第一篇：長沙市一中教案_高二理科數學《2.3數學歸納法(一)》

2.3數學歸納法（1）

教學目標

1． 使學生了解歸納法, 理解數學歸納的原理與實質．

2． 掌握數學歸納法證題的兩個步驟；會用“數學歸納法”證明簡單的與自然數有關的命題． 3． 培養學生觀察, 分析, 論證的能力, 進一步發展學生的抽象思維能力和創新能力，讓學生經歷知識的構建過程, 體會類比的數學思想．

4． 努力創設課堂愉悅情境，使學生處于積極思考、大膽質疑氛圍，提高學生學習的興趣和課堂效率．

5． 通過對例題的探究，體會研究數學問題的一種方法(先猜想后證明), 激發學生的學習熱情，使學生初步形成做數學的意識和科學精神． 教學重點

歸納法意義的認識和數學歸納法產生過程的分析 教學難點

數學歸納法中遞推思想的理解 教學過程

一．創設問題情境，啟動學生思維

(1)不完全歸納法引例：

明朝劉元卿編的《應諧錄》中有一個笑話：財主的兒子學寫字．這則笑話中財主的兒子得出“四就是四橫、五就是五橫……”的結論，用的就是“歸納法”，不過，這個歸納推出的結論顯然是錯誤的．

(2)完全歸納法對比引例：

有一位師傅想考考他的兩個徒弟，看誰更聰明一些．他給每人一筐花生去剝皮，看看每一?；ㄉ适遣皇嵌加蟹垡掳凑l先給出答案．大徒弟費了很大勁將花生全部剝完了；二徒弟只揀了幾個飽滿的，幾個干癟的，幾個熟好的，幾個沒熟的，幾個三仁的，幾個一仁、兩仁的，總共不過一把花生．顯然，二徒弟先給出答案，他比大徒弟聰明．

在生活和生產實際中，歸納法也有廣泛應用．例如氣象工作者、水文工作者依據積累的歷史資料作氣象預測，水文預報，用的就是歸納法．這些歸納法卻不能用完全歸納法． 二．回顧數學舊知，追溯歸納意識

(1)不完全歸納法實例： 給出等差數列前四項, 寫出該數列的通項公式．

(2)完全歸納法實例： 證明圓周角定理分圓心在圓周角內部、外部及一邊上三種情況． 三．借助數學史料, 促使學生思辨

在數學中運用不完全歸納法常常會得到錯誤的結論，不管是我們還是數學大家都可能如此．那么，有沒有更好的歸納法呢？

問題1 已知an＝(n?5n?5)（n∈N），(1)分別求a1；a2；a3；a4．

(2)由此你能得到一個什么結論？這個結論正確嗎？

問題2 費馬（Fermat）是17世紀法國著名的數學家，他曾認為，當n∈N時，22?1一定

n22都是質數，這是他對n＝0，1，2，3，4作了驗證后得到的．后來，18世紀偉大的瑞士科學家歐拉（Euler）卻證明了22?1＝4 294 967 297＝6 700 417×641，從而否定了費馬的推測．沒想到當n＝5這一結論便不成立．

問題3 f(n)?n2?n?41, 當n∈N時，f(n)是否都為質數？

驗證： f（0）＝41，f（1）＝43，f（2）＝47，f（3）＝53，f（4）＝61，f（5）＝71，f（6）＝83，f（7）＝97，f（8）＝113，f（9）＝131，f（10）＝151，…，f（39）＝1 601．但是f（40）＝1 681＝412，是合數． 四．搜索生活實例，激發學習興趣

實例：播放多米諾骨牌錄像

關鍵：(1)第一張牌被推倒；(2)假如某一張牌倒下, 則它的后一張牌必定倒下． 于是, 我們可以下結論： 多米諾骨牌會全部倒下．

搜索：再舉幾則生活事例：推倒自行車, 早操排隊對齊等． 五．類比數學問題, 激起思維浪花

類比多米諾骨牌過程, 證明等差數列通項公式an?a1?(n?1)d：

(1)當n＝1時等式成立；(2)假設當n＝k時等式成立, 即ak?a1?(k?1)d, 則ak?1?ak?d=a1?[(k?1)?1]d, 即n＝k＋1時等式也成立． 于是, 我們可以下結論： 等差5數列的通項公式an?a1?(n?1)d對任何n∈N都成立． 六．引導學生概括, 形成科學方法

