第一篇：高二數學《導數的應用-單調性與極值》教學案例分析課題計劃

高二數學《導數的應用-單調性與極值》教學案例分析課題計劃

本節課的內容是蘇教版選修1-1第一章第二部分的內容（文科）。這一知識點在高考中是熱點，06年、08、09年廣東、江蘇高考均以解答題出現，從這節課中我有以下反思：

一、有明確的教學目標

（一）知識目標（考試大綱與考試說明）

1、了解函數單調性和導數的關系；能利用導數研究函數的單調性，會求函數的單調區間．

2、了解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數求函

數的極大值、極小值；會求閉區間上函數的最大值、最小值（注：對多項式函數一般不超過三次）．

３、生活中的優化問題．會用導數解決某些實際問題．

（二）能力目標：讓學生具有解高考題的能力。

（三）情感目標：通過本節課的教學，讓學生知道數學來源于生活。并且應用于生活。通過研究導數的實際應用增強學生的數學應用意識體現數學價值；另一方面，在近幾年高考中導數應用幾乎連連出現。

二、能突出重點、分散難點

本課的教學重點是：（1）利用導數研究函數的性質；（2）導數在實際生活中的應用。這是由于：一方面，通過初等方法與導數方法在研究函數性質過程中的比較，讓學生體會導數方法在研究函數性質中的一般性和有效性。本課的教學難點是：函數的單調性與導數的關系；極值概念的理解。由于選修課本沒有極值概念而用極限引入導數，導致許多學生不理解導數的本質，因此學習中只能將導數作為一種規則。然而新課程強調對導數本質的認識，不僅將導數作為一種規則，更作為一種重要的思想方法來學習。另外，由于當時高二下學期時間緊，教學時僅僅讓學生知道如何解題而已，而對于相互間的關系和概念的理解很少涉及，因此在現在復習中很有必要解決這些問題。在教學中采用選擇題或填空題形式在基礎題中先讓學生練習找出問題及出錯原因，然后通過知識整合加以總結，再通過典型例題分析加以強化，從而真正突破難點。

三、善于應用現代化教學手段并結合學案教學。

應用多媒體教學和學案教學，（一）有效地增大堂課的課容量，（二）減輕板書的工作量，有更多精力講深講透所舉例子，提高講解效率；

（三）是直觀性強，容易激發起學生的學習興趣，有利于提高學生的學習主動性；四是有利于對整堂課所學內容進行回顧和小結。在課堂教學結束時，教師引導學生總結本堂課的內容學習的重點和難點。同時通過投影儀，同步地將內容在瞬間躍然“幕”上，使學生進一步理解和掌握本堂課的內容。

四、根據具體內容，選擇恰當的教學方法

本課教學中以講練結合為主，同時配合使用導思點撥等教學方法。高三學生通過前面復習與練習已經對相關內容有了一定的認識，但是在解題規范性與運算技巧的掌握等細節上仍存在問題，因此課堂上教師多給學生練習時間，再通過適時講評實現總結與提高。當然對綜合題的解決與解題突破口的選擇也需要老師在課堂上適時和適當的點撥。

課堂上還將采用多媒體展示、學生獨立回答和集體回答、學生板演等多種手段，激發學生的學習興趣，提高課堂復習效率。當然，在學生回答之后，老師要及時給學生一個鼓勵性的評價，以增強學生回答的信心，使課堂始終保持一種熱烈、積極、主動的學習氣氛。

五、關愛學生，及時鼓勵

本節課的宗旨是著眼于學生的發展。對學生在課堂上的表現，及時加以總結，適當給予鼓勵，并處理好課堂的偶發事件，及時調整課堂教學。

六、充分發揮學生主體作用，調動學生的學習積極

性

學生是學習的主體，教師要圍繞著學生展開教學。在教學過程中，自始至終讓學生唱主角，使學生變被動學習為主動學習，讓學生成為學習的主人，教師成為學習的領路人。

在這節課中，我盡量少講，讓學生多動手，動腦操作

7、滲透教學思想方法，培養綜合運用能

力

常用的數學思想方法有：轉化的思想，類比歸納與類比聯想的思想，分類討論的思想，數形結合的思想以及配方法、換元法、待定系數法、反證法等。本節課我采用了數形結合的思想、轉化的思想。

8、對教學效果的反思

教學的預設目標完成，特別是知識目標，學生能更好地掌握“導數的單調性與極值”這一概念，并會利用概念求函數的單調性與極值。當然也存在很多不足：對呼之欲出的“單調性與極值概念”沒有及時給出，有關數學思想與方法的落實有所欠缺；教學中還是有些緊張，語言個別地方表述不清楚等。如果對教材挖掘得更到位些，更深入地體會教材的編寫意圖，那么相信這堂課就會上得更成功些。

