第一篇：對數函數的圖像與性質教案

對數函數的圖象與性質（第一課時）

數學科組 林榮界

一、教學目的：

1．了解對數函數的定義、圖象及其性質以及它與指數函數間的關系； 2．會求對數函數的定義域；

3．滲透類比應用意識，培養歸納思維能力和邏輯推理能力，提高數學發現能力

二、教學重點：對數函數的圖象與性質

三、教學難點：對數函數與指數函數間的關系.四、教學過程：

第二篇：《對數函數的圖像與性質》說課稿

作為一名教學工作者，常常需要準備說課稿，說課稿有助于提高教師理論素養和駕馭教材的能力。怎樣寫說課稿才更能起到其作用呢？以下是小編精心整理的《對數函數的圖像與性質》說課稿，歡迎大家分享。《對數函數的圖像與性質》說課稿1

一、說教材

1、教材的地位和作用

函數是高中數學的核心，而對數函數是高中階段所要研究的重要的基本函數之一．本節內容是在學生已經學過指數函數、對數及反函數的基礎上引入的，因此既是對上述知識的應用，也是對函數這一重要數學思想的進一步認識與理解．對數函數在生產、生活實踐中都有許多應用．本節課的學習使學生的知識體系更加完整、系統，為學生今后進一步學習對數等提供了必要的基礎知識．

2、教學目標的確定及依據

根據教學大綱要求，結合教材，考慮到學生已有的認知結構心理特征，我制定了如下的教學目標：

(1)知識目標：掌握對數函數的圖像與性質；初步學會用

對數函數的性質解決簡單的問題．

(2)能力目標：滲透類比、數形結合、分類討論等數學思想方法，培養學生觀察、分析、歸納等邏輯思維能力．

(3)情感目標：構造和諧的教學氛圍，增加互動，促進師生情感交流，培養學生嚴謹的科學態度，欣賞數學的精確和美妙之處，調動學生學習數學的積極性．

3、教學重點與難點

重點：對數函數的圖像與性質．

難點：對數函數性質中對于在《對數函數的圖像與性質》說課稿與《對數函數的圖像與性質》說課稿兩種情況函數值的不同變化．

二、說教法

學生在整個教學過程中始終是認知的主體和發展的主體，教師作為學生學習的指導者，應充分地調動學生學習的積極性和主動性，有效地滲透數學思想方法．根據這樣的原則和所要完成的教學目標，對于本節課我主要考慮了以下兩個方面：

1、教學方法：

(1)啟發引導學生觀察、聯想、思考、分析、歸納；

(2)采用“從特殊到一般”、“從具體到抽象”的方法；

(3)滲透數形結合、分類討論等數學思想方法．

(4)用探究性教學、提問式教學和分層教學

2、教學手段：

計算機多媒體輔助教學．

三、說學法

“授之以魚，不如授之以漁”，方法的掌握，思想的形成，才能使學生受益終身．本節課注重調動學生積極思考、主動探索，盡可能地增加學生參與教學活動的時間和空間，我進行了以下學法指導：

(1)探究定向性學習：學生在教師建立的情境下，通過思考、分析、操作、探索，歸納得出對數函數的圖像與性質。

(2)主動式學習：學生自己歸納得出對數函數的圖像與性質。

四、說教程

1、溫故知新

我通過復習y＝log2x和y＝log0.5x的圖像，讓學生熟悉兩個具體的對數函數的圖像。

設計意圖：這與本節內容有密切關系，有利于引出新課．為學生理解新知清除了障礙，有意識地培養學生分析問題的能力．

2、探求新知

研究對數函數的圖像與性質．關鍵是學生自主的對函數《對數函數的圖像與性質》說課稿和《對數函數的圖像與性質》說課稿的圖像分析歸納，引導學生填寫表格(該表格一列填有《對數函數的圖像與性質》說課稿在《對數函數的圖像與性質》說課稿及《對數函數的圖像與性質》說課稿兩種情況下的圖像與性質)，采用“從特殊到一般”、“從具體到抽象”的方法，歸納總結出《對數函數的圖像與性質》說課稿的圖像與性質．

在學生得出對數函數的圖像和性質后，教師再加以升華，強調“數形結合”記憶其性質,做到“心中有圖”．另外，對于對數函數的性質3和性質4在用多媒體演示時,有意識地用(1)(2)進行分類表示,培養學生的分類意識．

