第一篇：搞定初中數學難題的技巧

對很多同學來說，初中數學是拖后腿的科目，要想啃下數學這塊硬骨頭，你必須學會這幾點！

1、數學最強“秘籍”——糾錯本

糾錯本是非常重要的學習工具。但糾錯的內容一定要刪繁就簡，結合個人的情況，有詳有略。如果僅僅只是針對測試時馬虎造成的題目，完全可以不寫。

但如果是自己沒有掌握好的知識或者認為非常重要的知識點，那就一定要記下來，更要寫的夠詳盡、夠清楚。糾錯本事實上也是一本知識點匯總的秘籍。

2、考試隨時“回頭看”，省掉檢查大麻煩

考試時做完題要復查，這個復查不同于我們常說的檢查。日常學習生活中總會聽到：“一邊做一邊檢查是發現不了錯誤的”說法。其實就初中階段的數學來說，越往高年級走難度會越大。

這時候90%的學生在考試中已經拿不出來時間再從頭開始檢查一遍了。這就要求養成一邊做題一邊自檢的習慣。比如，經常將題目要求的“選正確的答案”做成選成錯誤答案的人特別要注意，每選擇一個題目要立刻回頭看一眼，這樣就能減少很多麻煩。

大題的步驟也是這樣。每次做完一道題目，要迅速瀏覽一眼做題過程。當然，這就需要本人在答題時做到步驟井然有序，以方便快速瀏覽。做到這一點其實也會減少閱卷老師的煩惱，也大大增加了分步驟得分的可能。

數學大題，說到底其實就是“說理”，以數學概念或數學真理來對某一個結論作出解釋說明，所以做題步驟的有序性非常重要。

3、公式理解到位，題目一看就有思路

理解透徹概念、公式含義。理解不透公式就不知道怎么運用，同時，理解公式后會讓人容易抓住一個題目想要考什么。

就拿幾何題目來說，許多需要做輔助線的問題，很多孩子想不到，就是想到也不知道該怎么做，該連接那幾個點，其實這都是理解不透徹定理、概念引起的。

抓不住題目的靈魂，就不知道該怎么去入手處理，而理解了定理之后就很容易發現其中存在的各種數量或位置關系以及缺少的某個量到底是什么。

4、簡單小題別老做，一道大題頂十個

會做的題無需重復多遍。有些人會覺得課后作業做的非常的累。其實，相同類型的題目做的太多并沒有實質性的幫助，相反，重復做作業耗費的時間和精力還會讓人厭倦。

多做綜合性題目，綜合性題目對孩子的幫助遠遠比某一種類型的題目大。這一點是承接上一條來說的。綜合性題目由于涉及到的知識點很多，可以讓我們很快速的了解到自己哪里出了問題。

同時，這類題目由于十分需要做到對知識點的融會貫通和活學活用，所以對同學們的幫助是非常大的。“一道題抵得上十道題就是這個道理”。

第二篇：初中數學應用難題

1、甲乙兩個小組合作完成一件工作，乙組單獨做1天后，由甲乙兩組合作了2天就完成了全部工作．問甲乙兩組單獨完成此項工作，各需多少天？

2、公共汽車每隔x分鐘發車一次，小宏在大街上行走，發現從背后每隔6分鐘開過來一輛公共汽車，而每隔4

鐘。2分鐘迎面開來一輛公共汽車。如果公共汽車與小宏行進的速度都是均勻的，則x等于分73、在一環行軌道上有三枚彈子同時沿逆時針方向運動。已知甲于第10秒鐘時追上乙，在第30秒時追上丙，第60秒時甲再次追上乙，并且在第70秒時再次追上丙，問乙追上丙用了多少時間？

4、今有一個三位數，其各位數字均不相同，如將此三位數的各位數字重新排列，必得一個最大數和一個最小數，且此兩數之差恰為原來的那個三位數，求原來的三位數。

5、甲、乙兩個同學從A地到B地，甲步行的速度為每小時3千米，乙步行的速度為每小時5千米，兩人騎自行車的速度都是每小時15千米。現在甲先步行，乙先騎自行車，兩人同時出發。走了一段路程后，乙放下車步行，甲走到乙放車處改騎自行車，以后不斷交替行進，兩人恰好同時到達B地。甲走全程的平均速度是千米/小時。

6、一只狗追一只兔子，在狗跳6次的時間內，兔子跳了5次，狗跳了4次的距離和兔子跳7次的距離相等。問：兔子跳出5.5米后，狗開始在后面追，兔子在跑多少路程就被狗追上了？

7、游泳者在河中逆流而上,與橋A下面將水壺遺失被水沖走,他繼續向前游20分鐘后,才發現水壺走失,于是立即返回追尋水壺,在橋A下游距橋A2千米處追到了水壺,那么,該河水的水流速度為多少千米每小時?