第二篇：導數的應用單調性教學反思

（一）教學整體設計

導數這個概念是高等數學的基本概念，又是中學階段數學學習的一個主干知識，它是進一步學習數學和其他自然科學的基礎，更是研究函數相關性質的重要工具之一．單調性作為函數的主要性質之一，主要用來刻畫圖象的變化趨勢，在必修1的學習中定義了單調性，并且在學習冪指對及三角函數時,能夠借助于函數圖象特征和單調性的定義來研究函數的單調性.那為什么還要用導數研究函數的單調性？能不能用導數研究函數的單調性？怎樣用導數研究函數的單調性？循著這樣的思路，整個教學過程，從創設情境—實例驗證—揭示本質—強化應用—回顧反思，五個方面入手，層層遞進，螺旋上升．

情境引入

本課的難點是引導學生發現導數與函數單調性之間的聯系，而這兩個概念都是非常抽象的，學生很難直接感知，所以在引入階段，利用生活中的常見問題汽車燈光的指向與上下坡之間的聯系，第一次抽象：引導學生發現道路可以抽象成函數的圖象，燈光可以抽象為切線，這樣問題就轉化為切線斜率正負與曲線上升下降的聯系；適當建系后，第二次抽象：將曲線看做是函數y=f(x)上的一段圖象，那么切線斜率即為函數在該點處的導數，順勢猜想結論，感知導數正負與函數單調性之間的聯系，從而輕松高效引入課題，成功激發學生的求知欲.合作探究

前面已經猜想出結論，但是該結論是否正確，還有待檢驗，學生首先想到的就是驗證已經學過的常見函數，從而深化對所得結論的理解.再從“形”回到 “數”，進一步引導學生經歷從特殊到一般的過程，抓住導數和單調性的定義之間的聯系來提煉一般性的結論，由學生自主探究、分組展示，互相點評，變灌注知識為學生主動獲取知識，從而使之成為課堂教學活動的主體．

典例應用

在典例演練，強化應用的過程中，例題1由“形”到“數”，規范了用導數研究單調性的書寫，加深了對結論的理解；例題2在了解函數的性質基礎上，要求學生畫出三次函數的大致圖象，經歷由“數”到“形”的過程，并對導函數圖象與原函數圖象進行對比、深化理解，突顯了利用導數研究函數單調性的優越性；例題3由三角函數圖象很快能得出結論，解三角不等式時，學生可以畫出導函數圖象輔助解題，題目解完后數形結合再次畫出原函數圖象加以驗證，并且突顯了利用導數研究函數單調性的一般性．三道例題逐層推進，體現了導數法在研究函數單調性中的一般性和有效性，由形到數，由數到形，數形結合貫穿始終．

（二）教學中存在的不足

教師語言感染力度不夠。一節課下來，語言起伏度較低，未能將重點知識通過起伏的語言方面傳遞出來。同時課堂評價語言單調，不能夠起到鼓勵學生的作用。作為一名新教師，教學基本功不夠扎實，仍需多加練習，增加聽課頻率，多像優秀教師學習教學技能和技巧。

教學重難點內容的安排形式有待改善。本節重點知識在于為什么用導數研究函數的單調性，怎樣用導數研究函數的單調性。怎樣引導學生將導數的正負與函數單調性之間建立聯系。實際上，這節課的重點，我覺得教師必須講清楚函數在一個區間上的任一點出的導數為正時，在任一點處的切線斜率為正，函數在這個區間上的任一點處呈上升趨勢，所以函數在整個區間上單調遞增。但根據上課效果來看，學生并沒有這樣層次的理解，對于知識的認知還停留在表面，所以我提醒自己在今后的教學過程中應該加強數學知識本質的教學，讓學生知其然，知其所以然。

小組討論環節有待改善。本次課的小組討論環節實際上是讓班級學生分小組互相列舉一些基本初等函數驗證導數的正負和單調性的關系。但在實際教學中沒有達到應該有的效果。每個學生自己單獨完成了這個過程，并沒有合作探究。課后我反思了這一過程，主要是和班級學生的熟悉程度不夠，也是我在教學中引導過度不夠自然，沒有引起共鳴。通過這節課的教學，我有一個這樣的疑惑，在數學教學中小組討論，合作探究這個過程對學生的學習是否一定需要，是否一定會起到正面的效果，我覺得這是一個可以深入思考的問題。

板書設計有待改進。本節課板書不太理想，客觀原因上課班級黑板不好使用，當然我對于本節課的板書設計確實準備不足，應該將情境引入部分整體思路理清楚，本節課的重點知識展示清晰。

