第一篇：07-08微積分(II)期末考試復習指南

07-08微積分(II)期末考試復習指南

各章涉及的考點主要包括：

五、定積分及其應用

1、定積分的概念和性質

2、微積分基本定理和微積分基本公式（如書上P188習題5-3.1、3、6）

3、換元積分法和分部積分法（如書上P191 例5；P194習題5-4.2(2)(4)(5)(6)）

4、廣義積分（如書上P197 例

5、P198 例8）

5、直角坐標系下平面圖形的面積和旋轉體的體積（如書上P202例2;P203例3；P206例9；P208習題5-6.12（3））

注意：本章復習要訣，要花大力氣做好充分復習，但考點涉及的各種問題都要適當地做幾道練習題，加深對相關概念、公式和定理的理解。本章所占分值較大。

六、多元函數微積分

1、二元函數的極限（如書上P13習題6-2.4）

2、偏導數（如書上P17例4；P18習題6-3.2）

3、全微分，全微分與連續、偏導數的關系（如書上P21習題6-4.2、3）

4、復合函數和隱函數的微分（如書上P29習題6-5.15、16）

5、拉格朗日乘數法（如書上P35例8；P39習題6-6.7；P59總復習六24）

6、二重積分：交換二次積分次序、分別在直角坐標系和極坐標系下計算二重積分（如書上P52習題6-8.1、3；P55例

1、例2）

注意：本章復習要訣，要花大力氣做好充分復習，考點涉及的各種問題要適當地做幾道練習題，加深對相關概念、公式和定理的理解。本章所占分值最大。

七、無窮級數

1、正項級數的判定（如書上P69例

1、P70例4；P96 總習題七4（2）（4）（6））

注意：本章復習要訣，不要鉆研復雜的無窮級數，理解常數項級數的概念和性質，能夠正確判斷正項級數的斂散性，對相關問題要適當地做一些練習題，加深對相關概念、公式和定理的理解，效果應該不錯。

八、微分方程與差分方程

1、可分離變量的微分方程（如書上P103例

1、P104例2）

注意：本章復習要訣，搞清楚可分離變量的微分方程的特征以及解法，并適當地做一些練習題即可。

第二篇：微積分II全書整理

第一部分 多變量微分學

一、多元函數極限論 1.多元函數極限的定義：

（1）鄰域型定義：設函數f(P)的定義域為D，P0是D的聚點，如果存在常數A，對于任意給定的正數?，總存在正數?，使得當點P?D?U?(P0)時，都有f(P)?A??，那么就稱常數A為函數f(P)當P?P0時的極限，記作limf(P)?A.P?P0?（2）距離型定義：設函數f(P)的定義域為D，P0是D的聚點，如果存在常數A，對于任意給定的正數?，總存在正數?，使得當點P?D，且0??(P,P0)??時，都有f(P)?A??，那么就稱常數A為函數f(P)當P?P0時的極限，記作limf(P)?A.P?P0注：①這里給出的是數學分析中國際通用的定義，已自然排除了P0鄰域內的無定義點； ②極限存在的充要條件：點P在定義域內以任何方式或途徑趨近于P0時，f(P)都有極限； ③除洛必達法則、單調有界原理、窮舉法之外，可照搬一元函數求極限的性質和方法，常用的有：等價無窮小替換、無窮小×有界量=無窮小、夾擠準則等；

④若已知limf(P)存在，則可以取一條特殊路徑確定出極限值；相反，如果發現點P以不P?P0同的方式或途徑于P0時，f(P)區域不同的值，則可斷定limf(P)不存在.P?P0⑤二元函數的極限記為（x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?A或limf(x,y)?A.x?x0y?y02.多元函數的連續性：設函數f(P)的定義域為D，P0是D的聚點，如果P0?D，且有P?P0limf(P)?f(P0)，則稱f(P)在P0處連續；如果f(P)在區域E的每一點處都連續，則稱f(P)在區域E上連續.注：①如果limf(P)?f(P0)，只稱“不連續”，而不討論間斷點類型；

P?P0②在有界閉區域上的連續函數擁有和一元函數類似的性質，如有界性定理、一致連續性定理、最大值最小值定理、介值定理等.3.二重極限與累次極限

累次極限與二重極限的存在性之間沒有任何必然的聯系，但若某個累次極限和二重極限都存在，則它們一定相等；反之，若兩個累次極限存在而不相等，則二重極限一定不存在，又若兩個累次極限存在且相等，稱累次極限可以交換求極限的順序.二、偏導數、全微分

1.偏導數、全微分的相關理論問題（以二元函數為例討論）

（1）偏導數的存在性：討論對某個變量的偏導數，則將其他變量當作常數.f(x,y0)?f(x0,y0)?f(x0,y)?f(x0,y0)?lim?fx'(x0,y0)；lim?fy'(x0,y0).x?x0y?y0x?x0y?y0（2）可微性：記?z?f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)，則僅當limx?0y?0?z?(A?x?B?y)(?x)?(?y)22?0時，f(x,y)在(x0,y0)處可微，否則不可微.其中A?fx'(x0,y0)，B?fy'(x0,y0).注：等價于?z?A?x?B?y?o?(?x)2?(?y)2

?即f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)?(A?x?B?y)?o又即

?(?x)2?(?y)2

?f(x,y)?f(x0,y0)??fx'(x0,y0)(x?x0)?fy'(x0,y0)(y?y0)??o(x?x0)2?(y?y0)2記dz?A?x?B?y????z?zdx?dy為全微分f(x,y)在(x,y)處的全微分.?x?y中值定理推廣為：?z?fx'(x??1?x,y??y)?x?fy'(x,y??2?y)?y,0??1,?2?1.（3）偏導數的連續性：討論偏導連續性，先用定義求fx'(x0,y0)和fy'(x0,y0)，用公式求fx'(x,y)和fy'(x,y)，判斷limfx'(x,y)?fx'(x0,y0)和limfy'(x,y)?fy'(x0,y0)x?x0y?y0x?x0y?y0是否都成立，如果都成立則偏導數連續.④邏輯關系：

連續偏導連續??可微?偏導存在?極限存在

2.多元函數微分法：（1）鏈式求導法則：

①從題目中的復合關系畫出從起始變量經過中間變量到終變量的復合結構圖；

②求偏導就是“走路”的過程，有幾條路，等號后就有幾項；每條路上有幾段，每項中就會有幾部分相乘（注意：偏導寫偏微分符號“?”，不偏則寫微分符號“d”）； ③嚴格遵守用位置表示偏導數的規則，注意避免符號混亂和歧義；

④對于求高階偏導數的問題，不論對誰求導，也不論求了幾階導，求導后的新函數仍具有與原來函數相同的復合結構（注意若偏導連續則相等，要合并同類項）.（2）全微分形式不變性：僅一階全微分可以使用，高階全微分不再成立.（3）隱函數存在性及求導法則：

①一個方程的情形（以三個變量為例）：設F(x,y,z)在點(x0,y0,z0)某鄰域內偏導連續，且F(x0,y0,z0)?0，Fz'(x0,y0,z0)?0，則方程F(x,y,z)?0在點(x0,y0,z0)內某鄰域內可唯一確定單值函數z?z(x,y)，這個函數在(x0,y0)的某鄰域內具有連續的偏導數，且

