第一篇：北師大版初中數學代數難題歸納

求證：相鄰兩個自然數的平方差等于這兩個數的和。

已知：x?2)(x?3)?

已知：a、b、c為三角形的三邊，滿足a+b+c=20a+16b+12c-200,試判斷三角形的形狀。

解方程：

已知：實數X滿足x2?

小明的媽媽給他35元錢，要他去買面值1元的、2元的、5元的郵票共18枚，小明按要求買回了郵票，并且1元郵票和2元郵票的總面值相同，小明買的5元郵票是多少枚？

某市中學生足球比賽共賽15輪（每支參賽隊均要賽15場），記分規則是：贏一場得3分，輸一場得0分，平一場得1分，某校足球隊贏的場數是輸的場數的2倍，共得24分，這個球隊輸、贏、平各幾場？(涵、彤)

已知：1?x?12222?x?x?3，求X的取值范圍。x?8x?9x?5x?4??? x?7x?8x?6x?5x2x=0，求x?1x的值。x?bx?a?2?，其中a、b為實數，且a+b?0，化簡后求值：ab

(x?1?x)(?1?)?1?(?1?x)(?1?x)?1

x2?2x?1x2?x1???1,試說明在右邊代數式有意義的條件已知：y=2x?1xx?1

下，不論X取何值，Y的值不變。

若6+1的整數部分為X，小數部分為Y，求X、Y,以及X+1的算數平方根。計算： 計算： 計算：

若abc=1,求 化簡：

分解因式：（xy-1）-（x+y-2xy）（2-x-y）

分解因式：x-3x+1

已知：x-x-1=0,求代數式-x+2x+2006的值。

已知：a+a-2=0,求a+3a+2001的值。

已知：2=5=10,求

a

b

11?

?

11?

?

11?

11?

?

13?

?

15?

????

1?

200

5b?cc?aa?b

??

(a?b)(a?c)(a?b)(b?c)(a?c)(b?c)

abc

??的值。

ab?a?1bc?b?1ca?c?1

n?2?n?2?

n2?4n?

4?

n?2?n?2?

n2?4n?4

（n>2）

32a

?

b的值。

已知：m>n>0,m+n=4mn,求

m2-n2

mn的值。

已知：

已知：正整數a、b、c滿足不等式a+b+c+43?ab+9b+8c,求a+b+c的值。

若x+y-2是整式x+axy+by-5x+y+6的一個因式，求a+b的值。

若x+y=8，xy=4 ,求 x+y的值。已知：m+

關于x 的方程

若關于x的分式方程

已知：an=

1(n?1)

2xyx?y

??2,yzy?z

?

4zx4xyz,??,求的值。3z?x3xy?xz?yz

m

=3,求m+

m4的值。

x2?x

?

k?5k?1?有增根，求k的值。22

x?xx?1

x?a3??1無解，求a的值。

x?1x

（1-a1）,b2=2（1-a1）(1-a2)，…，(n?1,2,3,...)記b1=2

bn=2（1-a1）(1-a2)…（1-an），則通過計算得出bn的表達式。（用含n的代數式表示）

設s1=1+

?

122,s2=1+

122

?

132,s3=1+

132

?

142,...,sn=1+

n

?

1(n?1),設S=1?2?...?n，求S的值。（用含n的代數式表示，其中n為正整數）（彤、涵）

已知：X是整數，求使

3x?2y?1

已知：關于X,Y的方程組3x?2y?m的解都不大于1，10x?2的值是整數的X的值。（藝）

2x?1

?

（1）求m的取值范圍。（2）x2?2x?1?

（藝）

解方程：4x-5x+1=0。

y2?2y?1?m?3?m?5?x?y?

2已知：x?y?1?x?y?5??b?2003?2003?a?b，求a+b+5x-7y的值。

已知：x? 已知：

計算：（1+2）（1+2）（1+2）（1+2）......（1+2）

4x

?1,求

x4

x2的值。2

?x?