證明一個與正整數有關的命題關鍵步驟如下：(1)證明當n取第一個值n0時結論正確；

(2)假設當n＝k(k∈N，k≥n0)時結論正確, 證明當n＝k＋1時結論也正確． 完成這兩個步驟后, 就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數n都正確． 這種證明方法叫做數學歸納法． 七．蘊含猜想證明, 培養研究意識

例題 在數列{an}中, a1＝1, an?1?項an的公式, 最后證明你的結論． 八．基礎反饋練習, 鞏固方法應用

(1)用數學歸納法證明：1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝n．

2**an1?an(n∈N), 先計算a2，a3，a4的值，再推測通

*(2)首項是a1，公比是q的等比數列的通項公式是an?a1q九．師生共同小結, 完成概括提升

n?1．

(1)本節課的中心內容是歸納法和數學歸納法；

(2)歸納法是一種由特殊到一般的推理方法，它可以分為完全歸納法和不完全歸納法兩種，完全歸納法只局限于有限個元素，而不完全歸納法得出的結論不一定具有可靠性，數學歸納法屬于完全歸納法；

(3)數學歸納法作為一種證明方法，其基本思想是遞推(遞歸)思想，使用要點可概括為：兩個步驟一結論，遞推基礎不可少，歸納假設要用到，結論寫明莫忘掉；

(4)本節課所涉及到的數學思想方法有：遞推思想、類比思想、分類思想、歸納思想、辯證唯物主義思想．

十．布置課后作業, 鞏固延伸鋪墊習案與學案

第二篇：長沙市一中教案_高二理科數學《1.2.1 排列(一)》

長沙市第一中學高二數學備課組

選修2-3 教案

1.2 排列 第一課時

教學目標

1、使學生理解排列的意義，并且能在理解題意的基礎上，識別出排列問題，2、能用“樹形圖”寫出一個排列中所有的排列．并從列舉過程中體會排列數與計數原理的關系。

教學重點

1、理解排列的概念，能用列舉法、“樹形圖”列出排列，從簡單排列問題的計數過程中體會排列數公式。

2、對排列要完成“一件事情”的理解；對“一定順序”的理解。

教學過程 一．設置情境

問題1 從甲、乙、丙3名同學中選出2名參加某天的一項活動，其中1名同學參加上午的活動，1名同學參加下午的活動，有多少種不同的方法？

這個問題，就是從甲、乙、丙3名同學中選出2名，按照參加上午的活動在前，參加下午的活動在后的順序排列，求一共有多少種不同排法的問題．

解決這個問題需分2個步驟．

第1步，確定參加上午活動的同學，從3人中任選1人有3種方法；

第2步，確定參加下午活動的同學，只能從余下的2人中選，有2種方法，根據分步計數原理，共有3×2＝6種不同的方法． 如圖所示為所有的排列．

二．新課講解

我們把上面問題中被取的對象叫做元素．于是所提出的問題就是從3個不同的元素中任取2個，按照一定的順序排成一列，求一共有多少種不同的排法．

我們再看下面的問題：

問題2 從a、b、c、d這四個字母中，取出3個按照順序排成一列，共有多少種不同的挑法？

解決這個問題，需分3個步驟：

第1步，先確定左邊的字母，在4個字母中任取1個，有4種方法；

第2步，確定中間的字母，從余下的3個字母中去取，有3種方法；

第3步，確定右邊的字母，只能從余下的2個字母中去取，有2種方法．

根據分步計數原理，共有 4×3×2＝24種不同的排法，如圖所示．

由此可以寫出所有的排列（出示投影）：

abc abd acb acd adb adc bac bad

bca bcd bda bdc

cab cad cba cbd

cda cdb dab dac

dba dbc dca dcb

一般地，從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．

問題3：排列的定義中包含哪兩個基本內容？

