第一篇：初中數學代數最值問題常用解決方法

初中數學代數最值問題常用解決方法

最值問題，也就是最大值和最小值問題。它是初中數學競賽中的常見問題。這類問題出現的試題，內容豐富，知識點多，涉及面廣，解法靈活多樣，而且具有一定的難度。一.配方法

例1.（2005年全國初中數學聯賽武漢CASIO杯選拔賽）

可取得的最小值為_________。

解：原式由此可知，當二.設參數法

例2.（《中等數學》奧林匹克訓練題）已知實數的最大值為________。解：設由，易知，得

滿足

。則

時，有最小值。

從而，由此可知，是關于t的方程的兩個實根。

于是，有解得。故的最大值為2。

例3.（2004年全國初中聯賽武漢選拔賽）若可取得的最小值為（），則A.3 B.C.D.6 解：設，則

從而可知，當三.選主元法

時，取得最小值。故選（B）。

例4.（2004年全國初中數學競賽）實數。則z的最大值是________。解：由代入得。

滿足

消去y并整理成以為主元的二次方程，由x為實數，則判別式。

即整理得，解得。

所以，z的最大值是四.夾逼法。

例5.（2003年北京市初二數學競賽復賽）最大值。則解：由

。設__________。

得

是非負實數，并且滿足，記為m的最小值，y為m的 解得由

是非負實數，得

從而，解得又

。，故

于是，因此，五.構造方程法

例6.（2000年山東省初中數學競賽）已知矩形A的邊長為a和b，如果總有另一矩形B使得矩形B與矩形A的周長之比與面積之比都等于k，試求k的最小值。解：設矩形B的邊長為x和y，由題設可得從而x和y可以看作是關于t的一元二次方程根，則因為所以。的兩個實數解得

所以k的最小值是

四.由某字母所取的最值確定代數式的最值 例7.（2006年全國初中數學競賽）已知

。若解：由而由所以，當得和時，可知，則，代入的整數。取得最大值，為

為整數，且的最大值為_________。得。

。

七.借助幾何圖形法

例8.（2004年四川省初中數學聯賽）函數值是________。解：顯然，若，則

。因而，當的最小

取最小值時，必然有。

如圖1，作線段AB=4，令OA=x，則

。，且AC=1，BD=2。對于AB上的任一點O，那么，問題轉化為在AB上求一點O，使OC+OD最小。

圖1 設點C關于AB的對稱點為E，則DE與AB的交點即為點O，此時。作EF//AB與DB的延長線交于F。在易知所以，因此，函數八.比較法。的最小值為5。中，例9.（2002年全國初中數學競賽）某項工程，如果有甲、乙兩隊承包成，需付180000元；由乙、丙兩隊承包

天完

天完成，需付150000元；由甲、丙兩隊承包天完成，需付160000元。現在工程由一個隊單獨承包，在保證一周完成的前提下，哪個隊承包費用最少？ 解：設甲、乙、丙單獨承包各需

天完成，則

解得

元，則 又設甲、乙、丙單獨工作一天，各需付

解得

于是，由甲隊單獨承包，費用是（元）；由乙隊單獨承包，費用是（元）；而丙隊不能在一周內完成，經過比較得知，乙隊承包費用最少。

第二篇：初一數學 最值問題

專題19

最值問題

閱讀與思考

在實際生活與生產中，人們總想節省時間或費用，而取得最好的效果或最高效益，反映在數學問題上，就是求某個量的和、差、積、商的最大值和最小值，這類問題被稱之為最值問題，在現階段，解這類問題的相關知識與基本方法有：

1、通過枚舉選取.2、利用完全平方式性質.3、運用不等式（組）逼近求解.4、借用幾何中的不等量性質、定理等.解答這類問題應當包括兩個方面，一方面要說明不可能比某個值更大（或更小），另一方面要舉例說明可以達到這個值，前者需要詳細說明，后者需要構造一個合適的例子.例題與求解

【例1】

若c為正整數，且，，則（）（）（）（）的最小值是

.（北京市競賽試題）

解題思路：條件中關于C的信息量最多，應突出C的作用，把a，b，d及待求式用c的代數式表示.【例2】

已知實數a，b滿足，則的最小值是（）

A.B.0

C.1

D.（全國初中數學競賽試題)