經過這次的組內賽課，我感觸頗深，也意識到自己教學技能的薄弱，對教研和教學認識的淺薄。關于教學，還有很多需要我學習的地方。不論是教研水平還是教學技能，我都急需向組內各教師好好學習，以期成為一名具有強大的語言功底、豐富的知識儲備、強悍的課堂駕馭能力的優秀教師。我相信在各位同仁的指導幫助下，自己一定能夠取得進步。

第三篇：函數單調性教學案例分析

“函數的單調性”案例分析 連江一中數學組 李鋒

數學概念的教學是培養學生創新精神和實踐能力的一個很好的切入點，重視數學概念的發生、發展、形成的過程的體驗，讓學生進行深入的思考和全方位的探索。對于提高學生學習數學的興趣，培養學生創新精神和實踐能力將是十分有利的。現以《函數的單調性》教學實例來進行分析：

一、案例

課題：函數的單調性（第一課時）

二、實施過程（注：課堂實錄已經簡化）

1．問題引入

師：我們觀察某自來水廠在一天24小時內，水壓Y隨時間X的的變化情況。不妨設其函數解析式：y=f(x);x?[0,24]

師： “在哪些時間段內，水壓在逐漸上升?在哪能些時間段內，水壓在下降?”（很快得出正確答案。）

師：在某一時間段內水壓在上升，實際上是水壓Y的值隨時間X的增大在逐漸增大，于是我說函數y=f(x)在區間[0，3]上，是單調遞增函數。同理，函數y=f(x)在區間[3,9]上是單調遞減函數。這就是我們要研究的函數的又一特性——函數的單調性。2．定義探究

師：在某個區間上：①函數值Y隨X的增大而增大（圖象從左——右，呈上升趨勢），就說這個函數在這個區間上是增函數。②函數值Y隨X的增大而減小（圖象從左——右，呈下降趨勢），就說這個函數在這個區間上是減函數。

提出問題1：請同學仔細閱讀課本中函數單調性的定義，思考課本定義方法和上面定義方法是否一致？如果一致，定義中哪一句表達了該意思？

生：我認為是一致的．定義中的“當x1＜x2時，都有f（x1）＜f（x2）”描述了y隨x的增大而增大；“當x1＜x2時，都有f（x1）＞f（x2）”描述了y隨x的增大而減少． 師：說得非常正確．定義中用了兩個簡單的不等關系“x1＜x2”和“f（x1）＜f（x2）或f（x1）＞f（x2）”，它刻劃了函數的單調遞增或單調遞減的性質．這就是數學的魅力！定義中只用了兩個簡單的不等關系，就刻劃出了單調遞增和單調遞減的性質特征，把文字語言表達為數學語言，簡單明了。

師：提出問題2：我們思考這樣一個問題：定義中有哪些關鍵的詞語或句子至關重要？能不能把它找出來。（有的同學回答不準確）

生1：我們認為在定義中，有一個詞“給定區間”是定義中的關鍵詞語．（闡述了理由）。師：很好，我們在學習任何一個概念的時候，都要善于抓住定義中的關鍵詞語．增函數和減函數都是對相應的區間而言的，離開了相應的區間就根本談不上函數的增減性．還有沒有其他的關鍵詞語？

生2：還有定義中的“任意”和“都有”也是關鍵詞語． 生3：“屬于” 也是關鍵詞。師：能解釋一下為什么嗎？

生3：“屬于”就是說兩個自變量x1，x2必須取自給定的區間，不能從其他區間上取． 師：那么“任意”和“都有”又如何理解？

生4：“任意”就是指不能取特定的值來判斷函數的增減性，而“都有”則是說只要x1＜x2，f（x1）就必須都小于f（x2），或f（x1）都大于f（x2）．

師：能不能構造一個反例來說明“任意” 和“都有”呢？

（讓學生思考，但有些學生仍有困難，我設計了三個判斷題）提出問題3：判斷下列命題的真假：

①函數y=x2 在(-∞,0)上是減函數，在[0，+∞]上是增函數，所以函數 y=x2 在定義域R上是增函數或是減函數。

②已知函數f(x)=x2(-2≤x≤2)。取x1=-2,x2=1，則x1f(x2)，所以函數在區間[-2，2]上是減函數。

③若函數y=1/x在（-∞，0）單調遞減，在（0，+∞）也單調遞減，則該函數在定義域內單調遞減。

（三個問題的提出，引起很大凡響，學生發言踴躍，互相討論、補充，把本節課推向高潮）師：因此，要判定一個函數的增減性，主要途徑就是依照定義，抓住關鍵，在給定區間內任取兩個自變量x1，x2，根據它們的函數值f（x1）和f（x2）的大小來判定。3．定義應用

