第一篇：淺談導數在求解與函數單調性有關問題中的應用
淺談導數在求解與函數單調性有關問題中的應用
函數單調性是高中階段函數的一個最基本的性質，導數為我們提供了一套新的理論和方法，只通過簡單的求導和解相關的不等式就可以判斷出函數的單調性，進而更深入地解決問題，比如最值問題等。那么，怎樣用導數解決有關單調性的問題呢？
一、導數與函數單調性的關系
1.定義
設函數y=f（x）在某個區間（a，b）內可導，如果f'（x）>0，那么y=f（x）在這個區間內單調遞增；如果f'（x）<0，那么函數y=f（x）在這個區間內單調遞減。
2.說明
（1）如果函數y=f（x）在區間I內恒有f'（x）=0，則y=（x）在區間I內為常函數。
（2）f'（x）>0是f（x）遞增的充分不必要條件，如y=x3在（-∞，+∞）上并不是都有f'（x）>0，有一個點例外，即x=0時f'（x）=0，同樣f'（x）<0是f（x）遞減的充分不必要條件。
（3）設函數y=f（x）在某個區間內可導，如果 f（x）在該區間上單調遞增（或單調遞減），則先列不等式f'（x）≥0（或≤0），再去驗證f'（x）=0時是否恒成立。
（4）利用導數證明不等式時，往往要先構造函數，再利用導數判斷其單調性求解。
（5）利用導數求函數單調區間的三個步驟：
①確定函數的定義域。
②求函數f（x）的導數f'（x）。
③令f'（x）>0解不等式，得x的范圍就是遞增區間；令f'（x）<0解不等式，得x的范圍就是遞減區間。
二、典型例題
1.判斷單調性
例：討論函數的單調性。
題型分析：求出y'，在函數定義域內討論y'的符號，從而確定函數的單調性。
解題歸納：在判斷函數單調性時，在某個區間內若出現個別的點使f'（x）=0，則不影響包含該點的這個區間上函數的單調性，只有在某個區間內恒有f'（x）=0，才能判定f（x）在該區間內為常函數。
2.證明單調性
例：求證函數f（x）=在區間（0，2）上是單調遞增函數。
題型分析：利用導數判斷或證明一個函數在給定區間上的單調性，實質就是判斷或證明不等式f'（x）>0（f'（x）<0）在給定區間上恒成立，一般步驟為：求導數f'（x），判斷f'（x）的符號，給出單調性結論。
解題歸納：判斷導數符號時應注意利用不等式的關系。
3.已知單調性求參數的范圍
例：設函數f（x）=x3+ax2+x+1，a∈R在區間（-，-）內是減函數，求a的取值范圍。
題型分析：函數解析式中含有參數，已知單調性，求參數的取值范圍，解答本題可先求函數的導數，以導數符號確定參數的取值范圍。
解：因為函數f（x）在區間（-，-）內是減函數，所以當x∈（-，-）時，f'（x）≤0恒成立，結合二次函數圖象可以知道f'（-）≥0且f'（-）≤0，解得a≥2。
經驗證，當a=2時也成立，所以a≥2。
解題歸納：本題一定要注意最后的驗證，了解導數符號和單調性的非充要關系，做到知識掌握的準確性和做題邏輯的嚴密性。
變式：若函數f（x）=x3-ax2+（a-1）x+1在區間（1，4）上是減函數，在區間（6，+∞）上是增函數，求實數a的取值范圍。
題型分析：本變式給出了兩個單調區間，應該得出兩個導數不等式，再求參數范圍。
解：f'（x）=x2-ax+（a-1），令f'（x）=0得x=1或x=-1，結合函數圖象可知4≤a-1≤6，故a∈[5，7]。
解題歸納：本題也可轉化為f'（x）≤0，x∈（1，4）恒成立且 f'（x）≥0，x∈（6，+∞）恒成立，再驗證等號的方法來求解。
4.利用單調性證明不等式
例：求證當x>0時，ln（x+1）>x-x2。
題型分析：利用導數證明不等式的基本方法是通過移項或者變形后再移項來構造一個新的函數，利用新函數單調性再求最值的方法來證明。
證明：設f（x）=ln（x+1）-（x-x2）=ln（x+1）-x+x2
函數的定義域為（-1，+∞）
則f'（x）=-1+x=，當x∈（-1，+∞）時，f'（x）>0
所以，f（x）在（-1，+∞）上是增函數。
所以，當x>0時，f（x）>f（0）=0
即當x>0時，ln（x+1）>x-x2
解題歸納：通過考查函數的單調性證明不等式是不等式證明的一種常用方法，也是證明不等式的一種巧妙方法。
總之，導數在求解與單調性有關問題中有廣泛應用，在以后的工作和學習中我將不斷探索和積累。
（責任編輯馮璐）
第二篇：導數在函數及不等關系證明中的應用
導數在函數及不等關系證明中的應用
