第一篇：2.1算法的基本思想教學設(shè)計 教案 (北師大必修3)

第二章 算法初步 第一課時 2.1算法的基本思想

【課程標準】通過對解決具體問題過程與步驟的分析（如二元一次方程組求解等問題），體會算法的思想，了解算法的含義.【教學目標】1.理解算法的概念與特點；

2.學會用自然語言描述算法，體會算法思想； 3.培養(yǎng)學生邏輯思維能力與表達能力.【教學重點】算法概念以及用自然語言描述算法 【教學難點】用自然語言描述算法 【教學過程】

一、序言

算法不僅是數(shù)學及其應用的重要組成部分，也是計算機科學的重要基礎(chǔ).在現(xiàn)代社會里，計算機已經(jīng)成為人們?nèi)粘Ｉ詈凸ぷ鞑豢扇鄙俚墓ぞ?聽音樂、看電影、玩游戲、打字、畫卡通畫、處理數(shù)據(jù)，計算機幾乎滲透到了人們生活的所有領(lǐng)域.那么，計算機是怎樣工作的呢？要想弄清楚這個問題，算法的學習是一個開始.同時，算法有利于發(fā)展有條理的思考與表達的能力，提高邏輯思維能力.在以前的學習中，雖然沒有出現(xiàn)算法這個名詞，但實際上在數(shù)學學習中已經(jīng)滲透了大量的算法思想，如四則運算的過程、求解方程的步驟等等，完成這些工作都需要一系列程序化的步驟，這就是算法的思想.二、實例分析

例1：寫出你在家里燒開水過程的一個算法.解：第一步：把水注入電鍋；

第二步：打開電源把水燒開；

第三步：把燒開的水注入熱水瓶.（以上算法是解決某一問題的程序或步驟）例2：給出求1+2+3+4+5的一個算法.解： 算法1 按照逐一相加的程序進行．

第一步：計算1+2，得到3；

第二步：將第一步中的運算結(jié)果3與3相加，得到6；

第三步：將第二步中的運算結(jié)果6與4相加，得到10；

第四步：將第三步中的運算結(jié)果10與5相加，得到15．

算法2 運用公式1?2?3? 第一步：取n=5；

第二步：計算

?n?n(n?1)直接計算． 2n(n?1)； 2 第三步：輸出運算結(jié)果． 算法3 用循環(huán)方法求和．

第一步：使S?1，； 第二步：使I?2；

第三步：使S?S?I；

第四步：使I?I?1；

第五步：如果I?5，則返回第三步，否則輸出S． 點評：一個問題的算法可能不唯一． 例3 給出求解方程組??2x?y?7的一個算法．

?4x?5y?114?2； 2解：用消元法解這個方程組，步驟是：

第一步：方程①不動，將方程②中x的系數(shù)除以方程①中x的系數(shù)，得到乘數(shù)m?第二步：方程②減去m乘以方程①，消去方程②中的x項，得到

?2x?y?7； ??3y??3第三步：將上面的方程組自下而上回代求解，得到y(tǒng)??1，x?4．

所以原方程組的解為?

例4.用二分法設(shè)計一個求解方程x–2=0的近似根的算法。并假設(shè)所求近似根與準確解的差的絕對值不超過0.005，解：則不難設(shè)計出以下步驟：

2第一步：令f(x)=x–2。因為f(1)<0，f(2)>0，所以設(shè)x1=1，x2=2。

第二步：令m=(x1+x2)/2，判斷f(m)是否為0，若則，則m為所長；若否，則繼續(xù)判斷f(x1)·f(m)大于0還是小于0。

第三步：若f(x1)·f(m)>0，則令x1=m；否則，令x2=m。

第四步：判斷|x1–x2|<0.005是否成立？若是，則x1、x2之間的任意取值均為滿足條件的近似根；若否，則返回第二

點評：滲透循環(huán)的思想，為后面教學做鋪墊。例5.寫出求方程組?

2?x?4．

y??1?點評：通過例1再次明確算法特點：有限性和確定性

?a1x?b1y?c1?a2x?b2y?c2①②?a1b2?a2b1?0?的解的算法.解：第一步：②× a1-①×a2，得：?a1b2?a2b1?y?a1c2?a2c1 ③ 第二步：解③得 y?a1c2?a2c1；

a1b2?a2b1第三步：將y?c?b1ya1c2?a2c1代入①，得x?1

a1b2?a2b1a1點評：可推廣到解一般的二元一次方程組，說明算法的普遍性：很多具體的問題，都可以設(shè)計合理的算法去解決，如心算、計算器計算都要經(jīng)過有限、事先設(shè)計好的步驟加以解決.例6：用“待定系數(shù)法”求圓的方程的大致步驟是：

第一步：根據(jù)題意，選擇標準方程或一般方程；

第二步：根據(jù)條件列出關(guān)于a，b，r或D，E，F(xiàn)的方程組；

第三步：解出a，b，r或D，E，F(xiàn)，代入標準方程或一般方程.三、算法的概念

通過對以上幾個問題的分析，我們對算法有了一個初步的了解.在解決某些問題時，需要設(shè)計出一系列可操作或可計算的步驟，通過實施這些步驟來解決問題，通常把這些步驟稱為解決這些問題的算法

在數(shù)學中，現(xiàn)代意義上的“算法”通常是指可以用計算機來解決的某一類問題的程序或步驟，這些程序或步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有限步之內(nèi)完成.四、課堂練習

1：任意給定一個大于1的正整數(shù)n，設(shè)計一個算法求出n的所有因數(shù).解：根據(jù)因數(shù)的定義，可設(shè)計出下面的一個算法：

第一步：輸入大于1的正整數(shù)n.第二步：判斷n是否等于2，若n?2，則n的因數(shù)為1，n；若n?2，則執(zhí)行第三步.第三步：依次從2到n?1檢驗是不是整除n，若整除n，則是n的因數(shù)；若不整除n，則不是n的因數(shù).2：設(shè)計一個計算1+2+?+100的值的算法.解：算法1

按照逐一相加的程序進行

第一步：計算1+2，得到3；

第二步：將第一步中的運算結(jié)果3與3相加，得到6；

第三步：將第二步中的運算結(jié)果6與4相加，得到10；

??