Fy'F'?z?z.結論不難推廣到一般情形.??x，???xFz'?yFz'②方程組的情形：一般地，設方程組Fi(x1,x2,?,xn;u1,u2,?,um)?0(i?1,2,?m)可確定m個n元函數ui?ui(x1,x2,?,xn).當雅可比行列式

?F1?u1?F2?(F1,F2,?,Fm)J???u1?(u1,u2,?,um)??Fm?u1?F1?u2?F2?u2??Fm?u1?F1?um?F1??um?0 ??F1??um??ui?(F1,F2,?,Fm)J??時，可以確定其中J由將J?分母中的第i個元素替換成xj??，?(u1,u2,?,um)?xjJ得到.（雅可比行列式在橫向上改變各自變量，縱向上改變各函數名稱）注：①求導前應事先判斷，a個變元，b個方程可確定b個(b?a)元函數； ②有些比較簡單的問題不必使用此通法，可以考慮利用全微分形式不變性.③經驗結論：由u??(x,y,z),v??(x,y,z),F(u,v)?0確定的隱函數z?z(x,y)，?2zA求2時，有?x(F2')2?2u?2v??u????F1'2?F2'2?0；

?x?x??x?2?2zA?u?u?2u?2v求時，有?F1'?F2'?0； 2?x?y?x?y?x?y(F2')?x?yA?2z求2時，有(F2')2?y2??u??2u?2v???y???F1'?y2?F2'?y2?0，??22其中A?(F2')F“11?2F1'F2'F”12?(F1')F“22.（F(x,y)?0的曲率：A21?(F')?(F2')322?）

三、多元微分學的幾何學應用（以下的討論主要為了計算，條件未必嚴格）

?x?x?t??1.曲線的切線和法平面：設曲線l:?y?y?t? 在P0處x'?t0?，y'?t0?，z'?t0?都存在且不為0，?z?z?t??則曲線l在P0處的：（1）切線方程為x?x0y?y0z?z0： ??x'?t0?y'?t0?z'?t0?（2）法平面方程為x'?t0?(x?x0)?y'?t0?(y?y0)?z'?t0?(z?z0)?0.注：若曲線以???F(x,y,z)?0?Fy'Fz'Fz'Fx'Fx'Fy'??形式給出，切向量為?，，?.G'G'G'G'Gx'x?zGz'y??G(x,y,z)?0?y?2.曲面的切平面與法線：設曲面?由方程F(x,y,z)?0確定，F(x,y,z)在點P0(x0,y0,z0)處可微，且Fx'，Fy'，Fz'不為0，則曲面?在P0處的：

（1）切平面方程為Fx'(x?x0)?Fy'(y?y0)?Fz'(z?z0)?0（導數已經代入P0坐標）；（2）法線方程為x?x0y?y0z?z0.??Fx'Fy'Fz'注：二元函數在某點處的全微分等于其在這點處切平面豎坐標的增量.3.方向導數：（1）定義式：?u?l?P0?limP?P0f(P)?f(P0)

PP0（2）若函數f(x,y,z)在點P0處可微，那么f(x,y,z)在點P0處沿所有方向的方向導數存在，且?f?l?P0??f?f?f?cos??cos??cos?，其中cos?,cos?,cos?為l的方向余弦.?x?y?z注：沿所有方向的方向導數存在不能推出可微，偏導數存在不能推出各方向導數存在.4.梯度：

（1）計算：grad u=?u?u?ui+j+k； ?x?y?x（2）grad u是u(P)在點P的變化量最大的方向，其模等于這個最大變化率；（3）梯度的運算法則和一元函數的求導法則相似；（4）方向導數等于梯度在該方向上的投影.四、極值與最值問題

1.二元函數的非條件極值問題

（1）極值的必要條件：對偏導數存在的函數f(x,y)，在M(x0,y0)處有極值的必要條件是?f(x0,y0)?f(x0,y0)??0.（可推廣到三元及以上）

?x?y（2）極值的充分條件：設M(x0,y0)為函數f(x,y)的駐點，且f(x,y)在(x0,y0)處連續，記A?f”xx(x0,y0),B?f“xy(x0,y0),C?A?f”yy(x0,y0),??B?AC，則： ①??0時，(x0,y0)是極值點，當A?0時，f(x0,y0)為極小值；當A?0時，f(x0,y0)為極大值；

②??0時，(x0,y0)不是極值點； ③??0時，此法失效，另謀它法.注：本方法不可推廣到三元及以上，三元及以上的充分條件中，要求黑塞矩陣正定或負定.（本知識不做要求，在出題人手下不會出現三元以上的極值判斷問題）2.條件極值與拉格朗日乘數法

（1）一般情況下的拉格朗日乘數法：求函數u?f(x1,x2,?,xn)在條件?i(x1,x2,?,xn)下的條件極值(i?1,2,?m,m?n)，可以從函數

2F(x1,?,xn,?1,?,?n)?f(x1,x2,?,xn)???i?i(x1,x2,?,xn)

i?1m的駐點中得到可能的條件極值的極值點.步驟：

①構造輔助函數；（注意：變量均為獨立變量）②求各變量的一階導并令其為零，聯立得到方程組； ③解方程組得到所有駐點.（解無定法，盡量利用觀察法）（2）對“條件極值”的解讀：

事實上，只利用拉格朗日乘數法求條件極值無異于掩耳盜鈴.由于對于多元函數，構造拉格朗日函數后會出現至少三個變量，在數學上欲判斷求得的駐點是否是極值點需要利用三階以上的黑塞矩陣.而出題人為了回避這一知識點，通常以實際問題的形式來考察拉格朗日乘數法.由于在實際問題的背景下必存在最值，可以認為“所得即所求”，但是實際上求出的并不是真正的條件極值，而是在條件下的最值.所以，出題人通常在題目中會以“最值”來代替極值進行考察.五、習題

?2u?2u?y?1.已知方程2?2?0有u????形式的解，求出此解.?x?y?x?2.已知二元函數z?f(x,y)可微，兩個偏增量：?xz?(2?3x2y2)?x?3xy2?x2?y2?x3，?yz?2x3y?y?x3?y2.且f(0,0)?1,求f(x,y).?2z3.設F(x?y?z,x?y?z)?0確定z?z(x,y)，其中F有二階連續偏導數，求.?x?y2224.已知函數z?f(x,y)可微，且有

?z?z?z?0，?y?0.現在將x作為滿足方程(x?z)?x?x?yy,z的函數，求?x.?y5.設y?f(x,t),t是由方程F(x,y,t)?0確定的x,y的函數，其中F和f均有一階連續的偏導數，求dy.dx6.設x??(u,v),y??(u,v),z?f(u,v),z是x,y的二元函數，求