提出問題4：判斷函數f(x)=1/x在（0，+∞）上的單調性，并用單調性的定義加以證明。解：略

師：易知函數f(x)=1/x在（-∞,0）上也是單調遞減函數，請同學歸納一下要證明一個函數在某個區間上單調性的方法和步驟？ 第八組：①設量；②作差；③判斷；④定論。

4．課堂小結（由學生回答）（略）

5．布置作業

（略）

三、案例分析

（一）本節課的設計思路 1．知識目標設計：

（1）在探究中，尋求函數單調性規律并形成概念。

（2）熟練運用函數單調性的概念證明函數在某個區間上的單調性。2．能力目標設計：

（1）通過對單調性概念的發生、發展的分析過程，培養學生的數學意識、邏輯思維能力;（2）通過本節課的教學探究，培養學生用數學語言代替文字語言的表達能力。提高對數學美的鑒賞能力;（3）對學生進行由“特殊”到“一般”的辯證唯物主義教育。3．教學過程設計：

針對本節課教學目標，教學過程分為三個階段：

（1）問題引入階段：問題的提出具有實際意義，引起學生的興趣，鍛煉學生的觀察能力，又直逼主題，學生容易接受。通過圖形的直觀感覺，給學生函數單調性的感性認識，為突破難點做好鋪墊。從而自然導入主題。

（2）定義探究階段：本節課的中心內容，圍繞三個問題的提出，對定義進行探究，層層深入，發動學生，分組討論，積極思考，在巡視過程中，啟發引導學生，及時掌握學生的動向，尋求函數單調性規律并形成概念。

（3）概念應用階段：函數的單調性定義應用只設計了問題4，這一過程由學生來完成，使學生自主進行學習，獨立探究問題，在解決問題的過程中進行自我評判和調控，會對已有的經驗進行反思，總結出解題的步驟和規律。

（二）本案例課堂教學的特點

1、抓住課堂教學的基本原則

(1)主體性原則：尊重學生的主體地位，發揮教師的主導作用，教師創造性地教，學生創造性地學，使教、學的主體共同參與整個教學過程。在本案例課堂教學活動過程中，教師圍繞三個階段，以問題的形式提供給學生，學生主動參與。特別是問題2、3的提出，學生產生許多疑惑，矛盾升級，老師便組織學生開展了互相交流和討論，適時介入，和學生一起相互啟發和梳理，并洞察課堂中發生地各種問題，準確地判斷發生問題的原因，能動地、有效地處理這種問題，這一過程體現師生相互平等，教學相長的良好課堂氛圍。

(2)探索性原則：教師努力使教學活動富有探索性，為學生創設進行觀察、探索、發現的學習環境，鼓勵學生質疑問難，大膽聯想，激發學生的學習興趣和創造興趣，引導學生通過親身體驗獲取新知，把教學過程轉化為學生自覺進行探索新知的過程，使學生積極主動地在學習中體驗探索的樂趣。通過對問題2、3的討論，大部分學生對單調性概念的發生、發展有了較深刻的理解，探索到函數單調性規律并形成了概念。同時培養了學生用數學語言代替文字語言的表達能力，提高對數學美的鑒賞力。這一教學過程使學生認識到看似簡單的定義中有很多值得去推敲，去研究的東西，通過對問題的分析、總結，把包含在概念中的復雜和隱蔽的內涵，層層剝離，進行多層面的展開，從而使教學由表及里，深入清晰地揭示出概念的本質。因為學生理解程度的差異，老師提出問題4，這是本節課的亮點，簡單的三個判斷題，再一次揭示了概念的本質。把函數單調性概念的探究推向高潮，通過反向思維使學生的思維素質得以提升，促使學生能夠在獲得對概念理解的同時，逐步學會學習和思考，增長經驗和智慧。這一部分課堂效果非常好。

(3)實踐性原則：在教學中要重視理論聯系實際，要結合實例進行教學，鼓勵學生動口、動腦、動手，讓學生參與到數學概念的形成過程；要組織有效的練習，引導學生運用所學到的知識去解決實際問題，使學生獲得運用知識的能力。函數的單調性定義應用只設計了問題5，典型的反比例函數，這一過程由學生來完成，但學生的證明過程也存在一定問題，老師再次強調定義，對照解答的層次性，再讓學生自主訂正，使學生自主進行學習，獨立探究問題，在解決問題的過程中進行自我評判和調控，會對已有的經驗進行反思、質疑，總結出解題的步驟和規律。問題5的提出起到前后呼應，加深印象、畫龍點睛的作用，既是對本節課的反饋，又是引發對本節課的思考。由于時間的關系，課上討論的并不透徹和完美，但給學生課后進一步的思考、探究留下了空間。