8、草原上的一片青草，到處長得一樣密一樣快，70頭牛24天可以吃完，30頭牛60天可以吃完，20頭牛吃多少天?

第三篇：初中數學難題解決策略

初中數學錯誤原因及解決策略

日常教學中，我們經常能聽到這樣的對話：“計算怎么還能出錯？”“我不是不會，只是太粗心了！”對于學生的計算錯誤，大多數教師顯得很無奈。

講練并不少，學生的錯誤為什么還是該怎么犯就怎么犯？甚至教師越強調不要犯某類錯誤，學生好像與你對著來，偏偏“故意”犯這一類錯誤。學生也很委屈，明明知道這道題會做，為什么總是這么“粗心”呢？ 經過多年的實踐我發現，計算錯誤并非粗心使然，而是伴隨教的過程產生的，與教師的“教”有密切的關系。那么，初中數學常見的計算錯誤究竟有哪些？

1、“程序跳躍”導致錯誤及策略

通過觀察計算能力較好的學生，你會發現，他們邏輯清晰、步驟明確，第一步做什么，第二步做什么，從不含糊；而計算能力較弱的學生，有時題目倒也會做，但讓他說出這道題的解題基本步驟，他竟啞口無言。過去我們常常認為，學生的計算錯誤都是粗心導致的，而實際上可能是學生的大腦缺少了基本的計算程序，也就是說缺少了程序性知識。所有計算其實都有科學嚴謹的運算程序。比如，“解一元一次方程”有5個基本步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為一。實踐中我發現，嚴格按照這些步驟計算的學生，犯錯的幾率就會很小。

因此，我的策略是：對于初中所涉及的所有運算，教師在教學中應該對各種計算進行具體拆解，歸納出基本程序，盡量統一用第一、第二、第三等來描述，要求學生按基本程序逐步計算。尤其是初始教學，教師應該盡量要求學生不能隨意省略或合并基本步驟，以此培養學生良好的邏輯思維習慣。比如，我們可以歸納出“有理數加法運算”的基本程序：第一，確定加法運算的類型；第二，確定結果的符號；第三，確定結果的絕對值（絕對值相加還是相減）。同時，要避免計算成為機械的模仿，要重視算理教學（計算的原理或者道理）。學生只有理解了算理，才能克服“做而不思”“會而不對”的現象。我們可以參考幾何證明初始教學的經典做法——每一個步驟后面描述推理依據，以此讓學生養成 “為什么這么做”“這樣做的依據是什么”的思維習慣，從而強化算法與算理的聯系。

2、“疏漏”導致錯誤及策略

教學中我們發現，學生會出現大量因疏漏而導致的錯誤。比如：利用乘法分配律時漏乘，移項時忘記變號，去負括號時忘記某項變號，不等式變形時忘記改變不等號的方向，解方程去分母時漏乘不含分母的項，提公因式時漏掉某一公因式，開平方時漏解，解分式方程忘記檢驗，利用根與系數關系時忽略△≥0……這些錯誤反映出學生學習不扎實，對某一計算法則或概念只是關注重要的操作層面，或者只是關注字面含義而忽略其本質。比如對于移項，有的學生只是關注從等式一邊移到另一邊，忽略了移項是基于等式的基本性質，需要變號后才能移動。疏漏性錯誤與教師過多強調運算的模仿及過早地讓學生進入機械訓練有很大關系，因此教師需要在教學過程中讓學生真正感悟而不是直接強調。教師在教學過程中要注重揭示算法的本質，要旗幟鮮明地給出運算的操作要點、應用范圍、使用前提、特殊情形、拓展情形等。對于疏漏性錯誤，教師首先要有預見性，并且要基于這種預見性精心設計教學過程。比如，教師可以從學生的角度出發，讓學生解答一些易錯題，學生若出錯則進行糾正反思，也可以把典型錯誤當作重要的警示資源直接展示給學生，讓學生找錯、改錯、分析錯因。教師設置這些“陷阱”，讓學生在真實情境中接受考驗，這樣他們的選擇、辨析、批判能力將會得到很大的提高。

