一次函數(shù)典型例題精講分析歸納

類型一：正比例函數(shù)與一次函數(shù)定義

1、當(dāng)m為何值時(shí)，函數(shù)y=-（m-2）x+（m-4）是一次函數(shù)？

思路點(diǎn)撥：某函數(shù)是一次函數(shù)，除應(yīng)符合y=kx+b外，還要注意條件k≠0．

解：∵函數(shù)y=-（m-2）x+（m-4）是一次函數(shù)，∴m=-2.∴當(dāng)m=-2時(shí)，函數(shù)y=-（m-2）x+（m-4）是一次函數(shù)．

舉一反三：

【變式1】如果函數(shù)是正比例函數(shù)，那么（）.A．m=2或m=0　　　B．m=2　　　C．m=0　　　D．m=1

【答案】：考慮到x的指數(shù)為1，正比例系數(shù)k≠0，即|m-1|=1；m-2≠0，求得m=0，選C

【變式2】已知y-3與x成正比例，且x=2時(shí)，y=7.（1）寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)x=4時(shí)，求y的值；

（3）當(dāng)y=4時(shí)，求x的值．

解析：（1）由于y-3與x成正比例，所以設(shè)y-3=kx．

把x=2，y=7代入y-3=kx中，得

7-3＝2k，∴k＝2．

∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y-3=2x，即y=2x+3．

（2）當(dāng)x=4時(shí)，y=2×4+3=11．

（3）當(dāng)y＝4時(shí)，4=2x+3，∴x=.類型二：待定系數(shù)法求函數(shù)解析式

2、求圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，-1），且與直線y=2x+1平行的一次函數(shù)的表達(dá)式．

思路點(diǎn)撥：圖象與y=2x+1平行的函數(shù)的表達(dá)式的一次項(xiàng)系數(shù)為2，則可設(shè)此表達(dá)式為y=2x+b，再將點(diǎn)（2，-1）代入，求出b即可．

解析：由題意可設(shè)所求函數(shù)表達(dá)式為y=2x+b，∵圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，-1），∴-l=2×2+b．

∴b=-5，∴所求一次函數(shù)的表達(dá)式為y=2x-5.總結(jié)升華：求函數(shù)的解析式常用的方法是待定系數(shù)法，具體怎樣求出其中的待定系數(shù)的值，要根據(jù)具體的題設(shè)條件求出。

舉一反三：

【變式1】已知彈簧的長(zhǎng)度y（cm）在一定的彈性限度內(nèi)是所掛重物的質(zhì)量x（kg）的一次函數(shù)，現(xiàn)已測(cè)得不掛重物時(shí)，彈簧的長(zhǎng)度為6cm，掛4kg的重物時(shí)，彈簧的長(zhǎng)度是7.2cm，求這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式．

分析:題中并沒(méi)給出一次函數(shù)的表達(dá)式，因此應(yīng)先設(shè)一次函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)=kx+b，再由已知條件可知，當(dāng)x=0時(shí)，y=6；當(dāng)x=4時(shí)，y=7.2．求出k，b即可．

解：設(shè)這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式為y=kx+b．

由題意可知，當(dāng)x=0時(shí)，y=6；當(dāng)x=4時(shí)，y=7.2.把它們代入y=kx+b中得

∴

∴這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式為y=0.3x+6．

【變式2】已知直線y=2x+1．

（1）求已知直線與y軸交點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（2）若直線y=kx+b與已知直線關(guān)于y軸對(duì)稱，求k，b的值．

解析：

∵直線y=kx+b與y=2x+l關(guān)于y軸對(duì)稱，∴兩直線上的點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱．

又∵直線y＝2x+1與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為A（-，0），B（0，1）,∴A（-，0），B（0，1）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′（，0），B′（0，1）．

∴直線y=kx+b必經(jīng)過(guò)點(diǎn)A′（，0），B′（0，1）．

把A′（，0），B′（0，1）代入y=kx+b中得

∴

∴k＝-2，b＝1．

所以（1）點(diǎn)M（0，1）（2）k=-2,b=1

【變式3】判斷三點(diǎn)A（3，1），B（0，-2），C（4，2）是否在同一條直線上．

分析：由于兩點(diǎn)確定一條直線，故選取其中兩點(diǎn)，求經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)的函數(shù)表達(dá)式，再把第三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入表達(dá)式中，若成立，說(shuō)明第三點(diǎn)在此直線上；若不成立，說(shuō)明不在此直線上．

解：設(shè)過(guò)A，B兩點(diǎn)的直線的表達(dá)式為y=kx+b．

由題意可知，∴

∴過(guò)A，B兩點(diǎn)的直線的表達(dá)式為y=x-2．

∴當(dāng)x=4時(shí)，y=4-2=2．

∴點(diǎn)C（4，2）在直線y=x-2上．

∴三點(diǎn)A（3，1），B（0，-2），C（4，2）在同一條直線上．

類型三：函數(shù)圖象的應(yīng)用

3、圖中的圖象（折線ABCDE）描述了一汽車在某一直線上的行駛過(guò)程中，汽車離出發(fā)地的距離s(km)和行駛時(shí)間t(h)之間的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問(wèn)題：

