第一篇：初中數學數與代數心得

學習《初中數學數與代數》的心得

通過學習《初中數學數與代數》的課程，我對這部分內容有了更深入的體會。

1、初中代數的三大部分內容“數與式”、“方程與不等式”、“函數”是緊密相聯系的。“數與式”是“方程與不等式”及“函數”的基礎，一次式對應著一元一次方程、二元一次方程及一次函數，二次式對應著一元二次方程和二次函數，分式對應著分式方程和反比例函數。而“方程”與“函數”又是緊密相連，一元一次方程對應著一次函數，分式方程對應著反比例函數，一元二次方程對應著二次函數。認識到了這點，在實際教學特別是初三中考的復習就可以有的放矢了，在教學中應該抓住這三者的聯系進行，使學生對這部分知識有個系統性的認識。而要很好地實現這三者的聯系教學，我覺得可以以變式練習的形式進行，比如利潤問題的解決，當利潤已知時，往往是用一元二次方程解決，而當利潤未知時，往往要建立二次函數來解決，那么在這種題型中，就可以以改變條件的方式進行變式練習。

2、對學生的運算能力應該要十分重視。很多學生的運算能力較差，有些還依靠計算器，所以運算能力下降。而在實際教學中，有很多學生又會發出這樣的感慨：“我知道做這道題，可是算到后面就總是錯”這就是運算能力的問題，所以我們要重視運算能力的提高。首先要讓學生對運算規則認識清楚，其次在實際教學中要加強學生的訓練，不要讓他們養成依賴思想。

第二篇：《數與代數》心得

通過學習《數感的理解與實例分析》，我在此來

簡單談談自己的一些學習心得

我認為，數感是學生的學習內容，也是學生應該具備的一種基本數學素養。學生不僅要認識數，學會計算，更重要的是要感受數和運算的實際意義，體會數用來表示和交流的作用，自然地、有意識地用數學的觀點和方法來解決現實問題。因此，幫助學生建立、發展數感是數學教育的重要任務。

什么是數感？《標準》對數感的表述是“數感主要表現在：理解數的意義；能用多種方法來表示數；能在具體的情境中把握數的相對大小關系；能用數來表達和交流信息；能為解決問題而選擇適當的算法；能估計運算的結果，并對結果的合理性做出解釋。”標準中對數感的表示是一種外延的表述，即描述了數感的若干個表現，而沒有用內涵概念界定的方式，從而避免了相關概念的混淆。在教學中又應該怎樣培養學生的數感呢？我將從以下三個方面進行簡單地論述：

一、在聯系生活中獲取數感

數學教學要從孩子的生活經驗和已有的知識背景出發，向他們提供充分的從事教學活動和交流的機會，讓孩子將數學與生活、學習、活動有機結合起來，讓學生感受到數學來于生活，用于生活，激發學生自主學習數學的興趣和欲望。所以在教學中要注重生活實際，重視學生的直接經驗，把教學歸于實踐，歸于生活。例如，在教學“0”的認識時，有些同學不理解4－0＝□，我讓學生結合生活中的例子來說明為什么4－0＝4？學生已有的生活經驗被充分調動了起來，紛紛舉手：生1：我的想法是：比如說有4個蘋果，吃了0個，也就是一個都沒吃，所以還剩4個，4－0＝4。生2：今天媽媽給了我4元錢，我現在一點也沒用，還有4元錢，列式4－0＝4……這些例子都是生活中身邊的事，學生很容易理解和接受，明確了不管4個蘋果，4元錢還是其他物品，只要減去0，就都是從4個東西里去掉0個，也就是一個都沒去掉，所以4減0還是等于4。從而在這些生活實例中體會了數的含義，在不知不覺中獲得了數感的啟蒙。

二、在自主探究中體驗數感

心理學研究表明，兒童有一種與生俱來的、以自我為中心的探索性學習方式。數感不是通過傳授而能得到培養的，重要的是讓學生自己去感知、發現，主動去探索。數學教學中，教師就要能夠將靜態的結論性的數學知識轉化為動態的探索性的數學活動，幫助學生在自主探索的過程中體驗數的意義和作用，建立良好的數感。因此，我們在數學教學中，教師要注重創設情境，設置教學內容和學生內在需求的“不平衡”，激發學生主動探索，給學生各種形式的探索機會。例如在判斷一個數是不是3的倍數時，老師和學生進行了一次富有挑戰性的游戲活動。我讓學生報數，老師迅速作出正確判斷。通過活動打動了學生的心靈，情感自然而然地活起來。而這種情感又是一種較高層次的心理狀態，心中就充滿了“我能行”的自豪感。學生在這種積極的情感中對數學產生親近感，感受到學習數學的樂趣，進而產生了自主探索新知的強烈欲望，既能化解數學學習的難度，又能在成功的體驗中獲得自信，感受自尊,體驗數感。

三、在合作學習中交流數感

小組合作學習有利于學生人人參與學習全過程，它不僅能發掘個人內在的潛能，還能培養集體合作精神，人人可以嘗試成功的喜悅。同學之間的語言最容易理解，數感也能得到進一步加強。例如，在實際測量中，教師帶領學生到操場上測量長方形花壇的長和寬，學生用不同的方法測出了花壇的長和寬。在課堂交流的時候，展示了多種多樣的測量方法。有的學生直接用卷尺量；有的學生先測出一塊磚的長度，再數長和寬各包含多少塊磚，用每塊磚的長度乘磚的塊數得到長和寬的長度；有的學生先測出1米長的繩子，再1米1米的量；還有的學生使用步測的方法。在交流中，大家將自己的想法與別人進行交流，同時體會別人是怎樣想的、怎樣做的，從不同角度感知一定的長度，發展了距離感，也增進了數感。

四、在應用中發展數感。

人對數的感覺是沒有一定的對錯的，只有感覺的高低之別。具有良好數感的人更能主動地、自覺地理解數和運用數。當他們再重新回到現實生活中，解決現實生活中出現的數學問題，或是可能與數學有關的其它問題時，能自然地、有意識地與數學聯系起來，或者會試圖進一步用數學的觀點和方法來處理解決。要達到這樣的境界，需要一個長期的培養過程。建立和培養學生的數感就是要讓學生更多地接觸和理解現實問題，有意識地將現實問題與數量建立起聯系。教學中，教師不能只局限于課內、教室內，可以讓學生走出教室，適當開展數學課外活動，利用課外時間收集、運用所學知識；同時，在教學中要多讓學生解決現實生活中的問題，這種應用意識就是數感進一步發展的必要體現。

綜上所述，數感的形成是一個漸進的、沉淀的、積累的、潛移默化的過程,需要在較長時間的充分感知、體驗和感受中逐步建立起來。教師應在數學教學活動中，深入鉆研教材，密切聯系生活實際，鼓勵學生自主探究，合作交流，拓展知識的應用，把培養數感的任務落實到具體的每個教學環節中。讓學生在對數的充分感知、感應和感受中，逐步形成解決問題的策略，不斷升華數感，提升數學素養。

第三篇：初中數學數與代數知識點總結

初中數學數與代數知識點總結:

數與代數知識點是初中學習數學時期的主要知識點之一，主要包括有理數、實數、代數式、整式、分式、一元一次方程、二元一次方程（組）、一元二次方程、一元一次不等式（組）、一次函數、反比例函數、二次函數、等，以下是各具體知識點總結的理解和分析。

初中數學有理數知識點總結:

有理數是初中數學的基礎內容，中考試題中分值約為3-6分，多以選擇題，填空題，計算題的形式出現，難易度屬于簡單。近幾年主要考察一下幾個方面：①相反數，絕對值，倒數等相關概念 ②負數的乘方，加減及混合運算。突破方法：①牢固掌握有關有理數的概念：如相反數，倒數，絕對值等，特別是絕對值的意義，真正掌握數形結合的思想，多方面理解概念。②熟練掌握有理數的各種運算法則，特別是負數參與的運算。在混合運算中特別注意符號和運算順序，這個要通過一定量的練習來掌握其中的運算技巧，達到一定的熟練程度。

