對于列表嘗試法解簡單二元一次方程組的解是一個難點，在學生合作過程中，教師還有必要進行引導；活動二的延伸是通過讓學生列一元一次方程與二元一次方程組的簡單比較，為下節課的代入法解二元一次方程組作伏筆。

最后安排一個互動游戲。通過互動游戲，更加體現同學與同學的合作關系，也嘗試讓學生自編習題，提高學生探索問題、分析問題的能力。整個教學的設計主要要體現學生的發展為本的精神，為充分體現以教師為主導、學生為主體的原則，整個教學過程設計力求發揮學生的主體意識，進行創造性的學習。無論是在概念的形成、發現還是在應用過程中，盡量不采取直接板書或教師灌輸的方法，而是有意識地營造一個較為自由的空間，讓學生能主動去觀察、猜測、發現，積極動手動口動腦，教師在教學過程中再加以引導、點撥和糾偏示范。4.2 二元一次方程組 浙教版七年級（下）

一、〖教學目標〗

◆

1、知識與技能目標：

(1)、理解二元一次方程組的概念和二元一次方程組解的含義。（2）、會檢驗一對數是不是二元一次方程組的解，會利用列表嘗試的方法求簡單二元一次方程組的解。（3）、通過對實際問題的分析，使學生進一步體會方程組是刻畫現實世界的有效數學模型，同時培養學生觀察、歸納、概括能力。◆

2、過程與方法目標：

從一個學生熟悉的生活實例引入二元一次方程組的概念，并通過“辯一辯”、“填一填”、“試一試”、“做一做”，加深學生對“二元一次方程組”和“二元一次方程組的解”的概念的理解；并使學生初步了解用列表嘗試的方法求二元一次方程組的解，并使學生在解決問題的過程中經歷知識的產生過程。◆

3、情感與態度目標：

從學生的生活實際提出問題，既體現知識的學習過程，又體現知識的應用過程，同時還有利于激發學生的學習興趣，有利于學生養成關注身邊的事例、關心他人，培養一種社會的責任感。

二、【教學重點、難點】

重點是二元一次方程組的意義和二元一次方程組解的概念。難點是利用列表嘗試的方法求簡單二元一次方程組的解。【教學準備】

多媒體、實物投影儀。

三、〖教學方法和手段〗

基于本節課內容的特點和七年級學生的心理及思維發展的特征，在教學中選擇激趣法、討論法和總結法相結合。與學生建立平等融洽的互動關系，營造合作交流的學習氛圍。在引導學生進行觀察分析、抽象概括、練習鞏固各個環節中運用多媒體進行演示，增強直觀性，提高教學效率，激發學生的學習興趣。

四、【教學過程】

教學環節 教師活動 學生活動 設計意圖

創設情境 提出問題

引出新知

課前4分鐘開始播放音樂《龍泉之歌》

介紹我的兒子丁丁。

丁丁想利用家里的天平稱出一個蘋果和一個梨的質量分別是多少？ 問題展示： 一個蘋果和一個

梨的質量合計200g。

這個問題中，如果設蘋果和梨的質量分別為x g和y g，你能列出方程嗎？ 利用這個方程你能幫助丁丁分別求出蘋果和梨的質量嗎？

這個蘋果的質量加上一個10g的砝碼恰好與這個梨的質量相等，你還能列出方程嗎？

方程和中，x，y都分別表示同一個未知數，也就是說，x，y的值必須同時滿足上述兩個方程，因此可以把兩個方程合起來，寫成，像這樣由兩個一次方程組成，并且含有兩個未知數的方程組，叫做二元一次方程組。

學生欣賞音樂

交流討論得出： 方程

為例題改編為去龍泉山旅游創設情境。

復習二元一次方程的概念及二元一次方程的解有無數個。

經歷從實際問題中抽象出二元一次方程組的過程，體會方程的模型思想”

鞏固概念

請判別下列各方程組是不是二元一次方程組：（1）（2）（3）（4）（5）（6）

師生共同歸納出二元一次方程組的特征： ①兩個一次方程；②共含有兩個未知數。強調：這兩個條件缺一不可。學生舉手表決

通過對二元一次方程組的甄別，加深學生對二元一次方程組的理解。

嘗試 探索

再次引出新知 做一做

1、（1）已知方程，填寫下表： x。。85 90 95 100 105。。y。。

。。提問：你能從中確定蘋果和梨子的質量嗎？（2）已知方程，填寫下表： x。。85 90 95 100 105。y。。

。

問題：現在你能找出蘋果和梨的質量分別為多少g嗎？為什么？

問題：（1）方程組中每個方程的解都適合方程組嗎？（2）什么是方程組的解呢？

（3）你能說出這個方程組的解嗎？

同時滿足二元一次方程組中各個方程的解，叫做這個二元一次方程組的解。

自主探索，口答就方程而言有無數組解，也就是說蘋果和梨子的質量不能唯一的確定。自主探索，口答

合作思考、討論、探索解決問題得出，因為

方程和方程中，x，y都表示同一個未知數，也就是說，x，y的值必須同時滿足上述兩個方程。

討論交流得出：

同時滿足二元一次方程組中各個方程的解，叫做這個二元一次方程組的解 是。通過自主探索體會從實際問題中抽象出二元一次方程組及二元一次方程解的不確定性，與二元一次方程組的解的唯一性的辯證關系。反饋練習

鞏固概念（1）（2）（3）（4）

1、把下列各組數的題序填入圖中適當的位置：

2、請寫一個以為解的二元一次方程組。

自主練習口答

請各位學生都來當老師，同桌同學之間互相評判。程解之間的關系。

進一步體會方程組的解與其中各方把時間和空間都還給學生，使他成為課堂的主人。激發了興趣 提高了能力。

應用 探究 發展能力 例丁丁全家外出旅游，估計需要膠卷底片120張，商店里有兩種型號的膠卷：A型每卷36張底片，B型每卷12張底片，丁丁的媽媽一共買了4卷膠卷，剛好有120張底片。如果設兩種膠卷分別買了x卷和y卷，請根據問題中的條件列出關于x，y的方程組，并用列表嘗試的方法求兩種膠卷的數量。指出：因為x，y必須取自然數（為什么？）

x的最小可能性是多少？ 所以可以列表嘗試如下： x 0 1 2 3 4 y

36x+12y

顯然，只有x=3，y=1符合這個方程組，所以方程組的解是

答：買了A型膠卷3卷，B型膠卷1卷。分組討論，交流 根據條件可列出關于x，y的方程組

因為膠卷是整卷賣的，所以x的值可分別取是0，1，2，3，4。相應的y的值可分別取4，3，2，1，0。討論如何列表。

綜合運用知識養學生探究、創新的精神和合作交流的意識。

反饋練習及時調控 用8塊相同的長方形木地板拼成一個矩形，每個小長方形的長寬如圖，請列出關于x、y的二元一次方程組，你能求出所拼成的大長方形的面積嗎？ 自主練習

分組合作，交流探討。

本題是一道數形結合題，可列出多個不同的方程組，不僅可以鞏固本節課的知識點，更是培養了學生的發散性思維，同時又為下節課的代入消元法解方程組埋下伏筆。回顧總節

布置作業

1、通過這節課的學習，你有什么收獲？（根據學生的所思所感，教師給予恰當的評價。）歸納：

（1）在日常生活中有很多含有兩個未知數的實際問題，列二元一次方程組是出于解決含有兩個未知數的問題的需要。

（2）由兩個不同的一次方程組成，且含有兩個未知數的方程組，一般有唯一確定的解。

2、布置作業：作業本（2）P18 討論、整理、口答 相互補充。引導學生思考、交流、梳理所學知識。“幫助別人，收獲快樂；勤于思考，體驗成功”，使學生形成的積極情感體驗得到升華。