第九十九步：將第九十八步中的運算結(jié)果4950與100相加，得到5050.算法2

可以運用公式1+2+3+?+n=

第一步：取n=100；

第二步：計算

n(n?1)直接計算 2n(n?1)； 2第三步：輸出運算結(jié)果.3：任意給定一個正實數(shù)，設(shè)計一個算法求以這個數(shù)為半徑的圓的面積.解：第一步：輸入任意正實數(shù)r；

2第二步：計算S??r；

第三步：輸出圓的面積S.4.二分法求解多項式方程在區(qū)間[a,b]的一種常用方法.算法步驟是。

解1．確定區(qū)間[a,b]，驗證f(a)f(b)?0，給定精度ε； 2.求區(qū)間(a,b)的中點x1；

3.計算f(x1)： 若f(x1)?0，則x1就是函數(shù)的零點； 若f(a)f(x1)?0，則令b?x

1（此時零點x0?(a,x1)）； 若f(x1)f(b)?0，則令a?x1（此時零點x0?(x1,b)）； 4.判斷是否達到精度ε；即若|a?b|??，則得到零點零點值a（或b）；否則重復步驟2~4．

5.兩個大人和兩個小孩一起渡河，渡口只有一條小船，每次只能渡1個大人或兩個小孩，他們四人都會劃船，但都不會游泳.同學們現(xiàn)在想一想，他們怎樣渡過河去？請寫一寫你的渡河方案.解：因為一次只能渡過一個大人，而船還要回來渡其他人，所以只能讓兩個小孩先過河。渡河的方法與步驟為：

第一步 兩個小孩同船渡過河去； 第二步 一個小孩劃船回來；

第三步 一個大人獨自劃船渡過河去； 第四步 對岸的小孩劃船回來； 第五步 兩個小孩再同船渡過河去； 第六步 一個小孩劃船回來；

第七步 余下的一個大人獨自劃船渡過河去； 第八步 對岸的小孩劃船回來； 第九步 兩個小孩再同船渡過河去.五、課堂小結(jié)

1.算法的特性：

①有窮性：一個算法的步驟序列是有限的，它應在有限步操作之后停止，而不能是無限的.②確定性：算法中的每一步應該是確定的并且能有效地執(zhí)行且得到確定的結(jié)果，而不應當是模棱兩可.③可行性：算法中的每一步操作都必須是可執(zhí)行的，也就是說算法中的每一步都能通過手工和機器在有限時間內(nèi)完成.④輸入：一個算法中有零個或多個輸入..⑤輸出：一個算法中有一個或多個輸出.2.描述算法的一般步驟：

①輸入數(shù)據(jù).（若數(shù)據(jù)已知時，應用賦值；若數(shù)據(jù)為任意未知時，應用輸入）

②數(shù)據(jù)處理.③輸出結(jié)果.

第二篇：《算法的基本思想》教案

普通高中課程標準實驗教科書（北京師范大學出版社）

第二章 算法初步

《算法的基本思想》教案（第１課時）

一、教學目標：

1．知識與技能

（1）通過對解決具體問題過程與步驟的分析，體會算法的思想，了解算法的含義；

（2）能夠用語言敘述算法；

（3）會寫出將自然數(shù)分解成素因數(shù)乘積的算法；

（4）會寫出求兩個自然數(shù)的最大公因數(shù)的算法和兩個自然數(shù)的最小公倍數(shù)的算法。

2．過程與方法

通過對物品價格的猜測，體會猜測者的基本思路，得到一個一般步驟，而這個步驟就是一個算法。結(jié)合具體問題，模仿算法步驟，寫出將自然數(shù)分解成素因數(shù)乘積的算法和求兩個自然數(shù)的最大公因數(shù)的算法，從而體會算法的基本思想，了解算法的含義。

3．情感態(tài)度與價值觀

通過本節(jié)的學習，使學生對算法的思想有一個初步的認識,體會算法的基本思想——程序化思想，在歸納概括中培養(yǎng)學生的邏輯思維能力，從而進一步體會算法與現(xiàn)實世界的密切關(guān)系。