初中數學代數式知識點總結:

代數式：中考試題中的分值約為5-6分，主要以選擇，填空題為主，也常出現探尋規律的題目。難易度屬于中檔。近幾年考察的以下兩個方面：①結合生產和生活實際列代數式，求代數式的值等。②根據數表，圖表，算式尋找規律建立代數式模型。突破方法：掌握好列代數式的要求，技巧，學會觀察，猜想驗證，用熟悉語言正確表達等解題。考前多做些尋找規律的題目，真正掌握規律探索的要點。

初中數學整式知識點總結:

整式：中考試題中分值約為4分，題型以選擇，填空為主，難易度屬于易。近幾年主要考察①整式的概念和簡單的運算，主要是同類項的概念和化簡求值②完全平方公式，平方差公司的幾何意義③利用提公因式發和公式法分解因式。突破方法：①要準確理解和辨認單項式的次數，系數，同類項。② 在運用公式或法則進行運算式，首先要判斷式子的結構特征，確定解題思路，以便使解題更加方便，快捷。

初中數學分式知識點總結:

分式：中考試題中分值約為6-8分，主要以填空，簡答計算題型出現，難易度屬于中。近幾年主要考察①分式的概念，性質，意義②分式的運算，化簡求值。③列分式方程解決實際問題、突破方法：①掌握并靈活應用分式的基本性質，②在通分和約分時，都要注意分解因式知識的應用。③化簡求值時，注意整體思想和技巧的應用。④留意生活中是實際問題

初中數學一元一次方程知識點總結:

一元一次方程：中考分值約為1-3分，題型主要以選擇，填空為主，極少出現簡答，難易度為易。考察內容：①方程及方程解的概念，②根據題意列一元一次方程，③解一元一次方程。突破方法： ①掌握一元一次方程的概念和解法，熟練解方程。②掌握列一元一次方程解應用題的一般步驟。通過大量練習達到熟練。初中數學二元一次方程（組）知識點總結:

二元一次方程組：中考分值約為3-6分，題型主要以選擇，解答為主，難易度為中。考察內容：①方程組的解法，解方程組②根據題意列二元一次方程組解經濟問題，突破方法： ①首先掌握二元一次方程組的代人消元和加減消元法。會根據系數的特點選擇適當的方法。熟練解方程組。②多關注生活中如環保，利潤，市場經濟等問題，培養自己收集與處理信息的能力。③處分關注轉化，消元，降次，整體等整體思想。初中數學一元一次不等式（組）知識點總結:

一元一次不等式（組）：中考試題中分值約為3-8分，選擇，填空，解答題為主。主要考察內容： ① 一元一次不等式（組）的解法，不等式（組）解集的數軸表示，不等式（組）的整數解等，題型以選擇，填空為主。② 列不等式（組）解決經濟問題，調配問題等，主要以解答題為主。③留意不等式（組）和函數圖像的結合問題。突破方法：①熟練掌握，一元一次不等式（組）的解法和解集在數軸上的表示，會朱雀求解不等式（組）②能根據實際問題列出不等式（組），通過求解不等式（組）而解決問題。③運用類比，數形結合等方法解答綜合題。

初中數學一元二次方程知識點總結:

一元二次方程：中考分值約為3-5分，題型主要以選擇，填空為主，極少出現簡答，難易度為易。考察內容：①方程及方程解的概念，②根據題意列一元一次方程，③解一元一次方程。突破方法： ①掌握一元一次方程的概念和解法，熟練解方程。②掌握列一元一次方程解應用題的一般步驟。通過大量練習達到熟練。初中數學一次函數知識點總結:

一次函數：一次函數圖像與性質是中考必考的內容之一。中考試題中分值約為10分左右題型多樣，形式靈活，綜合應用性強。甚至有存在探究題目出現。主要考察內容：①會畫一次函數的圖像，并掌握其性質。②會根據已知條件，利用待定系數法確定一次函數的解析式。③能用一次函數解決實際問題。④考察一ic函數與二元一次方程組，一元一次不等式的關系。突破方法：①正確理解掌握一次函數的概念，圖像和性質。②運用數學結合的思想解與一次函數圖像有關的問題。③掌握用待定系數法球一次函數解析式。④做一些綜合題的訓練，提高分析問題的能力。

初中數學反比例函數知識點總結:

反比例函數：反比例函數的圖像和性質是中考數學命題的重要內容，試題新穎，題型靈活多樣，所占分值約為3-8分，難易度屬于難。考察內容：①會畫反比例函數的圖像，掌握基本性質。②能根據條件確定反比例函數的表達式。③能用反比例函數解決實際問題。突破方法：①正確理解掌握反比例函數的概念②掌握反比例函數的圖像和性質。③運用數形結合的思想形象地解答與反比例函數圖像的有關問題。④通過大量練習，從中體會考察點。

初中數學二次函數知識點總結:

二次函數：二次函數的圖像和性質是中考數學命題的熱點，難點。試題難度一般為難。常見選擇，填空題分值為3-5分，綜合題分值為10-12分。考察內容：①能通過對實際問題情境的分析確定二次函數的表達式，并體會二次函數的意義。②能用數形結合，歸納等熟悉思想，根據二次函數的表達式（圖像）確定二次的開口方向，對稱軸和頂點的坐標，并獲得更多信息。③綜合運用方程，幾何圖形，函數等知識點解決問題。突破方法：①正確理解和掌握二次函數的概念，圖像和性質。多讀，多背，圖形結合。②利用數形結合的思想，借助函數的圖像和性質，形象直觀地解決由關不等式最大（小）值，方程的解以及圖形的位

置關系等問題。③利用轉化的思想，通過一元二次方程的根的判別式及根與系數的關系解決拋物線與X軸的交點問題。

初中數學空間與圖形知識點總結:

空間與圖形知識點是初中學習數學時期的主要知識點之一，主要包括圖形的認識、相交線與平行線、三角形、四邊形、圓、尺規作圖、視圖與投影、圖形軸對稱、圖形的平移與旋轉、圖形的相似、銳角三角函數、圖形與坐標、圖形與證明、等，以下是各具體知識點總結的理解和分析。

初中數學圖形的認識知識點總結:

圖形的認識:中考試題中分值3-5分

初中數學相交線與平行線知識點總結:

相交線和平行線：相交線和平行線是歷年中考中常見的考點。通常以填空，選擇形式出現。分值為3-4分，難易度為易。考察內容：①平行線的性質（公理）②平行線的判別方法③構造平行線，利用平行線的性質解決問題。突破方法： ①平行線的性質和判別恨容易混淆了。學習時要在”準”上下功夫。②熟練判斷“三線八角”，弄清它們之間的聯系與區別。防止作出錯誤推斷。③對于典型的“平行線間的折線問題”要攻破！

初中數學三角形知識點總結:

三角形，三角形是初中數學的基礎，中考命題中的重點。中考試題分值約為18-24分，以填空，選擇，解答題，也會出現一些證明題目。考查內容：①三角形的性質和概念，三角形內角和定理，三邊關系，以及三角形全等的性質與判定。②三角形全等融入平行四邊形的證明，③三角形運動，折疊，旋轉，拼接形成的新數學問題，④等腰三角形的性質與判定，面積，周長等，⑤直角三角形的性質，勾股定理是重點。⑥三角形與圓的相關位置關系⑦三角形中位線的性質應用。突破方法：①準確掌握三角形和三角形的相關概念，性質，判定與解題方法，加強對基本概念，解題思想認識。②掌握構造全等三角形法，倍長中線法，截長補短發，分割圖形法等常見方法的應用技巧，不斷地總結，逐步培養數學能力。③加強對的呢個一三角形和指教三角形的概念性質的理解記憶，注意性的區別與聯系，進行知識歸納。④掌握特俗三角形證明題的解題思路和方法，加強對探索題目，創新題目的訓練與研究，培養數學能力。

初中數學四邊形知識點總結:

四邊形：四邊形的初中數學中考中的重點內容之一，分值一般為10-14分，題型以選擇，填空，解答證明或融合在綜合題目中為主，難易度為中。主要考察內容：①多邊形的內角和，外角和等問題②圖形的鑲嵌問題③平行四邊形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形的性質和判定。突破方法：①掌握多邊形，四邊形的性質和判定方法。熟記各項公式。②注意利用四邊形的性質進行有關四邊形的證明。③注意開放性題目的解答，多種情況分析。

初中數學圓知識點總結:

圓，圓的有關性質與圓的有關計算是近幾年各地中考命題的重點內容。題型以填空題，選擇題和解答題為主，也有以閱讀理解，條件開放，結論開放探索題作為新的題型，分值一般是6-12分，難易度為中，考察

內容：①圓的有關性質的應用。垂徑定理是重點。② 直線和圓，圓和圓的位置關系的判定及應用。③弧長，扇形面積，圓柱，圓錐的側面積和全面積的計算④圓與相似三角形，三角函數的綜合運用以及有關的開放題，探索題。突破方法：①熟練掌握圓的有關行政，掌握求線段，角的方法，理解概念之間的相互聯系和知識之間的相互轉化。②理解直線和原的三種位置關系，掌握切線的性質和判定的歌，會根據條件解決圓中的動態問題。③掌握有兩圓半徑的和或差與圓心距的大小關系來盤底的那個兩個圓的位置關系，對中考試題中常出現的閱讀理解題，探索題，要靈活運用圓的有關性質，進行合理推理與計算。④掌握弧長，扇形面積計算公式。⑤理解圓柱，圓錐的側面展開圖⑥對組合圖形 的計算要靈活運用計算方法解題。初中數學尺規作圖知識點總結:

尺規作圖：近幾年直接考察尺規作圖的題目很少出現。即使出現也是結合其他問題，分值一般2-3分，難易度為易。考察內容：①拼圖：即圖形的組合，例如用等腰梯形拼菱形②位似圖形的畫法。③常見圖形的基本做法，例如角的平分線，突破方法：①熟練掌握基本的幾何做法，②從畫圖本質上理解作圖的原理③根據給定的條件，結合圖形特點作圖，注意保留作圖痕跡。

初中數學視圖與投影知識點總結:

視圖和投影，是近幾年新課標的考試內容，也是近幾年中考的熱點。分值一般為3-6分，試題以填空，選擇，解答的形式出現。考察內容：①常見幾何體的三視圖②常見幾何體的展開和折疊，展開和折疊是考試的熱點，值得注意。③利用相似結合平行投影和中心投影解決實際問題。突破方法：①要養成善于觀察，勤于思考的良好習慣，書本是平面的，生活是立體的。生活中的許多實物是由基本的幾何體組合而成的，因此必須認識基本幾何體的特征。②以動手操作如展開與折疊，截一個幾何體為常用方法。發展空間想象能力。③加強實物與幾何圖形轉化方面的訓練，以提高解答有關空間圖形方面問題的速度。

初中數學圖形軸對稱知識點總結:

圖形的軸對稱是中考題的新題型，熱點題型。分值一般為3-4分，題型以填空，選擇，作圖為主，偶爾也會出現解答題。考察內容：①軸對稱和軸對稱圖形的性質判別。②注意鏡面對稱與實際問題的解決。突破方法： ①熟練掌握圖形的對稱基本性質和基本作圖法。②結合具體的問題大膽嘗試，動手操作，探究發現其內在的規律。③注重對網格內和坐標內的圖形的變換試題的研究，熟練掌握其常用的解題方法。④關注圖形與變換創新題，弄清其本質，掌握基本解題方法，如動手操作法，折疊法，旋轉法。

初中數學圖形的平移與旋轉知識點總結:

圖形的平移，旋轉是中考題的新題型，熱點題型，在試題比重，逐年上升。分值一般為5-8分，題型以填空，選擇，作圖為主，偶爾也會出現解答題。考察內容：①中心對稱和中心對稱圖形的性質和別。②旋轉，平移的性質 突破方法： ①熟練掌握圖形的對稱，圖形的平移，圖形的旋轉的基本性質和基本作圖法。②結合具體的問題大膽嘗試，動手操作平移，旋轉，探究發現其內在的規律。③注重對網格內和坐標內的圖形的變換試題的研究，熟練掌握其常用的解題方法。④關注圖形與變換創新題，弄清其本質，掌握基本解題方法，如動手操作法，折疊法，旋轉法。

初中數學圖形的相似知識點總結:

圖形相似：圖形的形似是平面幾何中極為重要的內容，是中考數學中的重點考察內容。一般分值約為6-12分，題型以選擇，填空，解答綜合題目為主，難易度屬于難。考察內容是：①相似三角形的性質和判別方法，是重點。②相似多邊形的認識，黃金分割的應用。③相似形與三角形，平行四邊形的綜合性題目是難點。突破方法：①運用相似的知識解決一些實際問題，要能夠在 理解題意的基礎上，把它轉化為純數學知識的問題，要注意培養數學建模思想。②在綜合題中，注意相似知識的領會運用，binary熟練掌握等線段代換，等比代換，等兩代換技巧的應用，培養綜合運用知識的能力。③判定相似三角形的幾條思路：1°條件中若有平行線，可采用相似三角形的基本定理;2°條件中若有一對的等角，可再找一對等角，利用判定1或再找家變成比例用判定2 ；3°條件中若有一對直角，可考慮再找一對等角或證明斜邊，直角邊對應成比例；④條件中若有的等腰關系，可找頂角相等，可找一對底角相等，也可以找底和腰對應成比例。初中數學銳角三角函數知識點總結:

解直角三角形，解直角三角形的知識是近幾年各地中考命題的熱點之一，考察題型為選擇題，填空題，應用題為主，分值一般8-12分，難易度為難。考察內容：①常見銳角的三角函數值的計算，②根據圖形計算距離，高度，角度的應用題，③根據題中給出的信息構建圖形，建立數學模型，然后用解直角三角形的知識解決問題。突破方法：掌握三角函數的概念，會熟練運用特殊三角函數值，②了解某些問題中的仰角，俯角，坡度等概念，③將實際問題轉換為數學問題，建立數學模型④涉及解斜三角形的問題時，會通過作適當的輔助線構造直角三角形，使之轉化為直角三角形的計算問題而達到解決實際問題。⑤解應用題的關鍵是根據實際問題畫出是示意圖，弄清圖中各個量的具體意義及各已知量和未知量的關系。通過大量練習，熟練建模。

初中數學圖形與坐標知識點總結:

空間與坐標：中考試題中分值約為3-4分，題型以選擇，填空為主，難易度屬于易。近幾年考察主要內容：①考察平面直角坐標系內點的坐標特征。②函數自變量的取值范圍和球函數的值。③考察結合圖像對簡單實際問題中的函數關系進行分析。突破方法：①援用數形結合的思想來理解，體會函數的基礎知識。②理解平面直角坐標系內點的坐標特征。③聯系生活實際，理解函數圖像刻畫實際生活問題，探索規律，解決問題。

初中數學圖形與證明知識點總結:

空間與坐標：中考試題中分值約為3-4分，題型以選擇，填空為主，難易度屬于易。近幾年考察主要內容：①考察平面直角坐標系內點的坐標特征。②函數自變量的取值范圍和球函數的值。③考察結合圖像對簡單實際問題中的函數關系進行分析。突破方法：①援用數形結合的思想來理解，體會函數的基礎知識。②理解平面直角坐標系內點的坐標特征。③聯系生活實際，理解函數圖像刻畫實際生活問題，探索規律，解決問題。

初中數學數據與圖表知識點總結:

數據圖表：分值一般在6-10分，題型近幾年主要以解答題出現，偶爾以選擇填空出現。難易度為中。考察內容：①常見統計圖和平均數，眾數，中位數的計算分析。②方差，極差的應用分析③與現實生活有關的實際問題的考察熱點。題目注重考查統計學的知識分析和數據處理。突破方法：①牢固掌握概念，并能掌握概念減的區別和聯系。以及在實際問題的應用。②統計是與數據打交道，解題時計算比較繁瑣，所以要