3、“負遷移”導致錯誤及策略

錯誤不是憑空出現的，其中必然帶有其它所學知識的影子，有一類計算錯誤就是前后所學知識相互干擾而產生混淆所致。比如，學生學習角平分線性質與中垂線性質時，很容易把點到直線的距離與點到點的距離混淆；學習分式時，會把分式通分與解分式方程去分母混淆；學習乘法分配律后，就會產生“除法分配律”的負遷移；學習方程的多種解法時，受先入為主的影響，最后所學的方法會受到先前方法的干擾；學習完全平方公式，會與平方差公式混淆；所學知識的一般情況與特殊情況，因為不同的編排順序也會互相干擾……這就是受解方程去分母的影響，在分式通分計算中采用了去分母的方法，破壞了分式計算的等值變形。“負遷移”錯誤主要是由于學生學習過程中不注重區別與聯系，容易孤立理解數學結論，不能從本質上看待數學問題所致。因此，教師在教學過程中要培養學生用發展變化的眼光去看待問題，要注意“瞻前顧后”“縱橫比對”，要關注所學數學知識的本質特征。同時，這一類錯誤也可能與教材的編排順序有關。所以，教師要站在學生的立場去研究教材，研究學生是怎么學習的，學生的思維到底是如何發展的……只有明白學生是怎么想的，才能有的放矢。教師要整體駕馭教材，適當調整教材中相關易混知識點的呈現方式，避免這類錯誤的發生。比如，在學習有理數的減法時，教師反復強調減去一個數等于加上它的相反數，因而3-7中7前面的符號“-”是減號。緊接著學習“代數和”，又強調把3-7看成正 3與負7之和，“-”又成了負號，先前學習的有理數減法運算法則就會對“代數和”的理解產生干擾。因為，最終所有減法都要轉化為加法“代數和”的形式，所以教學中可以淡化有理數減法運算的訓練，只需要讓學生明白減法轉化為加法“代數和”的道理，快速過渡到加減混合運算的“代數和”形式。這樣既節省了課時，又有效避免了減法法則對“代數和”的負遷移影響。

4、“運算順序顛倒”導致錯誤及策略

學生做題不注重從整體觀察算式結構，容易導致計算中顛倒運算順序。這主要是由于學生審題意識不強、整體結構感缺失所致。有的學生拿到計算題，還沒有看清楚題目包含哪些運算和括號，這道題分為幾個層級，就匆忙下手，極易出現只注意題目細節而忽略整體結構導致運算錯誤的現象。比如，在計算：8-23÷（-4）×（-7＋5）時，學生錯解為：原式=8-8÷（-4）×（-7＋5）=0÷（-4）×（-7＋5），看上去這道題的錯誤是不能正確運用“先算乘除，后算加減”的運算規則，本質上是對題目缺乏整體認知。運算順序錯誤屬于“無意識”錯誤，學生非常清楚運算順序的規則，但仍不知不覺犯錯，主要原因是沒有養成良好的審題習慣，教師要在解題規范上進行嚴格要求。比如，要求先分清運算、看清符號、厘清順序，明確整體與部分關系后再進行計算。對初學者或辨別能力較差的學生，可以要求其使用“圈畫標注法”辨別題目中的運算：一級運算可以使用豎線分割，二級運算可以使用橫線或方框標注。其實，在標注過程中就落實了仔細審題的要求，同時把復雜的算式結構進行拆解，降低了題目的復雜程度。比如，上述算式整體上可以看作兩部分代數和的形式（見下圖），第二部分是3個有理數的乘除結構，通過這樣的劃分，題目結構清晰了，運算順序明了了，分塊處理簡單了。蘇聯心理學家克魯捷斯基曾指出：“對各種現象進行研究的真正科學途徑，是把它們分解為一些比較簡單的成分。”對于復雜的數學計算也是如此。

5、“方法單一僵化”導致錯誤及策略

學生在計算訓練中容易形成慣性思維，同一個算式可能有多種計算方法，學生往往只是隨便找到其中一種，而不管這種方法是否簡便。選取過于復雜的計算方法時，就容易導致中途出錯或用時太多。比如，計算：（a+b）2（a-b）2。此題的簡單算法是先把（a+b）2（a-b）2轉化為［（a+b）（a-b）］2。如果直接轉化為（a2+2ab+b2）（a2-2ab+b2），在復雜的計算過程中容易出錯或者選擇放棄，而簡單的算法則會讓學生運算起來更為快速便捷。在教學中，教師要隨時隨地培養學生的計算優化能力，這不僅是運算的準確性、敏捷性要求，也是學生思維深刻性的需要。教師在運算教學中要鼓勵學生多角度、多方向、全面地思考問題，并堅持做好從多種方法中選擇最佳方法的示范，這種最優化策略的示范，必然會影響學生思考問題的方式。