1a

?

b

?

c

?0，a+b+c=1,求a+b+c-3的值。

222

計算：

1111

?????? 1?22?33?42007?2008

11111???????計算： ***

3111)（藝）計算：(1?2)(1?2)?(1?2

43450

分解因式：-4x+4x-x

分解因式：1-mn(1+mn)+mn（藝）已知：

n+1

n

n-1

（藝）

x

?

y

?

z，求分式

xy?yz?zx的值。（藝）222

x?y?z

已知：m+n=5,x+y=1,求多項式（mx+ny）+（nx-my）（藝）

已知：a-3a+1=0,求3a-8a+a+

a?1的值。（藝）

x2?ax?y?b2?ac?0

已知：a、b、c是△ABC的三邊長，若方程組ax?y?bc?0只有一組解，試判斷這個三角形的形狀。

已知：方程x+2ax+b=0與x+2cx-b=0有一個相同的根，且a、b、c都是互不相等的正數，求證：以a、b、c為邊的三角形是直角三角形。

?

對于每個非0 自然數n，拋物線y=x

2n?11

x?與X軸交于An、n(n?1)n(n?1)

Bn兩點，以AnBn表示兩點間的距離，求A1B1+A2B2+……A2009B2009的值。

已知：a+b+c=3,a+b+c=3,求a

2004

+b2004+c2004的值。（涵、藝、燦）

第二篇：初中數學代數知識點總結

初中數學代數知識點總結

一、基本知識

（一）、數與代數A、數與式：

1、實數

有理數：①整數→正整數/0/負整數

②分數→正分數/負分數

數軸：①畫一條水平直線，在直線上取一點表示0（原點），選取某一長度作為單位長度，規定直線上向右的方向為正方向，就得到數軸。

②任何一個有理數都可以用數軸上的一個點來表示。

③如果兩個數只有符號不同，那么我們稱其中一個數為另外一個數的相反數，也稱這兩個數互為相反數。在數軸上，表示互為相反數的兩個點，位于原點的兩側，并且與原點距離相等。

④數軸上兩個點表示的數，右邊的總比左邊的大。正數大于0，負數小于0，正數大于負數。

絕對值：①在數軸上，一個數所對應的點與原點的距離叫做該數的絕對值。

②正數的絕對值是他的本身、負數的絕對值是他的相反數、0的絕對值是0。兩個負數比較大小，絕對值大的反而小。

有理數的運算：

加法：①同號相加，取相同的符號，把絕對值相加。

②異號相加，絕對值相等時和為0；絕對值不等時，取絕對值較大的數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。

③一個數與0相加不變。

減法：減去一個數，等于加上這個數的相反數。

乘法：①兩數相乘，同號得正，異號得負，絕對值相乘。

②任何數與0相乘得0。③乘積為1的兩個有理數互為倒數。除法：①除以一個數等于乘以一個數的倒數。

②0不能作除數。

乘方：求N個相同因數A的積的運算叫做乘方，乘方的結果叫冪，A叫底數，N叫次數。

混合順序：先算乘法，再算乘除，最后算加減，有括號要先算括號里的。

2、實數

無理數：無限不循環小數叫無理數

平方根：①如果一個正數X的平方等于A，那么這個正數X就叫做A的算術平方根。

②如果一個數X的平方等于A，那么這個數X就叫做A的平方根。

③一個正數有2個平方根/0的平方根為0/負數沒有平方根。

④求一個數A的平方根運算，叫做開平方，其中A叫做被開方數。

立方根：①如果一個數X的立方等于A，那么這個數X就叫做A的立方根。

②正數的立方根是正數、0的立方根是0、負數的立方根是負數。

③求一個數A的立方根的運算叫開立方，其中A叫做被開方數。

實數：①實數分有理數和無理數。

②在實數范圍內，相反數，倒數，絕對值的意義和有理數范圍內的相反數，倒數，絕對值的意義完全一樣。

③每一個實數都可以在數軸上的一個點來表示。

3、代數式

代數式：單獨一個數或者一個字母也是代數式。

合并同類項：①所含字母相同，并且相同字母的指數也相同的項，叫做同類項。

②把同類項合并成一項就叫做合并同類項。

③在合并同類項時，我們把同類項的系數相加，字母和字母的指數不變。4、整式與分式

A、整式：①數與字母的乘積的代數式叫單項式，幾個單項式的和叫多項式，單項式和多項式統稱整式。

②一個單項式中，所有字母的指數和叫做這個單項式的次數。

③一個多項式中，次數最高的項的次數叫做這個多項式的次數。

整式運算：加減運算時，如果遇到括號先去括號，再合并同類項。

冪的運算：AM+AN=A（M+N）

（AM）N=ANMN

（A/B）N=AN/BN

除法一樣。

整式的乘法：①單項式與單項式相乘，把他們的系數，相同字母的冪分別相乘，其余字母連同他的指數不變，作為積的因式。

②單項式與多項式相乘，就是根據分配律用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。③多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另外一個多項式的每一項，再把所得的積相加。