【教學設計說明】

本節課以丁丁的三個問題為主線來組織教學，以豐富的生活情景激發學生的求知欲望，讓學生充分體驗到：數學來源于生活，又應用于生活。

通過用天平直觀形象的展示抽象出二元一次方程組的過程，體會方程組的模型思想，進一步讓學生經歷體會從實際問題中抽象出數學問題，發展學生靈活運用有關知識解決實際問題的能力，培養學生良好的數學應用意識。同時綜合運用探索、啟發等幾種方法，體會從實際問題中抽象出二元一次方程組及二元一次方程解的不確定性，與二元一次方程組的解的唯一性的辯證關系。并結合多媒體、實物投影儀等現代教學手段實施教學，體現直觀性。通過邀請學生“到龍泉山旅游，一定來我家作客”，拉近師生間的感情，使學生產生積極的學習情感。通過對問題的解決，展示學生解決問題的成果，體驗成功的快樂。

《定義與證明》教學設計

課題 4.1定義與證明

教材 浙教版數學八年級下冊 教師

楊慧

學校

寧波市第七中學

教 學 目 標

知識 技能 1． 了解定義的含義;2． 了解命題的含義;3． 了解命題的結構;4.掌握區分命題的條件和結論.過程 與方

授課 法 1． 經歷感受定義的含義,能敘述一些簡單的數學概念的定義;2． 體驗命題的含義;3．體驗區分命題的條件和結論,會把一個命題寫成“如果?那么?”的形式；

情感 態度 1.在探索問題的過程中,感悟數學術語的科學性和嚴密性;2.在與他人的合作過程中，培養學生敢于面對挑戰和勇于克服困難的意志。3.鼓勵學生大膽嘗試，從中獲得成功的體驗，培養學生的合作意識和團隊精神。教學重點 命題的概念 教學難點 對條件和結論不十分明顯的命題,改寫成“如果?那么?”的形式時,學生會感到困難,是本節課的難點.教學準備與教學媒體

練習紙、多媒體 教法

及學法 自主、合作、探究、體驗式教學法 教學過程設計 教學環節 教學活動 師生活動 設計意圖

環節1 創 設 情 境，導 入 新 課

環節1 創 設 情 境，導 入 新 課(續)

1.活動1

叫四位同學名字,請四位同學起立;(幻燈: 名字讓素不相識的我們認識了!)2.活動2 請這四位同學幫忙回答問題:(①兩同學根據幻燈播放的圖片說出名稱:五星紅旗;奧運鳥巢②兩同學根據幻燈播放的名稱展示實物:雙手;三角尺)3．小結: 在生活中,正是因為有了這些名詞,讓我們能夠由實物說出它的名稱,也能由名稱聯想到對應的實物!(幻燈:名稱,讓剛剛認識的我們溝通了!)4.活動3(幻燈:出示正方體，三角形圖片，還有無理數和平行線的名詞)（請同學們大聲說出圖形的名稱！）師總結:這些名稱，我們知道它們的意義，所以我們能由名稱聯想到什么！我們再來看這兩個數學名詞：優弧、劣弧

（師：同學們能很快地說出它們的意義嗎？）

同學們可能并不十分清楚它們的意義，所以（幻燈：生詞，讓正在溝通的我們中斷了！）

總結：所以，為了便于溝通和交流，達到某種共識，不造成歧義，我們有必要對一些名稱和術語的意義作清楚的規定！

老師叫4名同學名字，叫到的學生起立,并根據幻燈回答分別回答問題.學生大聲說出幻燈上圖形的名稱

學生搖頭 本環節設計包含兩層意思:(一)已經有的有其明確含義的名詞給我們的溝通交流帶來的方便;(二)含義不明確的名詞給交流帶來的不便,所以我們非常有必要清楚規定一些名稱和術語的意義(下定義)1.由叫同學們的名字,讓同學們意識到取名字的必要性(為下面的名稱和術語定義必要性作了鋪墊)2.四同學的活動讓同學們認識到已有的名詞和術語給我們的溝通帶來的方便(為名稱和定義的必要性又做了鋪墊)

3.正方體，三角形，平行線，無理數是學生熟悉的并知道其意義的數學名稱，而優弧，劣弧一下子又難倒了學生，這樣前后一比較，讓學生深刻體會到給名詞定義的必要性！

4．在以上幾個步驟層層鋪墊的前提下,.讓學生一步步感受對某些名詞和定義的必要,自然引入到定義的教學!環節2 實 踐 活 動，探 索 新 知

環節2 實 踐 活 動，探 索 新 知（續）

環節2 實 踐 活 動，探 索 新 知（續）

環節2 實 踐 活 動，探 索 新 知（續）

（一）定義 1.定義的含義

(1)從學生熟悉的數學名稱（剛才出現在幻燈中的）為著入點學習定義的含義: ①三角形：由不在同一直線上的三條線段首尾順次連結而成的圖形叫做三角形 ②無理數：無限不循環的小數叫做無理數

③平行線：同一平面內不相交的兩條直線叫做平行線。

（師：這些語句清楚地規定了三角形、無理數，平行線的意義，我們就把它稱為三角形，無理數，平行線的定義。）（2）定義的含義

一般地，能清楚地規定名稱和術語的意義的句子叫做該名稱和術語的定義（根據這三個定義，你能說說一般情況下一個名稱和術語定義的句子結構以什么形式呈現的嗎？）

2．趁熱打鐵: 給已學名稱和術語下定義（1）極差

（2）直角三角形（3）壓強（學生說完）

（二）命題 1．命題的含義

(1)命題的含義的引入

（師：現在你們知道優弧、劣弧的含義了吧？那我們又可以繼續交流了）

學生:???.師：同學們在比較中出現了正確的，也出現了不正確的結果，但都是對兩條弧的長度作出了判斷

(2)命題的含義 引出命題的定義: 命題:對一件事情作出正確或不正確的判斷的句子叫做命題.2.練習(辨一辨)(1)