6、“不良習慣”導致錯誤及其策略

有些計算錯誤與學生不良的學習習慣有密切關系，比如書寫潦草，做題不喜歡用草稿紙，需要動筆計算卻用口算；有的學生對計算存在畏難情緒或排斥心理，當看到計算題數據較大、運算步驟過多時，就會失去解題信心與耐心，從而導致錯誤出現；有的學生計算后不反思、不驗算，甚至出現計算錯誤后不認真糾正，導致再次犯同樣的錯誤。針對這類現象，教師可以對學生的學習習慣提出明確要求并監督落實。比如，要求學生在計算時一氣呵成并記錄完成時間，中途不東張西望、左顧右盼；要求每個學生準備一個草稿本，打草稿時要書寫工整，不定時檢查學生的草稿本；培養學生做題時自我監控、做完后自我反省的意識；同時，為了促使學生養成驗算的良好習慣，教師可以在教學中把驗算作為運算的標準步驟來要求，在評價中把驗算作為評分標準的一個環節進行嚴格規范。此外，教師可以適當開展一些計算競賽活動，調動學生學習的主動性和積極性，達到提高計算準確率的目的。美國教育心理學家布魯納說：“學生的錯誤都是有價值的。”錯誤，是一種寶貴的教學資源。不同的學生有不同的知識背景、認知方式和表達方式，也有參差不齊的思維水平，難免會出現各種各樣的錯誤。上述錯誤類型雖然難以囊括所有種類，但或許可以給我們一些啟發，讓我們總結出更多方法教給學生。

第四篇：初中數學難題集錦

．(9分)如圖8，禁漁期間，我漁政船在A處發現正北方向B處有一艘可疑船只，測得A，B兩處距離為200海里，可疑船只正沿南偏東45°方向航行．我漁政船迅速沿北偏東30°方向前去攔截，經歷4小時剛好在C處將可疑船只攔截．求該可疑船只航行的平均速度(結果保留根號)．

如圖，禁止捕魚期間，某海上稽查隊在某海域巡邏，上午某一時刻在A處接到指揮部通知，在他們東北方向距離12海里的B處有一艘捕魚船，正在沿南偏東75°方向以每小時10海里的速度航行，稽查隊員立即乘坐巡邏船以每小時14海里的速度沿北偏東某一方向出發，在C處成功攔截捕魚船，求巡邏船從出發到成功攔截捕魚船所用的時間．

10．(2016南充)如圖，正五邊形的邊長為2，連接對角線AD，BE，CE，線段AD分別與BE和CE相交于點M，N． 給出下列結論：

①∠AME＝108°；

2②AN＝AM·AD； ③； ④．

其中正確結論的個數是（）A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

[2015·四川南充]關于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有兩個整數根且乘積為正，關于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同樣也有兩個整數根且乘積為正，給出三個結論：①這兩個方程的根都負根；②（m﹣1）2+（n﹣1）2≥2；③﹣1≤2m﹣2n≤1，其中正確結論的個數是（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

解：①兩個整數根且乘積為正，兩個根同號，由韋達定理有，x1?x2=2n＞0，y1?y2=2m＞0，y1+y2=﹣2n＜0，x1+x2=﹣2m＜0，這兩個方程的根都為負根，①正確；

②由根判別式有：

△=b2﹣4ac=4m2﹣8n≥0，△=b2﹣4ac=4n2﹣8m≥0，∵4m2﹣8n≥0，4n2﹣8m≥0，∴m2﹣2n≥0，n2﹣2m≥0，m2﹣2m+1+n2﹣2n+1=m2﹣2n+n2﹣2m+2≥2，（m﹣1）2+（n﹣1）2≥2，②正確；

③由根與系數關系可得2m﹣2n=y1y2+y1+y2=（y1+1）（y2+1）﹣1，由y1、y2均為負整數，故（y1+1）?（y2+1）≥0，故2m﹣2n≥﹣1，同理可得：2n﹣2m=x1x2+x1+x2=（x1+1）（x2+1）﹣1，得2n﹣2m≥﹣1，即2m﹣2n≤1，故③正確．