(4)激勵性原則：要幫助學生實現成功，讓學生在學和做中能經常感受到成功的喜悅和愉悅，認識到自身的價值，以此來激勵學生的求知欲和成就感，從而培養學生的自尊心和自信心，增強學生的創造動機和創造熱情，使學生能不斷地追求新知，積極進取，勇于創新。

2、體現能力培養的指導思想

概念教學有利于培養學生的發現能力；有利于培養學生的創新精神；有利于培養學生的實踐能力。概念教學的基本目標是幫助學生形成概念，而學生形成概念的關鍵是發現事物的本質屬性或規律。發現是創造的一種重要形式，創造需要一種實踐活動的過程。現代著名心理學家布魯納認為：“發現不限于那種尋求人類尚未知曉的事物的行為，正確地說，發現包括著用自己的頭腦親自獲得知識的一切形式。”由此可以看出，學生用自己的頭腦去親自獲得知識也是一種發現。在過程中發現，在發現中創新。因此，在數學教學中，教師要努力創造條件，給學生提供自主探索的機會，給學生充分的思考空間，讓學生在觀察、實驗、歸納、分析的過程中去理解數學概念的形成和發展過程，進行數學的再發現、再創造，培養學生的發現能力和創新能力。

(三)本案例課堂教學引發的反思

1、概念教學的方法應靈活多樣 中學數學教材展現在學生面前的往往是由概念到定理，法則再到例題的三步曲，這在一定程度上掩蓋了數學概念和思想方法的形成，發展過程，從而也掩蓋了數學發現、數學創造、數學應用所經歷的思維活動過程，抽象的概念也會給學生造成厭惡的感覺。所以數學概念教學不應簡單地給出定義，而應加強概念的引入和概念屬性的感知，本案例的引入，從實際生活中提煉，通俗易懂，平易近人。教學時應創設情境，方法靈活多樣，激發學生的學習興趣，讓學生積極參與教學活動中來，親身體驗、主動建構，使學生了解知識的發生與發展的背景和過程，使學生對數學的學習感到樂趣。為此，從引進新概念開始就要創造啟發式的教學環境，揭示概念的本質屬性，并用簡單的文字加以表達，在對概念進行結構分析和概念的應用，形成一個生動的概念發生的過程，這一過程需分層次遞進，低層次的理解是高層次理解的基礎，各層次之間最好不要越級，任何急功近利的想法或做法都是不可取的。

2、正確認識和處理探究過程與時間限定的矛盾

探究活動比較費時間，教師都很重視課堂效率，而且對調控教學節奏，頗有一些辦法，是不是一發現學生得到了正確的結論，就讓其回答，并結束這個探究過程？由于教學時間的限定，如果探究的不夠完美、透徹，或本節課的教學內容沒有全部完成，那么總感到一種缺憾，所以在這個矛盾的驅使下，往往追求進度，多講幾個例題，忽略學生的經歷。而新課程標準則強調讓學生經歷“直觀感知”、“觀察發現”……等思維過程來形成思維能力。這就要求我們要以學生體驗、理解、掌握知識為中心，重視數學概念的構作，數學思維的建立，數學意識的形成，所以，教師應設計好每節課的內容與容量，本案例延長了概念的探究過程，重視學生的數學意識、思維品質的培養，使學生懂得數學的意義與價值。雖然只有一個例題，但非常典型，同樣收到很好的效果。

落實新課程改革精神，并不是

一、兩節課的事，應該體現在課堂教學的每個環節和過程，教師要更新觀念，轉換角色，力求通過各種不同形式的自主學習，探究活動，讓學生體驗數學發現和創造的歷程，發展他們的創新意識。使課堂教學由知識型向能力型和實踐型轉化，全面提高學生數學素養。能力增強了，學習成績自然不會差，以人為本的思想也得到了落實。

第四篇：“函數的單調性”教學案例分析初稿

“函數的單調性”教學案例分析初稿

江西省新余市第四中學 劉金華

第Ⅰ部分：教學準備

一、教學分析：

（1）中學生對于函數單調性的學習共分為三個階段，第一階段是在初中學習了一次函數、二次函數、反比例函數圖象的基礎上對增減性有一個初步的感性認識；第二階段是在高一進一步學習函數單調性的嚴格定義，從數和形兩個方面理解單調性的概念；第三階段則是在高二利用導數為工具研究函數的單調性。高一單調性的學習，既是初中學習的延續和深化，又為高二的學習奠定基礎。（2）函數的單調性是學生學習函數概念后學習的第一個函數性質，也是第一個用數學符號語言來刻畫的概念。函數的單調性與函數的奇偶性、周期性一樣，都是研究自變量變化時，函數值的變化規律；學生對于這些概念的認識，都經歷了直觀感受、文字描述和嚴格定義三個階段，即都從圖象觀察，以函數解析式為依據，經歷用符號語言刻畫圖形語言，用定量分析解釋定性結果的過程。因此，函數單調性的學習為進一步學習函數的其它性質提供了方法依據。

