第一篇：對稱性的學習感受

對稱性的學習感受

對稱性在我們生活中無處不在，物體的對稱、鏡面對稱等都是顯而易見的；然而在我們觀察到的物理現象中卻忽略了對稱性的重要存在。并且，目前為止，我們學習動量定理、角動量定律、能量守恒定律時都是先入為主，書上先告訴我們科學家們總結和證明出的結論，然后再加以部分文字說明來誘導學生掌握這三大定律。雖說如此，我們能學會做書上的題目，但是我們對三大定律所需滿足的條件的正確性和必然性卻是不知如何深刻地理解和記憶。

對稱性的一章雖說只有一小部分篇幅的講解，但卻讓我更加明白了三大定律守恒時所需滿足的條件的充分性和必然性。在我看來，空間中沒有絕對的、只有相對的位置坐標便是物理中對稱性的核心所在，因為只有這樣我們才能解釋日常生活中的物理現象。在我看來，如

1.在地球上同一緯度不同的地方所測的重力加速度大小相同便可用對稱性來解釋：不妨設任選的兩處地方分別為甲地和乙地，因為兩地只有相對的空間坐標，則總是存在一個平面（即當選擇通過地球兩極和甲乙兩地連線的中點的平面）為甲乙兩地的空間坐標的參考系時，甲乙兩地關于該平面成鏡面對稱，則只在地球的作用下，它們的物理原因和物理結果也即應該相同，所以兩者的重力加速度大小應該相同，即得證。2.關于通電直導線對稱的兩個小磁針受到的力大小相等方向相反也可由對稱性解釋：因為兩小磁針關于通電直導線成鏡像對稱，則通電直導線對兩小磁針的原因和結果也應鏡像對稱，即兩小磁針受到通電直導線的作用力應大小相等方向相反。

三大定律成立所需滿足的條件的充分性也可由對稱性定律來解釋，在此僅以證明動量守恒定律為例：設空間中有兩個質點A和B，相互作用勢能為Ep，如果A相對B從a點平移到a’點，則兩質點的相互作用勢能的改變是Ep=—Fab*s；同理，當B相對于A從b點反向移動到b’點時，兩質點的相互作用勢能的改變為Ep’=—Fba*（—s）。由于a’b=ab’，則兩種情況A和B的相對位置不變，即兩種情況下的相對勢能的該變量大小應相等，則由上述兩式易得：Fab=—Fba，即作用力與反作用力大小相等方向相反，從而得出質點系內力矢量和為零，繼而得出“質點系所受外力矢量和為零時，質點系動量守恒”。

對稱性一章的學習不僅讓我了解到了三大定律與空間或時間對稱性的聯系，從而讓我能夠更好地記憶和理解三大守恒定律成立時所需滿足的條件；也讓我發現了物理中的對稱美，了解到對稱性原理和方法在物理學的創新和發展中舉足輕重的地位。

第二篇：小結函數對稱性

小 結 函 數 對 稱 性

數學組

劉宏博

函數是中學數學教學的主線，是中學數學的核心內容，也是整個高中數學的基礎.函數的性質是競賽和高考的重點與熱點，函數的對稱性是函數的一個基本性質，對稱關系不僅廣泛存在于數學問題之中，而且利用對稱性往往能更簡捷地使問題得到解決，對稱關系還充分體現了數學之美.本文擬通過函數自身的對稱性和不同函數之間的對稱性這兩個方面來小結與函數對稱有關的性質.一、函數自身的對稱性

定理1.函數 y = f(x)的圖像關于點A(a ,b)對稱的充要條件是

f(x)+ f(2a－x)= 2b 證明：（必要性）設點P(x ,y)是y = f(x)圖像上任一點，∵點P(x ,y)關于點A(a ,b)的對稱點P‘（2a－x，2b－y）也在y = f(x)圖像上，∴ 2b－y = f(2a－x)即y + f(2a－x)=2b故f(x)+ f(2a－x)= 2b，必要性得證.（充分性）設點P(x0,y0)是y = f(x)圖像上任一點，則y0 = f(x0)∵ f(x)+ f(2a－x)=2b∴f(x0)+ f(2a－x0)=2b，即2b－y0 = f(2a－x0).故點P‘（2a－x0，2b－y0）也在y = f(x)圖像上，而點P與點P‘關于點A(a ,b)對稱，充分性得征.推論：函數 y = f(x)的圖像關于原點O對稱的充要條件是f(x)+ f(－x)= 0 定理2.函數 y = f(x)的圖像關于直線x = a對稱的充要條件是