設計意圖：教師建立了一個有助于學生進行獨立探究的情境，學生通過觀察、聯想、思考、分析、探索，在此過程中，這充分體現了探究定向性學習和主動合作式學習．

3、課堂研究，鞏固應用

例1主要利用對數函數《對數函數的圖像與性質》說課稿的定義域是《對數函數的圖像與性質》說課稿來求解．

例2利用對數函數的單調性，比較兩個同底對數值的大小．在這個例題中，注意第三小題的點撥，選擇和中間量0或1比較，第四小題要分底數《對數函數的圖像與性質》說課稿及《對數函數的圖像與性質》說課稿兩種情況．

例3 解對數不等式，實際是例2的一種逆向運算，已知對數值的大小，比較真數，任然要使用對數函數的單調性。

設計意圖：通過這個環節學生可以加深對本節知識的理解和運用，在此過程中充

分體現了數形結合和分類討論的數學思想方法．同時為課外研究題的解決提供了必要條件,為學生今后進一步學習對數不等式埋下伏筆．

4、鞏固練習

使學生學會知識的遷移,兩個練習緊扣本節內容，利用課堂研究中體現的重要的數形結合和分類討論的數學思想方法，學生課后完全有能力解決這個問題．

5、課堂小結

引導學生進行知識回顧，使學生對本節課有一個整體把握．從兩方面進行小結：

(1)掌握對數函數的圖像與性質，體會數形結合的思想方法；

(2)會利用對數函數的性質比較兩個同底對數值的大小，初步學會對數不等式的解法，體會分類討論的思想方法．

6、作業：p97習題3，4，5

選做題 6題

一、說教材

1、教材的地位和作用

函數是高中數學的核心，而對數函數是高中階段所要研究的重要的基本初等函數之一.本節內容是在學生已經學過指數函數、對數及反函數的基礎上引入的，因此既是對上述知識的應用，也是對函數這一重要數學思想的進一步認識與理解.對數函數在生產、生活實踐中都有許多應用.本節課的學習使學生的知識體系更加完整、系統，為學生今后進一步學習對數方程、對數不等式等提供了必要的基礎知識.2、教學目標的確定及依據

根據教學大綱要求，結合教材，考慮到學生已有的認知結構心理特征，我制定了如下的教學目標：

(1)知識目標：理解對數函數的意義;掌握對數函數的圖像與性質;初步學會用對數函數的性質解決簡單的問題.(2)能力目標：滲透類比、數形結合、分類討論等數學思想方法，培養學生觀察、分析、歸納等邏輯思維能力.(3)情感目標：通過指數函數和對數函數在圖像與性質上的對比，使學生欣賞數學的精確和美妙之處，調動學生學習數學的積極性.3、教學重點與難點

重點：對數函數的意義、圖像與性質.難點：對數函數性質中對于在a>1與0

二、說教法

學生在整個教學過程中始終是認知的主體和發展的主體，教師作為學生學習的指導者，應充分地調動學生學習的積極性和主動性，有效地滲透數學思想方法.根據這樣的原則和所要完成的教學目標，對于本節課我主要考慮了以下兩個方面：

1、教學方法：

(1)啟發引導學生實驗、觀察、聯想、思考、分析、歸納;

(2)采用“從特殊到一般”、“從具體到抽象”的方法;

(3)滲透類比、數形結合、分類討論等數學思想方法.2、教學手段：

計算機多媒體輔助教學.三、說學法

“授之以魚，不如授之以漁”，方法的掌握，思想的形成，才能使學生受益終身.本節課注重調動學生積極思考、主動探索，盡可能地增加學生參與教學活動的時間和空間，我進行了以下學法指導：

(1)類比學習：與指數函數類比學習對數函數的圖像與性質.(2)探究定向性學習：學生在教師建立的情境下，通過思考、分析、操作、探索，歸納得出對數函數的圖像與性質.(3)主動合作式學習：學生在歸納得出對數函數的圖像與性質時，通過小組討論，使問題得以圓滿解決.