?z?z.及

?x?y7.求函數w?e的方向導數.8.求grad[c·r+?2yln(x?z2)在點(e2,1,e)處沿曲面x?eu?v,y?eu?v,z?euv的法線向量1ln(c·r)],其中c為常向量，r為向徑，且c·r >0.2'9.設二元函數f在P0(x0,y0)點某鄰域內偏導數fx'和fy都有界，證明:f在此鄰域內連續.10.設fx'(x0,y0)存在，fy(x,y)在(x0,y0)處連續，證明：f(x,y)在(x0,y0)處可微.'?x3?y3，(x,y)?(0,0)?11.證明：函數f(x,y)??x2?y2在原點處偏導數存在但不可微.?0，(x,y)?(0,0)?12.設z?z(x,y)是由方程2x?y?其中?有連續的二階導函數，證明：????確定的二元函數，zz???2z?2z??2z??????.?x?y?x2?y2???13.證明：曲面e2x?z?f(?y?2z)是柱面，其中f可微.第二部分 多變量積分學

一、各類積分的計算公式及意義

（一）二重積分 1.計算公式

①直角坐標系下的二重積分：②極坐標系下的二重積分：

??f?x,y?dxdy??dx?Dabby2(x)y1(x)f?x,y?dy??dy?cdx2(y)x1(y)f?x,y?dx

??Df?x,y?dxdy??d????r2(?)r1(?)f?rcos?,rsin??rdr??rdr?a?2(r)?1(r)f?rcos?,rsin??d?.?(x,y)dudv

?(u,v)③二重積分的變量替換：

?xy??f?x,y?dxdy??uv??f?x(u,v),y(u,v)?2.幾何意義：f?x,y??0時，表示以z?0為底，以z?f?x,y?為頂的曲頂柱體的體積.3.物理意義：各點處面密度為f?x,y?的平面片D的質量.（二）三重積分 1.計算公式

①直角坐標系下的三重積分：（1）柱型域：

投影穿線法（先一后二法）：（2）片型域：

定限截面法（先二后一法）：

???f?x,y,z?dV????dxdy??Vxyz2?x,y?z1x,y?f?x,y,z?dz

???Vf?x,y,z?dV??dz??f?x,y,z?dxdy

z1Dzz2②柱面坐標系下的三重積分：

???f?x,y,z?dV????f?rcos?,rsin?,z?rdrd?dz???d??VV?r2r1rdr?z2?r,??z1?r,??f?rcos?,rsin?,z?dz③球面坐標系下的三重積分：

???Vf?x,y,z?dV????f?rsin?cos?,rsin?sin?,rcos??r2sin?d?d?drV??d?????2????1???sin?d??r2??,??r1??,??f?rsin?cos?,rsin?sin?,rcos??r2dr

④三重積分的變量替換：

???Vxyzf?x,y,z?dV????f?x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)?Vuvw?(x,y,z)dudvdw

?(u,v,w)2.物理意義：各點處體密度為f?x,y,z?的幾何形體?的質量.（三）第一型曲線積分： 1.計算公式

①平面曲線的情形：

b?x?x?t?,（1）C:?a?t?b則?f?x,y?ds??f?x?t?,y?t??x?2?t??y?2?t?dt.Ca?y?y?t?,（2）C:y?g?x?,a?x?b則（3）C:r?r???,?????則②空間曲線的情形：

?Cf?x,y?ds??f?x,g?x??1?g'2?x?dx.ab?f?x,y?ds???f?r???cos?,r???sin??C?r2????r?2???d?.?x?x?t?,??C:?y?y?t?,a?t?b:?f?x,y,z?ds??f?x?t?,y?t?,z?t??x?2?t??y?2?t??z'2?t?dt.C??z?z?t?,?2.幾何意義：以C為準線，母線平行于z軸的柱面介于z?0與z?f?x,y?間的面積.3.物理意義：各點處線密度為f?x,y?（或f?x,y,z?）的曲線C的質量.（四）第一型曲面積分： 1.計算公式：

??f?x,y,z?dS????f?x,y,z?x,y??Sxy??z???z?1???????y??dxdy.?x????222.物理意義：各點處面密度為f?x,y,z?的曲面S的質量.（五）第二型曲線積分：

1.計算公式：

①平面曲線的情形：C:??x?x?t?,a?t?b?y?y?t?,ba?P(x,y)dx?Q(x,y)dy??CP(x(t),y(t))dx(t)?Q(x(t),y(t))dy(t)

?x?x?t?,?②空間曲線的情形：C:?y?y?t?,a?t?b

?z?z?t?,???CbP(x,y,z)dx?Q(x,y,z)dy?R(x,y,z)dz?P(x(t),y(t),z(t))dx(t)?Q(x(t),y(t),z(t))dy(t)?z(x(t),y(t),z(t))dz(t)

a2.物理意義：力場F=P(x,y,z)i+ Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k沿有向曲線C所做的功.（六）第二型曲面積分： 1.計算公式：

??P(x,y,z)dydz?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdyS???z????z???????????P(x,y,z(x,y))????Q(x,y,z(x,y))?R(x,y,z(x,y))?dxdy.?x???y??xy???2.物理意義：流速場v=P(x,y,z)i+ Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k單位時間通過有向曲面S流向指定一側的凈通量.二、各種積分間的聯系

1.第一型曲線積分與第二型曲線積分：

?CPdx?Qdy?Rdz???Pcos??Qcos??Rcos??ds.C2.第一型曲面積分與第二型曲面積分：

??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy????Pcos??Qcos??Rcos??dS.SS3.第二型曲線積分與二重積分（Green公式）：

??Q?P??Pdx?Qdy??C????x??y??dxdy.?D?4.第二型曲面積分與三重積分（Gauss公式）：

??P?Q?R??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy????????x??y??z??dV.?SV?5.第二型曲線積分與第二型曲面積分（Stokes公式）：

??R?Q???Q?P???P?R????Pdx?Qdy?Rdz??dydz??dzdx??????C????y?z???dxdy.?z?x?x?y?????S?

三、各種積分的通用性質

1.黎曼積分的性質

1°??f?P???g?P??d???????f?P?d????g?P?d?.?12°

??f?P?d???f?P?d???f?P?d?，其中??1?2??2??，且?1與?2無公共內點.3°若f?P??g?P?，P??，則

??f?P?d???g?P?d?.??若f?P??g?P?,f?P??g?P?，且f?P?,g?P?連續，P??，則

?f?P?d???g?P?d?.?4°

??f?P?d???f?P?d?.?5° 若f?P?在積分區域?上的最大值為M，最小值為m，則m????f?P?d??M?.6° 若f?P?在有界閉區域?上連續，則至少有一點P??，使

?2??f?P?d??fP??.3??7° 若??R關于坐標軸對稱，當f?P?關于垂直該軸的坐標是奇函數則為0；若??R關于坐標平面對稱，當f?P?關于垂直該平面坐標軸的坐標是奇函數時為0.8° 將坐標軸重新命名，如果積分區域不變，則被積函數中的x,y,z也同樣作變化后，積分值保持不變.2.第二型積分的性質

1° 設?是與?方向相反的幾何體，則????A(P)d????A(P)d?.?????????????2° ??A?P???B?P?d????A?P?d????B?P?d?.???????3°若???1??2，則A(P)d???????1?A(P)d???A(P)d?.?2????4°若ep?A?P?,P??,則?A(P)d??0.????5°設P??,ep=?cos?P，cos?P，cos?P?，A?P?=?P(P),Q(P),R(P)?，則

???A(P)d????P(P)cos????P?Q(P)cos?P?R(P)cos?P?d?