[2015·四川南充]如圖，正方形ABCD的邊長為1，以AB為直徑作半圓，點P是CD中點，BP與半圓交于點Q，連結PQ，給出如下結論：①DQ=1；②=；③S△PDQ=；④cos∠ADQ=，其中正確結論是（填寫序號）

解：正確結論是①②④．

提示：①連接OQ，OD，如圖1．

易證四邊形DOBP是平行四邊形，從而可得DO∥BP．

結合OQ=OB，可證到∠AOD=∠QOD，從而證到△AOD≌△QOD，則有DQ=DA=1．

故①正確；

②連接AQ，如圖2．

則有CP=，BP=易證Rt△AQB∽Rt△BCP，=． 運用相似三角形的性質可求得BQ=，則PQ=﹣=，∴=．

故②正確；

③過點Q作QH⊥DC于H，如圖3．

易證△PHQ∽△PCB，運用相似三角形的性質可求得QH=，∴S△DPQ=DP?QH=××=故③錯誤；

．

④過點Q作QN⊥AD于N，如圖4．

易得DP∥NQ∥AB，根據平行線分線段成比例可得==，則有=，解得：DN=．

由DQ=1，得cos∠ADQ=故④正確．

=．

綜上所述：正確結論是①②④．

（2014?天津）已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖，且關于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0沒有實數根，有下列結論：①b2-4ac＞0；②abc＜0；③m＞2．其中，正確結論的個數是（）A．0B．1C．2D．3

?

? ①∵二次函數y=ax2+bx+c與x軸有兩個交點，∴b2-4ac＞0，故①正確； ②∵拋物線的開口向下，∴a＜0，∵拋物線與y軸交于正半軸，∴c＞0，∵對稱軸x=-b 2a ? ＞0，∴ab＜0，∵a＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故②正確；

③∵一元二次方程ax2+bx+c-m=0沒有實數根，∴y=ax2+bx+c和y=m沒有交點，由圖可得，m＞2，故③正確． 故選：D．

.（2015?四川攀枝花第10題3分）如圖，在菱形ABCD中，AB=BD，點E、F分別是AB、AD上任意的點（不與端點重合），且AE=DF，連接BF與DE相交于點G，連接CG與BD相交于點H．給出如下幾個結論：

①△AED≌△DFB；②S四邊形BCDG=一定不垂直；⑤∠BGE的大小為定值．

其中正確的結論個數為（）

CG2；③若AF=2DF，則BG=6GF；④CG與BD

解答： 解：①∵ABCD為菱形，∴AB=AD，∵AB=BD，∴△ABD為等邊三角形，∴∠A=∠BDF=60°，又∵AE=DF，AD=BD，∴△AED≌△DFB，故本選項正確；

②∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD，即∠BGD+∠BCD=180°，∴點B、C、D、G四點共圓，∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°，∴∠BGC=∠DGC=60°，過點C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N（如圖1），則△CBM≌△CDN（AAS），∴S四邊形BCDG=S四邊形CMGN，S四邊形CMGN=2S△CMG，∵∠CGM=60°，∴GM=CG，CM=CG，∴S四邊形CMGN=2S△CMG=2××CG×③過點F作FP∥AE于P點（如圖2），∵AF=2FD，∴FP：AE=DF：DA=1：3，∵AE=DF，AB=AD，∴BE=2AE，CG=CG2，故本選項錯誤；

∴FP：BE=FP：=1：6，∵FP∥AE，∴PF∥BE，∴FG：BG=FP：BE=1：6，即BG=6GF，故本選項正確；

④當點E，F分別是AB，AD中點時（如圖3），由（1）知，△ABD，△BDC為等邊三角形，∵點E，F分別是AB，AD中點，∴∠BDE=∠DBG=30°，∴DG=BG，在△GDC與△BGC中，∴△GDC≌△BGC，∴∠DCG=∠BCG，∴CH⊥BD，即CG⊥BD，故本選項錯誤；

⑤∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°，為定值，故本選項正確；

綜上所述，正確的結論有①③⑤，共3個，故選B．

? 如圖，矩形ABCD的邊長AD=3，AB=2，E為AB的中點，F在邊BC上，且BF=2FC，AF分別與DE、DB相交于點M，N，則MN的長為（）

A． B． C． D．

? B【考點】相似三角形的判定與性質；矩形的性質．

【分析】過F作FH⊥AD于H，交ED于O，于是得到FH=AB=2，根據勾股定理得到AF=

=

=

2，根據平行線分線段成比例定理得到OH=AE=，由相似三角形的性質得到====，求得AM=，求得AN=

AF=AF=，根據相似三角形的性質得到，即可得到結論．

【解答】解：過F作FH⊥AD于H，交ED于O，則FH=AB=2 ∵BF=2FC，BC=AD=3，∴BF=AH=2，FC=HD=1，∴AF=∵OH∥AE，∴==，=