解題思路：對進行變形，利用完全平方公式的性質進行解題.【例3】

如果正整數滿足=，求的最大值.解題思路：不妨設，由題中條件可知=1.結合題意進行分析.【例4】

已知都為非負數，滿足，記，求的最大值與最小值.（四川省競賽試題）

解題思路：解題的關鍵是用含一個字母的代數式表示.【例5】

某工程車從倉庫上水泥電線桿運送到離倉庫恰為1000米的公路邊栽立，要求沿公路的一邊向前每隔100米栽立電線桿一根，已知工程車每次之多只能運送電線桿4根，要求完成運送18根的任務，并返回倉庫，若工程車每行駛1千米耗油m升（在這里耗油量的多少只考慮與行駛的路程有關，其他因素不計）.每升汽油n元，求完成此項任務最低的耗油費用.（湖北省競賽試題）

解題思路：要使耗油費用最低，應當使運送次數盡可能少，最少需運送5次，而5次又有不同運送方法，求出每種運送方法的行駛路程，比較得出最低的耗油費用.【例6】

直角三角形的兩條直角邊長分別為5和12，斜邊長為13，P是三角形內或邊界上的一點，P到三邊的距離分別為，，求++的最大值和最小值，并求當++取最大值和最小值時，P點的位置.（“創新杯”邀請賽試題）

解題思路：連接P點與三角形各頂點，利用三角形的面積公式來解.能力訓練

A

級

1.社a，b，c滿足，那么代數式的最大值是

.（全國初中數學聯賽試題）

2.在滿足的條件下，能達到的最大值是

.（“希望杯”邀請賽試題）

3.已知銳角三角形ABC的三個內角A，B，C滿足A＞B＞C.用表示A-B，B-C，以及90-A中的最小值，則的最大值是

.（全國初中數學聯賽試題）

4.已知有理數a，b，c滿足a＞b＞c，且a+b+c=0，.那么的取值范圍是

.（數學夏令營競賽試題）

5.在式子中，代入不同的x值，得到對應的值，在這些對應的值中，最小的值是（）.A.1

B.2

C.3

D.4

6.若a，b，c，d是整數，b是正整數，且滿足，，那么的最大值是（）.A.-1

B.-5

C.0

D.1

(全國初中數學聯賽試題)

7.已知則代數式的最小值是（）.A.75

B.80

C.100

D.105

(江蘇省競賽試題)

8.已知，均為非負數，且滿足=30，又設，則M的最小值與最大值分別為（）.A.110，120

B.120，130

C.130，140

D.140，150

9.已知非負實數，滿足，記.求的最大值和最小值

（“希望杯”邀請賽試題）

10.某童裝廠現有甲種布料38米，乙鐘布料26米，現計劃用這兩種布料生產L，M兩種型號的童裝共50套，已知做一套L型號的童裝需用甲種布料0.5米，乙種布料1米，可獲利45元；做一套M型號的童裝需用甲種布料0.9米，乙種布料0.2米，可獲利30元，試問該廠生產的這批童裝，當L型號的童裝為多少套是，能使該廠獲得利潤最大？最大利潤為多少？

（江西省無錫市中考試題）

第三篇：初中數學代數知識點總結

初中數學代數知識點總結

一、基本知識

（一）、數與代數A、數與式：

1、實數

有理數：①整數→正整數/0/負整數

②分數→正分數/負分數

數軸：①畫一條水平直線，在直線上取一點表示0（原點），選取某一長度作為單位長度，規定直線上向右的方向為正方向，就得到數軸。

②任何一個有理數都可以用數軸上的一個點來表示。

③如果兩個數只有符號不同，那么我們稱其中一個數為另外一個數的相反數，也稱這兩個數互為相反數。在數軸上，表示互為相反數的兩個點，位于原點的兩側，并且與原點距離相等。

④數軸上兩個點表示的數，右邊的總比左邊的大。正數大于0，負數小于0，正數大于負數。

絕對值：①在數軸上，一個數所對應的點與原點的距離叫做該數的絕對值。

②正數的絕對值是他的本身、負數的絕對值是他的相反數、0的絕對值是0。兩個負數比較大小，絕對值大的反而小。

有理數的運算：

加法：①同號相加，取相同的符號，把絕對值相加。

②異號相加，絕對值相等時和為0；絕對值不等時，取絕對值較大的數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。