摘 要：導數是研究函數形態，證明不等式和解決一些實際問題的有力工具，尤其是導數與數列的計算和與不等式的證明等知識進行綜合。而數列又是特殊函數，于是本文將巧用函數的單調性來構造函數證明不等關系，來體現導數在證明不等關系中的作用。關鍵詞：導數；不等式；函數
在證明不等式的過程中，常用方法很多，可以利用函數的單調性，函數的最值以及函數的凹凸性等來解答，但常因方法不當，使得運算量大，直接影響解題速度與結果的正確．所以本文探討的是巧用導函數的單調性來證明不等式的方法．巧用構造函數這一創造性思維來有效合理的使不等式獲得證明，從而體現出初等數學與高等數學的緊密聯系．下面我們對導數在不等式及函數
證明中的應用，利用導函數的單調性來舉例加以說明．
一、利用導函數單調性證明不等式[6]
抓住結構特征,合理變形,采用構造函數法利用函數的單調性,穿插與滲透導數應用時采用這種方法,從而達到證明不等式的目的．
例1．證明：a1?a21?a1?a2?a11?a1?a21?a2．
證明：首先構造函數f(x)?1xx?0．，再對函數f(x)?求導得f'(x)?
1?x1?x(1?x)2易知f(x)在(0,??)上是單調遞增函數． 設x1?a1?a2,x2?a1?a2．顯然x1?x2，因此有 f?x1??f?x2? 即 a1?a21?a1?a2a1?a21?a1?a2a1?a21?a1?a2?a1?a21?a1?a2a11?a1?a2a11?a1?．
a21?a1?a2而 ???a11?a1?a21?a2．
所以得到： ?a21?a2．
從上面這個例子我們可以進一步地推廣到更一般性情況 即 a1?a2???an1?a1?a2???an?a11?a1?a21?a2???an1?an.本題巧妙的抓住了題目的結構特征，合理的利用了導數與函數的性質使題目得到了很好的解決，方法簡單，讓人一目了然，也給解題帶來了不少的方便。
下面再看這樣的一道例題，它是一道關于指數與對數的不等式問題，初看題目，結構特殊叫人無從下手，但是通過巧妙的換底，然后再利用導數的性質，使題目變的簡單明了。
例2．已知a,b為實數，并且e?a?b，其中e是自然對數的底． 證明：ab?ba．
證明：當e?a?b時，要證ab?ba．
只須證明 blna?alnb． 即證
lnx(x?e)． x1?lnx求導得 y'?．
x2lnalnb． ?ab構造函數 y?因為當x?e時，lnx?1，所以y'?0 所以函數y?因為e?a?b 所以
lnx在(e,??)上是減函數． xlnalnb．
所以得到 ab?ba 成立.?ab例3．已知函數g(x)?xlnx,設0?a?b,證明:
?a?b?0?g(a)?g?b??2g???(b?a)ln2．
?2?證明: 先證左邊,設F(x)?g?a??g?x??2g(a?x?a?x?則F'(x)?g'(x)?[2g?． ?]'?lnx?ln2?2?a?x)． 2令F'(x)?0 得x?a.則當0?x?a時,F'(x)?0． 故F(x)在?0,a?內為單調遞減函數． 當x?a時,F'(x)?0． 故F(x)在?a,???內為單調遞增函數． 從而當x?a時, F(x)有極小值F(a)?0． 因為b?a?0 所以 F?b??F?a?．
?a?b?即
0?g(a)?g?b??2g??．
2???a?x?再證右邊,設G(x)?g(a)?g(x)?2g???(x?a)ln2．
2??則
G'(x)?lnx?ln則當x?0時, G'?x??0． 因此G(x)在?a,???內為減函數．
a?x?ln2?lnx?lna(?x)． 2又因為0?a?b．所以G?b??G?a??0．
?a?b?即
g(a)?g?b??2g???(b?a)ln2．
2??綜上所述得原不等式成立．
以上兩道題都是應用導數解決不等式證明問題，其中的導數起一個工具的作用，盡而讓復雜的不等式證明題變的結構簡單，思路明了，這就大大的縮小了解題步驟，簡化了解題過程，節約了解題時間，而且使準確率有很大的提高。
二、利用導函數的單調性結合極值證明不等式[6]
用導數知識去求函數的最值與不等式,體現出函數與不等式的交匯,利用不等式的結構特征．可將問題轉化為定義域上的最值問題,所以當一個函數的單調性已知時,函數的最大(小)值也就“水到渠成”了下面就對此方法進行舉例說明．
例1．已知a,b為正數,且a?b?1．求證:證明:令a?x則b?1?x,從而0?x?1． 我們設
f(x)?11?． 33x?1?1?x??131116?3?3? ． 2a?1b?193x23(1?x)2?則
f'(x)??3． 232(x?1)[(1?x)?1]再求f'(x)的零點并討論f'(x)的符號顯然等價于求
g(x)??