二、教學重點與難點：

重點：體會算法的思想，了解算法的含義；

難點：能夠用語言來敘述算法。

三、學法與教學用具：

學法：學生通過對具體問題的感受，主動思考，互相交流，共同討論，總結(jié)概括，從而更好地完成本節(jié)課的教學目標。

教學用具：某件物品、電腦、多媒體

四、教學設(shè)想：

1．創(chuàng)設(shè)情景

客串中央電視臺的《幸運52》，讓學生快速猜測出某件物品的價格。

2．探索研究

請同學們從老師和參與者的對話中感受參與者猜測的思路，試著敘述出參與者的思路。如果你是參與者，你會如何又快又準地猜出價格？用我們學過的一種思想，又將如何敘述？

實際上，我們可以把這種思想概括如下：（在給定區(qū)間為（a，b）的前提下）

1.報出首次價格T1；

2.根據(jù)老師的回答確定價格區(qū)間：

（1）若報價T1小于商品價格P，則商品的價格所在區(qū)間為（T1，b）；

（2）若報價T1大于商品價格P，則商品的價格所在區(qū)間為（a，T1）；

（3）若報價等于商品價格P，則游戲結(jié)束。

3.如果游戲沒有結(jié)束，則報出上面確定的價格區(qū)間的中點T2，這個確定的價格區(qū)間就是新一輪報價的給定區(qū)間了。

按照這種方法，繼續(xù)判斷，直到游戲結(jié)束。

然而上述的這一系列的步驟就是解決實際問題的一個算法。

相信同學們對這個過程都有了一個初步的認識，但是還不夠清晰，下面我們來看一個具體的實例。

3．例題分析

例題：在給定素數(shù)表的條件下，設(shè)計算法，將936分解成素因數(shù)的乘積。（4000以內(nèi)的素數(shù)表見附錄1）

讓學生敘述解題的過程，了解一個初步的步驟，再根據(jù)這個解題的過程和學生共同完成這個算法的步驟,實質(zhì)上就是用短除法將自然數(shù)分解成素因數(shù)。

解 算法步驟如下：

1.判斷936是否為素數(shù)：否。

2.確定936的最小素因數(shù)：2。936=2×468。短除法

3.判斷468是否為素數(shù)：否。

4.確定468的最小素因數(shù)：2。936=2×2×234。

5.判斷234是否為素數(shù)：否。

6.確定234的最小素因數(shù)：2。936=2×2×2×117。

7.判斷117是否為素數(shù)：否。

8.確定117的最小素因數(shù)：3。936=2×2×2×3×39。

9.判斷39是否為素數(shù)：否。

10.確定39的最小素因數(shù)：3。936=2×2×2×3×3×13。

11.判斷13是否為素數(shù)：13是素數(shù)，所以分解結(jié)束。

分解結(jié)果是：

936=2×2×2×3×3×13

第三篇：高中數(shù)學第二章算法初步2.1算法的基本思想教案北師大版3教案

第一節(jié) 算法的基本思想

本節(jié)教材分析 一、三維目標

1、知識與技能

(1)通過對解決具體問題過程與步驟的分析，體會算法的思想，了解算法的含義；(2)能夠用語言敘述算法；

(3)會寫出將自然數(shù)分解成素因數(shù)乘積的算法；

(4)會寫出求兩個自然數(shù)的最大公因數(shù)的算法和兩個自然數(shù)的最小公倍數(shù)的算法． 2．過程與方法

通過對物品價格的猜測，體會猜測者的基本思路，得到一個一般步驟，而這個步驟就是一個算法．結(jié)合具體問題，模仿算法步驟，寫出將自然數(shù)分解成素因數(shù)乘積的算法和求兩個自然數(shù)的最大公因數(shù)的算法，從而體會算法的基本思想，了解算法的含義．

3．情感態(tài)度與價值觀

通過本節(jié)的學習，使學生對算法的思想有一個初步的認識,體會算法的基本思想——程序化思想，在歸納概括中培養(yǎng)學生的邏輯思維能力，從而進一步體會算法與現(xiàn)實世界的密切關(guān)系．

二、教學重點：算法的含義及應用．

三、教學難點：寫出解決一類問題的算法．

四、教學建議

算法在中學數(shù)學課程中是一個新的概念，但沒有一個精確化的定義，教科書只對它作了如下描述：“在數(shù)學中，算法通常是指按照一定規(guī)則解決某一類問題的明確有限的步驟．”為了讓學生更好理解這一概念，教科書先從分析一個具體的二元一次方程組的求解過程出發(fā)，歸納出了二元一次方程組的求解步驟，這些步驟就構(gòu)成了解二元一次方程組的算法．教學中，應從學生非常熟悉的例子引出算法，再通過例題加以鞏固． 新課導入設(shè)計

導入一

一個人帶著三只狼和三只羚羊過河，只有一條船，同船可容納一個人和兩只動物，沒有人在的時候，如果狼的數(shù)量不少于羚羊的數(shù)量狼就會吃羚羊．該人如何將動物轉(zhuǎn)移過河？請同學們寫出解決問題的步驟，解決這一問題將要用到我們今天學習的內(nèi)容——算法．

導入二

大家都看過趙本山與宋丹丹演的小品吧，宋丹丹說了一個笑話，把大象裝進冰箱總共分幾步？

答案：分三步，第一步：把冰箱門打開；第二步：把大象裝進去；第三步：把冰箱門關(guān)上． 上述步驟構(gòu)成了把大象裝進冰箱的算法，今天我們開始學習算法的概念．

導入三

算法不僅是數(shù)學及其應用的重要組成部分，也是計算機科學的重要基礎(chǔ)．在現(xiàn)代社會里，計算機已成為人們?nèi)粘Ｉ詈凸ぷ髦胁豢扇鄙俚墓ぞ撸犚魳贰⒖措娪啊⑼嬗螒颉⒋蜃帧嬁ㄍó嫛⑻幚頂?shù)據(jù)，計算機是怎樣工作的呢？要想弄清楚這個問題，算法的學習是一個開始．