③一個數與0相加不變。

減法：減去一個數，等于加上這個數的相反數。

乘法：①兩數相乘，同號得正，異號得負，絕對值相乘。

②任何數與0相乘得0。③乘積為1的兩個有理數互為倒數。除法：①除以一個數等于乘以一個數的倒數。

②0不能作除數。

乘方：求N個相同因數A的積的運算叫做乘方，乘方的結果叫冪，A叫底數，N叫次數。

混合順序：先算乘法，再算乘除，最后算加減，有括號要先算括號里的。

2、實數

無理數：無限不循環小數叫無理數

平方根：①如果一個正數X的平方等于A，那么這個正數X就叫做A的算術平方根。

②如果一個數X的平方等于A，那么這個數X就叫做A的平方根。

③一個正數有2個平方根/0的平方根為0/負數沒有平方根。

④求一個數A的平方根運算，叫做開平方，其中A叫做被開方數。

立方根：①如果一個數X的立方等于A，那么這個數X就叫做A的立方根。

②正數的立方根是正數、0的立方根是0、負數的立方根是負數。

③求一個數A的立方根的運算叫開立方，其中A叫做被開方數。

實數：①實數分有理數和無理數。

②在實數范圍內，相反數，倒數，絕對值的意義和有理數范圍內的相反數，倒數，絕對值的意義完全一樣。

③每一個實數都可以在數軸上的一個點來表示。

3、代數式

代數式：單獨一個數或者一個字母也是代數式。

合并同類項：①所含字母相同，并且相同字母的指數也相同的項，叫做同類項。

②把同類項合并成一項就叫做合并同類項。

③在合并同類項時，我們把同類項的系數相加，字母和字母的指數不變。4、整式與分式

A、整式：①數與字母的乘積的代數式叫單項式，幾個單項式的和叫多項式，單項式和多項式統稱整式。

②一個單項式中，所有字母的指數和叫做這個單項式的次數。

③一個多項式中，次數最高的項的次數叫做這個多項式的次數。

整式運算：加減運算時，如果遇到括號先去括號，再合并同類項。

冪的運算：AM+AN=A（M+N）

（AM）N=ANMN

（A/B）N=AN/BN

除法一樣。

整式的乘法：①單項式與單項式相乘，把他們的系數，相同字母的冪分別相乘，其余字母連同他的指數不變，作為積的因式。

②單項式與多項式相乘，就是根據分配律用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。③多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另外一個多項式的每一項，再把所得的積相加。

公式兩條：平方差公式

/

完全平方公式

整式的除法：①單項式相除，把系數，同底數冪分別相除后，作為商的因式；對于只在被除式里含有的字母，則連同他的指數一起作為商的一個因式。

②多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項分別除以單項式，再把所得的商相加。

分解因式：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變化叫做把這個多項式分解因式。

方法：提公因式法、運用公式法、分組分解法、十字相乘法。分式：①整式A除以整式B，如果除式B中含有分母，那么這個就是分式，對于任何一個分式，分母不為0。

②分式的分子與分母同乘以或除以同一個不等于0的整式，分式的值不變。

分式的運算：

乘法：把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母。

除法：除以一個分式等于乘以這個分式的倒數。

加減法：

①同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減。

②異分母的分式先通分，化為同分母的分式，再加減。

分式方程：①分母中含有未知數的方程叫分式方程。

②使方程的分母為0的解稱為原方程的增根。

B、方程與不等式

1、方程與方程組

一元一次方程：①在一個方程中，只含有一個未知數，并且未知數的指數是1，這樣的方程叫一元一次方程。

②等式兩邊同時加上或減去或乘以或除以（不為0）一個代數式，所得結果仍是等式。

解一元一次方程的步驟：去分母，移項，合并同類項，未知數系數化為1。

二元一次方程：含有兩個未知數，并且所含未知數的項的次數都是1的方程叫做二元一次方程。

二元一次方程組：兩個二元一次方程組成的方程組叫做二元一次方程組。

適合一個二元一次方程的一組未知數的值，叫做這個二元一次方程的一個解。

二元一次方程組中各個方程的公共解，叫做這個二元一次方程的解。解二元一次方程組的方法：代入消元法/加減消元法。

一元二次方程：只有一個未知數，并且未知數的項的最高系數為2的方程

1）一元二次方程的二次函數的關系

大家已經學過二次函數（即拋物線）了，對他也有很深的了解，好像解法，在圖象中表示等等，其實一元二次方程也可以用二次函數來表示，其實一元二次方程也是二次函數的一個特殊情況，就是當Y的0的時候就構成了一元二次方程了。那如果在平面直角坐標系中表示出來，一元二次方程就是二次函數中，圖象與X軸的交點。也就是該方程的解了

2）一元二次方程的解法

大家知道，二次函數有頂點式（-b/2a,4ac-b2/4a），這大家要記住，很重要，因為在上面已經說過了，一元二次方程也是二次函數的一部分，所以他也有自己的一個解法，利用他可以求出所有的一元二次方程的解

(1）配方法

利用配方，使方程變為完全平方公式，在用直接開平方法去求出解

(2)分解因式法

提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。在解一元二次方程的時候也一樣，利用這點，把方程化為幾個乘積的形式去解