（3）函數的單調性是學習不等式、極限、導數等其它數學知識的重要基礎，是解決數學問題的常用工具，也是培養學生邏輯推理能力和滲透數形結合思想的重要素材。

二、重難點分析：

教學重點（1）函數單調性的概念；

（2）運用函數單調性的定義判斷和證明一些函數的單調性。

教學難點 利用函數單調性的定義判斷和證明函數的單調性。

三、學情分析：

本節課是一節概念課。函數單調性的本質是利用解析的方法來研究函數圖象的性質，如何將圖形特征用嚴謹的數學語言來刻畫是本節課的難點之一。另一難點是學生在高中階段第一次接觸代數證明，如何進行嚴格的推理論證并完成規范的書面表達。

圍繞以上兩個難點，在本節課的處理上，我著重注意了以下幾個問題： 1、重視學生的親身體驗。具體體現在兩個方面：

① 將新知識與學生的已有知識建立了聯系。如：學生對一次函數、二次函數和反比例函數的認識，學生對 “y 隨 x 的增大而增大”的理解；

② 運用新知識嘗試解決新問題。如：對 函數 的討論。

在定義域上的單調性2、重視學生 發現的過程。如：充分暴露學生將函數圖象（形）的特征轉化為函數值（數）的特征的思維過程；充分暴露在正、反兩個方面探討活動中，學生認知結構升華、發現的過程。、重視學生的動手實踐過程。通過對定義的解讀、鞏固，讓學生動手去實踐運用定義。、重視課堂問題的設計。通過對問題的設計，引導學生解決問題。

四、文獻檢索：

1.《高中數學優秀教案》 南方出版社 任志鴻著 2.《教材完全解讀》 接力出版社 王后雄著

第Ⅱ部分：教學設計

一、教學方式：

采用啟發式、問題式、探究式相結合的教學法。

二、教學內容及教學過程：

（一）創設情境，引入課題

為了預測共和國 60 年國慶當天的天氣情況，數學興趣小組研究了 2000 年到 2008 年每年這一天的天氣情況，下圖是北京市今年 10 月 1 日一天 24 小時內氣溫隨時間變化的曲線圖。

引導學生識圖，捕捉信息，啟發學生思考。問題：觀察圖形，能得到什么信息？

預案：(1)當天的最高溫度、最低溫度以及達到的時刻；

(2)在某時刻的溫度；

(3)某些時段溫度升高，某些時段溫度降低。

教師指出：在生活中，我們關心很多數據的變化規律，了解這些數據的變化規律，對我們的生活是很有幫助的。

問題：還能舉出生活中其他的數據變化情況嗎？ 預案：水位高低、降雨量、燃油價格、股票價格等。

歸納：用函數觀點看，其實這些例子反映的就是 隨著自變量的變化，函數值是變大還是變小。

〖 設計意圖 〗 由生活情境引入新課，激發興趣。

（二）歸納探索，形成概念

對于自變量變化時，函數值是變大還是變小，是函數的重要性質，稱為函數的單調性，同學們在初中對函數的這種性質就有了一定的認識，但是沒有嚴格的定義，今天我們的任務首先就是建立函數單調性的嚴格定義。1.借助圖象，直觀感知

問題 1 ：分別作出函數

自變量變化時，函數值的變化規律？ 的圖象，并且觀察

預案：(1)函數，在整個定義域內 y 隨 x 的增大而增大； 函數，在整個定義域內 y 隨 x 的增大而減小。(2)函數，在

上 y 隨 x 的增大而增大，在

上 y 隨 x 的增大而減小。

(3)函數 增大而減小。，在 上 y 隨 x 的增大而減小，在 上 y 隨 x 的引導學生進行分類描述(增函數、減函數)，同時明確函數的單調性是對定義域內某個區間而言的，是函數的局部性質。

問題 2 ：能不能根據自己的理解說說什么是增函數、減函數嗎 ? 預案：如果函數 說函數

在某個區間上 隨自變量 x 的增大，y 也越來越大，我們

在某個區間上隨自變量 x 的在該區間上為增函數；如果函數

增大，y 越來越小，我們說函數 在該區間上為減函數。

教師指出：這種認識是從圖象的角度得到的，是對函數單調性的直觀、描述性的認識。

〖 設計意圖 〗 從圖象直觀感知函數單調性，完成對函數單調性的第一次認識。2.抽象思維，形成概念 問題 1 ： 如圖是函數 區間為增函數和減函數嗎？ 的圖象, 能說出這個函數分別在哪個