公式兩條：平方差公式

/

完全平方公式

整式的除法：①單項式相除，把系數，同底數冪分別相除后，作為商的因式；對于只在被除式里含有的字母，則連同他的指數一起作為商的一個因式。

②多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項分別除以單項式，再把所得的商相加。

分解因式：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變化叫做把這個多項式分解因式。

方法：提公因式法、運用公式法、分組分解法、十字相乘法。分式：①整式A除以整式B，如果除式B中含有分母，那么這個就是分式，對于任何一個分式，分母不為0。

②分式的分子與分母同乘以或除以同一個不等于0的整式，分式的值不變。

分式的運算：

乘法：把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母。

除法：除以一個分式等于乘以這個分式的倒數。

加減法：

①同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減。

②異分母的分式先通分，化為同分母的分式，再加減。

分式方程：①分母中含有未知數的方程叫分式方程。

②使方程的分母為0的解稱為原方程的增根。

B、方程與不等式

1、方程與方程組

一元一次方程：①在一個方程中，只含有一個未知數，并且未知數的指數是1，這樣的方程叫一元一次方程。

②等式兩邊同時加上或減去或乘以或除以（不為0）一個代數式，所得結果仍是等式。

解一元一次方程的步驟：去分母，移項，合并同類項，未知數系數化為1。

二元一次方程：含有兩個未知數，并且所含未知數的項的次數都是1的方程叫做二元一次方程。

二元一次方程組：兩個二元一次方程組成的方程組叫做二元一次方程組。

適合一個二元一次方程的一組未知數的值，叫做這個二元一次方程的一個解。

二元一次方程組中各個方程的公共解，叫做這個二元一次方程的解。解二元一次方程組的方法：代入消元法/加減消元法。

一元二次方程：只有一個未知數，并且未知數的項的最高系數為2的方程

1）一元二次方程的二次函數的關系

大家已經學過二次函數（即拋物線）了，對他也有很深的了解，好像解法，在圖象中表示等等，其實一元二次方程也可以用二次函數來表示，其實一元二次方程也是二次函數的一個特殊情況，就是當Y的0的時候就構成了一元二次方程了。那如果在平面直角坐標系中表示出來，一元二次方程就是二次函數中，圖象與X軸的交點。也就是該方程的解了

2）一元二次方程的解法

大家知道，二次函數有頂點式（-b/2a,4ac-b2/4a），這大家要記住，很重要，因為在上面已經說過了，一元二次方程也是二次函數的一部分，所以他也有自己的一個解法，利用他可以求出所有的一元二次方程的解

(1）配方法

利用配方，使方程變為完全平方公式，在用直接開平方法去求出解

(2)分解因式法

提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。在解一元二次方程的時候也一樣，利用這點，把方程化為幾個乘積的形式去解

(3)公式法

這方法也可以是在解一元二次方程的萬能方法了，方程的根X1={-b+

√[b2-4ac)]}/2a，X2={-b-√[b2-4ac)]}/2a

3）解一元二次方程的步驟：

（1）配方法的步驟：先把常數項移到方程的右邊，再把二次項的系數化為1，再同時加上1次項的系數的一半的平方，最后配成完全平方公式

(2)分解因式法的步驟：把方程右邊化為0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（這里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化為乘積的形式(3)公式法：

就把一元二次方程的各系數分別代入，這里二次項的系數為a，一次項的系數為b，常數項的系數為c

4）韋達定理

利用韋達定理去了解，韋達定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a，二根之積=c/a

也可以表示為x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。利用韋達定理，可以求出一元二次方程中的各系數，在題目中很常用

5）一元二次方程根的情況

利用根的判別式去了解，根的判別式可在書面上可以寫為“△”，△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：