(3)公式法

這方法也可以是在解一元二次方程的萬能方法了，方程的根X1={-b+

√[b2-4ac)]}/2a，X2={-b-√[b2-4ac)]}/2a

3）解一元二次方程的步驟：

（1）配方法的步驟：先把常數項移到方程的右邊，再把二次項的系數化為1，再同時加上1次項的系數的一半的平方，最后配成完全平方公式

(2)分解因式法的步驟：把方程右邊化為0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（這里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化為乘積的形式(3)公式法：

就把一元二次方程的各系數分別代入，這里二次項的系數為a，一次項的系數為b，常數項的系數為c

4）韋達定理

利用韋達定理去了解，韋達定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a，二根之積=c/a

也可以表示為x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。利用韋達定理，可以求出一元二次方程中的各系數，在題目中很常用

5）一元二次方程根的情況

利用根的判別式去了解，根的判別式可在書面上可以寫為“△”，△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：

I當

△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數根；

II當△=0時，一元二次方程有2個相同的實數根；

III當△<0時，一元二次方程沒有實數根（在這里，學到高中就會知道，這里有2個虛數根）

2、不等式與不等式組

不等式：①用符號〉，=，〈號連接的式子叫不等式。

②不等式的兩邊都加上或減去同一個整式，不等號的方向不變。

③不等式的兩邊都乘以或者除以一個正數，不等號方向不變。

④不等式的兩邊都乘以或除以同一個負數，不等號方向相反。

不等式的解集：①能使不等式成立的未知數的值，叫做不等式的解。

②一個含有未知數的不等式的所有解，組成這個不等式的解集。

③求不等式解集的過程叫做解不等式。一元一次不等式：左右兩邊都是整式，只含有一個未知數，且未知數的最高次數是1的不等式叫一元一次不等式。

一元一次不等式組：

①關于同一個未知數的幾個一元一次不等式合在一起，就組成了一元一次不等式組。

②一元一次不等式組中各個不等式的解集的公共部分，叫做這個一元一次不等式組的解集。

③求不等式組解集的過程，叫做解不等式組。

一元一次不等式的符號方向：

在一元一次不等式中，不像等式那樣，等號是不變的，他是隨著你加或乘的運算改變。

在不等式中，如果加上同一個數（或加上一個正數），不等式符號不改向；例如：A>B,A+C>B+C

在不等式中，如果減去同一個數（或加上一個負數），不等式符號不改向；例如：A>B，A-C>B-C

在不等式中，如果乘以同一個正數，不等號不改向；例如：A>B，A*C>B*C（C>0）

在不等式中，如果乘以同一個負數，不等號改向；例如：A>B，A*C

如果不等式乘以0，那么不等號改為等號

所以在題目中，要求出乘以的數，那么就要看看題中是否出現一元一次不等式，如果出現了，那么不等式乘以的數就不能為0，否則不等式不成立；

3、函數

變量：因變量，自變量。

在用圖象表示變量之間的關系時，通常用水平方向的數軸上的點自變量，用豎直方向的數軸上的點表示因變量。

一次函數：

①若兩個變量X，Y間的關系式可以表示成Y=KX+B（B為常數，K不等于0）的形式，則稱Y是X的一次函數。

②當B=0時，稱Y是X的正比例函數。

一次函數的圖象：①把一個函數的自變量X與對應的因變量Y的值分別作為點的橫坐標與縱坐標，在直角坐標系內描出它的對應點，所有這些點組成的圖形叫做該函數的圖象。

②正比例函數Y=KX的圖象是經過原點的一條直線。

③在一次函數中，當K〈0，B〈O，則經234象限；當K〈0，B〉0時，則經124象限；當K〉0，B〈0時，則經134象限；當K〉0，B〉0時，則經123象限。

④當K〉0時，Y的值隨X值的增大而增大，當X〈0時，Y的值隨X值的增大而減少。

第四篇：復雜最值問題剖析

復雜最值問題剖析

華圖教育 王小歡

行測中有題目是一類常見的題目是最值問題，這類題目一般情況下包括三種：第一種為最不利構造，題目特征是至少??保證??，做題方法是找出最不利的情形然后再加1；第二種為多集合反向構造，題目特征是至少??都??，做題方法三步走：反向，求和，做差；第三種題目是構造數列，題目特征是最??最??，做題方法是構造出一個滿足題目的數列。如果在平時練習或考試的過程中，遇到了這三種題目，可直接按照相應的方法進行求解。但是，還有一些最值問題并不像上面三種問題敘述的那么簡單，往往涉及的項目還比較多，需要先進行分析討論。遇到這樣的題目怎么分析，舉兩個例子剖析一下。