f(a +x)= f(a－x)即f(x)= f(2a－x)（證明留給讀者）推論：函數 y = f(x)的圖像關于y軸對稱的充要條件是f(x)= f(－x)定理3.①若函數y = f(x)圖像同時關于點A(a ,c)和點B(b ,c)成中心對稱（a≠b），則y = f(x)是周期函數，且2| a－b|是其一個周期.②若函數y = f(x)圖像同時關于直線x = a 和直線x = b成軸對稱（a≠b），則y = f(x)是周期函數，且2| a－b|是其一個周期.③若函數y = f(x)圖像既關于點A(a ,c)成中心對稱又關于直線x =b成軸對稱（a≠b），則y = f(x)是周期函數，且4| a－b|是其一個周期.①②的證明留給讀者，以下給出③的證明： ∵函數y = f(x)圖像既關于點A(a ,c)成中心對稱，∴f(x)+ f(2a－x)=2c，用2b－x代x得： f(2b－x)+ f [2a－(2b－x)] =2c………………（*）又∵函數y = f(x)圖像直線x =b成軸對稱，∴ f(2b－x)= f(x)代入（*）得：

f(x)= 2c－f [2(a－b)+ x]…………（**），用2（a－b）－x代x得 f [2(a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b)+ x]代入（**）得：

f(x)= f [4(a－b)+ x],故y = f(x)是周期函數，且4| a－b|是其一個周期.二、不同函數之間的對稱性

定理4.函數y = f(x)與y = 2b－f(2a－x)的圖像關于點A(a ,b)成中心對稱.定理5.①函數y = f(x)與y = f(2a－x)的圖像關于直線x = a成軸對稱.②函數y = f(x)與a－x = f(a－y)的圖像關于直線x +y = a成軸對稱.③函數y = f(x)與x－a = f(y + a)的圖像關于直線x－y = a成軸對稱.定理4與定理5中的①②證明留給讀者，現證定理5中的③

設點P(x0 ,y0)是y = f(x)圖像上任一點，則y0 = f(x0)。記點P(x ,y)關于直線x－y = a的軸對稱點為P‘（x1，y1），則x1 = a + y0 , y1 = x0－a，∴x0 = a + y1 , y0= x1－a 代入y0 = f(x0)之中得x1－a = f(a + y1)∴點P‘（x1，y1）在函數x－a = f(y + a)的圖像上.同理可證：函數x－a = f(y + a)的圖像上任一點關于直線x－y = a的軸對稱點也在函數y = f(x)的圖像上。故定理5中的③成立.推論：函數y = f(x)的圖像與x = f(y)的圖像關于直線x = y 成軸對稱.三、函數對稱性應用舉例 例1：定義在R上的非常數函數滿足：f(10+x)為偶函數，且f(5－x)= f(5+x),則f(x)一定是（）

(B)是偶函數，但不是周期函數

(D)是奇函數，但不是周期函數(A)是偶函數，也是周期函數(C)是奇函數，也是周期函數

解：∵f(10+x)為偶函數，∴f(10+x)= f(10－x).∴f(x)有兩條對稱軸 x = 5與x =10，因此f(x)是以10為其一個周期的周期函數，∴x =0即y軸也是f(x)的對稱軸，因此f(x)還是一個偶函數.故選(A)

例2.設f(x)是定義在R上的偶函數，且f(1+x)= f(1－x),當－1≤x≤0時，f(x)= －1x，則f(8.6)= _________

2解：∵f(x)是定義在R上的偶函數∴x = 0是y = f(x)對稱軸；

又∵f(1+x)= f(1－x)∴x = 1也是y = f(x)對稱軸。故y = f(x)是以2為周期的周期函數，∴f(8.6)= f(8+0.6)= f(0.6)= f(－0.6)= 0.3 例3.設f(x)是定義在R上的奇函數，且f(x+2)= －f(x),當0≤x≤1時，f(x)= x，則f(7.5)=（）

(A)

0.5(B)－0.5

(C)1.5

(D)－1.5 解：∵y = f(x)是定義在R上的奇函數，∴點（0，0）是其對稱中心；

又∵f(x+2)= －f(x)= f(－x)，即f(1+ x)= f(1－x)，∴直線x = 1是y = f(x)對稱軸，故y = f(x)是周期為2的周期函數.∴f(7.5)= f(8－0.5)= f(－0.5)= －f(0.5)=－0.5 故選(B)