3．命題的結構及命題的改寫（改寫成如果。。那么。。的形式）（1）命題的結構

師：我們著重來分析上面第六句：

如果兩個三角形是全等三角形，那么這兩個三角形的對應角相等 問：同學們認為這個命題的條件和結論分別是什么？ 學生：?? 師小結：

命題可看做由題設（條件）和結論兩部分組成。題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項。（2）命題的改寫

師：再來看這個命題： 全等三角形的對應角相等

師：現在你們認為這個命題的題設和結論又是什么呢？

（讓學生感受到在連結過程中出現了語句不通順，自然意識到適當增加語詞的必要性）（然后再幻燈出示：

如果兩個三角形是全等三角形，那么這兩個三角形的對應角相等 讓學生在比較中感受到（1）改寫成“如果。。那么。。”形式的必要性；（2）怎樣適當地補充詞語。

例題：請指出下列命題中的條件與結論，并改寫成“如果?那么?”的形式。1． 兩直線平行，同位角相等。2． 同位角相等。3． 對頂角相等。

4． 同一個三角形中等角對等邊。

練一練：

1．兩條邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等;2．直角三角形兩個銳角互余.學生探索一個名稱和術語定義的句子結構的呈現形式

學生順利說出前三個

學生閱讀，找出敘述中的定義

學生比較如圖兩種弧的長短

教師制造小情境先舉幾例！讓學生說說判別一個句子是否是命題的關鍵要領是什么？

學生練習

教師問，學生答

學生說題設和結論，教師趁熱打鐵，讓學生用“如果?那么?.”的形式連結

教師分析，學生嘗試

學生練習

本環節設計意圖包含三層意思:(一)已經有的熟悉的名稱和術語是怎樣定義的,定義的句子的形式在一般形式上是怎樣呈現的

(二)模仿熟悉的名稱和術語的定義給學過的名詞下定義

（三）在一段敘述中要會找出名稱和術語的定義，并感知敘述中需要下定義的名稱和術語。(特殊 一般)

本環節的設計意圖

知道了為什么要定義以及對一些已學名稱下定義，還要讓學生學會如何在一段敘述中找出定義，讓學生學會學習的一種方法。

（1）解釋了剛才學生感到迷惑的生詞（優弧和劣弧）（承上）

（2）根據優弧，劣弧定義，教師提示又可以繼續交流了（然后接下環節讓學生比較如圖的優弧，劣弧的長度，引出正確和不正確的判斷，啟下）

在學生比較中出現了正確的，也出現了不正確的，但都是對如圖兩種弧的長度作出了判斷，教師此時

引出命題的定義。

很好得起到承上啟下的作用!

練習讓學生學會通過判別一個句子是否是命題的關鍵要領來識別一句句子是否是命題，有些內容編排貼近學生生活實際，有些命題是下面改寫如果那么要用到的，讓學生感受到知識的系統化。

先出現如果。。那么。。的形式的命題的目的：

(1)一般的上課思路是直接讓學生把一個命題改寫成“如果。。那么。。”形式，學生只是機械接受，沒有意識到為什么要把一個命題改寫成“如果。。那么。。”形式。（2）先出現“如果。。那么。。”形式，讓學生感受到在如果。。那么。。形式下的命題找題設和結論是非常容易的。而學習命題就要學會找命題的題設和結論，所以讓學生領會把一個命題改寫成“如果。。那么。。”形式的必要性

（3）而且有些命題找出題設和結論比較困難，那么先以“如果。。那么。。”形式呈現，讓學生感受到在此形式下找出題設和結論的方便的同時，也自然過渡到非“如果。。那么。。”的形式下的同一個命題，讓學生在對比的情況下感受到此命題要適當加上一些省略的詞語！

此例的編排意圖：

（1）兩直線平行，同位角相等的改寫是最基礎的，讓學生嘗試成功的喜悅；

（2）在第一個命題的基礎上，改寫第二個命題，讓學生感受到一個命題的結論其實也是一個命題，而且讓學生明白錯誤的命題其實也可以改寫“如果?那么?”的形式。在形式上也為下一句對頂角相等的命題的分析作好鋪墊！

環節3 操 作 演 練，內 化 方 法

(三)合作學習

小組爭輝：先閱讀,再回答: 觀察下列各數: 6=1×2×3 24=2×3×4 60=3×4×5 120=4×5×6 ??

我們把6,24,60,120這四個數都叫做“連綿數”

（1）請觀察等式右邊，給連綿數下個定義。（2）探索連綿數的性質：

①“連綿數”一定是3的倍數．請把這個命題改寫成“如果?那么?”形式．

②對兩個連續的連綿數進行“加、減、乘、除”運算，會得到一些有趣的結論，根據你的猜想說出一些命題．

（3）關于“連綿數”遐想 你能把“連綿數n(n+1）（n+2）”的三個因式n，(n+1)，（n+2）和三角形的三邊聯系，說出一些命題嗎？

師小結：定義把名詞的含義說清楚，不至于引起歧義；可以從探究名詞的屬性和相互關系中找到命題，創造命題。

小組合作討論,教師巡回指導

小組合作環節意圖： 讓學生體會：

（1）給名詞適當的下定義；（2）怎樣找命題，造命題；

（從名詞間的屬性和名詞間的關系中找、造）

（3）在與他人的合作過程中，培養學生敢于面對挑戰和勇于克服困難的意志。環節4 收 獲 與 感

悟 師生總結：

學生談收獲，教師總結 在教師引導下，學生自主進行歸納，能夠使所學的知識及時歸納如學生的認知結構。環節5 課后 延伸

布置 作業

1．必做題：作業本，同步練習2．選做題：書本作業題

３．課外思考：班級中小組進行合作，盡可能多地發現生活和學習中的定義與命題，并把命題改寫為“如果?那么?”的形式

學生記錄作業內容

通過作業的布置對本節知識復習和鞏固，實現對知識的應用的拓展。

設計說明：

1．談談我的引入：

本環節設計包含兩層意思:(1)已經有的有其明確含義的名詞給我們的溝通交流帶來的方便;(2)含義不明確的名詞給交流帶來的不便,所以我們非常有必要清楚地規定一些名稱和術語的意義(下定義)，整個過程貫穿三句話：①名字，讓素不相識的我們認識了!②名稱，讓剛剛認識的我們溝通了！③生詞，讓正在溝通的我們中斷了！過程說明: 由叫同學們的名字,讓同學們意識到取名字的必要性(為下面的名稱和術語定義必要性作了鋪墊)四同學的活動讓同學們認識到已有的名詞和術語給我們的溝通帶來的方便(為名稱和定義的必要性又做了鋪墊)正方體，三角形，平行線，無理數是學生熟悉的并知道其意義的數學名稱，而優弧，劣弧一下子又難倒了學生，這樣前后一比較，讓學生深刻體會到給名詞定義的必要性！