x1?x?． 33x?1(1?x)?13
?x[(1?x)3?1]?(1?x)(x3?1)?． 33（x?1）（[1?x）?1]的零點及符號的變化．
1時, g(x)?0． 21因而 f'(x)?0且當0?x?時, g(x)?0．
2顯然 當x?故 f'(x)?0．f(x)為單調遞增函數． 當 1?x?1時, g(x)?0． 2故 f'(x)?0．f(x)為單調遞減函數． 所以函數f(x)在x?116處取得最大值． 29在x?0或x?1處取得最小值． ． 2316所以 ?f(x)? ．
29又 f(0)?f(1)?例2．函數f(x)?ex?ln(x?1)?1(x?0)，求函數f(x)的最小值．[7] 解：(1)f'(x)?ex?11．當x?0時,因為ex?1,且?1． 1?x1?x所以有f'(x)?0．說明函數f(x)在區間?0,???上是增函數． 故當x?0時,函數f(x)取得最小值為0．
以上例題是利用導數求函數的極值和最值問題，充分的體現了導數工具在解決函數問題時的優越性及它和函數與不等式的交融性，讓導數的優越性得到了更充分的發揮，為我們的解題帶來了不少的方便，簡單的方法也讓我們體驗到了數學的樂趣。
三、利用函數單調性進行數列計算
導數為解不等式注入了新的活力,更是利用函數單調性來解答不等式問題的有利工具,而數列作為特殊函數,于是我們利用導數求解數列就是利用導數求解函數,準確的把握關系,進行有機地整合,來完成這一類問題．這一類型題的關鍵是利用函數的單調性進行數列計算，而我們知道衡量函數單調性的重要工具便是導數，這樣通過函數的單調性把數列計算和導數很好的聯系在了一起，起到了秒筆生輝的作用。為了更好的抓握這種方法，我們 來看下面的例題。
例1．已知數列{an}的通項為an?n2(10?n)(n?N?),求數列最大項． 證明：設 f(x)?x2(10?x).(x?0)． 則
f'(x)?20x?3x2． 令
f'(x)?0 得0?x?令
f'(x)?0 得x?20． 320 或 x?0． 3?20?因為f(x)在區間?0,?上是單調增加．
?3??20?f(x)在區間?,???上是單調減少．
?3?因此當x?20時,函數f(x)取得最大值． 3對n?N?．f(n)?n2(10?n)．
因為f(7)?147?f(6)?144.所以 f(n)max?147 ． 即數列的最大項為a7?147 ．
例2．求數列{nn}的最大項．[5]
解：利用函數單調性,通過考慮連續變量x的最大值來求離散變量n的最大值． 設 f(x)?x(x?0)，?21?1?x則 f'(x)?x?2?2lnx??x?1?lnx?．
x?x?1x11x1n1x所以當0?x?e時, f'(x)?0,f(x)為單調增加． 當x?e時,f(x)為單調減少．
所以 1?2，3?4???n??． 又因為2?3 所以最大項為利用函數的單調性進行數列的計算，而導數又是衡量函數單調性的重要工具，如此便讓導數，函數，不等式有機的結合在一起，構成了強有力的解題體系。為我們快速準確的 12***n解題帶來了方便。
四、利用導數求函數的極值[3][4]
利用導數求函數的極值是導數在數學領域中又一大重要應用，它是求函數極值最重要的方法之一，為了掌握這種方法我們來看下面的兩個例題。
例1.已知f(x)?ax3?bx2?cx(a?0)在x??1時取得極值，且f(1)??1.(1)試求常數a,b,c的值；
(2)試判斷x??1是函數的極小值還是極大值，并說明理由.命題意圖：利用一階導數求函數的極大值和極小值的方法是導數在研究函數性質方面的繼續深入.是導數應用的關鍵知識點，通過對函數極值的判定，可使學生加深對函數單調性與其導數關系的理解.知識依托：解題的成功要靠正確思路的選擇.本題從逆向思維的角度出發，根據題設結構進行逆向聯想，合理地實現了問題的轉化，使抽象的問題具體化.這是解答本題的閃光點.錯解分析：本題難點是在求導之后，不會應用f?(?1)?0的隱含條件，因而造成了解決問題的最大思維障礙.技巧與方法：考查函數f(x)是實數域上的可導函數，可先求導確定可能的極值，再通過極值點與導數的關系，建立由極值點x??1所確定的相等關系式，運用待定系數法求值.解：(1)f?(x)?3ax2?2bx?c ∵x??1是函數f(x)的極值點，∴x??1是方程f?(x)?0,即3ax2?2bx?c?0的兩根.?2b??0??3a由根與系數的關系，得?