6° 將坐標軸重新命名，如果曲線或曲面的方程不變，則被積函數中的x,y,z也同樣作變化后，積分值保持不變.四、各種積分的應用

1.形心坐標公式：x?????M?xd??,y?????M?yd??,z?????M?zd??.質心坐標公式：x?????M?xd?????M?d?,y?????M?yd?????M?d?,z?????M?zd?????M?d?.2.轉動慣量：I??2???M?d?.?Mr?3.旋度：rotF(M)= ????R?Q???P?R???Q?P????i+??z??x?j+???x??y??k.?y?z??????4.散度：divF(M)= ????P?Q?R?????.?x?y?z??M

五、習題

1.計算2.計算3.計算4.計算5.計算

?x?a(t?sint)2其中D由橫軸和擺線的一拱(0?t?2?,a?0)圍成.ydxdy,????y?a(1?cost)D??D1?sin2(x?y)dxdy,其中D: 0?x??,0?y??.a2?x2?y2dxdy,其中D: x2?y2?ay,y?x,a?0.x2?y2dxdy, 其中D: 0?x?a,0?y?a.3??D??D???y?1?xf(z)?dV,其中V是由不等式組?1?x?1,xV?y?1,0?z?x2?y2所限定的區域，f(z)為任一連續函數.x2?y22222226.計算???其中V是由不等式組x?y?z?1,x?y?(z?1)?1所確dV,2zV定的空間區域.7.計算8.計算???VVx2?y2?z2?1dV,其中V是由錐面z?x2?y2和平面z?1圍成的立體.0，0)處，底為平面x?y?z?3上以(1，1，1)???(x?2y?3z)dV,其中V是頂點在(0，為圓心，1為半徑的圓的圓錐體.8.計算xds,其中l為雙曲線xy?1上點(,2)到(1,1)的弧段.l?12?x2?y2?z2?a2?9.計算?(2yz?2zx?2xy)ds,其中L是空間圓周?.3L?x?y?z?a2?

zx2y2ds，??z2?1的上半部分，10.計算??其中S是橢球面點P(x,y,z)?S,?22?(x,y,z)D為S在點P處的切平面，?(x,y,z)為原點(0，0，0)到平面?的距離.211.計算(x?1?esinx)dy?ecosxdx,其中l是由由原點沿y?x到點(1,1)的曲線.l222??x?y?z?4x?z?0?,12.計算?(y?z)dx?(z?x)dy?(x?y)dz,其中?:?22???x?y?2x?2yy222222從z軸正向看?取逆時針方向.13.計算

(x?y)dx?(x?y)dy?x?t?sint??,其中l為擺線從t?0到t?2?的弧段.?22?lx?y?y?1?cost14.計算??(2x?2xS3?e??)dydz?(zy2?6x2y?z2x)dzdx?z2ydxdy,其中S是由拋物面

1y,x?1,y?1所圍成的立體表面的外側.2z?4?x2?y2，坐標面xoz,yoz及平面z?15.計算??(xS3?y2)dydz?(y3?z2)dzdx?(z3?x2)dxdy,其中S是由錐面y?x2?z2與半球面y?R?16.計算R2?x2?z2(R?0)構成的閉曲面的外側.??x?z?x??22????其中是由y?x?z?1 f?dzdx?z?fdxdy,???y???y?y?????x?x??f?dydz?????y?y??和y?9?x2?z2所圍立體表面的外側，f(u)是有連續導數的函數.17.計算

??z?y?12(8y?1)xdydz?2(1?y)dzdx?4yzdxdy,?1?y?3?繞其中S是由????S?x?0y軸旋轉一周所得到的曲面，它的法向量與y軸正向夾角恒大于18.計算

?.2??S2yx2?z2dzdx,其中S是曲面y?x2?z2及y?1，y?2所圍立體表面外側.19.求閉曲面（x2?y2?z2)2?a3z所圍成的立體體積.20.求錐面y?z?x含在圓柱面x?y?a內部分的面積.222222x213x9?旋轉形成的旋轉曲面的面積.?lnx(1?x?2)繞直線y?21.求由曲線L：y?4842x34?2x(0?x?1)繞直線L：y?x旋轉形成的旋轉曲面的面積.22.求平面曲線段l：y?3323.設函數f(x)在區間[0,1]上連續，并設

?10f(x)dx?A,求

?10dx?f(x)f(y)dy.x1

2222??x?y?z?R?z?0?對三個坐標軸轉動慣量之和.24.求線密度為x的物質曲線?22??x?y?Rx25.設r=xi+yj+zk, r=|r|.（1）求f(r)，使div[f(r)r]=0；（2）求f(r)，使div[gradf(r)]=0.26.設函數f(x)在區間[0,1]上連續、正值且單調下降，證明：

????xf(x)dx?00101xf2(x)dx11f2(x)dx0f(x)dx

.27.設函數f(t)連續，證明：

??f(x?y)dxdy??DA?Af(t)(A?|t|)dt.?a?28.證明：1085???x?y?z??3adS?(3?23a)3?a5(a?0),其中?是球面：

?3x2?y2?z2?2ax?2ay?2az?2a2?0.29.設?是弧長為s的光滑曲線段，函數P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在?上連續，且

M?maxP2?Q2?R2.證明：?Pdx?Qdy?Rdz?Ms.??30.設在上半平面D??(x,y)|y?0?內函數f(x,y)具有連續偏導數，且對任意的t?0，都有f(tx,ty)?t?2f(x,y).證明：光滑的有向簡單閉曲線.?Lyf(x,y)dx?xf(x,y)dy?0，其中L是D內任意分段

第三部分 無窮級數

一、數項級數

（一）數項級數的基本性質

1.收斂的必要條件：收斂級數的一般項必趨于0.2.收斂的充要條件（柯西收斂原理）：對任意給定的正數?，總存在N使得對于任何兩個N大于的正整數m和n，總有Sm?Sn??.（即部分和數列收斂）

3.收斂級數具有線性性（即收斂級數進行線性運算得到的級數仍然收斂），而一個收斂級數和一個發散級數的和與差必發散.4.對收斂級數的項任意加括號所成級數仍然收斂，且其和不變.5.在一個數項級數內去掉或添上有限項不會影響斂散性.（二）數項級數的性質及斂散性判斷 1.正項級數的斂散性判斷方法

（1）正項級數基本定理：如果正項級數的部分和數列有上界，則正項級數收斂.（2）比較判別法（放縮法）：若兩個正項級數

?un?1?n和

?vn?1?n之間自某項以后成立著關系：存在常數c?0，使un?cvn(n?1,2,?)，那么（i）當級數?vn?1?n?1?n收斂時，級數

?un?1?n?1?n亦收斂；

（ii）當級數?un發散時，級數

??vn亦發散.推論：設兩個正項級數?un和?vn，且自某項以后有n?1n?1?un?1vn?1?，那么 unvn（i）當級數?vn?1?n?1?n收斂時，級數

?un?1?n?1?n亦收斂；

（ii）當級數?un發散時，級數

?vn亦發散.??（3）比較判別法的極限形式（比階法）：給定兩個正項級數

il若m?un和?vn，n?1n?1un?l?0，n??vn?那么這兩個級數斂散性相同.（注：可以利用無窮小階的理論和等價無窮小的內容）另外，若l?0，則當級數

?vn?1?n收斂時，級數

?un?1?n亦收斂；若l??，則當級數

?un?1n發散時，級數?vn?1?n亦發散.常用度量： ①等比級數：?qn?0?n，當q?1時收斂，當q?1時發散；

②p-級數：1，當p?1時收斂，當p?1時發散(p?1時稱調和級數)； ?pnn?1?③廣義p-級數：?n?lnn?n?2??1p，當p?1時收斂，當p?1時發散.④交錯p-級數：?(?1)n?1n?11，當p?1時絕對收斂，當0?p?1時條件收斂.np（4）達朗貝爾判別法的極限形式（商值法）：對于正項級數