一、說教材：

1。教材的內容、地位及編排依據

［內容、地位］本節教材內容主要研究： ⑴對數函數的圖象及其基本性質;⑵利用對數函數的圖象及其性質來解決一些與對數有關的問題。這節教學內容是在學生學過函數的基本性質、指數、指數函數以及對數的基礎上再來學習的，可以說它是上述內容的延續和發展，同時也為數學在實際應用中提供了一種新的`函數模型。因此本節內容起到了一種承上啟下的作用。

［編排依據］主要是從學生獲取知識遵循“從特殊到一般，由淺入深，由易到難，循序漸進”的原則出發，符合學生的認知水平和接受能力。

2。教學目標的確定和確定目標的依據

根據對數函數及其相關知識歷來在高考中的地位以及新課程標準的要求、學生的認知水平，確定教學目標如下：

（1）知識目標：使學生理解對數函數的定義并了解其圖象的特點；

（2）能力目標：培養學生動手操作的能力以及自主探究數學問題的素養；

（3）德育目標：培養學生勇于探索和創新的精神以及優化他們的個性品質；

（4）情感目標：構造和諧的教學氛圍，增加互動，促進師生情感交流。

3。教學的重點、難點、關鍵： ［重點］掌握對數函數的概念及其圖象，使學生能初步自覺地、有意識地利用圖象研究對數函數的性質。［難點］理解和掌握對數函數的概念，圖象特征，區分01和a1不同條件下的性質。［關鍵］認識底數a與對數函數圖象之間的關系。

二、說教法與學法

教法：1、為了培養學生自主學習的能力以及使得不同層次的學生都能獲得相應的滿足。因此本節課采用探究性教學、提問式教學和分層教學。2、根據本節課的特點也為了給學生的數學探究與數學思維提供支持，同時也為了培養學生的動手操作能力，所以采用計算機輔助教學，以突出重點和突破難點。

學法：為了發揮學生的主觀能動性，提高學生的綜合能力，確定了三種學法：

（1）自主性學習法：根據作圖的常規方法畫出對數函數的圖象；

（2）探究性學習法：通過分析、探索得出對數函數的性質；

（3）鞏固反饋法：檢驗知識的應用情況，找出未掌握的內容及其差距。

三、采用教具：

多媒體輔助教學

1通過flash軟件直觀的呈現出對數函數的圖象，使學生對其有豐富的感性認識；

2為學生展現自己的才華提供了平臺。

四、說教學程序

1、導入新課：

由2。2。1的例題6（即考古學家是如何估算出土文物或古遺址的年代）引入，讓學生利用計算器計算并填寫下表。略

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9.對數函數的性質教學反思

第三篇：指數函數和對數函數性質與圖像的練習題解讀

指數函數和對數函數性質與圖像的練習題

指數函數的性質與圖像

一、選擇題

1、使x2＞x3成立的x的取值范圍是（）

A．x＜1且x≠0 C．x＞1

a

b

cB．0＜x＜1 D．x＜1

d

2、若四個冪函數y＝x，y＝x，y＝x，y＝x在同一坐標系中的圖象如右圖，則a、b、c、d的大小關系是（）

A．d＞c＞b＞a

B．a＞b＞c＞d C．d＞c＞a＞b

D．a＞b＞d＞c

3、在函數y＝

132，y＝2x，y＝x＋x，y＝1中，冪函數有（）2x

B．1個

xA．0個

C．2個

D．3個

4、如果函數f（x）＝（a2－1）在R上是減函數，那么實數a的取值范圍是（）

A．｜a｜＞1 B．｜a｜＜2

C．｜a｜＞3

D．1＜｜a｜＜2

x－

25、函數y＝a

＋1（a＞0，a≠1）的圖象必經過點（）

B．（1，1）

C．（2，0）

D．（2，2）A．（0，1）

x6、函數y＝a在［0，1］上的最大值與最小值和為3，則函數y＝3ax－1在［0，1］上的最大值是（）

A．6

xB．1

C．3

D．

27、設f（x）＝()，x∈R，那么f（x）是（）

A．奇函數且在（0，＋∞）上是增函數

B．偶函數且在（0，＋∞）上是增函數

C．函數且在（0，＋∞）上是減函數

D．偶函數且在（0，＋∞）上是減函數

8、下列函數中值域為正實數的是（）

A．y＝512?x1

2B．y＝()

31?x

C．y＝()－1 12x

D．y＝1－2x

9、函數y＝ －x＋1＋2的圖象可以由函數y＝（1x）的圖象經過怎樣的平移得到（）2A．先向左平移1個單位，再向上平移2個單位 B．先向左平移1個單位，再向下平移2個單位 C．先向右平移1個單位，再向上平移2個單位 D．先向右平移1個單位，再向下平移2個單位