排列的定義中包含兩個基本內容：一是“取出元素”；二是“按照一定順序排列”．“一定順序”就是與位置有關，這也是判斷一個問題是不是排列問題的重要標志．

問題4：兩個排列的元素完全相同時，是否為相同的排列？

根據排列的定義，兩個排列相同，當且僅當這兩個排列的元素完全相同，而且元素的排列順序也完全相同．也就是說，如果兩個排列所含的元素不完全一樣，那么就可以肯定是不同的排列；如果兩個排列所含的元素完全一樣，但擺的順序不同，那么也是不同的排列．

—第1頁●共3頁— 長沙市第一中學高二數學備課組

選修2-3 教案

問題5：什么是排列數？排列數與排列有何區別？

從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素的所有不同排列的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數．用符號Amn表示。

問題6：排列可分為幾類？

如果m＜n，這樣的排列（也就是只選一部分元素作排列），叫做選排列；

如果m＝n，這樣的排列（也就是取出所有元素作排列），叫做全排列．

三．例題講解

例1：寫出從a、b、c三個元素中取出兩個元素的全部排列．

解：所有排列是ab ac bc ba ca cb

例2：由數字1、2、3、4，可以組成多少個沒有重復數字的三位數？

（24個）

例3；以參加乒乓球比賽的5名運動員中選3名排好出場順序，有多少種不同的出場順序？

（60）例4：從3、5、7、10、13五個數字中任選兩個數相加、相乘、相減、相除哪些是排列？

問題7：從n個不同的元素中取出2個元素的排列數為An是多少？An、An（n≥m）又各是多少？

得出排列數公式：An=n(n-1)(n-2)(n-3).....(n-m+1)

364例5

計算

（1）A16

（2）A6

（3）A6 m

23m364解：（1）A!?720

（3）A6?6?5?4?3?360 16?16?15?14?3360

（2）A6?654pn?pn例6.求下列各式中的n： ?4 3pn例7．北京、上海、廣州三個民航站之間的直達航縣，需要準備多少種飛機票？

（6種）

四．課堂練習

1．下列問題中哪些是排列問題？如果是在題后括號內打“√”，否則打“×”．

（1）20位同學互通一封信，問共通多少封信？（√）

（2）20位同學互通一次電話，問共通多少次？（×）

（3）20位同學互相握一次手，問共握手多少次？（×）

（4）從e，π，5，7，10五個數中任意取出2個數作為對數的底數與真數，問共有幾種不同的對數值？（√）

（5）以圓上的10個點為端點，共可作多少條弦？（×）

（6）以圓上的10個點為起點，且過其中另一個點的射線共可作多少條？（√）

2．在A、B、C、D四位候選人中，選舉正、副班長各一人，共有幾種不同的選法？寫出所有可能的選舉結果．

解：選舉過程可以分為兩個步驟．第1步選正班長，4人中任何一人可以當選，有4種選法；

第2步選副班長，余下的3人中任一人都可以當選，有3種選法．根據分步計數原理，不同的選法有4 ×3＝12（種）．其選舉結果是：

AB AC AD BC BD CD

BA CA DA CB DB DC 五．課堂總結

1、排列問題，是取出m個元素后，還要按一定的順序排成一列，取出同樣的m個元素，只要排列順序不同，就視為完成這件事的兩種不同的方法（兩個不同的排列）．

—第2頁●共3頁— 長沙市第一中學高二數學備課組

選修2-3 教案

2、由排列的定義可知，排列與元素的順序有關，也就是說與位置有關的問題才能歸結為排列問題．

當元素較少時，可以根據排列的意義寫出所有的排列． 六． 布置作業 《習案》與《學案》

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第三篇：長沙市一中教案_高二理科數學《2.1.2演繹推理》