學生的困難是難以確定分界點的確切位置。

通過討論，使學生感受到用函數圖象判斷函數單調性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結合解析式進行嚴密化、精確化的研究。

〖 設計意圖 〗 使學生體會到用數量大小關系嚴格表述函數單調性的必要性。

問題 2 ：如何從解析式的角度說明 在 上為增函數？

預案：(1)在給定區間內取兩個數，例如 2 和 3，因為 22 <32，所以 在 上為增函數。

(2)仿(1)，取多組數值驗證均滿足，所以 函數。

(3)任取 , 即 , 因為，所以

在

在 為增

上為增函數。

對于學生錯誤的回答，引導學生分別用圖形語言和文字語言進行辨析 , 使學生認識到問題的根源在于自變量不可能被窮舉，從而引導學生在給定的區間內任意取兩個自變量。〖 設計意圖 〗 把對單調性的認識由感性上升到理性認識的高度, 完成對概念的第二次認識。事實上也給出了證明單調性的方法，為第三階段的學習做好鋪墊。問題 3 ：你能用準確的數學符號語言表述出增函數的定義嗎 ?

師生共同探究，得出增函數嚴格的定義，然后學生類比得出減函數的定義。(1)板書定義(2)鞏固概念 判斷題：

①。

②若函數。

③若函數 在區間 上為增函數。

和(2,3)上均為增函數，則函數 在區間(1,3)④因為函數 在區間 上是減函數。

上都是減函數，所以 在

通過判斷題，強調三點：

① 單調性是對定義域內某個區間而言的，離開了定義域和相應區間就談不上單調性。

② 有的函數在整個定義域內單調(如一次函數)，有的函數只在定義域內的某些區間單調(如二次函數)，有的函數根本沒有單調區間(如常函數)。③ 函數在定義域內的兩個區間 A , B 上都是增（或減）函數，一般不能認為函數在 上是增（或減）函數。

思考：如何說明一個函數在某個區間上不是單調函數 ? 〖 設計意圖 〗 讓學生由特殊到一般，從具體到抽象歸納出單調性的定義，通過對判斷題的辨析，加深學生對定義的理解，完成對概念的第三次認識。

（三）掌握證法，適當延展

例 1 證明函數 1.分析解決問題

在 上是增函數。

針對學生可能出現的問題，組織學生討論、交流。證明：任取 ，設元

作差

變形

，斷號

∴

∴ 即

∴ 函數 在 上是增函數。

定論

2.歸納解題步驟

引導學生歸納證明函數單調性的步驟：設元、作差、變形、斷號、定論。練習：證明函數 在 上是增函數。，且

有 問題：除了用定義外，如果證得對任意的，能斷定函數 在區間 上是增函數嗎 ? 引導學生分析這種敘述與定義的等價性。讓學生嘗試用這種等價形式證明 函數

在 上是增函數。

〖 設計意圖 〗 初步掌握根據定義證明函數單調性的方法和步驟。了解等價形式進一步發展可以得到導數法，為今后用導數方法研究函數單調性埋下伏筆。(四)歸納小結，提高認識

學生交流在本節課學習中的體會、收獲，交流學習過程中的體驗和感受，師生合作共同完成小結。1.小結

(1)概念探究過程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性。(2)證明方法和步驟：設元、作差、變形、斷號、定論。(3)數學思想方法：數形結合。2.作業

第五篇：函數的單調性教學案例分析

函數的單調性教學案例分析

一、內容介紹 1.教材內容分析

“函數的單調性”是《普通高中課程標準實驗教科書·數學必修一》第一章第三節的內容，本節課的實質是對函數運動趨勢的研究，函數的單調性既是函數的基本特征之一，這一知識也為基本初等函數的研究提供了方法。對于函數單調性的研究過程，我們需要經歷從觀察具體圖像入手，然后進行定量分析，最后抽象出形式化的定義，這個過程中體現了數學中數形結合和歸納轉化的重要數學思想方法，反映了從特殊到一般的數學思維方式，這有助于培養學生根據圖認識數學問題、發展學生的思維能力，掌握學生的思想方法有重大意義。2.學生分析

本節課是在學生初中已有粗略的認識的基礎上進行，即主要根據觀察圖像得出結論。本節課中對于函數單調性的定義，是應用數學符號將自然語言的描述提升到了形式化的定義，學生接受起來可能相對有些困難。在得出函數單調性的定義的過程中，始終要結合具體函數的圖像進行，這樣可以增強直觀性，由具體到抽象，再由抽象到具體，方便學生的理解。在定義中要注意對自變量取值的任意性的理解，留給學生更多的思考空間。