?un，當limn?1?un?1?r?1時

n??un?un?1?r?1時級數?un發散；當r?1或r?1時需進一步判斷.級數?un收斂；當limn??un?1n?1n??（5）柯西判別法的極限形式（根值法）：對于正項級數

?un?1n，設r?limnun，那么r?1n??時此級數必為收斂，r?1時發散，而當r?1時需進一步判斷.（6）柯西積分判別法：設

?un?1?n為正項級數，非負的連續函數f(x)在區間[a,??)上單調

?下降，且自某項以后成立著關系：f(un)?un，則級數2.任意項級數的理論與性質

（1）絕對收斂與條件收斂：

①絕對收斂級數必為收斂級數，反之不然； ②對于級數

?n?1un與積分

???0f(x)dx同斂散.?un?1?n，將它的所有正項保留而將負項換為0，組成一個正項級數

?vn?1?n，其中vn?un?un2un?un2；將它的所有負項變號而將正項換為0，也組成一個正項級數

?wn?1?n，其中wn?，那么若級數??un?1n?n絕對收斂，則級數

?vn?1?n和

?wn?1?n都收斂；若級數

?un?1?n條件收斂，則級數?vn?1n和

?wn?1?都發散.③絕對收斂級數的更序級數（將其項重新排列后得到的級數）仍絕對收斂，且其和相同.④若級數?un?1?n和?vn?1?n都絕對收斂，它們的和分別為U和V，則它們各項之積按照任何方式排列所構成的級數也絕對收斂，且和為UV.特別地，在上述條件下，它們的柯西乘積????????un???vn?也絕對收斂，且和也為UV.?n?1??n?1???????注：?cn???un???vn?，這里cn?u1vn?u2vn?1???un?1v2?unv1.n?1?n?1??n?1?（2）交錯級數的斂散性判斷（萊布尼茲判別法）:若交錯級數??(?1)n?1?n?1un滿足limun?0，n??且?un?單調減少（即un?un?1），則

?(?1)n?1?n?1un收斂，其和不超過第一項，且余和的符號與第一項符號相同，余和的值不超過余和第一項的絕對值.二、函數項級數

（一）冪級數

1.冪級數的收斂半徑、收斂區間和收斂域（1）柯西-阿達馬定理：冪級數

?an?0??n(x?x0)n在x?x0?R內絕對收斂，在x?x0?R內發散，其中R為冪級數的收斂半徑.（2）阿貝爾第一定理：若冪級數

?an?0n則它必在x?x0???x0(x?x0)n在x??處收斂，內絕對收斂；又若?an?0??n(x?x0)n在x??處發散，則它必在x?x0???x0也發散.推論1：若冪級數?an?0nxn在x??(??0)處收斂，則它必在x??內絕對收斂；又若冪級數?an?0?nxn在x??(??0)處發散，則它必在x??時發散.?推論2：若冪級數?an?0n(x?x0)n在x??處條件收斂，則其收斂半徑R???x0，若又有

an?0，則可以確定此冪級數的收斂域.（3）收斂域的求法：令liman?1(x)?1解出收斂區間再單獨討論端點處的斂散性，取并集.n??a(x)n2.冪級數的運算性質

（1）冪級數進行加減運算時，收斂域取交集，滿足各項相加；進行乘法運算時，有：

?????n?n??n???anx???bnx?????aibn?i?xn，收斂域仍取交集.?n?0??n?0?n?0?i?0??（2）冪級數的和函數S(x)在收斂域內處處連續，且若冪級數

?an?0n(x?x0)n在x?x0?R處收斂，則S(x)在?x0?R,x0?R?內連續；又若冪級數斂，則S(x)在?x0?R,x0?R?內連續.?an?0?n(x?x0)n在x?x0?R處收（3）冪級數的和函數S(x)在收斂域內可以逐項微分和逐項積分，收斂半徑不變.3.函數的冪級數展開以及冪級數的求和（1）常用的冪級數展開：

?xn121n①e?1?x?x???x????，x?(??, +?).2!n!n!n?0x?12n=1+x+x+·②··+x+··· =?xn，x?(?1, 1).1?xn?0??11n從而，??(?1)nx2n.??(?x)，21?xn?01?xn?0?1315x2n?1x2n?1nn③sinx?x?x?x???(?1)，x?(??, +?).????(?1)3!5!(2n?1)!(2n?1)!n?02n2n?1214nxnx④cosx?1?x?x???(?1)，x?(??, +?).????(?1)2!4!(2n)!(2n)!n?0n?12131n?1nn?1x1?x)?x?x?x???(?1)x????(?1)⑤ln(，x?(?1, 1].23n?1nn?1?⑥(1?x)?1??x??(??1)2!x2????(??1)?(??n?1)n!xn??，x?(?1, 1).?1x3(2n?1)！x2n?1(2n)!⑦arcsinx?x????????nx2n?1，x?[?1, 1].223(2n)！2n?1n?04(n!)(2n?1)?1311n2n?1⑧arctanx?x?x???(?1)x????(?1)nx2n?1，x?[?1, 1].32n?12n?1n?0（2）常用的求和經驗規律：

①級數符號里的部分x可以提到級數外；

②系數中常數的冪中若含有n，可以與x的冪合并，如將cn和xn合并為(cx)n； ③對?an?0?n x求導可消去an分母因式里的n,對?anxn積分可消去an分子因式里的n?1；nn?0?④系數分母含n!可考慮ex的展開，含(2n)!或(2n?1)!等可考慮正余弦函數的展開； ⑤有些和函數滿足特定的微分方程，可以考慮通過求導發現這個微分方程并求解.（二）傅里葉級數

1.狄利克雷收斂定理（本定理為套話，不需真正驗證，條件在命題人手下必然成立）若f(x)以2l為周期，且在[?l, l]上滿足： ①連續或只有有限個第一類間斷點； ②只有有限個極值點；

則f(x)誘導出的傅里葉級數在[?l, l]上處處收斂.2.傅里葉級數S(x)與f(x)的關系：

??f(x)，x為連續點；??f(x?0)?f(x?0)S(x)??，x為間斷點；2??f(?l?0)?f(l?0)，x為邊界點.?2?3.以2l為周期的函數的傅里葉展開展開：

a0??n?xn?x?f(x)~S(x)????ancos?bnsin?