【教學過程】 1.情境導入：

算法作為一個名詞，在中學教科書中并沒有出現(xiàn)過，我們在基礎(chǔ)教育階段還沒有接觸算法概念。但是我們卻從小學就開始接觸算法，熟悉許多問題的算法。如，做四則運算要先乘除后加減，從里往外脫括弧，豎式筆算等都是算法，至于乘法口訣、珠算口訣更是算法的具體體現(xiàn)。我們知道解一元二次方程的算法，求解一元一次不等式、一元二次不等式的算法，解線性方程組的算法，求兩個數(shù)的最大公因數(shù)的算法等。因此，算法其實是重要的數(shù)學對象。2.探索研究

算法(algorithm)一詞源于算術(shù)(algorism)，即算術(shù)方法，是指一個由已知推求未知的運算過程。后來，人們把它推廣到一般，把進行某一工作的方法和步驟稱為算法。

廣義地說，算法就是做某一件事的步驟或程序。菜譜是做菜肴的算法，洗衣機的使用說明書是操作洗衣機的算法，歌譜是一首歌曲的算法。在數(shù)學中，主要研究計算機能實現(xiàn)的算法，即按照某種機械程序步驟一定可以得到結(jié)果的解決問題的程序。比如解方程的算法、函數(shù)求值的算法、作圖的算法，等等。3.例題分析

例1.任意給定一個大于1的整數(shù)n，試設(shè)計一個程序或步驟對n是否為質(zhì)數(shù)做出判定。解析：根據(jù)質(zhì)數(shù)的定義判斷 解：算法如下：

第一步：判斷n是否等于2，若n=2，則n是質(zhì)數(shù)；若n>2，則執(zhí)行第二步。

第二步：依次從2至（n-1）檢驗是不是n的因數(shù)，即整除n的數(shù)，若有這樣的數(shù)，則n不是質(zhì)數(shù)；若沒有這樣的數(shù)，則n是質(zhì)數(shù)。

這是判斷一個大于1的整數(shù)n是否為質(zhì)數(shù)的最基本算法。

點評：通過例1明確算法具有兩個主要特點：有限性和確定性。

變式訓練1：一個人帶三只狼和三只羚羊過河，只有一條船，同船可以容納一個人和兩只動物．沒有人在的時候，如果狼的數(shù)量不少于羚羊的數(shù)量，狼就會吃掉羚羊．請設(shè)計過河的算法。

解：算法或步驟如下： S1 人帶兩只狼過河； S2 人自己返回；

S3 人帶一只羚羊過河； S4 人帶兩只狼返回； S5 人帶兩只羚羊過河； S6 人自己返回； S7 人帶兩只狼過河； S8 人自己返回； S9 人帶一只狼過河．

?2x?y?7例2 給出求解方程組?的一個算法．

4x?5y?11?解析：解線性方程組的常用方法是加減消元法和代入消元法，這兩種方法沒有本質(zhì)的差別，為了適用于解一般的線性方程組，以便于在計算機上實現(xiàn)，我們用高斯消元法（即先將方程組化為一個三角形方程組，在通過回代過程求出方程組的解）解線性方程組． 解：用消元法解這個方程組，步驟是：

第一步：方程①不動，將方程②中x的系數(shù)除以方程①中x的系數(shù)，得到乘數(shù)m?第二步：方程②減去m乘以方程①，消去方程②中的x項，得到

4?2； 2?2x?y?7； ??3y??3第三步：將上面的方程組自下而上回代求解，得到y(tǒng)??1，x?4．

?x?4所以原方程組的解為?．

y??1?點評：通過例2再次明確算法特點：有限性和確定性

變式訓練2：寫出求過兩點M(-2,-1)、N(2,3)的直線與坐標軸圍成面積的一個算法。解：算法：第一步：取x1=-2，y1=-1，x2=2，y2=3； 第二步：計算y?y1x?x1； ?y2?y1x2?x1第三步：在第二步結(jié)果中令x=0得到y(tǒng)的值m，得直線與y軸交點(0,m)； 第四步：在第二步結(jié)果中令y=0得到x的值n，得直線與x軸交點(n,0)； 第五步：計算S=1|m|?|n|； 22第六步：輸出運算結(jié)果

例3 用二分法設(shè)計一個求解方程x–2=0的近似根的算法。

算法分析：回顧二分法解方程的過程，并假設(shè)所求近似根與準確解的差的絕對值不超過0.005，則不難設(shè)計出以下步驟：

2第一步：令f(x)=x–2。因為f(1)<0，f(2)>0，所以設(shè)x1=1，x2=2。第二步：令m=(x1+x2)/2，判斷f(m)是否為0，若則，則m為所長；若否，則繼續(xù)判斷f(x1)·f(m)大于0還是小于0。

第三步：若f(x1)·f(m)>0，則令x1=m；否則，令x2=m。

第四步：判斷|x1–x2|<0.005是否成立？若是，則x1、x2之間的任意取值均為滿足條件的近似根；若否，則返回第二

點評：滲透循環(huán)的思想，為后面教學做鋪墊。變式訓練3 給出求1+2+3+4+5的一個算法． 解： 算法1 按照逐一相加的程序進行． 第一步：計算1+2，得到3；

第二步：將第一步中的運算結(jié)果3與3相加，得到6； 第三步：將第二步中的運算結(jié)果6與4相加，得到10； 第四步：將第三步中的運算結(jié)果10與5相加，得到15． 算法2 運用公式1?2?3???n?第一步：取n=5； 第二步：計算

n(n?1)直接計算． 2n(n?1)； 2第三步：輸出運算結(jié)果． 算法3 用循環(huán)方法求和． 第一步：使S?1，； 第二步：使I?2； 第三步：使S?S?I； 第四步：使I?I?1；