二、教學目標 1.知識與技能

理解函數的單調性的定義，了解增函數、減函數以及單調區間等概念的形成過程。2.過程與方法

掌握用定義證明函數單調性的方法和步驟，掌握利用函數的圖像去判斷函數單調性，經歷從直觀到抽象、從圖形語言到數學語言的過程。

3.情感態度與價值觀

通過自主探究活動，體驗數學概念形成的過程，體會從特殊到一般的過程。

三、教學重難點 1.教學重點

形成增函數和減函數的形式化定義。2.教學難點：

在概念形成的過程中，從圖像的變化趨勢的直觀認識過渡到函數增減的數學符號語言表示；用定義證明函數的單調性。

四、教學基本流程 1.創設情境，引入概念

通過具體有實際意義函數問題，抽象出函數圖像，提問：圖像有什么特點？

師生互動：教師引導學生觀察圖像的升降變化，說出自己的看法。設計意圖：通過學生的直觀認識引入新課，讓學生對函數的單調性產生感性認識，為引出單調性的定義打好基礎，有利于定義的自然生成，也揭示了單調性最本質的東西。2.合作探究，形成概念

觀察兩組圖像(具備增減性的函數圖像)，引導學生嘗試歸納增函數和減函數的定義。

一般地，設函數f(x)的定義域為I：如果對于定義域內I內某個區間D上的任意兩個自變量的值x1,x2，當x1?x2時，都有f(x1)?f(x2)，那么就說函數f(x)是區間D上的單調遞增函數。問題一：兩組函數有什么特征？

問題二：你能用準確的數學符號語言表述增函數的定義嗎？ 學生討論，最后由教師給出增函數的定義。由學生類比得到減函數的定義。

對定義進行適當說明：(1)x1,x2的三大特征：屬于同一個區間，任意性，有大小；(2)函數的單調性是一種局部性質。

啟示：以問題串的方式進行啟發、引導學生自己歸納總結，找出函數在代數上的共同點，得到減函數的定義，主要是為了培養學生對圖像的觀察能力，以及培養學生的歸納概括能力。在總結概念的形式化定義的時候，采用相互討論的方式，目的是可以通過合作學習的方式對基礎較差的學生給予指導，培養學生互相幫助的精神。根據知識的發生發展過程，對學生能力的適當評估；引導學生自己動手得出減函數的定義和圖像特征，這個過程將課堂還給學生，營造一種人人參與的氛圍。

3.定義應用，概念深化

例1：結合函數圖象找到函數的單調區間（注意：單調區間的寫法，能否寫成并集的形式，單調區間是開區間還是閉區間的問題）例2：函數單調性的證明

（總結利用定義證明函數單調性的步驟：取值、作差變形（常用方法：因式分解，有理化，配方等）、定號、下結論）4.歸納總結，提高認識

教師設置問題，引導學生討論、交流、總結，讓學生充分發表意見。（1）通過函數概念的形成過程，你們學習到了什么？

（2）增函數（減函數）的圖像有什么特點？如何根據函數圖像得出函數的單調區間（3）怎樣利用定義證明函數的單調性？ 5.布置作業（必做題與選做題，設置梯度）

五、教學方法

本節課是函數單調性的起始課，主要采用教師啟發講授，學生探究學習的教學方法，通過創設情境，引導探究，師生交流，最終形成概念。其中使用多媒體投影和計算機輔助教學，充分發揮直觀、形象的特點，為學生提供感性的材料，有助于學生的理解和認識。

六、教學反思

新課改強調將課堂還給學生，其實對于教師的要求更加提高。要讓一節課的知識點完全由學生自己總結、歸納是不太現實的，所以這需要教師在課堂中起好啟發、引導作用。在引導的過程中，需要對于不同難度的問題設置不同數量的問題。如果問題較難，跨度較大，我們需要對問題多設置幾個橋梁，減小問題的難度，對于這個度的把握，就需要教師站在一個更高的位置，對知識點和學生的情況有較高的熟悉程度，備課設置問題和相關環節時一定要多考慮學生所有可能出現的情況，在課堂上隨時調整。

我們在課堂上的作用是引導學生，但不是牽著學生走；要嚴格要求學生，但是課堂也不應該過分壓抑。新課程改革中我們一定要將學生放在主體地位，讓學生參與和完成課堂中的活動，教師在整個授課過程中要起好啟發、引導的作用，才可以讓學生學會學習、體會學習的樂趣。