c???1??3a①
②
又f(1)=－1,∴a?b?c??1, 由①②③解得a?,b?0,c?, 1232
③
133x?x, 22333∴f?(x)?x2??(x?1)(x?1), 222(2)f(x)? 6 當x??1或x?1時，f?(x)?0, 當?1?x?1時，f?(x)?0, ∴函數f(x)在(－∞,－1)和(1,+∞)上是增函數，在(－1，1)上是減函數.∴當x=－1時，函數取得極大值f(?1)?1, 當x=1時，函數取得極小值f(1)??1.例2．設f(x)=ax3+x恰有三個單調區間，試確定a的取值范圍，并求其單調區間[2] 解：f'(x)=3ax2+1 若a＞0, f'(x)＞0對x∈(－∞,+∞)恒成立，此時f(x)只有一個單調區間，矛盾.若a =0, f'(x)=1＞0,∴x∈(－∞,+∞),f(x)也只有一個單調區間，矛盾.若a＜0,因為f'(x)=3a(x+
13|a|)·(x－
13|a|13|a|),此時f(x)恰有三個單調區間.13|a|13|a|所以a＜0且單調減區間為(－∞,－13|a|)和(,+∞)，單調增區間為(－,).例3．設x=1與x=2是函數f(x)= a lnx+bx2+x的兩個極值點.(1)試確定常數a和b的值；
(2)試判斷x=1, x=2是函數f(x)的極大值還是極小值，并說明理由.解：f'(x)=a+2bx+1． xa+4b+1=0,解方程組可得 2(1)由極值點的必要條件可知：f'(1)=f'(2)=0,即a+2b+1=0,且a =－,b=－,∴f(x)=－lnx－(2)f'(x)=－2-11x－x+***
x+x． 6,當x∈(0,1)時，f'(x)＜0,當x?(1,2)時，f'(x)＞0,當
56x?(2,+∞)時，f'(x)＜0,故在x =1處函數f(x)取得極小值,在x=2處函數取得極大值42－ln2.33 因此,從上面的例題分析來看,導數在證明不等式及函數中有很多妙處，在解答函數及不等式證明問題時避免了一些不必要的復雜運算,簡化了解題過程．而本文主要是利用了函數的單調性來研究不等式，并且數列作為特殊函數,用導數解決了有關數列的單調性問題及函數極值問題．在其中主要用到了構造函數,利用導數這一創造思維合理地有效地證明了不等式，使求極值的方法更簡便。參考文獻
[1] 唐永,徐秀． 慎用導數解數列問題． 數學通報． 2006．3 [2] 韓什元,李曉培． 高等數學解題方法匯編． 華南理工大學出版社． 2002．9． [3] 楊愛國． 利用導數解初等數學問題． 中學數學研究． 2004．4 [4] 陳文燈,黃先開． 高等數學復習指南:思路方法與技巧． 清華大學出版社．2003．7 [5] 龔冬保,武忠祥． 高等數學典型題解法技巧． 西安交通大學出版社． 2000．1 [6] 劉聰, 勝秦永． 函數與不等式高考題目回顧與展望． 中學數學教學參考． 2006．3 [7] 林源渠,方正勤． 數學分析解題指南． 北京大學出版社． 2003 Application in not waiting for the relation to prove of derivative
tala
200411557 Instructor
taogesi Mathematical Sciences Mathematics and Applied Mathematics
Mongolian class 2004 level
Abstract：The derivative studies the function attitude, prove the inequality and solve the strong tools of some practical problems, especially knowledge such as the calculation of the derivative and several and identification with the inequality are synthesized． And several this special function, then this text come on structure function prove monotonicity to skilfully use function that does not vary the relation, come , reflect derivative in function to wait for relation of proving．