在以上幾個步驟層層鋪墊的前提下,.讓學生一步步感受對某些名詞和定義的必要,自然引入到定義的教學!體現了引入新知識的一個重要原則------由自然到必然。2.談談我對定義這部分教學的處理: 本環節設計意圖包含三層意思:(1)已經有的熟悉的名稱和術語是怎樣定義的,定義的句子的形式在一般情況下是怎樣呈現的(2)模仿熟悉的名稱和術語的定義給學過的名詞下定義（3）在一段敘述中要會找出名稱和術語的定義(特殊 一般)3． 談談我對從“定義”到“命題”的過渡的處理：

本環節的設計意圖：學生下定義，讓學生明白其實在平時的學習中，我們還要學會找出某些名稱和術語的定義，教師趁熱打鐵讓學生閱讀一段關于優弧、劣弧的定義的敘述，目的讓學生學會如何在一段敘述中找出定義，而這兩個詞正是情境創設里學生遇到的生詞，也是急切想知道其含義的，出現在這里，一是讓學生感受到是優弧、劣弧的定義讓他們理解了其含義，更體現了定義的必要性；二是教師可從這個環節過渡到讓學生根據優弧、劣弧的定義比較如圖所示的優弧、劣弧的長，從學生正確的和不正確的判斷中引入“命題”的教學。

4．談談我對難點的處理：

本堂課的難點:對條件和結論不十分明顯的命題,改寫成“如果?那么?”的形式時,學生會感到困難,是本節課的難點.我的做法是:先出現一個“如果。。那么。。”形式的命題(如果兩個三角形是全等三角形，那么這兩個三角形的對應角相等),讓學生找題設和結論,然后再把此命題以(全等三角形的對應角相等)形式呈現,再讓學生找題設和結論,讓學生在找的過程中,感受以下幾點:

(1)一般的上課思路是直接讓學生把一個命題改寫成“如果。。那么。。”形式，學生只是機械接受，沒有意識到為什么要把一個命題改寫成“如果。。那么。。”形式。（2）先出現“如果。。那么。。”形式，讓學生感受到在如果。。那么。。形式下的命題找題設和結論是非常容易的。而學習命題就要學會找命題的題設和結論，所以讓學生領會把一個命題改寫成“如果。。那么。。”形式的必要性

（3）而且有些命題找出題設和結論比較困難，那么先以“如果。。那么。。”形式呈現，讓學生感受到在此形式下找出題設和結論的方便的同時，也自然過渡到不是“如果。。那么。。”的形式下的同一個命題，讓學生在對比的情況下感受到此命題要適當加上和怎樣加上一些省略的詞語！

5．談談我對改寫成”如果?那么?”命題的例題的處理： 1．兩直線平行，同位角相等。2．同位角相等。3．對頂角相等。

4．同一個三角形中等角對等邊。（1）兩直線平行，同位角相等的改寫是最基礎的，讓學生嘗試成功的喜悅；

（2）在第一個命題的基礎上，改寫第二個命題，讓學生感受到一個命題的結論其實也是一個命題，而且讓學生明白錯誤的命題其實也可以改寫“如果?那么?”的形式。在形式上也為下一句對頂角相等的命題的分析作好鋪墊！

6．談談我對學生情感的培養：

在教學設計中我注重學科間的滲透與情感目標的培養，練習里的許多題目都是來自桐鄉本土的一些命題，激發學生的“愛我家鄉”的情感，在小組活動中培養學生團結協作的團隊精神。7．談談對整堂課的總的想法： “數學教學是數學活動的教學”。數學學習是一個經歷體驗的過程，從整個案例來看，通過教師引導在非常自然狀態下獲得新知，又讓學生通過用已經學過的知識解決具體問題，用自己的話來概括。讓學生充分體驗知識的產生過程，使學生在不斷地參與、探究、動腦中獲得新的知識，而且很快將新的知識納入舊知識體系，學生的能力培養與知識的形成結伴而行，真正做到了讓學生體會知識發生、發展、形成的全過程，體會到了學生才是學習的主人。在創設情境、問題探究、鞏固提高、課后作業中均可以使學生感受本節課知識的多樣性，以及課外知識的延續，留給學生更廣闊的思考空間和想象空間。

4．1 定義與命題（浙教版）

一、教材分析

1、教材的地位和作用: 定義與命題的知識在貫穿于整個初中數學知識體系,但作為單獨的章節進行學習,還是首次,在設計上體現了對數學本原的思考,關注的是數學知識的產生和發展過程,目的就是為了通過本節課以及后續知識的學習,使學生感受整個數學體系的建立和完善的過程,是由實驗幾何向推理幾何過渡的重要章節.而作為本章節的第一課時,為學生在本章節中更好的開展學習起著至關重要的作用.2、學情分析:本節課針對的是八年級下學期的學生,他們在數學學習上已經有了一定的積累,但從數學知識的產生和發展的角度來學習和理解數學中最基本的概念,對學生來說也是第一次,在教學設計上要考慮學生對知識的可接受程度.另外,上課學校是一所知名學校,學生在學習上,應該具備一定的能力和水平,通過努力應該可以達到相應的教學要求.3、課時劃分:共2課時

二、教學目標

1、知識技能目標: 了解定義的含義,了解命題的含義,掌握區分命題的條件和結論,會將一些命題改寫為“如果?,那么?”的形式.2、過程與方法目標: 學生通過本節課內容的學習,使學生經歷定義的產生過程,感受定義的必要性.同時對命題的含義有初步的體驗.體驗區分命題的條件和結論的重要性和必要性.3、情感態度,價值觀目標: 通過與學生的交流互動,營造愉快、和諧的課堂氛圍,積極鼓勵學生參與和活動,使學生感受到學習數學的快樂,培養學生主動探索數學知識的積極態度.三、教學重點、難點

1、教學重點:命題的概念.2、教學難點:命題的結構認識和改寫.四、教法與教具選擇

1、教學方法:啟發式教學.2、教具選擇:多媒體、其他教具.五、教學過程

教學 環節

教學程序

師生互動

設計意圖 創設 情境 “硬廣告”的問題交流必須引入定義.新課

定

義

引導學生參與課堂交流.使學生感受到為了進行有效的1、定義的含義

一般地,能清楚地規定某一名稱或術語的意義的句子叫做該名稱或術語的定義.定義的核心功能是能清楚地規定名稱和術語的意義.2、對定義的強化鞏固（1）、舉出幾個數學中的定義.（2）、舉出其他學科名稱的定義.3、如何定義

觀察下列多項式的特征.給以名稱,并作出定義: x2 – 2x – 1

2x2 + 3x + 1

x2 – 2xy + 2y2 4a2 – 4ab + b2

4、定義的價值

例題:校園中,并不令人在意的教室墻角,卻讓我產生了興趣.問題1:按我們的生活經驗,墻角的線AO與BO應有什么位置關系？

問題2:如何判斷（驗證）垂直？ 強調定義的功能.學生自由發言,組織學生評價,捕捉學生反饋的信息,適時地引導學生感受數學定義的嚴密性和簡潔性等.師生交流 老師引導

強調“次、項”