用意識培養認真，耐心，細致的學習態度和學習習慣。③要關注統計知識與方程，不等式相結合的綜合性題目，會讀頻數分別直方圖，會分析圖表，注重能力的培養，加大訓練力度。

初中數學統計與概率知識點總結:

統計與概率知識點是初中學習數學時期的主要知識點之一，主要包括數據與圖表、概率初步、等，以下是各具體知識點總結的理解和分析。

初中數學概率初步知識點總結:

概率：分值一般3-6分，題型以選擇，填空常見，更多以解答題目為主，難易度為中。考察內容：①簡答事件的概率求解，圖表法和數形圖法 ②利用概率解決實際，公平性問題等 ③注意概率知識與方程相結合的綜合性試題，選材貼近生活，越來越新。突破方法：①牢固掌握概率的求解思想和方法。注意面積比 ②注重概率在實際問題中的應用③要關注概率與方程相結合的綜合性試題，加大訓練力度，形成能力。初中數學綜合題知識點總結:

綜合題知識點是初中學習數學時期的主要知識點之一，主要包括綜合題、等，以下是各具體知識點總結的理解和分析。

第四篇：初中數學數與代數學習心得體會

初中數學數與代數學習心得體會

通過網絡學習培訓,《初中數學數與代數》課程學習，本人對課程標準中數與代數部分的要求有整體基本了解，知道了 七年級,八年級,九年級的數與代數內容包含哪些內容，其側重點在哪里，一定程度上了解每個具體的知識點具有哪些重要的價值。

在視頻講座中三位老師共探討了六個話題，前三個話題針對內容，分別是數與式、方程與不等式、函數，后三個話題針對能力，分別是運算能力、符號意識與代數的思維特點、模型思想。三位老師對各個內容從重點、內容變化、價值及作用三個角度對課程標準修訂稿和我們進行了解讀 , 對各個能力也從意義及作用、在標準中的含義、與內容的聯系、如何培養該能力這幾個方面和我們進行交流。講座設計的課程結構清晰，還輔以大量案例，從理性的角度和直觀的方法呈現課程標準修訂稿對數與代數部分的要求。

初中代數的三大部分內容“數與式”、“方程與不等式”、“函數”是緊密相聯系的。“數與式”是“方程與不等式”及“函數”的基礎，一次式對應著一元一次方程、二元一次方程及一次函數，二次式對應著一元二次方程和二次函數，分式對應著分式方程和反比例函數。而“方程”與“函數”又是緊密相連，一元一次方程對應著一次函數，分式方程對應著反比例函數，一元二次方程對應著二次函數。認識到了這點，在實際教學特別是初三中考的復習就可以有的放矢了，在教學中應該抓住這三者的聯系進行，使學生對這部分知識有個系統性的認識。而要很好地實現這三者的聯系教學，我覺得可以以變式練習的形式進行，比如利潤問題的解決，當利潤已知時，往往是用一元二次方程解決，而當利潤未知時，往往要建立二次函數來解決，那么在這種題型中，就可以以改變條件的方式進行變式練習。

對學生的運算能力應該要十分重視。很多學生的運算能力較差，有些還依靠計算器，所以運算能力下降。而在實際教學中，有很多學生又會發出這樣的感慨：“我知道做這道題，可是算到后面就總是錯”這就是運算能力的問題，所以我們要重視運算能力的提高。首先要讓學生對運算規則認識清楚，其次在實際教學中要加強學生的訓練，不要讓他們養成依賴思想。

第五篇：初中數學《新課標》“數與代數”專題講座

專題講座

初中數學數與代數

綦春霞（北京師范大學，教授）

史炳星（北京教育學院，副教授，教研員）王瑞霖（北京師范大學教育學部，博士）

數與代數在這一部分內容主要涉及到 6 個話題，前三個是和內容有關系的，第一個話題是數與式，第二個話題方程與不等式，第三個話題是函數；另外三個話題，是基于知識之上側重培養學生的一些方面的能力，一是運算能力，一是符號意識，再一個是模型思想。

話題一 數與式

一、重點

關于數與式的主要內容，包括有理數、實數、代數式和二次根式，代數式主要是整式和分式。這一部分內容的重點應當是強調理解數的意義，建立數感，理解代數式的表述功能，建立符號感，同時理解運算的意義，強調運算的必要性。

二、內容的變化

（一）降低了對于實數運算的要求。比如“會用平方運算求某些非負數的平方根與算術平方根，用立方運算求某些數的立方根”轉化為“會用平方運算求百以內整數的平方根，會用立方運算求百以內整數（對應的負整數）的立方根”。

（二）取消了對“有效數字”的要求，但重視學生的估算能力，要求學生理解近似數。例如 “能用有理數估計一個無理數的大致范圍”, “了解近似數，在解決實際問題中，能用計算器進行近似計算，并按問題的要求對結果取近似值”。

（三）與實驗稿比較，加強了對二次根式的要求，比如對二次根式的化簡，分母有理化，但二次根式的運算僅僅限于根號下是數的情況。

（四）在具體情境中理解字母表示數的意義。例如要求“借助現實情境了解代數式，進一步理解用字母表示數的意義。”

（五）注重代數式的實際應用和實際意義。例如要求“能分析簡單問題中的數量關系，并用代數式表示。”以及“會求代數式的值；能根據特定的問題查閱資料，找到所需要的公式，并會代入具體的值進行計算。”

（六）對于代數式的意義，除了關注數學意義外，還關注現實的意義。

（七）強調幾何直觀的作用。

（八）知道｜a｜的含義（這里 a 表示有理數）。

三、價值及作用

數與式這部分內容，在代數當中甚至在整個數學領域當中，都是非常重要的。具體的來講，有下面的幾點：

第一點，通過數與式的學習，使學生體會到數學與現實生活的密切聯系，感受到數學的價值，能夠培養學生對數學學習的興趣，增強學生的應用意識。關于數學和生活的聯系，以及培養學生具有應用意識，可以舉如下的例子：在我們學習數軸的時候，學生通過觀察溫度計、天平的標尺以及常見的兩個相反方向行走的例子，能夠從這些現象當中得到數軸、抽象出數軸的這樣一個概念。接下來我們就可以利用數軸聯系數學內部的一些知識，即應用于數學內部。同時數軸作為一種工具，它又能很好地幫助學生理解其他生活中的問題，比如時區問題，化學中的一些常見的問題等等。

這就是我們說的核心的概念：幾何直觀。從溫度計抽象出數軸來，同時數軸又幫助學生理解有理數及實數的概念。學習有理數之后數軸還不能被充滿，但是學了實數之后這個數軸就被充滿了。這樣直觀的一個工具，對于學生來理解實數是非常有幫助的。

第二點，我們來談談關于數的概念和運算、代數式的建立、以及推導與探究性的活動，有利于學生形成數感、符號感的問題。學習數的概念和數的運算，除了學生會運算之外，數感和符號感也都是在這個過程當中逐漸發展起來的，而且通過學習數的概念和數的運算，不僅能夠提高學生的運算能力，同時也能夠發展學生的推理能力，對于提高學生的思維水平都是非常重要的載體。如：對于一般化的處理方法，因為字母表示數，實際上就是把數的概念和運算進行了一般化的處理，這樣就把學生的思維水平提高到抽象化的水平，同時也會逐漸通過式的建立以及對式的進一步學習，逐步形成模型的思想。

我們在學習冪的運算這一部分內容時，教師們通常是讓學生在原有的一些知識基礎之上，猜想觀察猜想出冪的運算規律，從數的計算開始，103 × 102 = 10 5 =10 3+2，a 4× a 3 =a 7 =a4+3，a m· a n ＝ a m + n 逐步地提升到用字母來表示。再將這個公式應用于數學問題，這樣的話，學生經歷了從特殊到一般，再從一般到特殊這樣一個過程，體會了這樣一個數學思想。但這個過程我想其實充分體現了符號對數學學習的意義。