【例1】一個20人的班級舉行百分制測驗，平均分為79分，所有人得分都是整數且任意兩人得分不同。班級前5名的平均分正好是16到20名平均分的2倍。則班級第6名和第15名之間的分差最大為多少分？

A.34 C.40

B.37 D.43 【解析】求班級第6名和第15名之間的分差最大，則第6名的成績要盡可能的接近第5名的成績，且前5名的成績差距要盡可能的小，即前6名成績是連續的自然數，第15名的成績要盡可能的接近第16名的成績，且后5名的成績差距要盡可能的小，即后6名的成績是連續的自然數。又由于班級前5名的平均分正好是16到20名平均分的2倍，則前5名的成績決定了后5名的成績。而同時滿足這些條件的數列有多組，則可以使前5名的成績為100、99、98、97、96，則第6名的成績為95，由此，后5名得成績為51、50、49、48、47，則第15名得成績為52，此時與平均分為79分不矛盾，所以第6名和第15名之間的分差最大為95-52=43。因此，本題答案選擇D選項。

【例2】有20人測驗及格率是95%，平均分88，得分都是整數并且每人得分都不相同，問排名第十的人得分最低是多少？

A.88 B.89 C.90 D.91 【解析】為了使得排名第十的人的分數盡可能的低，應當使得其余排名的人的分數盡可能高。根據及格率為95%可知，有一人未及格，而未及格的人的分數最高為59分。因此19名及格的考生總成績為88×20－59＝1701分。

前九人的分數最高分別為100分，99分，98分，97分，96分，95分，94分，93分，92分，因此第十至第十九人的分數總和為1701－（100＋99＋98＋97＋96＋95＋94＋93＋92）＝837分。假設這十個人的分數分別為91分至82分，那么這十個分數的和為865分，比實際分數多了865－837＝28分。如果第十個人的分數減去1分，那么其余九個人的分數依次減去1分，這樣他們的總分就要減去10分。由此可見第十個人的分數只能減去2分達到89分，這樣才使得十個人的分數總和可能為837分。如果第十個人的分數為88分，那么這十個人的分數總和最多為835分。因此第十個人的分數最低只能是89分。

通過這兩個例子，大家會發現，這樣的最值問題也不過是“紙老虎”，看起來題目比較長，跟問題直接相關的信息又比較少，一般思路是考慮問題的反面作為出發點，如“求班級第6名和第15名之間的分差最大，則第6名的成績要盡可能的接近第5名的成績”，再如“為了使得排名第十的人的分數盡可能的低，應當使得其余排名的人的分數盡可能高”，一步步，抽絲剝繭般形成習慣性的套路，這樣的問題自然就迎刃而解了。

第五篇：二次函數最值問題

《二次函數最值問題》的教學反思

大河鎮 件，設所獲利潤為y元，則y＝（x-2.5）［500+200(13.5-x)］，這樣，一個二元二次方程就列出，這也為后面學習二次函數與一元二次方程的關系奠定了基礎，針對上述分析，把所列方程整理后，并得到y＝－200x2＋3700x-8000，這里再利用二次函數y＝ax2+bx+c(a≠0)的解析式中a、b、c的大小來確定問題的最值。把問題轉化怎樣求這個函數的最值問題。

b4ac?bb4ac?b根據a>0時，當x=－，y最小＝；a<0時，當x＝－,y最大＝

2a4a2a4a的公式求出最大利潤。

例2是面積的最值問題（下節課講解）

教學反饋：講得絲絲入扣，大部分學生能聽懂，但課后的練習卻“不會做”。反思一：本節課在講解的過程中，不敢花過多的時間讓學生爭辯交流，生怕時間不夠，完成了不教學內容，只能按照自己首先設計好的意圖引領學生去完成就行了。實際上，這節課以犧牲學生學習的主動性為代價，讓學生被動地接受，去聽講，體現不了學生是學習的主人這一關鍵環節。

反思二：數學教學的目標不僅是讓學生學到一些知識，更重要的是讓學生學會運用知識去解決現實問題，讓學生“從問題的背景出發，建立數學模型”的基本流程，如例題中，可讓學生從“列方程→轉化為二次函數解析式→

b4ac?b當x＝－時，y最大（小）＝→解決問題”，讓學生在實踐中發現數2a4a學，掌握數學。

反思三：教學應當促進學生成為學習的主人，離開了學生積極主動學習，老師講得再好，學生也難以接受，或者是聽懂了，但不會做題的現象。傳統的教學“五環節”模式已成為過去，新的課程標準需要我們用新的理念對傳統的教學模式、教學方法等進行改革，讓學生成為課堂的主角。