第三篇：《圓的對稱性》教案

《圓的對稱性》教案

教學目標

1．知識與技能

（1）理解圓的軸對稱性和中心對稱性，會畫出圓的對稱軸，會找圓的對稱中心；（2）掌握圓心角、弧和弦之間的關系，并會用它們之間的關系解題． 2．過程與方法

（1）通過對圓的對稱性的理解，培養學生的觀察、分析、發現問題和概括問題的能力，促進學生創造性思維水平的發展和提高；

（2）通過對圓心角、弧和弦之間的關系的探究，掌握解題的方法和技巧． 3．情感、態度與價值觀

經過觀察、總結和應用等數學活動，感受數學活動充滿了探索性與創造性，體驗發現的樂趣．

教學重難點

重點：對圓心角、弧和弦之間的關系的理解．

難點：能靈活運用圓的對稱性解決有關實際問題，會用圓心角、弧和弦之間的關系解題．

教學過程

一、創設情境，導入新課

問：前面我們已探討過軸對稱圖形，哪位同學能敘述一下軸對稱圖形的定義？

（如果一個圖形沿著某一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸）．

問：我們是用什么方法來研究軸對稱圖形？ 生：折疊．

今天我們繼續來探究圓的對稱性．

問題1：前面我們已經認識了圓，你還記得確定圓的兩個元素嗎？ 生：圓心和半徑．

問題2：你還記得學習圓中的哪些概念嗎？ 憶一憶：

1．圓：平面上到____________等于______的所有點組成的圖形叫做圓，其中______為圓心，定長為________． 2．弧：圓上_____叫做圓弧，簡稱弧，圓的任意一條____的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧都叫做圓的半徑．__________稱為優弧，_____________稱為劣?。?/p>

3．___________叫做等圓，_________叫做等弧． 4．圓心角：頂點在_____的角叫做圓心角．

二、探究交流，獲取新知 知識點一：圓的對稱性

1．圓是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？你能找到多少條對稱軸？

2．大家交流一下：你是用什么方法來解決這個問題的呢？

動手操作：請同學們用自己準備好的圓形紙張折疊：看折痕經不經過圓心？

學生討論得出結論：我們通過折疊的方法得到圓是軸對稱圖形，經過圓心的一條直線是圓的對稱軸，圓的對稱軸有無數條．

知識點二：圓的中心對稱性．

問：一個圓繞著它的圓心旋轉任意一個角度，還能與原來的圖形重合嗎？

讓學生得出結論：一個圓繞著它的圓心旋轉任意一個角度，都能與原來的圖形重合，我們把圓的這個特性稱之為圓的旋轉不變性．圓是中心對稱圖形，對稱中心為圓心．

做一做：

在等圓⊙O和⊙O? 中，分別作相等的圓心角∠AOB和?A?O?B?（如圖3-8），將兩圓重疊，并固定圓心，然后把其中的一個圓旋轉一個角度，得OA與OA?重合．你能發現哪些等量關系嗎？說一說你的理由．

小紅認為AB=A?B?，AB=A?B?，她是這樣想的： ∵半徑OA重合，?AOB=?A?O?B?，∴半徑OB與OB?重合，∵點A與點A?重合，點B與點B?重合，∴AB與A?B?重合，弦AB與弦A?B?重合，∴AB=A?B?，AB=A?B?．

生：小紅的想法正確嗎？同學們交流自己想法，然后得出結論，教師點撥． 結論：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等． 知識點三：圓心角、弧、弦之間的關系．

問：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角所對的弧相等，那么它們所對的弦相等嗎？這兩個圓心角相等嗎？你是怎么想的？

學生之間交流，談談各自想法，教師點撥．

結論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等．

三、例題講解

例：如圖3-9，AB，DE是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點，且AD=CE，BE與CE的大小有什么關系？為什么？

解：BE=CE，理由是： ∵∠AOD=∠BOE，∴AD=BE，又∵AD=CEa2+b2 ∴BE=CE，∴BE=CE． 議一議

在得出本結論的過程中，你用到了哪些方法？與同伴進行交流．

四、隨堂練習

1．日常生活中的許多圖案或現象都與圓的對稱性有關，試舉幾例． 2．利用一個圓及其若干條弦分別設計出符合下列條件的圖案：（1）是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形；（2）是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形；（3）既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．

3．已知，A，B是⊙O上的兩點，∠AOB=120°，C是AB的中點，試確定四邊形OACB的形狀，并說明理由．

五、知識拓展

如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=25°，以點C為圓心，AC為半徑的圓交AB于點D，求?AD所對的圓心角的度數．