我們觀察冪的運算公式，會發現冪之間所做的運算，如果冪之間做的是乘除運算，到了指數上它就會變為加減運算，運算等級降了一級，冪做乘方的運算，在指數上就變為了乘法的運算，其實也是降了一級。而學生無論通過觀察，還是在教師的適當引導下，他都能夠認識這樣的規律，產生這樣的意識，這正是學生積累了一定的符號感。符號感的獲得一方面基于對算理的理解，也是基于學生不斷的歸納和類比和各種方法的運用，就可以逐步獲得這樣一種意識。

這個例子挺好，里面就體現了符號表示的一般化作用，因為在前面通過具體的數字產生了一種猜想，有可能這個同底的冪做乘法是指數相加，然后再根據指數冪的意義進行計算，就得到一個一般化結論，所以這個過程中除了有符號感，也有合情推理的成分。因此我們認為，這部分內容不僅能夠發展學生的運算能力，而且也發展了學生的符號感還有推理能力。

第三點價值，體現在數學里面，我們經常看到一些對立統一思想。例如在一些概念、一些量中我們會發現，正數與負數，精確與近似，還有已知與未知之間的轉換等等這些概念中都蘊含著統一思想。這些內容的學習確實有助于學生提高他們用唯物主義的思想和科學的觀點來認識客觀事件的能力。而且也體現模型思想，比如正數與負數，在生活中我們表示東與西就用正數與負數，所以正數負數它不單純就是我們所學的計算等等，最后它已經成為表示具有相反意義的量的一個數學模型。

話題二 方程與不等式

一、重點

方程與不等式在初中階段主要涉及到這樣一些內容，一個就是關于方程的，比方說一元一次方程，二元一次方程組，一元二次方程，可化為一元一次方程的分式方程。不等式主要是一元一次不等式，和一元一次不等式組。

方程和不等式這個話題里面，這部分內容一個我們強調方程和不等式的模型思想，也就是說如何從現實生活中去把問題進行抽象，用這種方程的形式和不等式的關系刻劃出來，然后進行講學，最后運用到現實問題。所以這一部分內容就是一個重點，還是突出它的模型思想，當然另外一個部分，也是我們在這部分內容所突出的一個重點，那就是如何解這個方程和不等式。

二、內容的變化

在方程部分變化的內容為：

（一）與實驗稿相比，有些內容適當增加：如一元二次方程的根與系數的關系，但不要求應用這個關系解決其他問題，了解就可以了，不要深挖洞。

（二）三元一次方程組作為選學內容。

（三）一些具體要求，如一元二次方程只要求解數字系數的一元二次方程；分式方程只要求解可化為一元一次方程的分式方程，并且方程中的分式不超過兩個。

（四）刪除了部分內容，如由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組的解法；由一個二元二次方程和一個可以分解為兩個二元一次方程的方程組成的方程組的解法。這是與大綱相比發生的變化。在不等式部分變化的內容為：

（一）強調結合具體問題，在具體情境中探索不等式的意義。而且強調了過程目標“探索”，強調對于不等式組解的幾何意義的理解。

（二）刪除了一元一次不等式組的應用。

（三）解不等式中對相關的內容作出了限定。如能解數字系數的一元一次不等式。

三、價值及作用

這里想突出方程與不等式的三個主要的作用，第一個是模型思想。這點非常重要。另外涉及到的一點就是化歸的思想方法，我們解方程組等等一系列過程都涉及到化歸。第三點，這部分內容對后續學習是一個非常重要的內容，因此我們說它在整個數與代數里面有著非常重要的作用和價值。

首先，方程與不等式的學習，有助于學生形成建模思想。

方程的模型思想主要是指根據具體問題中的數量關系，經過必要的抽象，提煉出未知數與已知數之間具有的等量關系，列出方程（組）；在列出方程后，再運用方程（組）求解的各種方法，求出方程（組）的解，進而解決問題，從而體會方程（組）是刻畫現實世界的一個有效的數學模型，是貫穿方程與方程組的一條主線。

“相等”與“不等”是數學中兩種基本的數量關系，二者相輔相成，形成對數量關系的完整認識，是進一步學習數學不可缺少的基礎知識和有效工具，也是分析和解決一些實際問題的重要方法。

說到模型思想，我們在教學當中曾經用到這樣一個案例：一位同學小明，如果給出了他的走路速度和跑步速度：走路平均速度為 6km/h，跑步平均速度為 10km/h，又給出了從家到學校的距離為 2km，有了這樣的條件，可以提出什么樣的一些問題呢？在和同學們討論之后，學生反應非常熱烈。這里我們拿出一個例子跟老師們分享：有的學生提出了這樣一個補充條件，說他走在路上，走著走著突然發現自己有東西落在家里了，于是就趕緊跑回去，跑回家去取東西，接下來又跑到學校，跑到學校發現所用的時間和走到學校的時間是一樣，也就是說到校的時間是沒有變化，那問小明是在什么地方或者走了多久發現自己落了東西？ 學生在提出這樣一個問題之后，要想確定出這個問題的模型，首先就要考慮，小明走到學校到底要花多長時間？通過計算得出用 20 分鐘。接下來在這次上學的過程中，到底發生了一些什么樣的事情，先走了一段路，接下來往回折返跑回去，相當于從家又跑到了學校，這個過程當中學生們通過分析通過畫圖通過各種各樣的方法，發現他跑的這一段路程實際上走路的路程多出來的就是家到學校的距離，即 2 公里。如果設未知數，我們就可以利用等量關系列出方程： 設 t 分鐘之后返回，用 2 公里這個路程作為等量關系可以列出這樣的方程：，進而解決問題。

當然學生還可以改變條件，或提出各種各樣的補充條件，在這樣一個問題的基礎上，尋找“等量”“不等”這樣不同的關系，建立各種各樣的模型，用方程或不等式等多種方法來表述問題、解決問題，這個案例我想供老師們參考，希望能給大家一些啟發和思考。

關于列方程解決實際運用問題，有很多老師反應比較難，找等量關系方面學生就比較有困難；找出等量關系了方程卻列不出來。像剛才的問題，有沒有什么好的建議？即怎么使學生能夠在分析實際問題的過程中抓住主要的關系，怎么能夠讀懂題目？怎么能夠提高他們分析問題和解決問題的能力？

這確實是老師們比較頭疼的一個問題。學生在面對數學和生活聯系的時候，往往很難直接找到它們之間的聯系建立模型。實際上學生在生活當中，本身就應用著數學，經常面對數學，而教師們在設計問題或者說設計教學的時候，有的時候會忽略學生和實際數學之間的聯系。如果說利用剛才這樣的案例，給學生一個比較開放性的平臺，即給出的條件是不充足的，你再補充其他條件，這樣，問題也許會比較簡單，也許會比較復雜，也許有解也許沒有解，不同的階梯性補充，可能對水平存在差異的同學來說，確實是有很好的幫助。

有經驗的教師也會發現，在解決方程與不等式建立模型或者說是列方程解決問題的時候，往往是在教師的引導下把問題簡化，指出主干讓學生去抓住問題當中最基礎的這樣一個關系，這樣會使問題變得簡單，如果說一上來問題就比較復雜的話，往往會挫傷學生的積極性，并且再處理起來，也確實無從下手。第二方面，當學生學方程和不等式的時候，對形成化歸的思想非常有幫助，我們知道，化歸就是把你原來不會的問題轉化成你能夠解決的問題，把復雜的問題變成一個簡單的問題。我們在求解方程的過程當中，我們經常用到合并同類項，移項去括號去分母等等，這樣一些方法來解決一元一次方程，以及可化為一元一次方程的分式方程，這是老師都比較熟悉的這樣一個解方程的步驟。再一個當學二元一次方程組求解的時候，就可以通過消元，即把兩元變成一元，轉化成已經學過的內容。當我們再學到一元二次方程的時候，我們也是想辦法降次，降次我們可能用到配方法，因式分解法，其實這些都體現了我們所說的化歸思想。第三方面，方程不等式同樣也是后面學習高等數學一個非常重要的基石，例如我們談到根與系數的關系這部分內容。當然在一元二次方程中，只要學生能夠體會這種關系，而不需要他去擴展解決其他問題。實際上根與系數的關系，作為一個普遍的規律在高次方程，一元 n 次方程的情況還是有適用性的。所以，學生通過這樣一個探索會發現一般性的規律。一次方程，二次方程，高次方程等等這些方程，甚至是將來高等數學以及經濟學當中，根與系數關系都體現了一個很好的應用，都體現了方程的模型思想，不同的只是解法不同。初中階段學習的方程和不等式其實對后續的學習是有非常大的幫助。