(1)汽車共行駛了___________km；

(2)汽車在行駛途中停留了___________h；

(3)汽車在整個(gè)行駛過(guò)程中的平均速度為_(kāi)__________km/h；

(4)汽車自出發(fā)后3h至4.5h之間行駛的方向是___________.思路點(diǎn)撥：讀懂圖象所表達(dá)的信息，弄懂并熟悉圖象語(yǔ)言.圖中給出的信息反映了行駛過(guò)程中時(shí)間和汽車位置的變化過(guò)程，橫軸代表行駛時(shí)間，縱軸代表汽車的位置.圖象上的最高點(diǎn)就是汽車離出發(fā)點(diǎn)最遠(yuǎn)的距離.汽車來(lái)回一次，共行駛了120×2=240(千米)，整個(gè)過(guò)程用時(shí)4.5小時(shí)，平均速度為240÷4.5=(千米/時(shí))，行駛途中1.5時(shí)—2時(shí)之間汽車沒(méi)有行駛.解析：(1)240；(2)0.5；(3)；(4)從目的地返回出發(fā)點(diǎn).總結(jié)升華：這類題是課本例題的變式，來(lái)源于生活，貼近實(shí)際，是中考中常見(jiàn)題型，應(yīng)注意行駛路程與兩地之間的距離之間的區(qū)別.本題圖象上點(diǎn)的縱坐標(biāo)表示的是汽車離出發(fā)地的距離，橫坐標(biāo)表示汽車的行駛時(shí)間.舉一反三：

【變式1】圖中，射線l甲、l乙分別表示甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員在自行車比賽中所走的路程s與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系，求它們行進(jìn)的速度關(guān)系。

解析：比較相同時(shí)間內(nèi)，路程s的大小.在橫軸的正方向上任取一點(diǎn),過(guò)該點(diǎn)作縱軸的平行線,比較該平行線與兩直線的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)的大小.所以.甲比乙快

【變式2】小高從家騎自行車去學(xué)校上學(xué)，先走上坡路到達(dá)點(diǎn)A，再走下坡路到達(dá)點(diǎn)B，最后走平路到達(dá)學(xué)校，所用的時(shí)間與路程的關(guān)系如圖所示。放學(xué)后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分別保持和去上學(xué)時(shí)一致，那么他從學(xué)校到家需要的時(shí)間是()

A.14分鐘　　　B.17分鐘　　　C.18分鐘　　　D.20分鐘

【答案】:D分析：由圖象可知，上坡速度為80米/分；下坡速度為200米/分；走平路速度為100米/分。原路返回，走平路需要8分鐘，上坡路需要10分鐘，下坡路需要2分鐘，一共20分鐘。

【變式3】某種洗衣機(jī)在洗滌衣服時(shí),經(jīng)歷了進(jìn)水、清洗、排水、脫水四個(gè)連續(xù)的過(guò)程，其中進(jìn)水、清洗、排水時(shí)洗衣機(jī)中的水量y（升）與時(shí)間x（分鐘）之間的關(guān)系如圖所示：

根據(jù)圖象解答下列問(wèn)題：

（1）洗衣機(jī)的進(jìn)水時(shí)間是多少分鐘？清洗時(shí)洗衣機(jī)中的水量是多少升？

（2）已知洗衣機(jī)的排水速度為每分鐘19升.①求排水時(shí)y與x之間的關(guān)系式；

②如果排水時(shí)間為2分鐘，求排水結(jié)束時(shí)洗衣機(jī)中剩下的水量.分析：依題意解讀圖象可知：從0—4分鐘在進(jìn)水，4—15分鐘在清洗，此時(shí)，洗衣機(jī)內(nèi)有水40升，15分鐘后開(kāi)始放水.解：（1）洗衣機(jī)的進(jìn)水時(shí)間是4分鐘；清洗時(shí)洗衣機(jī)中的水量是40升；

（2）①排水時(shí)y與x之間的關(guān)系式為：y=40-19(x-15)

即y=-19x+325

②如果排水時(shí)間為2分鐘，則x-15=2即x=17，此時(shí)，y=40-19×2=2.所以，排水結(jié)束時(shí)洗衣機(jī)中剩下的水量為2升.類型四：一次函數(shù)的性質(zhì)

4、己知一次函數(shù)y=kx十b的圖象交x軸于點(diǎn)A（一6，0），交y軸于點(diǎn)B，且△AOB的面積為12，y隨x的增大而增大，求k，b的值．

思路點(diǎn)撥：設(shè)函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)B（0，b），則OB=,由△AOB的面積，可求出b，又由點(diǎn)A在直線上，可求出k并由函數(shù)的性質(zhì)確定k的取值．