10、在圖中，二次函數y＝ax2＋bx與指數函數y＝（bx）的圖象只可為（）a

11、若－1＜x＜0，則不等式中成立的是（）

A．5＜5＜0.5xx－xxx x

B．5＜0.5＜5 D．0.5＜5＜

5x

－x

xx－xC．5＜5－＜0.5

x

二、填空題

12、函數y＝－2－x的圖象一定過____象限．

x－113、函數f（x）＝a14、函數y＝3－x＋3的圖象一定過定點P，則P點的坐標是___________．

與__________的圖象關于y軸對稱．

1?x2115、已知函數f（x）＝()

3三、解答題

16、已知冪函數f（x）＝x，其定義域是____________，值域是___________．

13?p2?p?22（p∈Z）在（0，＋∞）上是增函數，且在其定義域內是偶函數，求p的值，并寫出相應的函數f（x）．

對數函數的性質與圖像

一、選擇題

1、log5(?a)2（a≠0）化簡得結果是（）

B．a2

?12A．－a

C．｜a｜

D．a

2、log7［log3（log2x）］＝0，則x

A．

等于（）

C．B．

12312

2D．

133

3、log

n?1?n（n＋1－n）等于（）

B．－1

C．2

D．－2 A．1

1)的定義域是（）

4、函數f（x）＝log1(x－ A．（1，＋∞）C．（－∞，2）

B．（2，＋∞），2] D．（15、函數y＝log1（x2－3x＋2）的單調遞減區間是（）A．（－∞，1）C．（－∞，B．（2，＋∞）D．（3）

23，＋∞）

26、若2lg（x－2y）＝lgx＋lgy，則

A．4

C．1或4

y的值為（）x

1B．1或

D．

47、若定義在區間（－1，0）內的函數f（x）＝log2a（x＋1）滿足f（x）＞0，則a的取值范圍為（）

A．（0，C．（1）

2B．（0，1）21，＋∞）

D．（0，＋∞）228、函數y＝lg（－1）的圖象關于（）

1－x

A．y軸對稱

C．原點對稱

B．x軸對稱 D．直線y＝x對稱

二、填空題

9、若logax＝logby＝－則xy＝________．

10、若lg2＝a，lg3＝b，則log512＝________．

11、若3＝2，則log38－2log36＝__________．

12、已知y＝loga（2－ax）在［0，1］上是x的減函數，則a的取值范圍是__________．

13、函數f（x）的圖象與g（x）＝（單調遞減區間為______．

14、已知定義域為R的偶函數f（x）在［0，＋∞］上是增函數，且f（則不等式f（log4x）的解集是______．

三、解答題

15、求函數y＝log1（x2－5x＋4）的定義域、值域和單調區間．

31logc2，a，b，c均為不等于1的正數，且x＞0，y＞0，c＝ab，2a

1x）的圖象關于直線y＝x對稱，則f（2x－x2）的31）＝0，216、設函數f（x）＝23－2x＋lg，3x＋53＋2x

（1）求函數f（x）的定義域；

（2）判斷函數f（x）的單調性，并給出證明；

（3）已知函數f（x）的反函數f1（x），問函數y＝f1（x）的圖象與x軸有交點嗎?

－

－

若有，求出交點坐標；若無交點，說明理由．

第四篇：對數函數及其性質

對數函數及其性質（說課稿）

2.2對數函數及其性質

各位老師，大家好！今天我說課的內容是人教版必修

（一）對數函數及其性質第一課時,下面，我將從教材分析、教法分析、學法分析、教輔手段、教學過程、板書設計等六個方面對本課時的教學設計進行說明.一、教材分析

1、教材的地位和作用

函數是高中數學的核心，而對數函數是高中階段所要研究的重要的基本初等函數之一．本節內容是在學生已經學過指數函數、對數及反函數的基礎上引入的，因此既是對上述知識的拓展和延伸，也是對函數這一重要數學思想的進一步認識與理解．本節課的學習使學生的知識體系更加完整、系統，為學生今后進一步學習對數方程、對數不等式等提供了必要的基礎知識．