2n?1?ll??1l??a0?l??lf(x)dx?1ln?x?dx；（1）在[?l, l]上展開：?an??f(x)cos?lll?1ln?x?b?f(x)sindx?nl??ll?（2）正弦級數與余弦級數：

??a0?0?①奇函數（或在非對稱區間上作奇延拓）展開成正弦級數：?an?0；

?2ln?x?bn??f(x)sindxl0l?2l?a??0l?0f(x)dx?2ln?x?②偶函數（或在非對稱區間上作偶延拓）展開成余弦級數：?an??f(x)cosdx；

0ll??bn?0??4.一些在展開時常用的積分：（1）??0(?1)n?1?1?sinnxdx?;?cosnxdx?0;

0n?11n?（2）?2sinnxdx?;?2cosnxdx?sin；

00nn2（3）???0(?1)n?1??(?1)n?1?22?(?1)nxsinnxdx?;?xcosnxdx?；?0xcosnxdx?n2； 0nn21axe(asinnx?ncosnx)?C； 22?a?n1axeax(nsinnx?acosnx)?C；

?ecosnxdx?22a?nax（4）esinnxdx?（5）sinaxsinnxdx???11sin(a?n)x?sin(a?n)x?C；

2(a?n)2(a?n)11sin(a?n)x?sin(a?n)x?C.2(a?n)2(a?n)

x??cosaxcosnxd?注：①求多項式與三角函數乘積的積分時可采用列表法，注意代入端點后可能有些項為0； ②展開時求積分要特別注意函數的奇偶性及區間端點和間斷點的特殊性； ③對于l??的情形，事先令t?

?lx對求積分通常是有幫助的.五、習題

1.判斷下列數項級數的斂散性，若收斂，不是正項級數的指出是絕對收斂還是條件收斂.（1）??n?1?n21???2??n??nn；

（2）?n??n?1，其中?非負；

?（3）?n?1??40tannxdxn?，其中??0；

（4）?(?1)n?1n?1?1np?1n；

（5）?(??)nn?1?n!，其中??0；

nn（6）?(?1)nn?2?(2n?3)！.(2n?1)！2n?3nn2.求冪級數?x的收斂域.nn?1??anbn?n3.求冪級數???n?n??x的收斂域，其中a,b為正數.n?1???4.將下列函數展開成x的冪級數.（1）x1?2x；

（2）arcsinx；（3）11?x1ln?arctanx?x.41?x2?5.求下列冪級數的收斂域及和函數.（1）?(?1)n?1n?1n2xn；

（2）?(?1)n?1??n?1x2n；

n(2n?1)x3n（3）?；

!n?0?3n?6.求數項級數?(?1)n?1?n?12n2的和.n(2n)!?2(2n?1)7.設f(x)??arctanx?,分別求出f2(0)和f(2n)(0).?8.求極限limx?0sinx?0sin(t2)dtx2n?1?nn?1n?2.1?9.求極限limx?0?45!4??89!8????4n?4(4n?3)!4n?41????????3!7!11!(4n?1)!.l?x,0?x???210.將函數f(x)??展開成正弦級數.?l?x,l?x?l?2?l??xcos,0?x???l211.將函數f(x)??展開成余弦級數.l?0,?x?l?2?12.將函數f(x)?arcsin(sinx)展開成傅里葉級數.13.證明：冪級數?n?1??(k!)k?1n2(2n)!??xn在(?3,3)內絕對收斂.14.求函數F(x)?f(t)f(x?t)dt的傅里葉系數An,Bn，其中f(x)是以2?為周期的???1連續函數，an,bn是其傅里葉系數.并證明：

1?????2?a022f(t)dt???(an?bn).2n?12

第三篇：微積分II真題含答案

微積分II真題含答案

一、填空題（每題3分，共30分）

1、函數的定義域是____________.2、設，則________________.3、廣義積分的斂散性為_____________.4、____________

.5、若

.6、微分方程的通解是

____.7、級數的斂散性為

.8、已知邊際收益R/(x)=3x2+1000,R(0)=0,則總收益函數R(x)=____________.9、交換的積分次序=

.10、微分方程的階數為

_____階.二、單選題（每題3分，共15分）

1、下列級數收斂的是（）

A，B，C，D，2、，微分方程的通解為（）

A，B，C，D，3、設D為：，二重積分=（）

A,B,C,D，04、若

A,B,C,D,5、=（）

A,0

B,1

C,2

D,三、計算下列各題（本題共4小題，每小題8分，共32分）

1．已知

2.求，其中D是由，x=1和x軸圍成的區域。

3.已知z=f(x,y)由方程確定，求

4.判定級數的斂散性.四、應用題（本題共2小題，每小題9分，共18分）：

1.求由

和x軸圍成的圖形的面積及該圖形繞x軸旋轉所得旋轉體的體積。

2.已知x表示勞動力，y表示資本，某生產商的生產函數為，勞動力的單位成本為200元，每單位資本的成本為400元，總預算為100000元，問生產商應如何確定x和y，使產量達到最大？。

五、證明題（5分）

一、填空題（每小題3分，共30分）

1,2，3，發散

4，0

5，6，y=cx

7，收斂

8，R(x)=x3+1000x

9，10，2

二、單選題（每小題3分，共15分）

1，B

2，B

3，C

4，C

5，D

三、計算題（每小題8分，共32分）

1、解：

令2、3、整理方程得：

4、先用比值判別法判別的斂散性，（2分）

收斂，所以絕對收斂。(交錯法不行就用比較法)

（8分）

四、應用題（每小題9分，共18分）

1、解：

2、解：約束條件為200x+400y-100000=0

（2分）

構造拉格朗日函數，（4分）,求一階偏導數，（6分）

得唯一解為：，（8分）

根據實際意義，唯一的駐點就是最大值點，該廠獲得最大產量時的x為40，y為230.（9分）

五、證明題（5分）

證明：設對等式兩邊積分，得：

（2分）

（4分）

解得：

題設結論得證。

（5分）

一、填空題（每題2分，共20分）

1、函數的定義域是_______

2、__________

3、_______

4、若___________

5、設可微，則

6.已知滿足方程則

_______

7、交換的積分次序=__________________

8、級數__________

9、若級數的收斂，則k的取值范圍是

10、微分方程的通解是

____

二、單選題（每題2分，共10分）

1、若廣義積分，則k=（）

A，B，C，D，2、若滿足方程，則

（）

A，0

B，1

C，D，3、設D為：，二重積分=____________

A,B,C,D，4、下列級數發散的是（）

A,B，C

D5、微分方程的階數為

（）

A,1

B，2

C

D

三、計算下列各題（本題共4小題，每小題8分，共48分）

1．計算

2.已知，求

3.計算二重積分，其中D由，及所圍成。

4.求一階線性微分方程的通解.5．

判別級數的收斂性，若收斂，是條件收斂還是絕對收斂？

6．計算定積分。

四、應用題（本題共2小題，每小題9分，共18分）：

1.求由曲線與所圍成的圖形的面積及該圖形繞x軸旋轉所得旋轉體的體積。

2.某廠生產兩種產品，產量分別為x和y，總成本函數，需求函數分別為（p1，p2分別為兩種產品的價格），產量受的限制，求該廠獲得最大利潤時的產量x和y。

五、證明題（4分）

證明：

一、填空題（每題2分，共20分）

1、，2、，3、0，4、，5、0，6.7、，8、29、，10、（c為任意常數）

二、單選題（每題2分，共10分）

1、D2、D，3、C,4、B，5、C

三、計算下列各題（本題共4小題，每小題8分，共48分）

1．計算

解：

--------

4分

-----------8分

2.已知，求

解：兩邊去自然對數，兩邊關于x求偏導數，---------

4分

整理得

所以

------------

8分

3.計算二重積分，其中D由，及所圍成。

解：畫圖（2分），Y-型，-----------

分

-------------

8分

4.求一階線性微分方程的通解.解：方法1：

直接算，，方法2：原方程可以化為，直接代入公式，------------

分

（c為任意常數）

--------------

8分

5．這是一個交錯級數，一般項為。

先判斷是否收斂，是一個P-級數，且P=，發散。

----------------2’