解析：直線y=kx十b與y軸交于點(diǎn)B（0，b），點(diǎn)A在直線上，則①，由，即，解得代入①，可得，由于y隨x的增大而增大，則k＞0,取則．

總結(jié)升華：該題考查的是待定系數(shù)法和函數(shù)值，仔細(xì)觀察所畫圖象，找出隱含條件。

舉一反三：

【變式1】已知關(guān)于x的一次函數(shù)．

（1）m為何值時(shí)，函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)

（2）m為何值時(shí)，函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，－2）

（3）m為何值時(shí)，函數(shù)的圖象和直線y=－x平行

（4）m為何值時(shí)，y隨x的增大而減小？

解析：

（1）由題意，m需滿足，故m=－3時(shí)，函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；

（2）由題意得：m需滿足，故時(shí)，函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，－2）；

（3）由題意，m需滿足，故m=4時(shí)，函數(shù)的圖象平行于直線y=－x；

（4）當(dāng)3－m＜0時(shí)，即m＞3時(shí)，y隨x的增大而減小．

【變式2】若直線（）不經(jīng)過(guò)第一象限，則k、b的取值范圍是______，______．

【答案】：(k<0；b≤0)；分析：直線不經(jīng)過(guò)第一象限，有可能是經(jīng)過(guò)二、四象限或經(jīng)過(guò)二、三、四象限，注意不要漏掉經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的情況。

【變式3】直線l1：與直線l2：在同一坐標(biāo)系中的大致位置是（）．

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．

【答案】：C；分析：對(duì)于A，從l1看k＜0，b＜0，從l2看b＜0，k＞0，所以k，b的取值自相矛盾，排除掉A。對(duì)于B，從l1看k＞0，b＜0，從l2看b＞0，k＞0，所以k，b的取值自相矛盾，排除掉B。D答案同樣是矛盾的，只有C答案才符合要求。

【變式4】函數(shù)在直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（）．

【答案】：B；分析：不論k為正還是為負(fù)，都大于0，圖象應(yīng)該交于x軸上方。故選B

類型五：一次函數(shù)綜合5、已知：如圖，平面直角坐標(biāo)系中，A（1，0），B（0，1），C（-1，0），過(guò)點(diǎn)C的直線繞C旋轉(zhuǎn)，交y軸于點(diǎn)D，交線段AB于點(diǎn)E。

（1）求∠OAB的度數(shù)及直線AB的解析式；

（2）若△OCD與△BDE的面積相等，①求直線CE的解析式；②若y軸上的一點(diǎn)P滿足∠APE=45°，請(qǐng)直接

寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)。

思路點(diǎn)撥：（1）由A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)知，△AOB為等腰直角三角形，所以∠OAB=45°（2）△OCD與△BDE的面積相等，等價(jià)于△ACE與△AOB面積相等，故可求E點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到CE的解析式；因?yàn)镋為AB中點(diǎn)，故P為（0,0）時(shí)，∠APE=45°.解析：（1）∵A（1，0），B（0，1），∴OA=OB=1，△AOB為等腰直角三角形

∴∠OAB=45°

設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b,將A（1，0），B（0，1）代入，解得k=-1，b=1

∴直線AB的解析式為：y=-x+1

（2）①∵

∴

即

∴，將其代入y=-x+1，得E點(diǎn)坐標(biāo)（）

設(shè)直線CE為y=kx+b，將點(diǎn)C（-1，0），點(diǎn)E（）代入，解得k=b=

∴直線CE的解析式：

②∵點(diǎn)E為等腰直角三角形斜邊的中點(diǎn)

∴當(dāng)點(diǎn)P（0,0）時(shí)，∠APE=45°.總結(jié)升華：考慮面積相等這個(gè)條件時(shí)，直接算比較困難，往往采取補(bǔ)全成一個(gè)容易計(jì)算的面積來(lái)解決問(wèn)題。

舉一反三：

【變式1】在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，點(diǎn)P沿邊按A→B→C→D的方向向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)（但不與A，D兩點(diǎn)重合）。求△APD的面積y()與點(diǎn)P所行的路程x（cm）之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍。

【答案】：當(dāng)P點(diǎn)在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)P點(diǎn)在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)P點(diǎn)在CD上運(yùn)動(dòng)是，∴

【變式2】如圖，直線與x軸y軸分別交于點(diǎn)E、F，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-8，0），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-6，0）。

（1）求的值；

（2）若點(diǎn)P（，）是第二象限內(nèi)的直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，試寫出△OPA的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（3）探究：在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△OPA的面積為，并說(shuō)明理由。

解：(1)將E（-8,0）代入，得;

(2)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（）

S=（-8

(3)令，解得，代入，算出P點(diǎn)縱坐標(biāo)為

當(dāng)P點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí),△OPA的面積為．