六、自我小結，獲取感悟

1．對自己說，你在本節課中學習了哪些知識點？有何收獲？ 2．對同學說，你有哪些學習感悟和溫馨提示？ 3．對老師說，你還有哪些困惑？

七、布置作業

P72-73習題1-3題．

第四篇：圓的對稱性說課稿

《圓的對稱性》說課稿

彬縣公劉中學

段海鋒

尊敬的各位領導、老師：

大家好！今天我說課的題目是義務教育課程北師大版數學九年級上冊《圓的對稱性》，下面我按教材分析、教材處理、教法的選擇與應用、教學模式和教學過程五部分來談談本節課的設計思路。

一、教材分析：

（一）教材的地位與作用

本節課是圓的性質的重要體現，是圓的軸對稱性的具體化，也是今后證明線段等、角等、弧等、垂直關系的重要依據，同時也為圓的計算和作圖提供了方法和依據，所以它在教材中處于舉足輕重的位置。

另外，本節課通過“實驗--觀察--猜想——合作交流——證明”的途徑，進一步培養學生的動手能力，觀察能力，分析、聯想能力、與人合作交流的能力，同時利用圓的軸對稱性，可以對學生進行數學美的教育。

因此，掌握垂徑定理對學生更好地認識現實世界，建立空間觀念、培養推理論證能力具有十分重要的作用。

（二）教學目標

根據《數學課程標準》對這部分知識的要求及本課的特點，結合學生的實情，本節課的教學目標確定為：

（1）知識與技能目標

使學生理解圓的軸對稱性；掌握垂徑定理；學會運用垂徑定理解決有關的證明、計算和作圖問題。培養學生觀察能力、分析能力及聯想能力。

（2）過程與方法目標

在實驗過程中，培養學生觀察、聯想、猜測、推理、探索發現新知識的能力和創新思維、創新想象的能力。通過分組訓練、深化新知，共同感受收獲的喜悅。

（3）情感與態度目標

在解決問題過程中，培養學生敢于面對挑戰和善于克服困難的意志，鼓勵學生大膽嘗試，勇于探索，從中獲得成功的經驗，充分享受數學之美，從而體驗學習數學的樂趣。

知識與技能目標固然重要，對于本節課：過程與方法和情感與態度更重要，因為這部分是幾何教學的重點，是由實驗幾何向論證幾何的過渡，過程與方法可以幫助學生學會認識事物、分析問題的方法；有良好的情感態度能培養好的學習興趣，養成好的學習習慣。

（三）教學重點和難點

教學重點：垂徑定理及其應用。

（由于垂徑定理的題設與結論比較復雜，很容易混淆遺漏，所以，對垂徑定理的題設與結論區分是難點之一，同時，對定理的證明方法“疊合法”學生不常用到，是本節的又一難點。）

教學難點：對垂徑定理題設與結論的區分及定理的證明方法。

突出重點、突破難點的關鍵：創設具有啟發性的問題情境，通過學生動手操作，多媒體生動直觀地演示，讓學生經歷“提出問題——探究討論——歸納發現”的過程，在這個過程中，要給學生在充足的活動時間，使學生在積極思維的狀態下參與探究性學習。

而理解垂徑定理的關鍵是圓的軸對稱性。

二、教學方法的選擇與應用

本節課我采用實驗操作，直觀演示，合作交流等方法指導學生動眼觀察、動手操作、動腦思考、動口表述，讓學生從實踐中獲取知識，并通過討論來深化對知識的理解。

同時采用多媒體輔助教學和實物演示，直觀生動地反映圖形特點。

三、教學模式

為了實現教學目標，優化教學過程，本節課設計了六個教學環節：課前準備（制作實驗器材、完成預習提綱）、創設問題情境引入新課、講授新課、課堂小結、創新探究、課后作業。

四、教學過程

第一環節

課前準備

活動內容：（提前一天布置）

1.每人制作兩張圓紙片（最好用16K打印紙）2.預習課本P88~P92內容

設計意圖：通過第1個活動，希望學生能利用身邊的工具去畫圖，并制作圖紙片，培養學生的動手能力；在第2個活動中，主要指導學生開展自學，培養良好的學習習慣。預期存在的問題：

學生在制作圖紙片時，有時可能沒有將圓心標出來，老師要對其進行啟發引導，找出圓心。

第二環節

創設問題情境，引入新課

活動內容：

教師提出問題：軸對稱圖形的定義是什么？我們是用什么方法研究了軸對稱圖形？學生回憶并回答。

活動目的：通過教師與學生的互動，一方面使學生能較快進入新課的學習狀態，另一方面也提高學生的學習的興趣，讓他們帶著問題去學習，揭開了探究該節課內容的序幕。預期存在的問題：