=2，∴OH=AE=，∴OF=FH﹣OH=2﹣∵AE∥FO，∴△AME∽FMO，=，∴==，∴AM=AF=，∵AD∥BF，∴△AND∽△FNB，∴==，∴AN=AF=，∴MN=AN﹣AM=故選B．

﹣=，（2014?揚州）已知矩形ABCD的一條邊AD=8，將矩形ABCD折疊，使得頂點B落在CD邊上的P點處．

（1）如圖1，已知折痕與邊BC交于點O，連結AP、OP、OA． ①求證：△OCP∽△PDA；

②若△OCP與△PDA的面積比為1：4，求邊AB的長；（2）若圖1中的點P恰好是CD邊的中點，求∠OAB的度數；

（3）如圖2，在（1）的條件下擦去折痕AO、線段OP，連結BP．動點M在線段AP上（點M與點P、A不重合），動點N在線段AB的延長線上，且BN=PM，連結MN交PB于點F，作ME⊥BP于點E．試問當點M、N在移動過程中，線段EF的長度是否發生變化？若變化，說明理由；若不變，求出線段EF的長度．

24．在數學活動課上，老師要求學生在5×5的正方形ABCD網格中（小正方形的邊長為1）畫直角三角形，要求三個頂點都在格點上，而且三邊與AB或AD都不平行．畫四種圖形，并直接寫出其周長（所畫圖象相似的只算一種）．

【考點】作圖—相似變換．

【分析】在圖1中畫等腰直角三角形；在圖2、3、4中畫有一條直角邊為邊分別為3，4，2，另一條直角的直角三角形，然后計算出四個直角三角形的周長．

+

； 【解答】解：如圖1，三角形的周長=2如圖2，三角形的周長=4如圖3，三角形的周長=5如圖4，三角形的周長=

3+2++；

；

．

? 如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，直線l與拋物線y=mx2+nx相交于A（1，3），B（4，0）兩點．

（1）求出拋物線的解析式；

（2）在坐標軸上是否存在點D，使得△ABD是以線段AB為斜邊的直角三角形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，說明理由；

（3）點P是線段AB上一動點，（點P不與點A、B重合），過點P作PM∥OA，交第一象限內的拋物線于點M，過點M作MC⊥x軸于點C，交AB于點N，若△BCN、△PMN的面積S△BCN、S△PMN滿足S△BCN=2S△PMN，求出的值，并求出此時點M的坐標．

? 【解答】解：），B（4，0）在拋物線y=mx2+nx的圖象上，（1）∵A（1，3∴∴拋物線解析式為y=﹣，解得x2+

4x；，（2）存在三個點滿足題意，理由如下：

當點D在x軸上時，如圖1，過點A作AD⊥x軸于點D，∵A（1，3），∴D坐標為（1，0）；

當點D在y軸上時，設D（0，d），則AD2=1+（31）2+（3）2=36，﹣d）2，BD2=42+d2，且AB2=（4﹣∵△ABD是以AB為斜邊的直角三角形，∴AD2+BD2=AB2，即1+（3﹣d）2+42+d2=36，解得d=，∴D點坐標為（0，）或（0，）；

綜上可知存在滿足條件的D點，其坐標為（1，0）或（0，）或（0，）；

（3）如圖2，過P作PF⊥CM于點F，∵PM∥OA，∴Rt△ADO∽Rt△MFP，∴∴MF=3==3PF，在Rt△ABD中，BD=3，AD=3∴tan∠ABD=，∴∠ABD=60°，設BC=a，則CN=在Rt△PFN中，∠PNF=∠BNC=30°，a，∴tan∠PNF=∴FN=PF，=，∴MN=MF+FN=4∵S△BCN=2S△PMN，PF，∴∴a=2∴NC=a2=2××4PF2，PF，a=2PF，∴∴MN==NC=