第五步：如果I?5，則返回第三步，否則輸出S． 點評：一個問題的算法可能不唯一． 4．回顧小結(jié)

1．算法的概念：對一類問題的機械的、統(tǒng)一的求解方法．算法是由基本運算及規(guī)定的運算順序所構(gòu)成的完整的解題步驟，或者是按照要求設(shè)計好的有限的計算序列，并且這樣的步驟或序列能解決一類問題． 2．算法的重要特征：

（1）有限性：一個算法在執(zhí)行有限步后必須結(jié)束；（2）確定性：算法的每一個步驟和次序必須是確定的；

（3）輸入：一個算法有0個或多個輸入，以刻劃運算對象的初始條件．所謂0個輸入是指算法本身定出了初始條件．

（4）輸出：一個算法有1個或多個輸出，以反映對輸入數(shù)據(jù)加工后的結(jié)果．沒有輸出的算法是毫無意義的． 5．課后作業(yè)

111????的一個算法 23100解：第一步：使S?1，； 第二步：使I?2；

1第三步：使n?；

I第四步：使S?S?n； 第五步：使I?I?1；

第六步：如果I?100，則返回第三步，否則輸出S． 寫出求1?

課后練習與提高：

1.下列關(guān)于算法的說法中，正確的是（）.A． 算法就是某個問題的解題過程 B． 算法執(zhí)行后可以不產(chǎn)生確定的結(jié)果

C． 解決某類問題的算法不是惟一的 D． 算法可以無限地操作下去不停止 2.有一堆形狀大小相同的珠子，其中只有一粒質(zhì)量比其他的輕，某同學利用科學的算法，兩次利用天平找出這粒最輕的珠子，則這堆珠子最多有多少粒（）A.4 B.5 C.7 D.9 3下列各式中的S值不可以用算法求解的是（）A.S=1+2+3+4 B.S=1+2+3+4+?.C.S=1?111???? 23100D.S=1+2+3+4+?+100

4.已知一個學生的語文成績?yōu)?9，數(shù)學成績?yōu)?6，外語成績?yōu)?9。求它的總分和平均分的一個算法為：

第一步：取A=89，B=99;第二步： 第三步：

第四步：輸出計算結(jié)果。5.寫出解方程2x+3=0的算法。第一步： 第二步： 第三步：

6.給出一個判斷點P(x0,y0)是否在直線y=x-1上的一個算法。

第四篇：高中數(shù)學 第二章 算法初步 本章歸納整合教學設(shè)計 北師大版必修3

第二章算法初步 本章歸納整合

知識歸納

專題一 算法的含義及算法設(shè)計

算法不同于一般意義上解決某個問題的方法，它是對一類問題的一般解法的抽象和概括，它要借助一般問題的解決方法，又要包含這類問題的所有可能情形．設(shè)計算法往往把問題的解法劃分為若干個可執(zhí)行的步驟，有些甚至重復多次，但必須在有限步之內(nèi)完成．

用自然語言描述算法，大體可分以下三步完成：

第一步：明確問題的性質(zhì)，分析題意，我們可將問題簡單的分為數(shù)值型問題和非數(shù)值型問題，不同類型的問題

可以有針對性地采用不同的方法進行處理．

第二步：建立問題的描述模型．對于數(shù)值型問題，可以建立數(shù)學模型，通過數(shù)學語言來描述問題；對于非數(shù)值型問題，我們可以建立過程模型，通過過程模型來描述問題．

第三步：設(shè)計確立算法．對于數(shù)值型問題，我們可以采用數(shù)值分析的方法進行處理，數(shù)值分析中有許多現(xiàn)成的固定算法，我們可以直接使用，當然我們可以根據(jù)問題的實際情況設(shè)計算法．對于非數(shù)值型問題，根據(jù)過程模型分析算法與設(shè)計算法，也可以選擇一些成熟的辦法進行處理，如排序、遞推等． 【例1】

韓信是漢高祖劉邦部下的大將，他英勇善戰(zhàn)，智謀超群，為建立漢朝立下了汗馬功勞，據(jù)說他在點兵的時候，為了保住軍事機密，不讓敵人知道自己部隊的實力，采用下述點兵的方法：先令士兵從1～3報數(shù)，結(jié)果最后一個士兵報2；再令士兵從1～5報數(shù)，結(jié)果最后一個士兵報3；又令士兵從1～7報數(shù)，結(jié)果最后一個士兵報4.這樣，韓信很快就算出了自己部隊士兵的總?cè)藬?shù)．請你設(shè)計一個算法，求出士兵至少有多少人？

解 第一步，首先確定最小的除以7余4的正整數(shù)：4.第二步，依次加7就得到所有除以7余4的正整數(shù)：4，11，18，25，32，39，46，53，60，….第三步，在第二步得到的一列數(shù)中確定最小的除以5余3的正整數(shù)：18.第四步，然后依次加上35，得到18，53，88，….1 第五步，在第四步得到的一列數(shù)中找出最小的滿足除以3余2的正整數(shù)：53.這就是我們要求的數(shù)．

規(guī)律方法 本題直接通過列方程組顯然無法求解，故根據(jù)題設(shè)運用列舉法分步求解．我們將7，5，3的順序顛倒一下，也能解答此題，不妨試一試．

專題二 順序結(jié)構(gòu)與選擇結(jié)構(gòu)