與學生交流 教師歸納

教給學生獲取知識的方法和途徑,讓學生的學習可持續發展.從定義出發來判斷,解決問題.既體現定義的價值,有可作為定義到命題的情境過渡.從定義出發思考問題的解決.命

題

引例:比較下列句子在表述形式上,哪些對事情作了判斷？哪些沒有對事情作出判斷？（1）鳥是動物.（2）若a2=4,求a的值.（3）若a2=b2,則a=b.（4）a,b兩條直線平行嗎？

（5）對頂角相等.（6）畫一個角等于已知角.（7）鄰補角是互補的.1、命題含義

一般地,對某一件事情作出正確或不正確判斷的句子叫做命題.練習:

1、三條邊對應相等的兩個三角形全等.2、在同一個三角形中，等角對等邊.3、對頂角相等.2、命題的深入認識

問題:命題為什么可以判斷對錯？

對命題的條件和結論分別置換，在分析和歸納:

1、語句中的判斷不管正確或不正確,都有判斷功能,都是命題.2、命題中的各個部位之間存在某種聯系（邏輯關系），3、命題的結構特征

例題:三條邊對應相等的兩個三角形全等.從命題的邏輯關系來理解:是已知“三條邊對應相等”這個條件,得到“這兩個三角形全等”這個結論.為了更好的研究命題,我們把命題的結構分為“題設”和“結論”兩個部分組成.題設是已知事項,結論是由已知事項推出的事項.練習:找出命題的題設和結論:在同一個三角形中，等角對等邊.4、命題的改寫

問題:寫出命題“對頂角相等.”的題設和結論.分析:

1、題設為:對頂角,結論為:相等.這樣妥當嗎？

2、從題設和結論的定義入手思考:題設是已知事項,結論是由已知事項推出的事項.3、為了幫助大家更好的理解命題的結構,我們在此基礎上引入了“如果...,那么...”這個關系連詞來幫我們更好地確定命題的題設和結論.得出:如果兩個角是對頂角,那么這兩個角相等.例題:把命題改寫成“如果...那么...”的形式

1、三條邊對應相等的兩個三角形全等.2、在同一個三角形中,等角對等邊.3、對頂角相等.練習1:課內練習3 練習2:課內練習4.(你能寫出2個數學中的命題,并寫成“如果?那么?”的形式.)學生自主完成.歸納命題的核心功能

導學生對命題的結構進行分析

強調對命題條件和結論的分析

強調大前提的書寫,如果不寫,會有什么問題出現？

學生討論,自主發言

學生自主活動

突出語句的判斷功能

針對學生在命題理解上的誤區,強化認識.學生感受命題中條件和結論的存在.使學生心中的命題結構化.為后面的題設、結論的認識、區分,更為命題的改寫作鋪墊.準確的找到題設和結論關鍵之處在于:找準命題的已知條件和結論.體現定義的價值

強調引入“如果?那么?”的原因和作用.強化認識

強化對改寫的認識和鞏固.數學 游戲（小 結）數學游戲: 三位數黑洞 學生自主探索 感受數學知識的形成過程。板書設計：略 教學設計說明: 定義與命題的知識貫穿于整個初中數學知識體系, 作為本章的第一節課,教材在設計上體現了對數學本原的思考,關注的是數學知識的產生和發展過程,是實驗幾何向推理幾何的過渡。目的就是為了通過本節課以及后續知識的學習,使學生感受整個數學體系的建立和完善的過程.根據大綱的要求和本節課的目標定位,以及知識的重難點分布,考慮到學生的可接受范圍,本節課教學設想如下: 關鍵是處理好“四個關系”

一、定義與命題的關系

定義和命題之間存在一定的邏輯關系,考慮到學生的理解、接受能力,教學上我們進行了適當的處理.從定義和命題所共有的判斷功能,切入命題的教學,自然在命題的定義的生成過程中,讓學生嘗試自主定義,強化命題的特征,體現了定義的價值.使定義和命題的學習相輔相成.二、題設與結論的關系

在題設和結論的學習之前,教學上進行了鋪墊,即對命題的相應位置進行置換,使學生初步感受到命題是有“固定結構”的,形成命題是由“條件”“結論”兩部分構成的“心理印象”.有了這樣的鋪墊,對于某些命題的改寫,建議學生從命題的結構特征方面來思考,能有效地幫助突破命題的改寫難點.三、學生和老師的關系

本節課是一節概念課,從內容分析,學生不易領悟.在課堂教學組織上,更多的注意到了老師和學生的心理距離問題和情感基礎問題.通過老師的情感投入、積極的鼓勵、激情的調動.激勵學生主動地參與,以期在學生為主體的討論和學習中,使學生能輕松學習,愉快交流.并在此情感基礎上提高課堂教學的有效性.四、定義、命題與數學知識體系的關系

定義是數學思維的細胞和思維的基本形式,從定義出發思考問題的解決是數學的基本方式.而命題作為數學推理的基礎,是最基本的思維形式.兩者都是建立數學體系的基礎.在教學中主要抓住定義的必要性、命題的形成過程以及它們的推理價值,來突出和強化這種關系.課以黑洞數的數學游戲為載體，使學生經歷“實驗操作----觀察發現-----科學定義----大膽猜想----執著論證”的過程，體驗數學知識的發現過程、感受數學知識的研究方法,滲透數學的科學態度和科學精神.課題：定義與命題

（一）教學目標： 知識技能目標：

1． 讓學生了解定義的含義并了解給一些名稱下定義的常用方法； 2． 讓學生了解命題的含義；

3． 讓學生掌握命題的結構，能夠區分命題的條件和結論，會把命題改寫成“如果??，那么??”的形式；

4． 讓學生了解類比的思維方法； 過程性目標：

5． 讓學生經歷術語定義產生的過程，在通過類比、完成填空的過程中培養自學的能力； 6． 讓學生經歷“命題”這個名詞的定義產生過程，進一步了解命題的含義。

教學重、難點：

1． 了解命題的含義，能夠區分“命題”與“正確的命題（真命題）”； 2． 理解命題的結構，把命題改寫成“如果??，那么??”的形式； 3． 學生活動的組織.教學方法與教學手段：

發現探究小組合作主體性講解

教學過程：

一、組織活動、引入新課

創設“幸運52”的場景組織學生活動。（第一關：幸運搶答）

在老師的描述中搶答出這是什么數學名詞。例如：

它是一種方程；

它是兩邊都是整式的方程；

它是只含有一個未知數、未知數的最高次數為1且兩邊都是整式的方程。（答案：一元一次方程）（引入定義）

（設計說明：用“幸運52”這種喜聞樂見的形式引入，讓學生及早融入課堂，積極思考，也作為本節課的一個貫穿的背景。更重要的是，希望學生初步經歷給名詞下定義時候逐步明確的過程，最終清楚的表述就是名詞的定義。）