Keyword ： Derivative；Inequality；Function 8
第三篇：數學論文-導數在函數中的應用
導數在函數中的應用
【摘 要】新課程利用導數求曲線的切線，判斷或論證函數的單調性，函數的極值和最值。導數是分析和解決問題的有效具。
【關鍵詞】導數 函數的切線 單調性 極值和最值
導數（導函數的簡稱）是一個特殊函數，它的引出和定義始終貫穿著函數思想。新課程增加了導數的內容，隨著課改的不斷深入，導數知識考查的要求逐漸加強，而且導數已經由前幾年只是在解決問題中的輔助地位上升為分析和解決問題時的不可缺少的工具。函數是中學數學研究導數的一個重要載體，函數問題涉及高中數學較多的知識點和數學思想方法。近年好多省的高考題中都出現以函數為載體，通過研究其圖像性質，來考查學生的創新能力和探究能力的試題。本人結合教學實踐，就導數在函數中的應用作個初步探究。
有關導數在函數中的應用主要類型有：求函數的切線，判斷函數的單調性，求函數的極值和最值，利用函數的單調性證明不等式，這些類型成為近兩年最閃亮的熱點，是高中數學學習的重點之一，預計也是“新課標”下高考的重點。
一、用導數求函數的切線
例1.已知曲線y=x3-3x2-1，過點（1，-3）作其切線，求切線方程。
分析：根據導數的幾何意義求解。
解：y′ = 3x2-6x，當x=1時y′=-3，即所求切線的斜率為-3.故所求切線的方程為y+3 =-3(x-1)，即為：y =-3x.1、方法提升：函數y=f(x)在點x0處的導數的幾何意義，就是曲線y=f(x)在點P（x0，y=f(x0)）處的切線的斜率。既就是說，曲線y=f(x)在點P（x0，y=f(x0)）處的切線的斜率是f′(x0)，相應的切線方程為y-y0= f′(x0)(x-x0)。
二、用導數判斷函數的單調性
例2．求函數y=x3-3x2-1的單調區間。
分析：求出導數y′，令y′>0或y′<0，解出x的取值范圍即可。
解：y′= 3x2-6x，由y′>0得3x2-6x﹥0，解得x﹤0或x﹥2。
由y′<0 得3x2-6x﹤0，解得0﹤x＜2。
故 所求單調增區間為(-∞，0)∪(2，+∞)，單調減區間為(0，2)。
2、方法提升：利用導數判斷函數的單調性的步驟是：（1）確定f(x)的定義域；（2）求導數f′(x)；（3）在函數f(x)的定義域內解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；（4）確定f(x)的單調區間.若在函數式中含字母系數，往往要分類討論。
三、用導數求函數的極值
例3．求函數f(x)=(1/3)x3-4x+4的極值
解：由 f′(x)=x2-4=0，解得x=2或x=－2.當x變化時，y′、y的變化情況如下：
當x=－2時，y有極大值f(-2)=－（28/3），當x=2時，y有極小值f(2)=－(4/3).3、方法提升：求可導函數極值的步驟是：（1）確定函數定義域，求導數f′(x)；（2）求f′(x)= 0的所有實數根；（3）對每個實數根進行檢驗，判斷在每個根（如x0）的左右側，導函數f′(x)的符號如何變化，如果f′(x)的符號由正變負，則f(x0)是極大值；如果f′(x)的符號由負變正，則f(x0)是極小值.。注意：如果f′(x)= 0的根x = x0的左右側符號不變，則f(x0)不是極值。
四、用導數求函數的最值
五、證明不等式
5、方法提升：利用導數證明不等式是近年高考中出現的一種熱點題型。其方法可以歸納為“構造函數，利用導數研究函數最值”。
總之，導數作為一種工具，在解決數學問題時使用非常方便，尤其是可以利用導數來解決函數的單調性，極值，最值以及切線問題。在導數的應用過程中，要加強對基礎知識的理解，重視數學思想方法的應用，達到優化解題思維，簡化解題過程的目的，更在于使學生掌握一種科學的語言和工具，進一步加深對函數的深刻理解和直觀認識。參考資料：
1、普通高中課程標準實驗教科書（北京師范大學出版社）
2、高中數學教學參考
第四篇：第二章與第三章：函數導數與導數的應用
第二章與第三章：函數導數與應用
1、求函數在一點的導數
例如：設函數f(x)?xcosx，則f'(0)?