I當

△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數根；

II當△=0時，一元二次方程有2個相同的實數根；

III當△<0時，一元二次方程沒有實數根（在這里，學到高中就會知道，這里有2個虛數根）

2、不等式與不等式組

不等式：①用符號〉，=，〈號連接的式子叫不等式。

②不等式的兩邊都加上或減去同一個整式，不等號的方向不變。

③不等式的兩邊都乘以或者除以一個正數，不等號方向不變。

④不等式的兩邊都乘以或除以同一個負數，不等號方向相反。

不等式的解集：①能使不等式成立的未知數的值，叫做不等式的解。

②一個含有未知數的不等式的所有解，組成這個不等式的解集。

③求不等式解集的過程叫做解不等式。一元一次不等式：左右兩邊都是整式，只含有一個未知數，且未知數的最高次數是1的不等式叫一元一次不等式。

一元一次不等式組：

①關于同一個未知數的幾個一元一次不等式合在一起，就組成了一元一次不等式組。

②一元一次不等式組中各個不等式的解集的公共部分，叫做這個一元一次不等式組的解集。

③求不等式組解集的過程，叫做解不等式組。

一元一次不等式的符號方向：

在一元一次不等式中，不像等式那樣，等號是不變的，他是隨著你加或乘的運算改變。

在不等式中，如果加上同一個數（或加上一個正數），不等式符號不改向；例如：A>B,A+C>B+C

在不等式中，如果減去同一個數（或加上一個負數），不等式符號不改向；例如：A>B，A-C>B-C

在不等式中，如果乘以同一個正數，不等號不改向；例如：A>B，A*C>B*C（C>0）

在不等式中，如果乘以同一個負數，不等號改向；例如：A>B，A*C

如果不等式乘以0，那么不等號改為等號

所以在題目中，要求出乘以的數，那么就要看看題中是否出現一元一次不等式，如果出現了，那么不等式乘以的數就不能為0，否則不等式不成立；

3、函數

變量：因變量，自變量。

在用圖象表示變量之間的關系時，通常用水平方向的數軸上的點自變量，用豎直方向的數軸上的點表示因變量。

一次函數：

①若兩個變量X，Y間的關系式可以表示成Y=KX+B（B為常數，K不等于0）的形式，則稱Y是X的一次函數。

②當B=0時，稱Y是X的正比例函數。

一次函數的圖象：①把一個函數的自變量X與對應的因變量Y的值分別作為點的橫坐標與縱坐標，在直角坐標系內描出它的對應點，所有這些點組成的圖形叫做該函數的圖象。

②正比例函數Y=KX的圖象是經過原點的一條直線。

③在一次函數中，當K〈0，B〈O，則經234象限；當K〈0，B〉0時，則經124象限；當K〉0，B〈0時，則經134象限；當K〉0，B〉0時，則經123象限。

④當K〉0時，Y的值隨X值的增大而增大，當X〈0時，Y的值隨X值的增大而減少。

第三篇：初中數學應用難題

1、甲乙兩個小組合作完成一件工作，乙組單獨做1天后，由甲乙兩組合作了2天就完成了全部工作．問甲乙兩組單獨完成此項工作，各需多少天？

2、公共汽車每隔x分鐘發車一次，小宏在大街上行走，發現從背后每隔6分鐘開過來一輛公共汽車，而每隔4

鐘。2分鐘迎面開來一輛公共汽車。如果公共汽車與小宏行進的速度都是均勻的，則x等于分73、在一環行軌道上有三枚彈子同時沿逆時針方向運動。已知甲于第10秒鐘時追上乙，在第30秒時追上丙，第60秒時甲再次追上乙，并且在第70秒時再次追上丙，問乙追上丙用了多少時間？

4、今有一個三位數，其各位數字均不相同，如將此三位數的各位數字重新排列，必得一個最大數和一個最小數，且此兩數之差恰為原來的那個三位數，求原來的三位數。

5、甲、乙兩個同學從A地到B地，甲步行的速度為每小時3千米，乙步行的速度為每小時5千米，兩人騎自行車的速度都是每小時15千米。現在甲先步行，乙先騎自行車，兩人同時出發。走了一段路程后，乙放下車步行，甲走到乙放車處改騎自行車，以后不斷交替行進，兩人恰好同時到達B地。甲走全程的平均速度是千米/小時。