二、探究一些名詞的定義產生過程

定義：一般地，能清楚地規定某一名稱或術語意義的句子叫做該名稱或術語的定義。例如:（1）“規定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數軸。”是“數軸”的定義；（2）“能夠完全重合的圖形叫做全等圖形”是“全等圖形”的定義。學生活動一：（小組活動）如何給術語下定義：

學生單獨學習一段材料，小組共同作答。閱讀材料： 1．選出下列圖形中與眾不同的一個。

（A）（B）（C）（D）選C，原因如下：

共同點：都是三角形。

不同點：C選項沒有直角，而其余三角形有一個內角是直角。由此把A、B、D選項歸為一類，叫做“直角三角形”。定義為：“有一個角是直角的三角形叫做直角三角形。” 填空作答：

2．選出下列式子中與眾不同的一個。（A）（B）（C）（D）選（），原因如下： 共同點：都是 不同點：

由此把選項歸為一類，叫做“”。定義為：的叫做。

3．請設計一個類似的問題，要求能夠得到“平行四邊形”的定義。小結：請同學談體會，如何給名詞下定義。

（設計說明：通過這個活動，培養學生自學的能力，讓學生經歷給名詞下定義的過程。為了真正做到有效的合作學習，在活動中考慮了以下問題：a.把活動的設計成左右的對比模式，讓學生有意識地根據學習材料進行類比的思考；b.讓學生在進行討論之前先進行獨立思考，有了自己的想法，然后再與別人交換意見，產生思維的碰撞，以真正達到討論的目的。）

三、了解命題的含義并學會判斷句子是否是命題 定義作為判別標準，可以產生很多判斷。如：“是方程。”、“正方形四邊相等。”等等

（設計說明：體會定義的必要性，也作為從定義到命題的過渡。）（第二關：爭分奪秒）

搶答：判斷下列句子是否對事情進行了判斷：（1）對頂角相等。

（2）畫一個角等于已知角。（3）兩直線平行，同位角相等。

（4）動物是鳥。（5）是等邊三角形嗎？（6）若，求的值。（7）若，則。發現（2）（5）（6）沒有對事情進行判斷，我們把（1）（3）（4）（7）歸為一類，叫做命題。按照剛剛學習的下定義的方法，請給命題下一個定義。

命題：一般地，對某一件事情作出正確或不正確的判斷的句子叫做命題。根據命題的定義判斷一些錯誤的句子（剛剛給出的4、7）是否是命題。小結：判斷是不是命題在于是否作出判斷，與正確與否無關。例如：（7）雖然是錯誤的，但依然是命題。

（設計說明：根據剛剛學習的下定義方法，馬上對“命題”這個名詞加以使用，一方面，讓學生覺得“學以致用”，獲得成就感的同時激發他們的學習興趣與信心，另一方面，也進一步鞏固了對定義的理解。）

四、探究命題的結構

兩直線平行，同位角相等。

問題一：如果需要把這個命題劃分為兩部分，那么怎么劃分？ 問題二：劃分的兩部分各自的作用如何？ 問題三：能不能給它們加上一組關聯詞語？

通常寫成“如果??，那么??”的形式。以“如果”引導的部分是條件（題設）：已知事項，以“那么”引導的部分是結論：由已知事項推出的事項。我們給出一些命題，如何區分它的條件和結論？ 學生活動二： 探索命題的結構

1．三邊對應相等的兩個三角形全等。選擇括號里面的內容填在條件和結論處

（△ABC≌△A′B′C′

AB＝A′B′

AC＝A′C′

BC＝B′C′）條件： 結論：

因此，可以改寫為如果，那么。（用文字敘述）

2．同角的余角相等。

選擇括號里面的內容填在條件和結論處

（∠1＝∠2

∠2＋∠3＝90°∠1＋∠3＝90°）條件： 結論：

因此，可以改寫為如果，那么。（用文字敘述）

（設計說明：這個活動意在讓學生體會命題的條件結論之間的關系，符號語言上對應“∴、∵”，文字語言上對應“如果、那么”，體會到條件和結論中存在的因果以及假設關系，也領略到符號語言在數學中體現的強大作用。）

（第三關：幸運考場）

朗讀命題并有意識停頓，再把命題改寫成“如果??，那么??”的形式。1． 正數大于零。

2． 同旁內角互補，兩直線平行。

3． 線段中垂線上的點到線段兩端點距離相等。4． 一次函數的圖象是一條直線。

5． 有兩個內角互余的三角形是直角三角形。6． 在同一個三角形中，等邊對等角。

學生活動三：

準備八張卡片，分別寫好（1）三邊相等

（2）三邊對應相等（3）兩數相等

（4）兩角相等（5）等邊三角形

（6）全等三角形（7）對頂角

（8）兩數的平方相等 請用這八張卡片作為命題的條件和結論，組成四個正確的命題。（設計說明：這個活動可以讓學生體會到條件和結論有時互換是正確的，有時互換卻是不正確的，當條件和結論互換后就變成了另一個命題。更重要的是，在其中讓學生進行開放的數學思考，體現這節課的“數學味”。）

歸納小結：

比較以下幾個句子。（1）是方程；（2）方程是；

（3）方程是含有未知數的等式；（4）含有未知數的等式是方程。問題一：請找出哪句是在下定義？ 問題二：請找出哪些是命題？

問題三：請找出哪些句子的表述是正確的？

問題四：比較其中兩個或者幾個句子，結合今天的課程，談談你的收獲。（設計說明：呼應本節課的課題“定義與命題”，在小結本節課知識的時候，設計了對比思考的模式，引導學生回答定義與命題的關系，如：“定義都是正確的命題，命題不一定是正確的，命題也不一定是定義，定義有充分必要性”等等，允許不同層次的學生有不同的理解。通過這個活動小結本課，學生能進一步理解定義與命題以及它們的區別與聯系，完成知識內化和升華。）

布置作業

必做題

P72 作業題

A組 選做題

P72 作業題

B組

《4.1 定義與命題》(第2課時)的教學設計 教材：浙教版初中數學八年級下冊

一、教學目標: 知識技能目標：

1．了解真命題和假命題的概念。

2．會在簡單的情況下判別一個命題的真假。3．了解公理和定理的含義。過程性目標：

1．從生活命題引入數學命題，并通過小組活動，讓學生在自己提出問題、自己解決問題的過程中經歷知識的產生過程, 并在這個過程中了解類比、歸納、分類等思維方法。

2．在學生總結命題、真命題、定理和公理之間的關系中，感受數學知識間的內在聯系。3．通過對真假命題的判斷，初步體驗舉反例、推理說明等數學方法。

二、教學重點和難點：

本節教學的重點是命題的真假的概念和判別。

判別命題的真假其實已涉及證明，無論在方法上，還是在表述上，學生都會有一定的困難，這就是本節教學的難點。

三、教學方法和教學手段：

本節課從學生的已有認知水平出發，采用情境引入——探究新知——鞏固新知——學以致用——暢所欲言的模式展開，教師在教學中引導學生自主探索，組織學生兩兩合作，小組討論，合作學習的學習方式而進行，充分讓學生動口、動手、動腦，并采用多媒體輔助教學。