2、討論函數y?x在定義域范圍內的單調性
3、記住結論：
函數在某點不可導，函數所表示的曲線在相應點的切線不一定不存在4、求函數的全微分
例如：一直函數y?xlnx，求dy。
5、求隱函數的導數
例如：由方程x?2xy?y?0確定y?y(x)，求
6、記住導數定義，利用導數定義求極限。
7、求函數在某區間上的最值
例如：求f(x)?x在[?2,6]上的最大值和最小值。
8、利用單調性證明不等式
當x?0時，證明不等式2xarctanx?ln(1?x)
22262dy。dx
第五篇：構造函數法在導數中的應用（小編推薦）
構造函數法在導數中的應用
“作差法”構造
證明不等式或解決不等式恒成立問題都可以利用作差法將不等式右邊轉化為0，然后構造新函數[F（x）]，最后根據新函數[F（x）]的單調性轉化為[F（x）min≥0]或者[F（x）max≤0來解決.]
例1 設函數[f（x）=x1+x]，[g（x）=lnx+12].求證：當[0 ∵[F（x）=1+x-x1+x2-1x=-x2-x-11+x2?x<0.] ∴[F（x）]在（0，1]上單調遞減.∵[F（1）=12-0-12=0，] ∴[F（x）]≥0，當且僅當[x=1]時，等號成立.∴當[0 恒成立問題中，求參數范圍的問題，常常分離參數轉化為[a≤F（x）min或者a≥F（x）max，]其中[F（x）]為構造的新函數.例2 若不等式[2x?lnx≥-x2+ax-3]恒成立，則實數[a]的取值范圍是（） A.（-∞，0）B.（-∞，4] C.（0，+∞）D.[4，+∞） 解析不等式[2x?lnx≥-x2+ax-3]恒成立，即[a≤2lnx+x+3x]在（0，+[∞]）上恒成立.設[h（x）=2lnx+x+3x]，則[h′（x）=（x+3）（x-1）x2（x>0）].當[x∈（0，1）]時，[h′（x）<0]，函數[h（x）]單調遞減； 當[x∈（1，+∞）]時，[h′（x）>0]，函數[h（x）]單調遞增.所以[h（x）min=h（1）=4].所以[a≤h（x）min=4].答案 B 根據題干的“結構特征”猜想構造 1.根據運算公式[f（x）?g（x）′=f（x）g（x）+f（x）g（x）]和[f（x）g（x）′][=f（x）g（x）-f（x）g（x）g（x）2來構造] 例3 已知函數[f（x）]的定義域是[R]，[f（0）=2]，對任意的[x∈R]，[f（x）+f（x）>1]恒成立，則不等式[ex?f（x）][>ex+1]的解集為（） A.（0，+∞）B.（-∞，0） C.（-1，+∞）D.（2，+∞） 解析構造函數[g（x）=ex?f（x）-ex]，因為[g′（x）=ex?f（x）+ex?f（x）-ex=ex[f（x）+f（x）]-ex] [>ex-ex=0]，所以[g（x）=ex?f（x）-ex]為[R]上的增函數.又[g（0）=e0?f（0）-e0=1]，所以原不等式轉化為[g（x）>g（0）]，所以[x>]0.答案 A 例4 設函數[f（x）]滿足[x2?f（x）+2x?f（x）=exx，][f（2）=][e28，]則當[x>0]時，[f（x）]（） A.有極大值，無極小值 B.有極小值，無極大值 C.既有極大值又有極小值 D.既無極大值又無極小值 解析構造函數[F（x）=x2?f（x）] 則[f（x）=F（x）x2′=ex-2F（x）x3，] [令h（x）=ex-2F（x），則h（x）=ex（x-2）x.] [∴h（x）]在（0，2）上單調遞減；在[（2，+∞）]上單調遞增.[∴h（x）≥h（2）=0].[∴f（x）≥0，∴f（x）在（0，+∞）上單調遞增.] 