=×+

+，a=）a，）a），（4﹣a）2+4

（4﹣a）=（+）a，a，∴MC=MN+NC=（∴M點坐標為（4﹣a，（又M點在拋物線上，代入可得﹣解得a=3﹣OC=4﹣a=或a=0（舍去），+1，MC=

2+1，2

+，+）． ∴點M的坐標為（? 如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，P是BC邊上一動點（不含B、C兩點），將△ABP沿直線AP翻折，點B落在點E處；在CD上有一點M，使得將△CMP沿直線MP翻折后，點C落在直線PE上的點F處，直線PE交CD于點N，連接MA，NA．則以下結論中正確的有

（寫出所有正確結論的序號）

①△CMP∽△BPA；

②四邊形AMCB的面積最大值為10；

③當P為BC中點時，AE為線段NP的中垂線； ④線段AM的最小值為2⑤當△ABP≌△ADN時，BP=4

；

﹣4．

? 【解答】解：∵∠APB=∠APE，∠MPC=∠MPN，∵∠CPN+∠NPB=180°，∴2∠NPM+2∠APE=180°，∴∠MPN+∠APE=90°，∴∠APM=90°，∵∠CPM+∠APB=90°，∠APB+∠PAB=90°，∴∠CPM=∠PAB，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=CB=DC=AD=4，∠C=∠B=90°，∴△CMP∽△BPA．故①正確，設PB=x，則CP=4﹣x，∵△CMP∽△BPA，∴=，∴CM=x（4﹣x），∴S四邊形AMCB= [4+x（4﹣x）]×4=﹣x2+2x+8=﹣∴x=2時，四邊形AMCB面積最大值為10，故②正確，當PB=PC=PE=2時，設ND=NE=y，x﹣2）2+10，（在RT△PCN中，（y+2）2=（4﹣y）2+22解得y=∴NE≠EP，故③錯誤，作MG⊥AB于G，∵AM=∴AG最小時AM最小，=，∵AG=AB﹣BG=AB﹣CM=4﹣∴x=1時，AG最小值=3，∴AM的最小值=∵△ABP≌△ADN時，x（4﹣x）=（x﹣1）2+3，=5，故④錯誤．

∴∠PAB=∠DAN=22.5°，在AB上取一點K使得AK=PK，設PB=z，∴∠KPA=∠KAP=22.5° ∵∠PKB=∠KPA+∠KAP=45°，∴∠BPK=∠BKP=45°，∴PB=BK=z，AK=PK=∴z+∴z=4∴PB=4z=4，﹣4，﹣4故⑤正確．

z，故答案為①②⑤．

如圖，在Rt△ABC中，AC的垂直平分線分別與AC，BC及AB的延長線相交于點D，E，F，且．⊙O是△BEF的外接圓，的平分線交EF于點G，交⊙O于點H，連接BD，FH．

（1）求證：△ABC≌△EBF；

（2）試判斷BD與⊙O的位置關系，并說明理由；（3）若正確答案為：

（1）證明：∵∠ABC=90°，∴∠EBF=90°，∵DF⊥AC，∴∠ADF=90°，∴∠C+∠A=∠A+∠AFD=90°，∴∠C=∠BFE，在△ABC與△EBF中，求的值．，∴△ABC≌△EBF；

（2）解：BD與⊙O相切，如圖1，連接OB，理由：∵OB=OF，∴∠OBF=∠OFB，∵∠ABC=90°，AD=CD，∴BD=CD，∴∠C=∠DBC，∵∠C=∠BFE，∴∠DBC=∠OBF，∵∠CBO+∠OBF=90°，∴∠DBC+∠CBO=90°，∴∠DBO=90°，∴BD與⊙O相切；

（3）如圖2，連接CF，HE，∵∠CBF=90°，BC=BF，∴CF=BF，∵DF垂直平分AC，∴AF=CF=AB+BF=1+BF=∴BF=，BF，∵△ABC≌△EBF，∴BE=AB=1，∴EF=∵BH平分∠CBF，∴

∴EH=FH，∴△EHF是等腰直角三角形，∴HF=EF=，∵∠EFH=∠HBF=45°，∠BHF=∠BHF，∴△BHF∽△FHG，∴∴，.