6、一只狗追一只兔子，在狗跳6次的時間內，兔子跳了5次，狗跳了4次的距離和兔子跳7次的距離相等。問：兔子跳出5.5米后，狗開始在后面追，兔子在跑多少路程就被狗追上了？

7、游泳者在河中逆流而上,與橋A下面將水壺遺失被水沖走,他繼續向前游20分鐘后,才發現水壺走失,于是立即返回追尋水壺,在橋A下游距橋A2千米處追到了水壺,那么,該河水的水流速度為多少千米每小時?

8、草原上的一片青草，到處長得一樣密一樣快，70頭牛24天可以吃完，30頭牛60天可以吃完，20頭牛吃多少天?

第四篇：初中數學數與代數心得

學習《初中數學數與代數》的心得

通過學習《初中數學數與代數》的課程，我對這部分內容有了更深入的體會。

1、初中代數的三大部分內容“數與式”、“方程與不等式”、“函數”是緊密相聯系的。“數與式”是“方程與不等式”及“函數”的基礎，一次式對應著一元一次方程、二元一次方程及一次函數，二次式對應著一元二次方程和二次函數，分式對應著分式方程和反比例函數。而“方程”與“函數”又是緊密相連，一元一次方程對應著一次函數，分式方程對應著反比例函數，一元二次方程對應著二次函數。認識到了這點，在實際教學特別是初三中考的復習就可以有的放矢了，在教學中應該抓住這三者的聯系進行，使學生對這部分知識有個系統性的認識。而要很好地實現這三者的聯系教學，我覺得可以以變式練習的形式進行，比如利潤問題的解決，當利潤已知時，往往是用一元二次方程解決，而當利潤未知時，往往要建立二次函數來解決，那么在這種題型中，就可以以改變條件的方式進行變式練習。

2、對學生的運算能力應該要十分重視。很多學生的運算能力較差，有些還依靠計算器，所以運算能力下降。而在實際教學中，有很多學生又會發出這樣的感慨：“我知道做這道題，可是算到后面就總是錯”這就是運算能力的問題，所以我們要重視運算能力的提高。首先要讓學生對運算規則認識清楚，其次在實際教學中要加強學生的訓練，不要讓他們養成依賴思想。

第五篇：初中數學難題解決策略

初中數學錯誤原因及解決策略

日常教學中，我們經常能聽到這樣的對話：“計算怎么還能出錯？”“我不是不會，只是太粗心了！”對于學生的計算錯誤，大多數教師顯得很無奈。

講練并不少，學生的錯誤為什么還是該怎么犯就怎么犯？甚至教師越強調不要犯某類錯誤，學生好像與你對著來，偏偏“故意”犯這一類錯誤。學生也很委屈，明明知道這道題會做，為什么總是這么“粗心”呢？ 經過多年的實踐我發現，計算錯誤并非粗心使然，而是伴隨教的過程產生的，與教師的“教”有密切的關系。那么，初中數學常見的計算錯誤究竟有哪些？

1、“程序跳躍”導致錯誤及策略

通過觀察計算能力較好的學生，你會發現，他們邏輯清晰、步驟明確，第一步做什么，第二步做什么，從不含糊；而計算能力較弱的學生，有時題目倒也會做，但讓他說出這道題的解題基本步驟，他竟啞口無言。過去我們常常認為，學生的計算錯誤都是粗心導致的，而實際上可能是學生的大腦缺少了基本的計算程序，也就是說缺少了程序性知識。所有計算其實都有科學嚴謹的運算程序。比如，“解一元一次方程”有5個基本步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為一。實踐中我發現，嚴格按照這些步驟計算的學生，犯錯的幾率就會很小。