答案 D 2.根據已知條件等價轉化后再以“形式”來構造 運用下列形式的等價變形構造：分式形式[f（b）-f（a）b-a<1，] 絕對值形式[f（x1）-f（x2）][≥4x1-x2]，指對數形式[1×2×3×4×?×n≥en-sn.] 例5 設函數[ f（x）=lnx+mx]，[m∈R].（1）當[m=e]（[e]為自然對數的底數）時，求[f（x）]的極小值； （2）討論函數[g（x）=f（x）-3x]零點的個數； （3）若對任意[b>a>0]，[f（b）-f（a）b-a<1]恒成立，求[m]的取值范圍.解析（1）當[m=e]時，[f（x）=lnx+ex]，則[f（x）=x-ex2].∴當[x∈（0，e）]，[f（x）<0]，[f（x）]在[（0，e）]上單調遞減； 當[x∈（e，+∞）]，[f（x）>0]，[f（x）]在[（e，+∞]）上單調遞增.∴[x=e]時，[f（x）]取得極小值[f（e）=lne+ee]=2.∴[f（x）]的極小值為2.（2）由題設知，[g（x）=f（x）-x3=1x-mx2-x3（x>0）].令[g（x）=0]得，[m=-13x3+x（x>0）].設[φ（x）][=-13x3+x（x>0）]，則[φ（x）=-x2+1=-（x-1）（x+1）]，當[x∈（0，1]）時，[φ（x）]>0，[φ（x）]在（0，1）上單調遞增； 當[x∈（1，+∞）]時，[φ（x）]<0，[φ（x）]在（1，+∞）上單調遞減.∴[x=1]是[φ（x）]的惟一極值點，且是極大值點.因此[x=1]也是[φ（x）]的最大值點.∴[φ（x）]的最大值為[φ（1）]=[23].又[φ（0）]=0，結合[y=φ（x）]的圖象（如圖）可知，①當[m>23]時，函數[g（x）]無零點； ②當[m=23]時，函數[g（x）]有且只有一個零點； ③當[0 ④當[m≤0]時，函數[g（x）]有且只有一個零點.綜上所述，當[m>23]時，函數[g（x）]無零點； 當[m=23]或[m≤0]時，函數[g（x）]有且只有一個零點； 當[0 ∴[m]的取值范圍是[14，+∞].例6 已知[f（x）=（a+1）lnx+ax2+1]，（1）討論函數[f（x）]的單調性； （2）[設a<-1，?x1，x2∈（0，+∞），][f（x1）-f（x2）][≥4x1-x2]恒成立，求[a]的取值范圍.解析（1）[∵x∈（0，+∞），∴f（x）=2ax2+a+1x.] [①當a≥0時，f（x）>0，f（x）在（0，+∞）上單調遞增.②當-10時，f（x）在（0，-a+12a）上單調遞增；當f（x）<0時，f（x）在（-a+12a，+∞）上單調遞減.③當a≤-1時，f（x）<0，f（x）在（0，+∞）上單調遞減.] （2）不妨設[x1≤x2，]由（1）可知，當[a<-1]時，[f（x）]在[（0，+∞）上單調遞減.] [則有f（x1）-f（x2）≥4x1-x2] [?f（x1）-f（x2）≥-4（x1-x2）] [?f（x1）+4x1≥f（x2）+4x2.] [構造函數g（x）=f（x）+4x，則g（x）=a+1x+2ax+4≤0].[∴a≤（-4x-12x2+1）min.] [設φ（x）=-4x-12x2+1，x∈（0，+∞），] [則φ（x）=4（2x-1）（x+1）（2x2+1）2.] [故φ（x）在（0，12）上單調遞減；][在（12，+∞）上單調遞增].[∴φ（x）min=φ（12）=-2.] [∴a≤-2.]
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