2、教學目標的確定及依據

結合課程標準的要求，參照教材的安排，考慮到學生已有的認知結構、心理特征，我制定了如下的教學目標：

(1)知識與技能：進一步理解對數函數的意義，掌握對數函數的圖像與性質，初步利用對數函數的圖像與性質來解決簡單的問題。

(2)過程與方法：經歷探究對數函數的圖像與性質的過程，培養學生觀察、分析、歸納的思維能力以及數學交流能力；滲透類比、數形結合、分類討論等數學思想方法。

(3)情感、態度與價值觀：在活動過程中培養學生的數學應用意識，感受獲得成功后的喜悅心情，養成積極合作、大膽交流、虛心學習的良好品質。

3、教學重點與難點

重點：對數函數的意義、圖像與性質．

難點：對數函數性質中對于在 與 兩種情況函數值的不同變化．

二、教法分析

本節課是在前面研究了對數及常用對數、指數函數的基礎上，研究的第二類具體初等函數，它有著豐富的內涵，和我們的實際生活聯系密切，也是以后學習的基礎，鑒于這種情況，安排教學時，采用“從特殊到一般”、“從具體到抽象”的方法，并在教學過程中滲透類比、數形結合、分類討論等數學思想方法。

三、學法分析

本節課注重調動學生積極思考、主動探索，盡可能地增加學生參與教學活動的時間和空間，我進行了以下學法指導：

(1)類比學習：與指數函數類比學習對數函數的圖像與性質．

(2)探究定向性學習：學生在教師建立的情境下，通過思考、分析、操作、探索，歸納得出對數函數的圖像與性質．

四、教輔手段

以學生獨立思考、自主探究、合作交流，教師啟發引導為主，以多媒體演示為輔的教學方法進行教學。

五、教學過程

根據新課標我將本節課分為下列五個環節：創設情境，引入新課；探究新知，加深理解 ；講解例題，強化應用；歸納小結，鞏固雙基；布置作業，提高升華。

（一）創設情境，引入新課

本節課我是從在指數函數一節曾經做過的一道習題入手的。這樣以舊代新逐層遞近，不僅使學生易懂而且還體現了指對函數間的密切關系。我的引題是這樣的： 引題：一個細胞由一個分裂成兩個，兩個分裂成四個??依此類推，（1）求這樣的一個細胞分裂的次數x與細胞個數y之間的函數關系式。（2）256個細胞是這個細胞經過幾次分裂得到的？那么要得到1萬，10萬?個第一問學生很容易得出是指數函數：y=2x。再看第二問，通過思考學生分析出這是個已知細胞個數求分裂次數的問題即：已知y求x的問題，即:x=log2y,緊接著問學生：這是一個函數嗎？將知識遷移到函數的定義，即對于任意一個y是否都有唯一的x與之相對應，為了方便學生理解，可以借助指數函數圖像加以解釋。得出x=log2y是一個函數，但它又和我們平時所見過的函數形式上不一樣，我們習慣上用x來表示自變量，y來表示函數，所以可將它改寫成y=log2x，這樣的函數稱為對數函數。這便引出了本節課的課題。

這樣設計不僅學生容易接受而且雖然在過程中沒有用反函數的概念，但卻體現了求指數函數反函數的過程，這為后面學習反函數的概念做了鋪墊。由于有了之前學習指數函數的基礎，學生很容易就可歸納總結出：對數函數的一般形式：y=logax(a>0且a≠1)，并求出定義域（0，+∞）。由于對數函數是形式定義，所以讓學生記住這個形式是由為重要的，可以讓學生觀察解析式的特點并可歸納總結出三條：

1、對數符號前系數為1；

2、底數是不為0的正常數；

3、真數是一個自變量x的形式。為了加深學生的記憶，我這里安排了一道辨析題：判斷下列函數是否為對數函數：

這樣學生就對對數函數的概念有了更準確的認知與理解。

（二）探究新知，加強理解

得到了對數函數的解析式，學生自然而然就會想到該研究它的圖像了。我的想法是這樣的：一方面描點法畫圖是學生需要熟練掌握的一類重要的畫圖方法，而且學生對自己畫出的圖像和歸納總結的知識記憶會更加深刻，所以我決定將課堂交給學生讓他們自主探究，然后同學間互相討論，并根據圖像歸納出對數函數的性質。另一方面，研究對數函數圖像主要是研究底數a對圖像的影響，以及底數互為倒數的兩個函數圖像間的關系。所以我將所研究的問題分為以下3組：第一組：和 第二組： 和 第三組： 和。并且我將全班學生每6人分為一組，由組長負責分配，每個學習小組要把這3組圖都畫出來，畫完后，組內討論各組圖像間的關系或特點并歸納總結出來。這樣做的好處是：