因此，我的策略是：對于初中所涉及的所有運算，教師在教學中應該對各種計算進行具體拆解，歸納出基本程序，盡量統一用第一、第二、第三等來描述，要求學生按基本程序逐步計算。尤其是初始教學，教師應該盡量要求學生不能隨意省略或合并基本步驟，以此培養學生良好的邏輯思維習慣。比如，我們可以歸納出“有理數加法運算”的基本程序：第一，確定加法運算的類型；第二，確定結果的符號；第三，確定結果的絕對值（絕對值相加還是相減）。同時，要避免計算成為機械的模仿，要重視算理教學（計算的原理或者道理）。學生只有理解了算理，才能克服“做而不思”“會而不對”的現象。我們可以參考幾何證明初始教學的經典做法——每一個步驟后面描述推理依據，以此讓學生養成 “為什么這么做”“這樣做的依據是什么”的思維習慣，從而強化算法與算理的聯系。

2、“疏漏”導致錯誤及策略

教學中我們發現，學生會出現大量因疏漏而導致的錯誤。比如：利用乘法分配律時漏乘，移項時忘記變號，去負括號時忘記某項變號，不等式變形時忘記改變不等號的方向，解方程去分母時漏乘不含分母的項，提公因式時漏掉某一公因式，開平方時漏解，解分式方程忘記檢驗，利用根與系數關系時忽略△≥0……這些錯誤反映出學生學習不扎實，對某一計算法則或概念只是關注重要的操作層面，或者只是關注字面含義而忽略其本質。比如對于移項，有的學生只是關注從等式一邊移到另一邊，忽略了移項是基于等式的基本性質，需要變號后才能移動。疏漏性錯誤與教師過多強調運算的模仿及過早地讓學生進入機械訓練有很大關系，因此教師需要在教學過程中讓學生真正感悟而不是直接強調。教師在教學過程中要注重揭示算法的本質，要旗幟鮮明地給出運算的操作要點、應用范圍、使用前提、特殊情形、拓展情形等。對于疏漏性錯誤，教師首先要有預見性，并且要基于這種預見性精心設計教學過程。比如，教師可以從學生的角度出發，讓學生解答一些易錯題，學生若出錯則進行糾正反思，也可以把典型錯誤當作重要的警示資源直接展示給學生，讓學生找錯、改錯、分析錯因。教師設置這些“陷阱”，讓學生在真實情境中接受考驗，這樣他們的選擇、辨析、批判能力將會得到很大的提高。

3、“負遷移”導致錯誤及策略

錯誤不是憑空出現的，其中必然帶有其它所學知識的影子，有一類計算錯誤就是前后所學知識相互干擾而產生混淆所致。比如，學生學習角平分線性質與中垂線性質時，很容易把點到直線的距離與點到點的距離混淆；學習分式時，會把分式通分與解分式方程去分母混淆；學習乘法分配律后，就會產生“除法分配律”的負遷移；學習方程的多種解法時，受先入為主的影響，最后所學的方法會受到先前方法的干擾；學習完全平方公式，會與平方差公式混淆；所學知識的一般情況與特殊情況，因為不同的編排順序也會互相干擾……這就是受解方程去分母的影響，在分式通分計算中采用了去分母的方法，破壞了分式計算的等值變形。“負遷移”錯誤主要是由于學生學習過程中不注重區別與聯系，容易孤立理解數學結論，不能從本質上看待數學問題所致。因此，教師在教學過程中要培養學生用發展變化的眼光去看待問題，要注意“瞻前顧后”“縱橫比對”，要關注所學數學知識的本質特征。同時，這一類錯誤也可能與教材的編排順序有關。所以，教師要站在學生的立場去研究教材，研究學生是怎么學習的，學生的思維到底是如何發展的……只有明白學生是怎么想的，才能有的放矢。教師要整體駕馭教材，適當調整教材中相關易混知識點的呈現方式，避免這類錯誤的發生。比如，在學習有理數的減法時，教師反復強調減去一個數等于加上它的相反數，因而3-7中7前面的符號“-”是減號。緊接著學習“代數和”，又強調把3-7看成正 3與負7之和，“-”又成了負號，先前學習的有理數減法運算法則就會對“代數和”的理解產生干擾。因為，最終所有減法都要轉化為加法“代數和”的形式，所以教學中可以淡化有理數減法運算的訓練，只需要讓學生明白減法轉化為加法“代數和”的道理，快速過渡到加減混合運算的“代數和”形式。這樣既節省了課時，又有效避免了減法法則對“代數和”的負遷移影響。