2.1.2演繹推理

教學目標

1.了解演繹推理 的含義。

2.能正確地運用演繹推理

進行簡單的推理。3.了解合情推理與演繹推理之間的聯系與差別。教學重點

正確地運用演繹推理

進行簡單的推理

教學難點

了解合情推理與演繹推理之間的聯系與差別。

教學過程

一．復習引入

問題1；合情推理有幾種？ 歸納推理

從特殊到一般 類比推理

從特殊到特殊

從具體問題出發――觀察、分析比較、聯想――歸納。類比――提出猜想。二．問題情境。

觀察與思考

1所有的金屬都能導電

銅是金屬，所以，銅能夠導電

2.一切奇數都不能被2整除，(2100+1)是奇數，所以，(2100+1)不能被2整除.3.三角函數都是周期函數，tan ? 是三角函數, 所以，tan ?是 周期函數。

問題 2：像這樣的推理是合情推理嗎？ 三．學生活動 ：

1.所有的金屬都能導電 ←————大前提

銅是金屬，←-----小前提 所以，銅能夠導電

←――結論 2.一切奇數都不能被2整除 ←————大前提

(2100+1)是奇數，←――小前提

所以，(2100+1)不能被2整除.←―――結論 3.三角函數都是周期函數，←——大前提

tan ? 是三角函數, ←――小前提

所以，tan ?是 周期函數?！D―結論 四．概念數學

演繹推理的定義：從一般性的原理出發，推出某個特殊情況下的結論，這種推理稱為演繹推理．

１．演繹推理是由一般到特殊的推理； ２．“三段論”是演繹推理的一般模式；包括

⑴大前提---已知的一般原理；

⑵小前提---所研究的特殊情況；

⑶結論-----據一般原理，對特殊情況做出的判斷． 三段論的基本格式

M—P（M是P）（大前提）S—M（S是M）（小前提）

S—P（S是P）（結論）

3.三段論推理的依據,用集合的觀點來理解: 若集合M的所有元素都具有性質P,S是M的一個子集,那么S中所有元素也都具有性質P.五．數學運用

例

1、把“函數y?x2?x?1的圖象是一條拋物線”恢復成完全三段論。

解：二次函數的圖象是一條拋物線

（大前提）函數y?x?x?1是二次函數（小前提）結論）所以，函數y?x?x?1的圖象是一條拋物線（例2.如圖;在銳角三角形ABC中,AD⊥BC, BE⊥AC，D,E是垂足,求證AB的中點M到D,E的距離相等 2

解：(1)因為有一個內角是只直角的三角形是直角三角形,——大前提 在△ABC中,AD⊥BC,即∠ADB=90°——-小前提

所以△ABD是直角三角形——結論

(2)因為直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,——大前提 因為 DM是直角三角形斜邊上的中線,——小前提 所以 DM= 12同理 EM= AB AB——結論

所以 DM=EM.例3.證明函數f(x)＝－x＋2x在(－∞,1)內是增函數.例4 教案205面的例1 例5教案205面的例2

六．課堂練習

第81頁 練習第 1，2，3題 七． 回顧小結：

演繹推理錯誤的主要原因是

1．大前提不成立；2, 小前提不符合大前提的條件。八．課后作業習案與學案

第四篇：長沙市一中教案_高二理科數學《1.1分類計數原理與分步計數原理(一)》

長沙市第一中學高二數學備課組

選修2-3 1.1 分類計數原理與分步計數原理

（一）教學目標

1、引導學生歸納得出兩個計數原理，初步區分“分類”與“分步”，2、掌握分類計數原理與分步計數原理，并能用這兩個原理分析和解決一些簡單問題．

教學的重點與難點

1、歸納得出分類加法計數原理與分步乘法計數原理。

2、正確理解“完成一件事情”的含義，根據實際問題的特征，正確地區分“分步”與“分類”。

教學過程

（一）分類加法計數原理。

問題1：P2面的思考，你能說說這個問題的特征嗎？

問題2：從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，一天中，火車有3班，汽車有2班．那么一天中，乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？