1、可以大大節省畫圖時間，提高課堂效率；

2、這樣相當于全班每一位同學，都對對數函數的這三組圖像有了初步的感性認識，3、培養了學生團結協作，歸納總結及交流的能力。討論完后，讓幾個組的學生代表將本組所畫圖像及歸納總結的規律用實物投影一一展示，教師將學生歸納總結出的共性的規律提煉出來，并問學生：這是通過具體的對數函數總結出的規律。那么是否適用于一般的情況呢？這時就需要教師用多媒體演示來輔助教學了。我是用幾何畫板做了一個底數a變化時圖像也隨著變化的課件。通過底數a的變化，會出現不同的對數函數圖像，學生會發現無論a怎樣變化，圖像的特點與由特殊函數總結出的規律一樣，所以可以由特殊推出一般結論。還可以得出對數函數圖像其實分為以下兩類：a>1和0

a>1 0

圖

像

定義域

（0，+∞）值域

R 單調性

在 上為增函數

在 上為減函數 奇偶性

非奇非偶函數

至此，對數函數的圖像及性質就由教師引導，學生自主探究歸納總結出來。下面 就是應用性質來解題了。

（三）講解例題，強化應用 在這一部分我安排了2道例題。例1：求下列函數的定義域: 例2：比較下列各組數中的兩個值的大小: 例1是對對數型函數定義域的考查。目的是讓學生掌握形如：的函數求定義域只需f(x)>0即可。例2是比較兩個對數值大小的問題。前兩道題是直接利用函數單調性來比較，第3道題是為了讓學生注意當底數不確定時，要有分類討論的意識，第4道題是更上一層，底數真數都不相同時應如何處理，這四道題是層層深入，逐漸加深難度，通過這種變式教學可充分調動學生的解題積極性，調動他們的思維。

（四）歸納小結，鞏固雙基

歸納小結是鞏固新知不可缺少的環節。本節課我讓學生自主歸納，目的是培養學生的概括能力、語言表達能力，還能使學生將本節課的知識做簡要的回顧。然后教師再將學生的發言做最后的小節。可以總結為：

在知識方面：（1）學習了對數函數的圖像及其性質；（2）會應用對數函數的知識求定義域；（3）會利用對數函數單調性比較兩個對數的大小。

思想方法方面:體會了類比、由特殊到一般、分類與整合、分類討論的思想方法。

（五）布置作業，提高升華

最后一個環節是布置作業，這是一節課提高升華的過程，也是檢驗學生是否掌握了本節課的知識和思想方法的關鍵。本節課我安排了兩個作業。必做題和思考題，其中思考題是讓學生思考既然本節課我們一直是通過指數函數來研究對數函數的，那么他們之間有怎樣的關系呢？

通過以上各個環節，不僅學生掌握了對數函數的定義與性質，還調動了學生自主探究與人合作的學習積極性，很好地完成了教學任務。

第五篇：三角函數的圖像與性質 教案

三角函數的圖象與性質

教學目標

1．熟練掌握正弦函數、余弦函數、正切函數、余切函數的性質，并能用它研究復合函數的性質．

2．熟練掌握正弦函數、余弦函數、正切函數、余切函數圖象的形狀、3．理解圖象平移變換、伸縮變換的意義，并會用這兩種變換研究函數圖象的變化．

重點難點

重點是通過復習，能運用四種三角函數的性質研究復合三角函數的性質及圖象的特點，特別是三角函數的周期性，是需要重點明確的問題．

難點是，在研究復合函數性質時，有些需要先進行三角變換，把問題轉化到四種三角函數上，才能進行研究，這就增加了問題的綜合性和難度．

教學過程

三角函數的圖象與性質是三角函數的核心問題，要熟練、準確地掌握．特別是三角函數的周期性，反映了三角函數的特點，在復習“三角函數的性質與圖象”時，要牢牢抓住“三角函數周期性”這一內容，認真體會周期性在三角函數所有性質中的地位和作用．這樣才能把性質理解透徹． 一、三角函數性質的分析 1．三角函數的定義域