4、“運算順序顛倒”導致錯誤及策略

學生做題不注重從整體觀察算式結構，容易導致計算中顛倒運算順序。這主要是由于學生審題意識不強、整體結構感缺失所致。有的學生拿到計算題，還沒有看清楚題目包含哪些運算和括號，這道題分為幾個層級，就匆忙下手，極易出現只注意題目細節而忽略整體結構導致運算錯誤的現象。比如，在計算：8-23÷（-4）×（-7＋5）時，學生錯解為：原式=8-8÷（-4）×（-7＋5）=0÷（-4）×（-7＋5），看上去這道題的錯誤是不能正確運用“先算乘除，后算加減”的運算規則，本質上是對題目缺乏整體認知。運算順序錯誤屬于“無意識”錯誤，學生非常清楚運算順序的規則，但仍不知不覺犯錯，主要原因是沒有養成良好的審題習慣，教師要在解題規范上進行嚴格要求。比如，要求先分清運算、看清符號、厘清順序，明確整體與部分關系后再進行計算。對初學者或辨別能力較差的學生，可以要求其使用“圈畫標注法”辨別題目中的運算：一級運算可以使用豎線分割，二級運算可以使用橫線或方框標注。其實，在標注過程中就落實了仔細審題的要求，同時把復雜的算式結構進行拆解，降低了題目的復雜程度。比如，上述算式整體上可以看作兩部分代數和的形式（見下圖），第二部分是3個有理數的乘除結構，通過這樣的劃分，題目結構清晰了，運算順序明了了，分塊處理簡單了。蘇聯心理學家克魯捷斯基曾指出：“對各種現象進行研究的真正科學途徑，是把它們分解為一些比較簡單的成分。”對于復雜的數學計算也是如此。

5、“方法單一僵化”導致錯誤及策略

學生在計算訓練中容易形成慣性思維，同一個算式可能有多種計算方法，學生往往只是隨便找到其中一種，而不管這種方法是否簡便。選取過于復雜的計算方法時，就容易導致中途出錯或用時太多。比如，計算：（a+b）2（a-b）2。此題的簡單算法是先把（a+b）2（a-b）2轉化為［（a+b）（a-b）］2。如果直接轉化為（a2+2ab+b2）（a2-2ab+b2），在復雜的計算過程中容易出錯或者選擇放棄，而簡單的算法則會讓學生運算起來更為快速便捷。在教學中，教師要隨時隨地培養學生的計算優化能力，這不僅是運算的準確性、敏捷性要求，也是學生思維深刻性的需要。教師在運算教學中要鼓勵學生多角度、多方向、全面地思考問題，并堅持做好從多種方法中選擇最佳方法的示范，這種最優化策略的示范，必然會影響學生思考問題的方式。

6、“不良習慣”導致錯誤及其策略

有些計算錯誤與學生不良的學習習慣有密切關系，比如書寫潦草，做題不喜歡用草稿紙，需要動筆計算卻用口算；有的學生對計算存在畏難情緒或排斥心理，當看到計算題數據較大、運算步驟過多時，就會失去解題信心與耐心，從而導致錯誤出現；有的學生計算后不反思、不驗算，甚至出現計算錯誤后不認真糾正，導致再次犯同樣的錯誤。針對這類現象，教師可以對學生的學習習慣提出明確要求并監督落實。比如，要求學生在計算時一氣呵成并記錄完成時間，中途不東張西望、左顧右盼；要求每個學生準備一個草稿本，打草稿時要書寫工整，不定時檢查學生的草稿本；培養學生做題時自我監控、做完后自我反省的意識；同時，為了促使學生養成驗算的良好習慣，教師可以在教學中把驗算作為運算的標準步驟來要求，在評價中把驗算作為評分標準的一個環節進行嚴格規范。此外，教師可以適當開展一些計算競賽活動，調動學生學習的主動性和積極性，達到提高計算準確率的目的。美國教育心理學家布魯納說：“學生的錯誤都是有價值的。”錯誤，是一種寶貴的教學資源。不同的學生有不同的知識背景、認知方式和表達方式，也有參差不齊的思維水平，難免會出現各種各樣的錯誤。上述錯誤類型雖然難以囊括所有種類，但或許可以給我們一些啟發，讓我們總結出更多方法教給學生。