四、教學過程： 教學設計 教師活動 學生活動 設計意圖

一、情境引入

以生活情境引入，讓學生感受生活中的命題有正確和不正確之分。

教師組織播放課件并提出問題。

學生獨立思考并回答問題

用學生熟悉、關注的問題入手，讓學生感受生活中的命題有正確與不正確之分，激發學生學習數學的興趣和熱愛家鄉的情感。

二、探究新知： 1．試一試：

教師組織每一位同學先寫出一個數學命題，然后請他的好朋友判斷命題是否正確，并說明理由。

教師出示學生的部分命題。學生所寫的命題中可能有正確，也可能有不正確（如果沒有上面的情況，則由教師補充）。

在學生判斷命題是否正確的過程中，引入假命題、真命題的概念，并鞏固對真命題、假命題的判斷。

所寫的命題中可能有定理、公理，從而引入定理和公理的概念并例舉公理（如果沒有上面的情況，則由教師補充）。

所寫的命題可能出現不作為公理、定理的真命題（如果沒有，則由教師補充）。

通過學生判斷真命題和假命題的過程，引導學生歸納出判斷真命題和假命題的方法。

2．理一理：

由學生小組討論：命題、真命題、定理和公理之間的關系，并在學生的回答中相互補充。

教師出示問題，組織學生活動。

引入定理和公理的概念并例舉公理。

教師組織學生討論。

學生相互出題，回答，交流，互動，并總結判斷真命題、假命題的方法。

學生回答并相互補充

學生分小組討論，總結出四者之間的關系。

把課堂交給學生，讓學生自己提出問題，自己解決問題，并在互動中引出新知，讓學生自己感受知識的發生發展過程，培養學生的概括能力和語言表達能力；并在這個過程中了解類比、歸納、分類等思維方法．

采用合作交流的形式，培養學生的協作能力，讓學生感受數學知識間的內在聯系。

三、鞏固新知：

教師組織學生活動：游烏鎮，展風采。分小組競賽，搶答。1．判一判：

所有的定理是真命題。（）所有的真命題都是公理。（）

2．選一選：

下列命題中真命題的是（）（A）從“1、2、3、4、5、6”六個數中任意選一個數，是偶數的概率是0．4（B）若a與b互為相反數,則 a+b =0（C）絕對值等于它本身的數是正數（D）任何一個角都比它的補角小 3．辯一辯：

有甲乙兩位同學在討論數學問題時，甲說：若有＞，則一定有＞，乙說：若有＞，則一定有＞.請判斷哪位同學說得對？為什么？

4．填一填: 補全下列命題的條件和結論，使命題成為真命題。，那么兩直線平行.5．推一推

如圖，若∠1=∠2，則∠3=∠4.請用推理的方法說明它是真命題。

教師出示問題，組織學生活動。

學生分小組競賽，搶答。

學生回答

學生回答

學生回答

學生回答

學生回答

及時鞏固學生對真命題、定理、公理的認識。

鞏固對真假命題的判斷

鞏固對假命題的判斷

鞏固對真命題的判斷，培養學生的發散性思維。

鞏固對真命題的判斷，培養學生思維的嚴密性和初步的推理能力。

四、學以致用：

如圖，AB、CD相交于點O，給出下列五個論斷：

①∠A=∠D ② AC=BD ③ OC=OB ④ OA=OD以其中兩個論斷為條件，一個論斷為結論，寫出一個真命題和假命題，并說明理由。

教師出示問題

學生分小組討論，各小組間交流發言。

培養學生的合作意識，提高學生的合作交流能力，培養學生的發散性思維，在合作中體驗成功的喜悅。

五、暢所欲言：

通過本堂課的探索，你有什么收獲和體會？ 學生暢所欲言，表達心聲。教師引導學生總結。學生暢談自己的體會與收獲，以及還存在的問題。

培養學生學習后自我反思的良好習慣。

六、作業布置：

必做題：作業本（2）18頁

選做題：課本74頁第（6）題 教師布置作業

作業分層布置

教學設計說明：

1.本節課的設計分為六個環節：情景引入－――探究新知―――鞏固新知―――學已致用―――暢所欲言―――作業布置．

2．通過情景對話讓學生感受生活中的命題有正確與不正確之分，激發學生學習數學的興趣和熱愛家鄉的情感。

3．組織學生寫命題，互相判斷命題是否正確的過程，引入真命題、假命題的概念，再通過對真命題和假命題的判斷過程，引出公理和定理，并由學生歸納出判斷命題真假的方法，再由小組討論得到命題、真命題、假命題、公理、定理之間的關系，讓學生感受數學知識間的內在聯系。這一設計不但激發學生的學習熱情，而且引導學生互相合作、互相學習、互相促進。同時，學生在互相檢測的過程中自己發現問題，提出問題，解決問題。

4．采用分層教學，整堂課的設計既有基礎訓練，又有能力提高，讓不同層次的學生得到不同的發展。5．重視學生合作能力的培養。課堂教學中有學生與學生之間，師生之間，小組之間的合作，通過合作交流的學習形式，培養學生的協作能力。

6．教學過程中，充分應用多媒體輔助教學，加強直觀教學，加大思維密度，有力突出重點和難點，提高課堂教學效果。

7．本節課體現以學生為主體的新課程理念，讓學生去說、寫、想、動，教師作為課堂的組織者、參與者、引導者融入到學生的學習中，為學生的表現提供廣闊的舞臺！

教材：浙教版八(下)第四章課題：定義與命題(2)教學目標: 知識與技能

1、了解真命題和假命題的概念;

2、會在簡單的情況下判別一個命題的真假;

3、了解公理和定理的含義.過程與方法

讓學生在命題的判斷；真假命題判別；公理定理的認識過程中了解類比、歸納、分類等思維方法；

情感態度與價值觀

讓學生經歷觀察、實驗、推理等活動，類比、歸納得到真假命題的判別方法，并且在這一過程中獲得一些探索數學知識的初步經驗,形成基本的數學素養.從而提高對數學學習的積極性.教學重點：命題的真假的概念和判別.教學難點：判別命題的真假所涉及推理的方法和表述.教學過程：

一、創設情景

1、通過學生說身邊的廣告語入手，并判斷下面三條廣告語是不是命題.農夫山泉：“農夫山泉有點甜.” 溫迪漢堡包：“牛肉在哪兒？” 滾石樂隊：“感覺是真實的.”