這兩種表示法都需要掌握．即角x不能取終邊在y軸上的角．

函數y=cotx的定義域是x≠π或(kπ，kπ+π)(k∈Z)，這兩種表示法都需要掌握．即角x不能取終邊在x軸上的角．

(2)函數y=secx、y=cscx的定義域分別與y=tanx、y=cotx相同． 例

1求下列函數的定義域：

π](k∈Z)．

形使函數定義域擴大． 的某些區間與-3≤x≤3的交集不空，這些區間可以通過k取特殊值得到．注意不要遺漏．

(3)滿足下列條件的x的結果，要熟記(用圖形更便于記住它的結果)．

是

[

]

所以選C． 2．三角函數的值域

(1)由|sinx|≤

1、|cosx|≤1得函數y=cscx、y=secx的值域是|cscx|≥

1、|secx|≥1．

(2)復合三角函數的值域問題較復雜，除了代數求值域的方法都可以適用外，還要注意三角函數本身的特點，特別是經常需要先進行三角變換再求值域． 常用的一些函數的值域要熟記．

③y=tanx+cotx∈(-∞，-2]∪[2，+∞)． 例

4求下列函數的值域：

(2)y=3cos2x+4sinx ①x∈R；

④x是三有形的一個內角．(3)y=cosx(sinx+cosx)；

(5)y=sin(20°-x)+cos(50°+x)．

若把上式中的sinx換成cosx，解法、答案均與上面相同．

sinx=0時，ymax=3，所以y∈[-4，3]；

(5)解法一

將cos(50°+x)變為sin(40°-x)，和差化積得 y=2sin(30°-x)·cos10°∈[-2cos10°，2cos10°]．

解法二

用正弦、余弦的兩角和與差的公式展開，得 y=(sin20°cosx-cos20°sinx)+(cos50°cosx-sin50°sinx)=(sin20°+cos50°)cosx-(cos20°+sin50°)sinx =(sin20°+sin40°)cosx-(sin70°+sin50°)sinx =2sin30°·cos10°·cosx-2sin60°·cos10°·sinx

=2cos10°·sin(30°-x)∈[-2cos10°，2cos10°]．

評述

以上是求三角函數值域的幾種基本情況，它們的共同點在于，經過三角變換，都要轉化為四種基本三角函數的值域．

求tanβ的最大值．

解

α為銳角，tanα＞0，所以

3．三角函數的周期性

(1)對周期函數的定義，要抓住兩個要點：

①周期性是函數的整體性質，因此f(x+T)=f(x)必須對定義域中任一個x成立時，非零常數T才是f(x)的周期．

②周期是使函數值重復出現的自變量x的增加值． 因為sin(2kπ+x)=sinx對定義域中任一個x成立，所以2kπ(k∈Z，k≠0)是y=sinx的周期，最小正周期是2π．

同理2kπ(k∈Z，k≠0)是y=cosx的周期，最小正周期是2π．

因為tan(kπ+x)=tanx對定義域中任一個x成立，所以kπ(k∈Z，k≠0)是y=tanx的周期，最小正周期是π．

同理kπ(k∈Z，k≠0)是y=cotx的周期，最小正周期是π．

(3)三角函數的周期性在三角函數性質中的作用

①函數的遞增或遞減區間周期性的出現，每一個三角函數，都有無數個遞增或遞減區間，這些遞增區間互不連接，遞減區間也互不連接．

②函數的最大、最小值點或使函數無意義的點周期性變化．

③因為三角函數是周期函數，所以畫三角函數圖象時，只須畫一個周期的圖象即可．

例6 求下列函數的周期：

上式對定義域中任一個x成立，所以T=π；

4．三角函數的奇偶性，單調性

研究函數的單調性，關鍵是求函數的單調區間．

[

]

A．②

B．①②

C．②③

D．①②③

原點不對稱，所以函數①既非奇函數又非偶函數；②因為f(-x)=-f(x)，所

但是周期函數，T=2π．因此選C．

評述

在判定函數是奇函數或是偶函數時，一定要注意函數的定義域，一個函數是奇函數或偶函數的必要條件是定義域關于原點對稱．因此對①，不能根據f(-x)+f(x)=0就判定①為奇函數．