1．順序結(jié)構(gòu)是由若干個依次執(zhí)行的處理步驟組成的邏輯結(jié)構(gòu)，這是任何一個程序都離不開的基本結(jié)構(gòu)．

2．在一個算法中，經(jīng)常會遇到一些條件的判斷，算法的流程根據(jù)條件是否成立有不同的流向，這種算法結(jié)構(gòu)即選擇結(jié)構(gòu)．

【例2】

用順序結(jié)構(gòu)表示：利用尺規(guī)作圖，確定線段AB的4等分點的算法． [思路探索] 先寫出作法，由作法寫出算法．

解 作法：如圖，第一步：過A作射線AP，在AP上任取一點C，得線段AC； 第二步：在射線AP上作線段AC＝CD＝DE＝EP；

第三步：連接BP，過C作CF∥BP，交AB于F，同理，作出點M，N； 第四步：F，M，N為所作的AB的三個4等分點．

算法：

【例3】

設(shè)計判斷正整數(shù)p是否是正整數(shù)q的約數(shù)的算法并畫出框圖．

[思路探索] 判斷正整數(shù)p是否是正整數(shù)q的約數(shù)，即是看正整數(shù)q能否被正整數(shù)p整除，如果能，則p是q的約數(shù)；如果不能，則p不是q的約數(shù)，從分析上看，該題應用選擇結(jié)構(gòu)．

解 算法如下：

第一步：輸入p，q；

第二步：判斷p除q的余數(shù)r是否為0，如果r＝0，則p是q的約數(shù)，否則p不是q的約數(shù)．

算法框圖如圖所示．

規(guī)律方法 解本題要熟練掌握約數(shù)的概念，本題由于要判斷余數(shù)是否為0，即要用到分類討論的思想，故采用選擇結(jié)構(gòu)． 專題三 循環(huán)結(jié)構(gòu)

循環(huán)結(jié)構(gòu)是指運算過程中根據(jù)指定條件決定是否重復執(zhí)行一條或多條指令的控制結(jié)構(gòu)．其中重復執(zhí)行的步驟叫循環(huán)體．循環(huán)結(jié)構(gòu)中包含條件結(jié)構(gòu)．

1．涉及多項的和或積的程序框圖要用到循環(huán)和分支結(jié)構(gòu)，畫圖時應注意三個量：循環(huán)變量的初值、終值、循環(huán)變量的增量在程序中的作用與位置．

2．利用循環(huán)結(jié)構(gòu)可尋數(shù)．使用循環(huán)結(jié)構(gòu)尋數(shù)時，要明確數(shù)字的結(jié)構(gòu)特征，決定循環(huán)的終止條件與數(shù)的結(jié)構(gòu)特征的關(guān)系及循環(huán)次數(shù)，尤其是統(tǒng)計數(shù)時，注意要統(tǒng)計的數(shù)的出現(xiàn)次數(shù)與循環(huán)次數(shù)的區(qū)別．

3．循環(huán)結(jié)構(gòu)是執(zhí)行算法流程的重要組成部分．

【例4】

閱讀程序框圖，運行相應的程序，則輸出s的值為()．

A．－1 B．0 C．1 D．3 [思路探索] 按程序框圖進行計算，注意循環(huán)體執(zhí)行的次數(shù)． 解析 當i>4時共進行四次運算： s＝3，i＝2；

s＝3×(3－2)＋1＝4，i＝3； s＝1，i＝4； s＝0，i＝5.答案 B

專題四 條件語句與循環(huán)語句

1．條件語句

計算機通常是按照算法中語句出現(xiàn)的先后順序依次往下執(zhí)行的，但有時需要根據(jù)某個 4 給定的條件是否滿足來決定所要執(zhí)行的語句，這時就需要用到條件語句．算法中的選擇結(jié)構(gòu)由條件語句來表達．因此，在條件語句中要體現(xiàn)出對條件的判斷及執(zhí)行語句的順序．條件語句主要是If——Then——Else語句，在某些情況下，也可以只使用If——Then語句，無Else分支語句．

2．循環(huán)語句

算法中的循環(huán)結(jié)構(gòu)由循環(huán)語句來實現(xiàn)．循環(huán)語句一般分為For、Do Loop語句．

【例5】 用循環(huán)語句描述計算1＋12＋13＋14＋…＋110 000的值的 一個算法．

[思路探索] 求1＋1＋1＋1＋…＋123410 000的值與求1＋2 ＋3＋4＋…＋10 00的值有相似之處，只要將后者的S＝ 1 S＋i變?yōu)镾＝S＋i即可． 解 用For語句描述： S＝0 For i＝1 To 10 000 S＝S＋1/i Next 輸出S

用Do Loop語句描述：

i＝1 S＝0 Do S＝S＋1/i i＝i＋1 Loop While i<＝10 000 輸出 S

規(guī)律方法 本題的兩種書寫方式具有普遍性和廣泛的應用 1111性．若將S＝S＋變?yōu)镾＝S＋2則算法變?yōu)榍?＋2＋2＋…ii23

1＋的值的算法．若將Do Loop語句中的i＝i＋1變?yōu)閕 10 00021111

＝i＋2，則成了求S＝1＋＋＋＋…＋的值，我們可3579 999

以舉一反三，以達到真正掌握知識的目的． 專題五折半插入排序法

折半插入排序：折半插入排序的基本思想是先將新數(shù)據(jù)與有序列中“中間位置”的那個數(shù)據(jù)進行比較，如果與之相等，則可確定其插入位置及序號；若不相等，中間位置的數(shù)據(jù)將數(shù)據(jù)列分為兩半，當新數(shù)據(jù)較小時，它的位置應在靠左的一半，否則在靠右的一半．反復進行這種查找的方法，直到確定新數(shù)據(jù)的位置．通過前面的研究我們知道，折半插入排序方法中應用了二分法的思想后，少了多次無用的比較．相比較前面的有序列直接插入排序算法，會減少一些資源的浪費．對折半插入排序的理解：