由于學生在七年級學習了軸對稱圖形的內容。部分學生可能遺忘了定義，因此教師要通過一些學生熟悉的軸對稱圖形來引導同學正確敘述其定義，比如通過矩形。教師作出演示，學生會更容易表達。第三環節

講授新課

活動內容：

（一）想一想圓是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？你能找到多少條對稱軸？你是用什么方法解決上述問題的？

（二）認識弧、弦、直徑這些與圓有關的概念。

（三）探索垂徑定理。

做一做

1．在一張紙上任意畫一個⊙O，沿圓周將圓剪下，把這個圓對折使圓的兩半部分重合．

2．得到一條折痕CD．

3．在⊙O上任取一點A，過點A作CD折痕 的垂線，得到新的折痕，其中，點M是兩條折痕的交點，即垂足．

4．將紙打開，新的折痕與圓交于另一點B，如右圖

問題：（1）觀察右圖，它是軸對稱圖形嗎？如果是，其對稱軸是什么？

（2）你能發現圖中有那些等量關系？說一說你的理由。

總結得出垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧。

（四）講解例題及完成隨堂練習。

[例1]如右圖所示，一條公路的轉彎處是一段圓弧(即圖中CD，點O是CD的圓心)，其中CD=600m，E為CD上一點，且OE⊥CD，垂足為F，EF=90 m．求這段彎路的半徑．

練習：完成課本P92隨堂練習：1

（五）探索垂徑定理逆定理并完成隨堂練習。想一想：

如下圖示，AB是⊙O的弦(不是直徑)，作一條平分AB的直徑CD，交AB于點M．

同學們利用圓紙片動手做一做，然后回答：（1）上圖是軸對稱圖形嗎?如果是，其對稱軸是什么?（2）你能發現圖中有那些等量關系？說一說你的理由。

總結得出垂徑定理逆定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧。

練習：完成課本P92隨堂練習：2

活動目的：內容

（一）的主要目的就是通過學生動手實驗，采用折疊的方法認識圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線；內容

（二）的主要目的就是讓學生弄清和圓有關的這些概念，便于以后內容的學習研究；內容

（三）的主要目的就是通過學生做一做，觀察，猜想，驗證等的過程得到新知，同時也培養學生合作交流的能力，以及再次體會研究圖形的多種方法。內容

（四）的主要目的讓學生應用新知識構造直角三角形，并通過方程的方法去解決幾何問題。內容

（五）的主要目的與內容

（三）相似。第四環節

課堂小結

活動內容：師生互相交流總結：

1.本節課我們探索了圓的軸對稱性；

2.利用圓的軸對稱性研究了垂徑定理及其逆定理；

3.垂徑定理和勾股定理相結合，構造直角三角形，可解決計算弦長、半徑、弦心距等問題。

活動目的：通過回顧本節課經歷的各個環節，鼓勵學生暢談自己的收獲和感想，培養學生良好的學習習慣。第五環節

課后作業

1.課本習題3.2，1，2。試一試1 2.預習課本P94~97內容。

以上就是我對本節課的想法與設計，有不到之處敬請指正，謝謝大家！

彬縣公劉中學

段

海 鋒

第五篇：學習感受

教學片段: 給一年級學生講生字時，教師只帶領學生讀生字的拼音來幫學生識記生字，而忽略了學生的自學能力。其中，有兩個生字是“牙”“鴨”。有個一年級小學生說道：“老師，我們在記‘牙’‘鴨’時，看到了這兩個生字是拼音一樣，只是字形和聲調不一樣。”一句話說的我茅塞頓開，是呀！孩子是在用比較的方法識記生字。我怎么就一時沒想到呢？雖然孩子的語言權威性達不到老師的程度，我用鼓勵的語言和眼光肯定了孩子的說法，卻收到了意想不到的效果。這時，課堂上頓時人聲鼎沸。“老師我也知道‘也’和‘葉’，‘同’和‘童’……”

這下可好了，不僅調動了學生的學習積極性，還復習識記了好多生字，也讓一些對這些生字陌生的同學見識了一下。難道這不比教師往學生頭腦里硬灌強的多嗎？

看來學生的自主學習還真是一門學問，真是不可忽視呀！這次遠程培訓的學習使我深深體會到以往的教學方法太死板，已不能適應當今社會的發展。學生自學探究是學中有探，探中有學，一般問題均可以在邊學邊探中自行解決，不理解或解決不了的疑難問題，可通過自己查找資料或合作討論等形式來自主解決。這就要求我們教師把課堂還給學生，不能一味地給學生“滿堂灌”。我們是應該改變我們的教學方法了，要不斷加強自己的教學理念，積極培養學生的自主學習習慣。讓我們為之而努力吧！