----------------------------------4’

----------------------------------6’

根據萊布尼茨定理，級數收斂，而且是條件收斂。

-----------------------------8’

6．積分區間關于原點對稱，又為偶函數，則

=2

----------------------------------2’

=

--------------------------------4’

=

--------------------------------6’

==

--------------------------------8’

四、應用題（本題共2小題，每小題9分，共18分）：

1.求由曲線與所圍成的圖形的面積及該圖形繞x軸旋轉所得旋轉體的體積。

解：畫圖（2分）

-----------------

5分

=

----------------

9分

2.某廠生產兩種產品，產量分別為x和y，總成本函數，需求函數分別為（p1，p2分別為兩種產品的價格），產量受的限制，求該廠獲得最大利潤時的產量x和y。

解：由題意知，收入函數為

利潤函數

構造拉格朗日函數，-------------

5分，解得

----------------

9分

五、證明題（4分）

利用級數的斂散性，證明：

證明：先證明級數收斂，用比值判別法，所以級數收斂

由級數收斂的必要條件知道，即

一、填空題（每小題3分，共15分）

1．設,則=

.2．

當

時,收斂.3．

交換積分次序

.4．

已知級數收斂,則=

.5．

若，其中具有二階偏導數，則=

.二、單選題（每小題3分，共15分）

1．（）.(A)

;

(B)

;

(C)

;

(D).2.函數在上可積的必要條件是在上（）

（A）連續

;

（B）有界;

（C）

無間斷點;

(D)有原函數.3．下列反常積分收斂的是（）

(A);

(B)

;

(C)

;

(D)

.4．下列級數發散的是（）.(A)

;

(B)

;(C)

;(D)

.5．

微分方程的通解是（）

(A)

;

(B)

;

(C)

;

(D).三、計算題I（每題6分，共24分）

1.求.2.設,求.3.求，其中D由圍成.4.判別級數的斂散性.四、計算題II（每題8分，共24分）

5.求.6.設由方程確定,其中可微,求.7.求微分方程的特解.五、應用題（每小題8分，共16分）

1.求由與所圍成的平面圖形的面積,并求此圖形繞軸旋轉一周所成旋轉體的體積.2．設某工廠生產甲和乙兩種產品,產量分別為x和y(千件),利潤函數為(萬元)

已知生產每千件甲或乙產品均需要消耗某原料2噸,現有該原料12噸,問兩種產品各生產多少時,總

利潤最大?最大利潤是多少?

六、證明題（6分）

證明：若收斂，則發散.一、1.;

2.;

3.;

4.;

5..二、BBACD

三、1.解:原式=

(3分)

.(6分)

2.解:

(2分)

(4分)

(6分)

3.解：原式=

（2分）

（4分）

.（6分）

4.解:記,取

(4分)

又

收斂

故原級數收斂.(6分)

四、5．解：令，即，則

當時，（2分）

故原式

（4分）

（6分）

.（8分）

6．解：記

（4分）

（8分）

7．解：原方程可化為------一階線性微分方程

此時，（2分）

故原方程的通解為

（4分）

（6分）

由,得

從而，所求原方程的特解為

.（8分）

五、1.解：1>

故所求圖形的面積為

（4分）

2>所求旋轉體的體積為

（5分）

.（8分）

2.解:顯然,有條件成立,作輔助函數

(3分)

令

解之得唯一駐點

(6分)

故當生產甲產品3.8千件,乙產品2.2千件時,利潤最大,且最大利潤為

(萬元).(8分)

六、證明：證明：由于

（3分），又因為

收斂，故收斂，從而，絕對收斂.（6分）

1．函數的定義域是

.2．

.3．

若___________.4．

設有連續的二階偏導數，則

.5．

=

.6．

廣義積分收斂，則

.7．

交換積分次序=

.8．

設D為所圍區域，則

.9．

=

.10.方程是

階微分方程

.三、單選題（每小題3分，共15分）

1．廣義積分收斂于（）.A.0

;

B.;

C.;

D..2.設積分區域D是（）.A.;

B.;

C.;

D..3．下列級數中條件收斂的是（）.A.;

B.;

C.;

D..4．設，其中可微，則（）

A.;

B.C.D.5．微分方程的通解是（）。

A.;

B.;

C.;

D..三、計算題（每題8分，共32分）

1.求.2.設D由曲線圍成,求

3.已知，求.4.判別級數的斂散性.四、應用題（每小題9分，共18分）

1.設D由與所圍成，求：（1）平面圖形的面積；（2）此圖形繞軸旋轉一周所成旋轉體的體積。

2.某廠生產兩種產品，當產量分別為時，成本函數,需求函數分別為,分別為兩種產品的價格，產品受的限制，求工廠獲得最大利潤時的產量和價格。

五、證明題（5分）

設，其中F可微。證明：

一.1.;

2.0

;

3.;

4.；5.0

;

6.;

7.;

8.2(2ln2-1);

9.1；

10.2.二.C

A

D

C

B

三.1.解:原式=

(3分)

(6分)

(8分)

2．解:畫積分區域草圖，聯立方程求交點得：，（2分）

原式=.(4分)

（5分）

（8分）

3.解:

令，則

(3分)

(5分)

(8分)

4.解:用比值判別法

(2分)

(4分)

(6分)

原級數收斂.(8分)

四.1.解：(1)，（2分）

故所求圖形的面積為

（5分）

(2)所求旋轉體的體積為

.（9分）

2.解:由需求函數x,y得：，利潤函數

=

=

(2分)

作輔助函數

=

(4分)

令

解之得唯一駐點

(6分)

故當生產產量分別為及時工廠獲得的利潤最大,此時兩種產品的價格分別為

(9分)

五．證明：

（3分），.（5分）

故等式成立。

一、填空題（每小題3分，共30分）

1.函數的定義域是

.2.設域是，則

.3.交換積分次序

.4.設資本投入為，勞動投入為時，某產品的產出量為，且為常數，則對資本的偏彈性，對資本的偏彈性

.5.設

.6.若則

.7.當滿足條件

時收斂。

8.微分方程的通解為

.9.設，其中可微，則

.10..二、單項選擇題（每小題3分，共15分）

1.=（）.A.;

B.;

C.;

D..2.已知，則（）.A.B.C.D..3.若，則（）.A.B.C.D.4.下列級數發散的是（）

A.;

B.;

C

.;

D

..5.微分方程的階數為（）.A

.3

;

B.4

;

C

.2

;