第五篇：初中數學復習專題-旋轉難題

1.如圖13－1，一等腰直角三角尺GEF的兩條直角邊與正方形ABCD的兩條邊分別重合在一起．現正方形ABCD保持不動，將三角尺GEF繞斜邊EF的中點O（點O也是BD中點）按順時針方向旋轉．

（1）如圖13－2，當EF與AB相交于點M，GF與BD相交于點N時，通過觀察或測量BM，FN的長度，猜想BM，FN滿足的數量關系，并證明你的猜想；

圖13－1

A（G)

B（E)

C

O

D（F)

圖13－2

E

A

B

D

G

F

O

M

N

C

（2）若三角尺GEF旋轉到如圖13－3所示的位置時，線段FE的延長線與AB的延長線相交于點M，線段BD的延長線與GF的延長線相交于點N，此時，（1）中的猜想還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

圖13－3

A

B

D

G

E

F

O

M

N

C

2.（10河北|A

B

C

E

F

G

圖15-2

D

A

B

C

D

E

F

G

圖15-3

A

B

C

F

G

圖15-1）在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延長線于點G．一等腰直角三角尺按如圖15-1所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點為F，一條直角邊與AC邊在一條直線上，另一條直角邊恰好經過點B．

（1）在圖15-1中請你通過觀察、測量BF與CG的長度，猜想并寫出BF與CG滿足的數量關系，然后證明你的猜想；

（2）當三角尺沿AC方向平移到圖15-2所示的位置時，一條直角邊仍與AC邊在同一直線上，另一條

直角邊交BC邊于點D，過點D作DE⊥BA于

點E．此時請你通過觀察、測量DE、DF與CG的長度，猜想并寫出DE＋DF與CG之間滿足的數量關系，然后證明你的猜想；

（3）當三角尺在（2）的基礎上沿AC方向繼續平

移到圖15-3所示的位置（點F在線段AC上，且點F與點C不重合）時，（2）中的猜想是否

仍然成立？（不用說明理由）

3.(2010

梅州)用兩個全等的正方形和拼成一個矩形，把一個足夠大的直角三角尺的直角頂點與這個矩形的邊的中點重合，且將直角三角尺繞點按逆時針方向旋轉．

（1）當直角三角尺的兩直角邊分別與矩形的兩邊相交于點時，如圖甲，通過觀察或測量與的長度，你能得到什么結論？并證明你的結論．

（2）當直角三角尺的兩直角邊分別與的延長線，的延長線相交于點時（如圖乙），你在圖甲中得到的結論還成立嗎？簡要說明理由．

A

B

G

C

E

H

F

D

圖甲

A

B

G

C

E

H

F

D

圖乙

4.（09煙臺市）如圖，菱形ABCD的邊長為2，BD=2，E、F分別是邊AD，CD上的兩個動點，且滿足AE+CF=2.（1）求證：△BDE≌△BCF；

（2）判斷△BEF的形狀，并說明理由；

（3）設△BEF的面積為S，求S的取值范圍.5.如圖①，四邊形和都是正方形，它們的邊長分別為（），且點在上（以下問題的結果均可用的代數式表示）．

（1）求；

（2）把正方形繞點按逆時針方向旋轉45°得圖②，求圖②中的；

（3）把正方形繞點旋轉一周，在旋轉的過程中，是否存在最大值、最小值？如果存在，直接寫出最大值、最小值；如果不存在，請說明理由．

D

C

B

A

E

F

G

G

F

E

A

B

C

D

①

②

（第28題）

6.如圖，在邊長為4的正方形中，點在上從向運動，連接交于點．

（1）試證明：無論點運動到上何處時，都有△≌△；

（2）當點在上運動到什么位置時，△的面積是正方形面積的；

（3）若點從點運動到點，再繼續在上運動到點，在整個運動過程中，當點

運動到什么位置時，△恰為等腰三角形．

1.解：（1）BM=FN。

證明：∵△GEF是等腰直角三角形，四邊形ABCD是正方形，∴∠ABD=∠F=45°，OB=OF，又∵∠BOM=∠FON，∴△OBM≌△OFN，∴BM=FN；

（2）BM=FN仍然成立。

證明：∵△GEF是等腰直角三角形，四邊形ABCD是正方形，∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF，∴∠MBO=∠NFO=135°，又∵∠MOB=∠NOF，∴△OBM≌△OFN，∴BM=FN。

2.3.解：（1）BG=EH．

∵四邊形ABCD和CDFE都是正方形，∴DC=DF，∠DCG=∠DFH=∠FDC=90°，∵∠CDG+∠CDH=∠CDH+∠FDH=90°，∴∠CDG=∠FDH，∴△CDG≌△FDH，∴CG=FH，∵BC=EF，∴BG=EH．

（2）結論BG=EH仍然成立．

同理可證△CDG≌△FDH，∴CG=FH，∵BC=EF，∴BC+CG=EF+FH，∴BG=EH．

4.5.6.