圖1

問題3：某班級三好學生中男生有5人,女生有4人。從中任選一人去領獎, 有多少種不同的選法？ 問題4：第2面的例1 問題5：如果完成一件事情, 有三類辦法, 在第一類辦法中有m1種不同的方法,在第二類辦法中有m2種不同的方法，在第三類辦法中有m3種不同的方法.那么完成這件事共有多少種不同的方法？如果完成一件事情, 有n類辦法,在每一類中都有若干中不同的方法，應當如何計數？

歸納：

一般地，有如下原理：（出示投影）

分類計數原理

完成一件事，有類辦法，在第1類辦法中有m1種不同的方法，在第2類辦法中有m2種不同的方法，?，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法． 注意：分類適當不重不漏。

（二）分步乘法計數原理

問題6：從甲地到乙地，要從甲地選乘火車到丙地，再于次日從丙地乘汽車到乙地．一天中，火車有3班，汽車有2班．那么兩天中，從甲地到乙地共有多少種不同的走法（如圖2）？

圖2

這個問題與前一個問題不同．在前一個問題中，采用乘火車或汽車中的任何一種方式，都可以從甲地到乙地；而在這個問題中，必須經過先乘火車、后乘汽車兩個步驟，才能從甲地到乙地．

這里，因為乘火車有3種走法，乘汽車有2種走法，所以乘一次火車再接乘一次汽車從甲地到乙地，共有3×2＝6種不同的走法．

問題7：見教材P3面的思考。你能說說這個問題的特征嗎？

歸納；完成一件事，需要分成兩個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法

長沙市第一中學高二數學備課組

選修2-3 那么完成這件事共有m1×m2種不同的方法。

問題8：完成一件事，需要分成3個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，做第3步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有多少不同的方法？如果完成一件事情, 需要有n個步驟做每一步都有若干中不同的方法，應當如何計數？ 于是得到如下原理：（出示投影）

分步計數原理落千丈 完成一件事，需要分成n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，?，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N?m1?m2??mn種不同的方法．

問題8：分類計數原理與分步計數原理有什么不同？

分類計數原理與分步計數原理都是涉及完成一件事的不同方法的種數的問題，共同點是：它們都是研究完成一件事情, 共有多少種不同的方法。

它們的區別在于：

分類計數原理與“分類”有關，各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以完成這件事； 分步計數原理與“分步”有關，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了，這件事才算完成．

（三）舉例應用 例1.第4面的例2 例2．一種號碼鎖有4個撥號盤，每個撥號盤上有從0到9共10個數字，這4個撥號盤可以組成多少個四位數字的號碼？ 例3．要從甲、乙、丙3名工人中選出2名分別上日班和晚班，有多少種不同的選法？ 例4.教案第4面的例1 例5.教案第4面的例2

（四）課堂練習

1.教科書第6面的第1，3題

2．（1）將4個信封投入3個不同的郵筒，有多少種不同的投法？

34（2）4位同學參加3項不同的競賽，每人限報一項，有多少種不同的報法？

34（3）4位同學參加3項不同的競賽，每項限報一項，有多少種不同的報法？

43（4）4位同學去3人參加3項不同的競賽，每人限報一項，有多少種不同的報法？

4×3×2 3．某中學的一幢5層教學樓共有3處樓梯，問從1樓到5樓共有多少種不同的走法？

解：由于1、2、3、4層每一層到上一層都有3處樓梯，根據分步計數原理N?3?3?3?3?3?81

（五）課堂小結

1、分類計數原理與分步計數原理體現了解決問題時將其分解的兩種常用方法，即分步解決或分類解決，2、“合理分類”要全面, 不能遺漏;但也不能重復、交叉;“類”與“類”之間是并列的、互斥的、獨立的，3、“準確分步”程序要正確?！安健迸c“步”之間是連續的,不間斷的,缺一不可;但也不能重復、交叉;

4、在運用“加法原理、乘法原理”處理具體應用題時,除要弄清是“分類”還是“分步”外,還要搞清楚“分類”或“分步”的具體標準。在“分類”或“分步”過程中,標準必須一致,不重復、不遺漏