原來的函數既不是奇函數，也不是偶函數．因此在研究函數性質時，若將函數變形，必須保持變形后的函數與原來的函數是同一個函數，例8

給出4個式子：①sin2＞cos2＞tan2；②sin2＞sin3＞sin4；③tan1＞sin1＞cos1；④cos1＞cos2＞cos3．正確的序號是______．

而(0，π)是y=cosx的遞減區間，所以④正確．

例9

函數y=-cosx-sin2x在[-π，π)的遞增區間是______．

評述

研究函數的性質首先要注意函數的定義域．

[

] A．是增函數

B．是減函數

C．可以取得最大值M

D．可以取得最小值-M

5．三角函數的圖象

(1)畫三角函數的圖象應先求函數的周期，然后用五點法畫出函數一個周期的圖象．

(2)函數y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx

圖象的對稱中心分別為

∈Z)的直線．

例1

2畫出下列函數在一個周期的圖象：

解(1)T=π．

如圖10．

(2)T=2π．如圖11．

[

]

最大或最小值的即是，所以選A．

(4)三角函數圖象的平移變換，伸縮變換．

一個周期的圖象，則圖象的解析式為______．

還可以這樣研究：

二、綜合題分析

例17

方程sinx=log20x根的個數是______．

分析

在同一坐標系中作出y=sinx、y=log20x的圖象．

(2π，4π)，(4π，6π)中，兩圖象分別有1個、2個、2個交點，因此方程根的個數為5個．

例18

已知函數y=sinx·cosx

+sinx+cosx，求y的最大、最小值及取得最大、最小值時的x值．

解

令sinx+cosx=t．

(k∈Z)時，ymin=-1；

求：(1)函數的取值范圍；

(2)函數的遞減區間． 解

sin3x·sin3x+cos3x·cos3x

實數．

π](k∈Z)． 的最小正周期．

有一動點P，過P引平行于OB的直線交OA于Q，求△POQ面積的最大值及此時P點的位置．

解

如圖13．

設∠POB=θ∈(0°，120°)，則∠QPO=θ．

能力訓練

2．設θ是第二象限角，則必有

[

]

[

]

A．y=tanx

B．y=cos2x

4．函數f(cosC)=cos2C-3cosC，則f(sinC)的值域是

[

]

5．(1)函數y=cos(tanx)的定義域是______，值域是______；

(7)設a=tan48°+cot48°，b=sin48°+cos48°，c=tan48°+cos48°，d=cot48°+sin48°．將a，b，c，d從小到大排列的結果是______．

6．將函數y=f(x)的圖象上各點的橫坐標擴大兩倍，縱坐標不變，然 的圖象完全相同，則函數y=f(x)的表達式是______．

7．(1)已知sinα+sinβ=1，則cosα+cosβ的取值范圍是______；(2)已知3sin2α+2sin2β=2sinα，則sin2α+sin2β的取值范圍是______． 8．求下列函數的周期：(1)y=cot2x-cotx；

(3)y=cos3x·cos3x-sin3x·sin3x．

9．求函數y=sin4x+cos4x-2cos2x的周期、最大值和最小值．

11．設f(x)=sin(x+θ)+cos(x-θ)，求使f(x)為偶函數的充分必要條件．

數a的取值范圍．

實數m的取值范圍．

答案提示

1．B

2．C

3．D

4．B

(3)奇函數，R

(7)d-b=cot48°-cos48°=tan42°-sin42°＞0，所以d＞b；c-

7．(1)設cosα+cosβ=x，則(sinα+sinβ)2+(cosα+cosβ)2=2+2cos(α

3]

11．sin(-x+θ)+cos(-x-θ)=sin(x+θ)+cos(x-θ)=sin(x+θ)+sin(x-θ)

-2sinx·sinθ=2sinx·cosθ

cos(x+θ)-cos(x-θ)-sinθ=cosθ

14．設sinθ=t∈[0，1]，題目變成t2-2mt+2m+1＞0對t∈[0，1]

設計說明

三角函數的每一條性質都要求記憶和理解，每一個函數的圖象也要求熟練掌握，因此在復習時，首先以一些小題為主，使學生把每一條性質都弄清楚．由于在研究性質時必然要涉及三角變換，而這一點對學生來說是難點，所以在復習時不要由于三角變換削弱了性質的復習．

在復習這部分內容時，應抓住核心的兩點：三角函數的圖象和三角函數的周期性．