從判斷廣告語是不是命題過渡到數學命題的判斷

2、判斷下列句子中，哪些是命題？哪些不是命題？（1）在直線AB上任取一點C.（2）相等的角是對頂角.（3）不相交的兩條直線叫做平行線.把判斷出來的命題改寫成“如果??那么??”的形式，并且講出它們的條件和結論.讓學生從實踐中復習上節課命題和定義的概念，歸納是不是命題判斷的方法，以及把命題改寫成“如果??那么??”的形式.（板書命題）

二、新課引入

思考下列命題的題設(條件)是什么?結論是什么?并判斷是否正確?你的理由是什么?（1）邊長為a(a＞0)的等邊三角形的面積為

;（2）兩條直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那么這兩條直線平行;（3）對于任何實數 x, x2 ＜0.在上述命題中，學生通過判斷哪些命題是正確的？哪些是不正確的？說說你的理由.從而自然的獲取了真命題和假命題的概念.真命題：正確的命題叫做真命題.假命題：不正確的命題叫做假命題.（板書真命題，假命題及課題4.1定義與命題（2））

三、鞏固新知

下列哪些命題是真命題，哪些是假命題？說說你的理由？

1、如果兩個角相等，那么它們是對頂角；

2、如果a＞b,b＞c,那么a=c；

3、兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等；

4、全等三角形的面積相等.5、已知∠1和∠2如圖所示,則∠1＞∠2;

6、三角形的兩邊之和大于第三邊;

7、會飛的動物是鳥.8、一條直線截另外兩條直線所得到的同位角相等.在上述真命題的判斷和說理的過程中引出什么樣的真命題是公理，什么樣的真命題是定理呢？并引導學生歸納真假命題判別的方法.公理：這些公認為正確的命題叫做公理.定理：用推理的方法判斷為正確的命題叫做定理.(板書定理,公理)公理舉例：

1、兩點間線段最短.2、兩點就可以確定一條直線.3、過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行.4、同位角相等，兩直線平行.5、兩直線平行，同位角相等.6、全等三角形的對應角相等，對應邊相等.7、三角形的全等的方法：SAS ASA SSS.以前書本上學過的用推理的方法得到的用黑體表述的性質都為定理.針對公理，定理和真命題之間的關系 判斷：所有的真命題都是定理.所有的命題都是公理.所有的定理是真命題.所有的公理是真命題.由學生再一次總結判斷命題真假的方法.四、探究提高：

如圖，AB、CD相交于點O。給出下列五個論斷：

①∠A=∠D；②∠C=∠B；③AC=BD；④OC=OB；⑤OA=OD.以其中兩個論斷為條件，一個論斷為結論，組成一個命題.請分別寫出一個這樣的真命題和假命題.讓學生感知真命題的推理過程,為下節課埋下伏筆.五．課堂小結：本節課，你獲取了什么數學知識與方法？ 六．布置作業：書本后的作業題2、4、5、6及作業本.板書設計：

4.1定義與命題（2）定義

公理（公認）學生自由活動區 真命題定理（推理）命題??

假命題（舉反例）

教學設計說明：

1、基本結構: 判斷命題類比真假命題的概念類比定理,公理的概念熟悉命題基本知識的內化 分析命題歸納真假命題的判斷歸納定理,公理的判斷及簡單的推理

2、以落實課程標準為終極目標；以學生知識技能的形成、數學思維的完善和情感態度的發展為出發點；以多媒體課件為輔助教學手段；以教師的組織、引導、參與為依托；以學生的積極動腦、動口為主線來構建本課時的教學模式，促進學生的有效學習活動.突出新知識必須在學生自主探索，交流合作的基礎上讓學生自己去發現和歸納,達成對概念的理解與初步的應用.3、本節課的各個環節的設計都以學生為主體，尊重學生的原始的思維.讓學生來發現問題，允許不同的學生在同一個問題上有不同的見解，讓學生表達出對問題的直觀感覺，對所學知識用自己的思維去感悟.4、本節課的教學以知識的形成為主線.讓學生從生活實際情景中尋找命題入手，允許不同的學生在命題的各種判斷上有真實的認識,通過師生、生生的互動交流及教師的恰當引導，促進學生認知水平的提升,知識與技能,方法與應用的熟練.為學生的幾何學習從合理推理順利地過渡到步步有據的推理論證做鋪墊.4．1 定義與命題

（二）浙教版數學八年級下冊

一、教學目標 1）知識目標

1．了解真命題、假命題的概念。2．會判別一個命題的真假。3．了解公理和定理的含義。2）能力目標：

通過判斷一個命題的真假，提高學生的推理能力、邏輯思維能力和表達能力。3）情感目標

通過對真假命題的判斷，培養學生樹立科學嚴謹的學習方法。

二、教學重點、難點

重點：命題真假的概念和判斷。難點：判別命題的真假過程中所涉及的證明方法和表述。

三、教學方法與教學手段

1．針對八年級學生的認識特點，體現“以學生發展為本”的教育理念，發展學生的個性特長，讓學生學會學習。本堂課采用自主、合作、探究、體驗式教學法。

2．用多媒體輔助教學，增強課堂的學習效率和趣味性，提高學生的學習積極性。

四、教學過程

一、創設情境引入新課

以生活實際為背景，從日常生活中的具體問題創設問題情況，有利于增強數學課堂氛圍，激發學生的學習興趣。

二、合作交流探究新知 出示題目

下列命題哪些是正確的命題，哪些是不正確的命題：（1）對于任何實數x，x2﹤0；（2）兩點之間線段最短；

（3）有一個角是直角的三角形是直角三角形；（4）第29屆奧運會舉辦國是中國；

（5）如圖，若∠1+∠2=1800，則直線a∥b。生：正確（2）（3）（4）（5）不正確（1）。

師：由此可知有些命題是正確的，有些命題是不正確的。師：你是怎么判斷這個命題是不正確的呢？ 生：命題（1），取x=-1時，x2＞0，所以該命題不正確。像這樣不正確的命題稱為假命題，反之正確的命題稱為真命題。

師：你能說說真命題和假命題的區別嗎？ 生：

真命題 條件成立，結論一定成立 假命題 條件成立：結論不一定成立 公理、定理概念教學

師：接下來我們來思考一下，這幾個真命題是如何判斷的。

生：命題（2）是不需要證明的是公理，是人類經過長期實踐后公認為正確的命題。生：這些公認為正確的命題叫做公理。

師：很好，公理是不需要證明的，公理可以作為判斷其他命題的依據。師：你能舉出我們已經學過的公理嗎？

生：兩點確定一條直線、兩直線平行、同位角相等。師：那么命題（3）呢？ 生：定義

師：命題（4）呢？ 生：事實（規定）師：命題（5）呢？ 生：依據

∵∠1+∠2=1800（已知）∠2+∠3=1800（補角的意義）∴∠1=∠3（同角的補角相等）∴a∥b（同位角相等，兩直線平等）

生：這種用推理的方法判斷為正確的命題叫做定理。