話題三 函數

一、重點

初中階段函數部分的內容，主要包括一次函數、二次函數、反比例函數，在這個階段學習函數，重點就是要借助現實背景，在現實情景中理解函數的概念。而且在研究函數的性質過程當中，重點應該是要利用圖象的方法直觀地發現函數。例如一次函數有什么特點？二次函數有什么特點？反比例函數呢？此外還有一個非常重要的方面，就是體會函數各種表示之間的聯系。例如函數的表示法，我們有表格表示，就是具體的看有一個 x 怎么和 y 對應，另外就是有解析式表示，還有圖象表示。以前在傳統的教學當中，可能這個解析式的表示我們用的比較多，表格、圖象表示用的比較少，不管在標準的實驗稿當中還是修訂稿中，我們都要關注函數的圖象表示，借助函數的圖象來研究函數的性質，這是一種非常直觀的辦法。同時在這個修訂版的標準當中，也強調了對自變量取值范圍的討論，應該結合具體的實際問題，在實際問題中討論自變量取值范圍，而不是說泛泛地、一般性地討論自變量的定義域、值域。

二、內容的變化

（一）強調一次函數的現實意義。如要求“結合具體情境體會一次函數的意義，能根據已知條件確定一次函數的表達式。”

（二）強調一次函數與二元一次方程的關系，但不要求用圖象法求二元一次方程組的近似解。

（三）強調對于一次函數圖象變化的探索。例如“根據一次函數的圖象和表達式 y = kx + b(k ≠ 0)探索并理解 k ＞ 0 和 k ＜ 0 時，圖象的變化情況。”

（四）強調用反比例函數解決實際問題。如要求在具體情境中理解反比例函數的意義。

（五）突出反比例函數的圖象功能。能畫出反比例函數的圖象，根據圖象和表達式(k ≠ 0)探索并理解 k ＞ 0 和 k ＜ 0 時，圖象的變化情況。

（六）強調用函數解決實際問題。如要求在實際問題中分析體會二次函數的意義，并運用于實際，在實際問題中考慮自變量的取值范圍。

三、價值及作用

函數是非常有價值的內容，首先變量之間的關系在現實世界當中就是普遍存在的，如何研究變量之間的關系，從數學上解決這個問題，它的工具就是函數。所以對于學生來講，利用函數的方法解決現實問題，實際上是從常量的數學走到變量的數學，像在方程中，x 表示未知數，它實際上不是變量，其實它是一個常量。在函數當中就不一樣，它可能是自變量，也可能是因變量，所以從這個角度來講，從學生的思維角度來講，它是一種飛躍，而且通過變量的學習，學生可以逐漸地形成辯證唯物主義的思想。

通過變量之間關系的學習有助于培養學生的理性思維，因為學習函數，就要表示變量之間的關系，它有一個很重要的作用，就是利用函數的關系進行預測，或利用函數的關系進行計算，未知的點可以通過函數關系把它計算出來。我們預測人口，如中國二十年以后的人口數量問題，可以根據對以前人口的統計、對數量進行分析，根據它的變化規律來進行預測。進行計算也是函數非常重要的一個應用，我們根據函數的變化規律，看其中某一些位置的點的函數值是多少等等。另外由于在函數學習的過程當中，我們非常重視函數的圖象表示，所以對培養學生的幾何直觀函數也是非常重要的載體。通過直觀分析函數的性質，學生可以對函數的增減性，或者是周期性等等都能夠有很好的認識。

從常量到變量數學的過渡階段，學生從小學階段就已經開始。到了初中階段，學生又接觸到一些新的知識，他們逐漸在豐富的自己的認識。如我們在教學中也曾經向學生出示這樣的一些圖象，向學生提出問題：這些圖象都可以刻畫什么？

不同的學生有著不同的一些想法。你能不能夠在現實生活中找到這樣的函數的一個實際背景或實例？例如第一個圖象，學生可能會說是勻速行駛的汽車的時間和路程之間的關系，也有學生會舉例子說，如果蘋果一斤是 2 元錢，這個圖表示的是蘋果斤數和總價的關系，這些例子都是比較樸素的。不妨再來看看第八個圖，有的學生會說，這個是向水桶中注水，最后達到了上限還要再注，時間與水面高度的關系；還有同學舉例子說，將 20 度的水加熱，加熱到沸騰；有的學生是說從甲地出發到了某地之后，這個車壞了怎么修也修不好；還有的說是彈簧的承重有一個限度，但它超過這個限度之后，長度就已經超過了彈簧的承受能力，長度就不變了。當然這些所舉的例子都還需要再斟酌。有的學生會說是小明的體溫，開始逐漸上升，最后持續高燒，這也是一種可能的情境。有非常多的學生都提出自己的想法，用來解釋以上圖象，即是說他們能夠從現實生活中挖掘出豐富的現實情景，去解釋各種各樣的函數關系，我想在這樣一個過程中學生們就能真正體會到函數圖象的價值。這是在用解析式表達、學習函數性質、應用函數解決問題等等之外的收獲。可能我們首先應該讓學生感受到的就是：函數離我們這么近，其實它就是這么普通。這樣，函數的連續性、函數的取值范圍等在學生的理解中也就更簡化，更容易被他們所接受。

函數還有一個作用，體現在解方程中。即方程可用函數的方法去解，如果一個方程，我們不能用已學的的方法去解。例如三次方程，我們的學生還沒有學，就不會解，但是我們可以畫一下它的圖象，然后就可以以此來大致的估計一下它的解的范圍，對它的解形成一些初步的認識。實際上在初中，方程、不等式還都可以看成函數的一種特殊情況。

另外函數這一研究變量關系的方法，實際上對于其他的學科，如物理、化學、經濟及一些文科都有非常重要的作用，都是非常有力的工具。因此學好函數這部分內容，搞好函數這部分的教學，在初中代數中是非常重要的。

話題四 運算能力

一、意義及作用

運算能力是一項基本的數學能力，初中數學中大多數問題的解決，都離不開運算。但是，教學中常常出現學生在計算時機械地搬用運算公式、盲目推算，缺乏合理選擇簡捷運算途徑的意識等。因此，《課程標準修改稿》將“運算能力”作為一項重要的內容，同時提出運算能力培養的價值，即“有助于學生理解運算的算理，能夠尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。”由此可見，運算能力在學生的數學學習，尤其是數與代數的學習中具有重要的價值和意義。

二、在標準中的含義

《課程標準修訂稿》將“運算能力”界定為“能夠根據法則和運算律正確地進行運算的能力。”“正確”是對運算結果的要求，這是進行一切運算最終的也是最根本的要求。“根據法則和運算律”也就是運算的依據和運算的前提。這要求學生要理解運算時所用的法則和運算律，不僅如此，還要求會正確、恰當地應用這些運算律、運算法則。

此外，《課程標準修訂稿》還指出了 “培養運算能力還有助于學生理解運算的算理，能夠尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。”因此，運算能力不僅包含對運算意義、法則、公式、運算程序的正確理解，還包含對簡捷的運算途徑的合理選擇。這要求學生能夠根據問題的不同條件和不同目標，靈活地運用公式、法則和有關的運算律，能夠掌握同一個問題的多種運算方法，并善于通過觀察、分析、比較，作出合理的選擇。也就是說，運算能力中包含著對思維能力的要求。因而，在運算過程中，學生的思維能力會受到檢驗，并得到鍛煉。

三、與內容的聯系

與運算能力相關的內容，一個是有理數的運算。還有實數的運算，但由于解決實際問題取近似值，落腳點還是有理數運算，帶根號的無理數的運算實際上是恒等變形。關于式的運算，實際上就是恒等變形。運算在解決問題中是必須的，運算能力的培養是重要的。還有方程或不等式的求解，都有式的運算，都要求其結果具有正確性、采用簡便算法，及選擇最佳途徑。