一般地，對于一個有序列：a1≤a2≤a3≤…≤an，欲將新數(shù)據(jù)A插入到有序列中，形成新的有序列，其做法是：將數(shù)據(jù)A與原有序列中的數(shù)據(jù)從右到左依次進行比較，直到發(fā)現(xiàn)某一數(shù)據(jù)ai，使得ai≤A，把A插入到ai的右邊；如果數(shù)據(jù)A小于原有序列中的所有數(shù)據(jù)，則將A插入到原序列的最左邊．上面的排序算法通常稱為有序列直接插入排序的算法．

【例6】 把8插入到1,3,5,7,9,11,13中．

解：首先，將8與13比較，顯然8比13小，所以它要插在13之前；再將它與11比較，顯然它比11小，所以8插在11前；同樣地，8插在9前；接著，將8與7比較，顯然它比7大，所以，完成8的插入排序操作．

評析：將8與數(shù)列中的數(shù)進行比較，可找到它的正確位置． 變式練習6 完成無序列{5,1,3,6}的排序． [解] 其算法如下：

S1 因為5>1，輸出1,5；

S2 因為3<5，則5后移一位空出第二位；

S3 因為3>1，輸出1,3,5； S4 因為6>5，輸出1,3,5,6.專題六折半插入排序法

折半插入排序：折半插入排序的基本思想是先將新數(shù)據(jù)與有序列中“中間位置”的那個數(shù)據(jù)進行比較，如果與之相等，則可確定其插入位置及序號；若不相等，中間位置的數(shù)據(jù)將數(shù)據(jù)列分為兩半，當新數(shù)據(jù)較小時，它的位置應在靠左的一半，否則在靠右的一半．反復進行這種查找的方法，直到確定新數(shù)據(jù)的位置．通過前面的研究我們知道，折半插入排序方法中應用了二分法的思想后，少了多次無用的比較．相比較前面的有序列直接插入排序算法，會減少一些資源的浪費．對折半插入排序的理解：

先將新數(shù)據(jù)與有序列中“中間位置”的數(shù)據(jù)進行比較，若有序列有2n＋1個數(shù)據(jù)，則“中間位置”的數(shù)據(jù)指的是第n＋1個數(shù)據(jù)，若有2n個數(shù)據(jù)，則“中間位置”的數(shù)據(jù)指的是第n個數(shù)據(jù)，如果新數(shù)據(jù)小于中間位置的數(shù)據(jù)，則新數(shù)據(jù)插入的位置應該在靠左邊的一半；如果新數(shù)據(jù)等于中間位置的數(shù)據(jù)，則將新數(shù)據(jù)插入到中間位置的數(shù)據(jù)的右邊；如果新數(shù)據(jù)大于中間位置的數(shù)據(jù)，則新數(shù)據(jù)插入的位置應該在靠右邊的一半．也就是說，一次比較就排除了數(shù)據(jù)中一半的位置．反復進行這種比較，直到確定新數(shù)據(jù)的位置．

例七將52插入有序列{13,27,38,39,43,47,48,51,57,66,74,82}中，構(gòu)成一個新的有序列．

[解] 首先選擇有序列中具有中間位置序號的數(shù)據(jù)47，將52與47進行比較，顯然52>47，故52不能插入到47的左邊的任何位置．所以，應該排在47的右邊，再將余下數(shù)據(jù)的中間位置的數(shù)據(jù)57與52比較，顯然52<57，因此應插到57的左邊，又51<52，則52插入到51的右邊，57的左邊，即可得到52的位置．

評析：用折半插入排序法向有序列中插入新數(shù)據(jù)時，首先確定原有序列中數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)2n還是奇數(shù)2n＋1.若為偶數(shù)，則“中間位置”的數(shù)據(jù)是第n個數(shù)據(jù)；若為奇數(shù)，則“中間位置”的數(shù)據(jù)為第n＋1個數(shù)據(jù)，然后將新數(shù)據(jù)與“中間位置”的數(shù)據(jù)比較，若新數(shù)據(jù)大于“中間位置”的數(shù)據(jù)，則在右半邊進行下一步驟；若新數(shù)據(jù)小于“中間位置”的數(shù)據(jù)，則在左半邊進行下一步驟；依次類推，就可以確定新數(shù)據(jù)在序列中的位置．

第五篇：高中數(shù)學《秦九韶算法與排序》教案1 北師大版必修3

第三、四課時 秦九韶算法與排序

（1）教學目標（a）知識與技能

1.了解秦九韶算法的計算過程，并理解利用秦九韶算法可以減少計算次數(shù)提高計算效率的實質(zhì)。

2.掌握數(shù)據(jù)排序的原理能使用直接排序法與冒泡排序法給一組數(shù)據(jù)排序，進而能設(shè)計冒泡排序法的程序框圖及程序，理解數(shù)學算法與計算機算法的區(qū)別，理解計算機對數(shù)學的輔助作用。