（六）課后作業

《習案》與《學案》

第五篇：長沙市一中教案_高二理科數學《1.1.2導數的概念》

§1.1.2導數的概念

教學目標：

1．了解瞬時速度、瞬時變化率的概念；

2．理解導數的概念，知道瞬時變化率就是導數，體會導數的思想及其內涵； 3．會求函數在某點的導數

教學重點：

瞬時速度、瞬時變化率的概念、導數的概念；

教學難點： 導數的概念．

教學過程：

一．創設情景

問題1：什么是平均變化率？ 二．新課講授 1．瞬時速度

問題2：什么是瞬時速度？

我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度 問題3：平均速度能反映瞬時速度嗎？

運動員的平均速度不能反映他在某一時刻的瞬時速度。

問題4：如何求運動員的瞬時速度呢？比如，t?2時的瞬時速度是多少？考察t?2附近的情況：

思考：當?t趨近于0時，平均速度v有什么樣的變化趨勢？

結論：當?t趨近于0時，即無論t從小于2的一邊，還是從大于2的一邊趨近于2時，平均速度v都趨近于一個確定的值?13.1．

從物理的角度看，時間?t間隔無限變小時，平均速度v就無限趨近于運動員的瞬時速度，因此，運動員在t?2時的瞬時速度是?13.1m/s

h(2??t)?h(2)??13.1

?t?0?t表示“當t?2，?t趨近于0時，平均速度v趨近于定值?13.1” 為了表述方便，我們用lim小結：局部以勻速代替變速，以平均速度代替瞬時速度，然后通過取極限，從瞬時速度的近似值過渡到瞬時速度的精確值。

導數的概念

從函數y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率是: f(x0??x)?f(x0)?f?lim

?x?0?x?0?x?x我們稱它為函數y?f(x)在x?x0出的導數，記作f'(x0)或y'|x?x0，即 lim

f?(x0)?lim?x?0f(x0??x)?f(x0)

?x說明：（1）導數即為函數y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率

（2）?x?x?x0，當?x?0時，x?x0，所以f?(x0)?lim三．典例分析

2例1．（1）求函數y=3x在x=1處的導數.2分析：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１)=6Δx+(Δx)

再求

?x?0f(x)?f(x0)

x?x0?f?f?6??x再求lim?6

?x?0?x?x解：法一 定義法（略）

3x2?3?123(x2?12)?lim?lim3(x?1)?6

法二：y?|x?1?limx?1x?1x?1x?1x?12（2）求函數f(x)=?x?x在x??1附近的平均變化率，并求出在該點處的導數．

?y?(?1??x)2?(?1??x)?2??3??x 解：?x?x?y?(?1??x)2?(?1??x)?2??lim(3??x)? f?(?1)?lim?x?0?x?x?0?x例2．（課本例1）將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產品，需要對原油進行

2冷卻和加熱，如果第xh時，原油的溫度（單位：C）為f(x)?x?7x?15(0?x?8)，?計算第2h時和第6h時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義．

解：在第2h時和第6h時，原油溫度的瞬時變化率就是f(2)和f(6)

''f(2??x)?f(x0)?f? ?x?x(2??x)2?7(2??x)?15?(22?7?2?15)???x?3

?x?f?lim(?x?3)??3 所以f?(2)?lim?x?0?x?x?0同理可得:f?(6)?5

在第2h時和第6h時，原油溫度的瞬時變化率分別為?3和5，說明在2h附近，原油??溫度大約以3C/h的速率下降，在第6h附近，原油溫度大約以5C/h的速率上升． 根據導數定義，注：一般地，f(x0)反映了原油溫度在時刻x0附近的變化情況． '例3利用導數的定義求y?1在x?x0處的導數.x四．課堂練習

1．質點運動規律為s?t?3，求質點在t?3的瞬時速度為． 2．求曲線y=f(x)=x3在x?1時的導數．

3．例2中，計算第3h時和第5h時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義． 五．回顧總結

1．瞬時速度、瞬時變化率的概念 2．導數的概念 六．布置作業 《習案》作業二 2