四、如何培養

關于運算能力的培養有四點，即關于態度、知識、能力，以及應用。

第一在學生的態度上，首先要讓學生重視數學運算，讓他們意識到數學運算是非常重要的，需要在態度上面有一個非常正確的認識，不要認為這個運算可有可無，或者把丟一個數或者錯一個數，看成一個非常不重要的事情。所以第一點就是強調態度，必須重視運算。

第二個運算不是憑空建立起來，它是基于一定的知識背景的，這種知識是什么？首先必須要讓學生要掌握好運算過程中的一些概念，性質，以及用到什么樣的公式，用到什么樣的法則。因此我們認為，在學習這些知識的時候，應該給學生強化，讓他意識到這是一個最根本的東西。

其實在學生運算過程中運算能力與推理能力直接關系。為什么這么說呢？因為學生在運算的時候需要一步一步地去進行，前一步是后一步的前提，運算不是憑空建立起來，必須有充分的理由才能夠做后面的運算，才能夠實現前后的這種連貫。因此在這個過程中一定要讓學生理解運算的性質和公式，以提高他們進行推理的能力。

比如我們在學習乘法公式的時候，學生經常愛犯的錯誤中，比較典型的就是將這兩個公式混淆了，認為(a+b)2 =a2 +b2。這是一個常見的錯誤，不利于今后的學習和使用以上知識點。這個錯誤產生原因我們可以分析，可能是一些知識的負向遷移。我們到底如何避免這樣的錯誤？老師們不妨在教學中不斷的回到最初，不斷地追本溯源讓學生重新認識公式是如何得來的。

公式得來其實有兩個方面：一個是代數推導，一個是幾何直觀推導。它的代數推導就是我們之前的所學的知識：多項式乘多項式。這個乘法的運算中，共得出四項，再合并同類項得到了三項。在這個方法之外，其實幾何也非常重要，而且是完全不同的一個途徑呢。

對于這個圖，我們還是很熟悉的，在幾何圖形中，(a+b)2 可以理解為邊長為 a+b 的正方形的面積，而它是在兩個小正方形 a2 和 b2的基礎之上，還要算上兩個矩形的面積，這樣我們就完全否定了剛才的錯誤。學生在有了數、形兩個方面對這個公式的認識之后，對這個公式的正確掌握會得以提高。在此給大家一個建議，此處很好地體現了幾何直觀的作用，利用幾何直觀糾正學生這個錯誤很有效。這個問題也是大家一直談論的：我們算的目的是什么？其實我們在培養學生運算能力的時候，可能有的時候又要考慮到算的原因和它將來的發展。在學生出現問題的時候，我們怎么去給它克服思維的定勢，找到錯誤的根源，以及解決它。所以運算能力的培養不僅要關注在解決問題的過程中，考慮要解決一些純數學問題，也要考慮解決其他知識這方面的問題。這個例子一方面反應了對運算的理解，另一個方面有一些運算也可以運用到其他的知識中去，這其實也加深了學生對運算知識的一些理解，同時也培養他這方面的能力。所以運算能力的培養其實是一個大家比較關注的話題，當然也是一個非常重要的話題，但是我們也注意到，運算能力的培養不是一下子能夠到位，我們應該循序漸進，隨著知識的學習和深入把它要滲透到我們教學過程里面去，這樣的話才對學生真正的發展起作用。

話題五 符號意識和代數的思維特點

一、意義及作用

學生一進入初中，首先學的代數內容就是用字母表示數。用字母表示數一般被認為是學習代數的開始。用字母表示數把小學所學的關于數的內容進行了一般化的表示。用符號是數學的一個特點，符號實際上是數學的語言，數學可以說是一個符號化的世界，在數學當中，人們用符號來進行表示，而且用符號來進行交流，所以學生具有符號意識是非常重要的。逐步形成符號或感受符號的作用是非常重要的，沒有符號在一定意義上來說就沒有近代和現代的數學，所以符號的產生，用符號來進行表示非常重要，標準指出，建立符號意識有助于學生的理解符號的使用是數學表達和進行數學思考的重要形成就是從用字母表示數開始，學生就應該用符號來進行表示，用符號來進行思考。

二、在標準中的含義

在課程標準的修訂稿中，將“符號意識”界定為：主要是指學生能夠理解，并且運用符號來表示數，數量關系和變化規律，知道使用符號可以進行一般性的運算和推理。這里所提到的運用符號來表示數，數量關系和變化規律，其實也像剛才所提，在小學字母表示數的基礎之上，進一步建立比較復雜一些的數量關系和盡可能地用符號刻畫事物發展的趨勢和變化規律。符號可以進行一般性的運算和推理，也就是涉及到我們用基礎的符號來不斷構建數學、代數部分的運算大系統。其實符號可以表示，也可以運算，也可以去轉換。課程標準修訂稿中特別突出符號的作用，它可以進行數學表達和數學思考。這里面我們所理解的數學表達，其實對學生來說就是能夠建立初步的符號意識，用符號和其他的一些手段，用數學的方式表達現實生活，這其實是一種對學生來說比較基本的要求。在此基礎之上，他能夠用符號進行思考，其實更是對他理性思維和在數學能力上的一個要求的體現。

三、與內容的聯系

與符號意識相關內容，第一個要考慮的是符號的表示。第二點是對符號的解釋。還有一點，在符號意識中還有一個符號的運算，以及符號之間的轉換。

四、如何培養

首先應該讓學生在實際的問題情景中理解符號以及表達式、關系式的意義。也就是說我們培養符號意識和具體問題應該是發生聯系的。

其次也是非常重要的，我們經常說數學是一種語言，其實是強調數學的符號也是一種語言，因此我們要培養學生的自然語言和數學語言的轉換能力。我們知道學生自然語言能力非常好，因為這是他的母語，我們在數學學習中培養學生符號意識的過程中，讓他實現這兩種語言之間的轉換也非常重要。有學者認為，在解決問題的過程中，他的符號感通常和數感、函數感、圖表感相互聯系。笛卡爾也指出，任何問題都可以轉化成數學的問題，任何的數學問題，都能夠轉化成代數問題，任何的代數問題又可以轉化成解方程的問題。通過數學化思想來實現問題的解決，我們現在且不說這個論述是不是完全正確，但從某種意義上說，數學化是一個非常重要的過程。在方程學習過程中，他如何實現這種數學化？方程就是把文字表達的一些條件，改用了數學符號，其實這是利用數學知識來解決實際問題所必須的一個程序。

另外就是數學當中除了字母表示數之外，還有一些其他的符號，如∥、⊥、∵、∴、≌ 等等。我們在引入這些符號的時候可以聯系一些數學史，給學生增加一些數學文化方面的知識，使學生感到數學既有價值又非常有意思，愿意學，我們課程目標的一個目標是態度情感價值觀的，在這個方面應該使學生產生對數學的熱愛，體會到數學本身也是有意思的，這方面老師在教學當中也可以嘗試做一下。

話題六 模型思想

一、意義及作用

數學與現實生活緊密相連。隨著科學技術的發展，特別是信息技術的發展，通過構造數學模型來解決實際問題的方法正廣泛應用于科學、工程和社會學科等多個領域。因此，模型思想作為重要的數學思想方法之一，對 7 ～ 9 年級學生思維能力的發展和問題解決能力的培養都具有重要的作用。

二、在標準中的含義

《課程標準修訂稿》將“模型思想”界定為“建立和求解模型的過程包括：從現實生活或者具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果、并討論結果的意義。這些內容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學習興趣和應用意識。”由此可見，模型思想有這樣幾層含義：首先其來源于現實生活和問題情境；其次，用數學的方式進行表述，將問題轉化成數學問題，并加以解決；最后，還原到現實問題，去解釋數學解的合理性。

三、與內容的聯系

1．方程模型

一個長為 10 米 的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為 8 米。如果梯子的頂端下滑 1 米，那么梯子的底端滑動多少米？