（b）過程與方法

模仿秦九韶計算方法，體會古人計算構(gòu)思的巧妙。能根據(jù)排序法中的直接插入排序法與冒泡排序法的步驟，了解數(shù)學計算轉(zhuǎn)換為計算機計算的途徑，從而探究計算機算法與數(shù)學算法的區(qū)別，體會計算機對數(shù)學學習的輔助作用。（c）情態(tài)與價值

通過對秦九韶算法的學習，了解中國古代數(shù)學家對數(shù)學的貢獻，充分認識到我國文化歷史的悠久。通過對排序法的學習，領(lǐng)會數(shù)學計算與計算機計算的區(qū)別，充分認識信息技術(shù)對數(shù)學的促進。

（2）教學重難點

重點：1.秦九韶算法的特點

2.兩種排序法的排序步驟及計算機程序設(shè)計 難點：1.秦九韶算法的先進性理解

2.排序法的計算機程序設(shè)計（3）學法與教學用具

學法：1.探究秦九韶算法對比一般計算方法中計算次數(shù)的改變，體會科學的計算。2.模仿排序法中數(shù)字排序的步驟，理解計算機計算的一般步驟，領(lǐng)會數(shù)學計算在計算機上實施的要求。

教學用具：電腦，計算器，圖形計算器

（4）教學設(shè)想

（一）創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題

我們已經(jīng)學過了多項式的計算，下面我們計算一下多項式

5432f(x)?x?x?x?x?x?1當x?5時的值，并統(tǒng)計所做的計算的種類及計算次數(shù)。

根據(jù)我們的計算統(tǒng)計可以得出我們共需要10次乘法運算，5次加法運算。

2我們把多項式變形為：f(x)?x(1?x(1?x(1?x)))?x?1再統(tǒng)計一下計算當x?5時的值時需要的計算次數(shù)，可以得出僅需4次乘法和5次加法運算即可得出結(jié)果。顯然少了6次乘法運算。這種算法就叫秦九韶算法。

（二）研探新知

1.秦九韶計算多項式的方法

用心

愛心

專心 31

f(x)?anx?an?1x?(anxn?1n?2nn?1?an?2xn?3n?2???a1x?a0???a1)x?a0?an?1xn?2?an?2xn?3?((anx????an?1x???a2)x?a1)x?a0

?(?((anx?an?1)x?an?2)x???a1)?a0例1 已知一個5次多項式為f(x)?5x5?2x4?3.5x3?2.6x2?1.7x?0.8 用秦九韶算法求這個多項式當x?5時的值。解：略

思考：（1）例1計算時需要多少次乘法計算？多少次加法計算？

（2）在利用秦九韶算法計算n次多項式當x?x0時需要多少次乘法計算和多少次加法計算？

練習：利用秦九韶算法計算f(x)?0.83x5?0.41x4?0.16x3?0.33x2?0.5x?1 當x?5時的值，并統(tǒng)計需要多少次乘法計算和多少次加法計算？ 例2 設(shè)計利用秦九韶算法計算5次多項式

f(x)?a5x?a4x?a3x?a2x?a1x?a0當x?x0時的值的程序框圖。5432解：程序框圖如下：

開始輸入f(x)的系數(shù)：a1,a2,a3,a4,a5輸入x0n=1v=a5 n=n+1v=v x0+a5-nn≤5是否輸出v結(jié)束

用心

愛心

專心

練習：利用程序框圖試編寫B(tài)ASIC程序并在計算機上測試自己的程序。

2.排序

在信息技術(shù)課中我們學習過電子表格,電子表格對分數(shù)的排序非常簡單,那么電子計算機是怎么對數(shù)據(jù)進行排序的呢? 閱讀課本P30—P31面的內(nèi)容,回答下面的問題:(1)排序法中的直接插入排序法與冒泡排序法的步驟有什么區(qū)別?(2)冒泡法排序中對5個數(shù)字進行排序最多需要多少趟?(3)在冒泡法排序?qū)?個數(shù)字進行排序的每一趟中需要比較大小幾次? 游戲:5位同學每人拿一個數(shù)字牌在講臺上演示冒泡排序法對5個數(shù)據(jù)4,11,7,9,6排序的過程,讓學生通過觀察敘述冒泡排序法的主要步驟.并結(jié)合步驟解決例3的問題.例3 用冒泡排序法對數(shù)據(jù)7,5,3,9,1從小到大進行排序

解:P32 練習:寫出用冒泡排序法對5個數(shù)據(jù)4,11,7,9,6排序的過程中每一趟排序的結(jié)果.例4 設(shè)計冒泡排序法對5個數(shù)據(jù)進行排序的程序框圖.解: 程序框圖如下:

開始輸入a1,a2,a3,a4,a5r=1i=1ai>ai+1是否x=aiai=ai+1ai+1=xi=i+1r=r+1i=5否是r=5否是輸出a1,a2,a3,a4,a5結(jié)束 思考:直接排序法的程序框圖如何設(shè)計?可否把上述程序框圖轉(zhuǎn)化為程序? 練習:用直接排序法對例3中的數(shù)據(jù)從小到大排序

用心

愛心

專心

3.小結(jié):(1)秦九韶算法計算多項式的值及程序設(shè)計

(2)數(shù)字排序法中的常見的兩種排序法直接插入排序法與冒泡排序法(3)冒泡法排序的計算機程序框圖設(shè)計（5）評價設(shè)計

作業(yè)：P38 A（2）（3）

補充：設(shè)計程序框圖對上述兩組數(shù)進行排序

用心

愛心

專心 34