2．不等式模型 模型：某地出租車費用是這樣計算的 :（1）每公里 2 元, 基價為 3 公里, 起價 10 元；（2）15 公里以上的部分加收 50% 空駛費； 請分析里程為多少公里時更換出租車更劃算？

設里程為 x km(x>15)，超過 15 公里時兩種方案的費用分別為：

時，即 x>19 時，更換出租車更劃算 3．函數模型

某書定價 8 元。如果一次購買 10 本以上，超過 10 本部分打 8 折。分析并表示購書數量與付款金額之間的函數關系。

四、如何培養

首先，數學教學應貼近學生的生活。其次，注意引導學生建立模型。

最后，結合綜合實踐活動的開展，進一步發展學生的數學建模能力。

課程《初中數學數與代數》

運算能力、符號意識、模型思想與數學內容的聯系是什么？教學中應如何去培養？請結合個人教學實踐談一談。

作業要求：

（1）字數要求：不少于300字。字體要求宋體，大小medium，word文檔字體大小三號。（2）作業內容如出現雷同，該作業成績為不合格。

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初中數學作業二

初中數學數與代數部分

與運算能力相關的內容，一個是有理數的運算。還有實數的運算，但由于解決實際問題取近似值，落腳點還是有理數運算，帶根號的無理數的運算實際上是恒等變形。關于式的運算，實際上就是恒等變形。運算在解決問題中是必須的，運算能力的培養是重要的。還有方程或不等式的求解，都有式的運算，都要求其結果具有正確性、采用簡便算法，及選擇最佳途徑。

1、經歷過程，理解運算的意義。《標準》降低了對有理數運算的要求，降低了式的運算和變形的難度和技巧，并不代表現在不需要重視學生運算能力的培養，而是結合時代特點對運算的內涵及其重點進行必要的調整。重要的不再是計算的熟練程度和技巧，而是對運算意義的理解。如乘法公式現在只要求兩個：平方差公式和完全平方公式。但對其理解的要求更高了：會推導乘法公式，了解公式的幾何背景，并能進行簡單計算。在教學中通過學生自己的發現過程，可以體會到數與代數中公式的這一本質。而且如果真的碰到(a+b)3 的話，也會用類似的方法計算或推導出新的公式。因此最主要的還是對“公式”本身的意義和作用的理解，體會公式的發現和推導過程，懂得怎么應用公式。

2、講究策略，優化運算的過程，強化一題多解。運算過程可以理解為是根據運算定義及其性質從已知的運算對象推導出結果的過程，因此，運算過程的實質是一種推理過程。例如，在教學1+2+3+?+99+100= 有些學生是想的：1+100=2+99=3+98=?=50+51=101，所以答案101×50=5050；也有的是，兩次題目中的加數、顛倒相加而得；還有的學生用的是另外的方法。不論哪種策略方法，但用了推理能力這一點則是無疑的。

3、學會反思，提高運算的準確性（養成良好的習慣）。例如在教學整式的加減法時，例題教學結束后，提出如下問題：怎樣能夠準確的進行整式的運算？學生在結合自己的做法討論交流后得出：在掌握去括號和合并同類項的法則后，還要每做完一步就回過頭快速的檢查自己是否正確，當確信準確無誤后再繼續進行下面的計算，經過了這樣的過程，學生的計算準確性就大大的提高了。這是對運算過程的反思。還有就是對運算結果的反思。在教學一元一次方程的解法和應用時，除了要求學生在解的過程中反思外，還要求對計算的結果進行反思，不僅是檢驗結果正確與否，更重要的是考察結果是否合理，是否符合實際。

與符號意識相關內容，第一個要考慮的是符號的表示。第二點是對符號的解釋。還有一點，在符號意識中還有一個符號的運算，以及符號之間的轉換。

1．學生學習數學的目的就是要懂得符號的意義和會用符號來解決問題。作為我們數學教師特別要重視符號教學在實踐當中實施的過程。符號雖然很抽象，但它來源于實際，我們在教學過程當中應該從實際問題當中去抽象，讓學生感覺到這些符號有用。例如：每千克蘋果a元，那么3千克蘋果多少元？學生明確后，進而提出問題：你能利用生活中的實際賦予3a其它的意義嗎？學生經過幾分鐘的思考給出了很多如：每只鋼筆a元，3支鋼筆多少元等的不同解釋。通過這樣一個問題，不僅讓學生感受到了數學的實際價值，而且在舉例的過程中真正理解了符號的意義并會應用符號來解決問題。

2．建立學生的符號感實際上是一個漸進的過程，不能一步到位。我們在教的過程中必須要考慮學生的每個年齡段的心理和認知規律，要科學，重視情境教學，幫助學生去認識與理解符號感。通過創設問題的情境讓學生進行合作學習、共同探索，使其充分認識所學知識的優越性和必要性，從而激發學生的求知欲，調動他們學習數學的興趣。如：在引入建立符號感的過程中，采用了學生最熟悉的情境一個籃球比賽。學生熟悉這個情境，非常容易建立式子，自然而然地滲透了符號，包括表格、式子一系列的應用。非常自然對于學生建立符號感，感悟這個問題是有好處的。

3．體驗情境中對符號的需求，引導學生去感知、去頓悟。在講字母表示數、用代數式來表示我們生活當中一些關系的時候，或者想出一些關系式的時候都應該讓學生從一些自己身邊的最熟悉的自己最感興趣的、身邊的東西去出發，讓學生去體會用這樣一些代數式和字母來表示這樣一些關系的事。它實際上是一個必要性、簡潔體驗情境中對符號的需求，引導學生去感知、去頓悟簡潔性與一般性。

4．遵循認知規律，滲透數學思想方法，循序漸進地，讓學生建立并發展符號感。對字母表示數的情境是有層次性的。應因材施教。課堂上問題的設置都要貼近學生的認知規律，教學過程中必須遵循認知規律，循序漸進，既要考慮它的長期性，又要考慮它的層次性，應循序漸進的從簡單到復雜，從特殊到一般。必須是自始至終的，抓住主要的課時進行符號感的教學，才是最有效的。

5．讓學生努力地去觀察生活、讓他主動的去發現。加深對實際情境的了解，增加我們學生的生活經驗和閱歷。6.把抽象的符號語言轉換為直觀的圖形語言，就可把數量關系問題化為圖形性質去討論，形成“以形助數，數形結合”的數學思想。在教學“數a的絕對值的化簡時”如果就單純的通過具體的數發現正數、負數、零的絕對值的情況，用文字語言敘述也會非常熟練，但是在化簡a的絕對值時，還是會忘記考慮要分類討論，直接將絕對值符號去掉，就等于a，如果此時教師能利用數軸學生很容易就會考慮到a的情況，也就不會出現上述的錯誤了。可見有機地利用圖形語言，可提高學習興趣，增強記憶效果,又可以加強理解。如果在教學時結合圖形和文字語言加強理解和記憶，學生則大大的減少錯誤。

與模型思想相關內容：方程模型、不等式模型、函數模型。

教師要建立以人為本的教育觀，以實際應用問題教學為突破口,逐步培養運用數學模型方法的意識。數學建模的教學本身是一個不斷探索、不斷創新、不斷完善和提高的過程。因此必須改變過去以教師為中心、以課堂講授為主、以知識傳授為主的傳統教學模式，數學建模課程指導思想是：以實驗為基礎、以學生為中心、以問題為主線、以培養能力為目標來組織教學工作。

（2）通過實踐活動或游戲的數學，從中培養學生的應用意識和數學建模應用能力。應用數學知識去解決各類實際問題時，建立數學模型是十分關鍵的一步，同時也是十分困難的一步。建立教學模型的過程，是把錯綜復雜的實際問題抽象為合理的數學結構的過程。要通過調查、收集資料，觀察和研究實際對象的特征和內在規律，抓住問題的主要矛盾，建立起反映實際問題的數量關系，然后利用數學的理論和方法去分析和解決問題。數學建模是聯系數學與實際問題的橋梁