D.6.三．

計算題（每小題8分，共32分）

1.設,求.2.若D是由所圍成的區域,求之值。

3.判別級數的收斂性。

4.求方程的通解。

四．應用題（每小題9分，共18分）

1.設平面區域D由拋物線與直線

圍成,求:（1）D的面積；（2）D繞軸旋轉一周所得立體的體積。

2.設某種產品的產量是勞動力和原料的函數，若勞動力單價為100元，原料單價為200元，則在投入3萬元資金用于生產的情況下，如何安排勞動力和原料，可使產量最多。

五．證明題（5分）：

證明：.一.1.;

2.;

3.;

4.;

5.；6.5

;

7.;

8.y=;

9..10.tanx

二.D

B

A

D

A

三.1.解:

令，(2分)

則

(4分)

(8分)

.2.解:

聯立

解得兩個交點坐標

（2分）

（4分）

（8分）

3.解:

（4分）

(4分)

又是幾何級數，公比收斂

故由比較判別法知原級數收斂.(8分)

(或者用比較判別法的極限形式)

4.解：，代入原方程得

（2分）

分離變量

（4分）

兩邊積分

將

回代得方程的解

（8分）

四．1.解：（1），故所求圖形的面積為

（4分）

（2），所求旋轉體的體積為

（9分）

2.解:顯然,有條件成立,作輔助函數

(3分)

令

（5分）

解之得唯一駐點

(7分)

由問題實際意義知最大產量存在，故當勞動力為單位，原料為單位時產量最大。

(9分)

五．證明：交換積分次序：

等式左邊==右邊.故等式成立。

一、填空題（每題3分，共30分）

1.函數的定義域是

.2.=

.3.=_

___

__

.4.=

.5.=

.6.=??????????????．

7.設，其中

在D上連續，則

=

.8.方程是

階微分方程

.9.設,則

=

.10.交換積分次序=

.二、單選題（每題3分，共15分）

1.=（）．

A.．??????B.2．???????C.0．????D.1．

2.設，其中可微，則

=（）.A.B.C.D.1

3.設，則=（）.A.B.C.D.4.設D由圓周，及直線所圍的第一象限部分，二重積分的值=（）．

A．．????????B．．???????C．.D．．

5.下列級數發散的是（）

.A．

B.C.D.三、計算題（每題8分，共32分）

.求。

2.設由方程確定，求。

3.求。

4.求微分方程的通解。

四、應用題（每題9分，共18分）

1.設平面區域D由曲線圍成，求D的面積及D繞x軸旋轉所成的旋轉體的體積。

2．設某工廠生產甲和乙兩種產品,產量分別為x和y(千件),利潤函數為(萬元)，已知生產每千件甲或乙產品均需要消耗某原料2噸,現有原料10噸剛好用完,問兩種產品各生產多少時,總利潤最大?最大利潤是多少?

五、證明題（5分）

證明

一、填空題（每小題3分，共30分）

1.;

2.;

3.0;

4.1；

5.1

;

6.2

;

7.2;

8.二;

9.；

10..二、單選題（每小題3分，共15分）

1.A

.B

3.A

4.B

5.C

三、計算題（每小題8分，共32分）

.解：

令

則

原式

（5分）

.（8分）

2.解設

則

(5分)

(8分)

3.解：

（4分）

（6分）

（8分）

4.解：

代入原方程得

分離變量

（4分）

兩邊積分

（6分）

得

故原方程的通解為

（C

為任意常數)

（8分）

四、應用題（每小題9分，共18分）

1.先求的交點（0，0），（1，1）

(4分)

(9分)

2.解:顯然,有條件成立,作輔助函數

(3分)

令

解之得唯一駐點

(7分)

故當生產甲產品3千件,乙產品2千件時,利潤最大,且最大利潤為

(9分)

五、證明題（5分）

證明：考察級數，由于

（3分）

所以此級數收斂，故

（5分）

一、填空題（每題3分，共30分）

1.函數的定義域是

.2.=

.3.設，則=??????????????．

4.=_

___

__

.5.=

.6.=

.7.設，其中

在D上連續，則

=

.8.方程是

階微分方程

.9.設,則

=

.10.交換積分次序=

.二、單選題（每題3分，共15分）

1.在上的平均值是（）.A.B.C.D.2.=（）．

A.．??????B.．???????C.．????D.．

3.設D由圓周，及直線所圍的第一象限部分，二重積分的值=（）．

A．．????????B．．???????C．.D．．

4.設，其中可微，則

=（）.A.B.C.D.5.下列級數發散的是（）

.A．

B.C.D.三、計算題（每題8分，共32分）

.求。

2.設由方程確定，求。

3.求。

4.求微分方程的通解。

四、應用題（每題9分，共18分）

1．設某工廠生產甲和乙兩種產品,產量分別為x和y(千件),利潤函數為(萬元)，已知生產每千件甲或乙產品均需要消耗某原料1噸,現有原料5噸剛好用完,問兩種產品各生產多少時,總利潤最大?最大利潤是多少?

2.設平面區域D由曲線圍成，求D的面積及D繞x軸旋轉所成的旋轉體的體積。

五、證明題（5分）

證明

一，填空題（每小題3分，共30分）

1.;

2.;

3.0;

4.0；

5.3

;

6.6

;

7.7;

8.二;

9.；

10..二，單選題（每小題3分，共15分）

1.B

.A

3.B

4.A

5.D

三，計算題（每小題8分，共32分）

.解：

（4分）

（8分）

2.解設

則

（3分）

(6分)

（8分）

3.解：

（4分）

（6分）

（8分）

5.解：

分離變量

（3分）

兩邊積分

（5分）

得

故原方程的通解為

（C

為任意常數)

（8分）

四，應用題（每小題9分，共18分）

1.解:顯然,有條件成立,作輔助函數

(3分)

令

解之得唯一駐點

(7分)

故當生產甲產品3千件,乙產品2千件時,利潤最大,且最大利潤為

(9分)

2.(4分)

(9分)

五，證明題（5分）

證明：考察級數，由于

（3分）

所以此級數收斂，故

（5分）

四、填空題（每題3分，共30分）

1.函數的定義域是

.2.=

.3.=_

___

__

.4.=

.5.=

.6.廣義積分收斂，則

.7.設，其中

在D上連續，則

=

.8.方程是

階微分方程

.9.設,則

=

.10.交換積分次序=

.五、單選題（每題3分，共15分）

1.=（）．

A.．??????B.2．???????C.0．????D.1．

2.函數，由方程所確定，則

=（）.A.2

B.-1

C.1

D.-2

3.設，則=（）.A.B.C.D.4.可偏導的函數取得極值點必為（）．

A．零點．????????B．駐點．???????C．不可導點.D．駐點或不可導點．

5.下列級數發散的是（）

.A．

B.C.D.六、計算題（每題8分，共32分）

.求。

2.設由方程確定，求。

3.計算D由和圍成的區域

4.求微分方程的通解。

四、應用題（每題9分，共18分）

1.設平面區域D由曲線圍成，求D的面積及D繞x軸

旋轉所成的旋轉體的體積。

2．銷售收入Q與用兩種廣告手段的費用x和y之間的函數關系為，凈利潤是銷售收入的減去廣告成本，而廣告預算是25，試確定如何分配兩種手段的廣告成本，以使利潤最大?最大利潤是多少?

五、證明題（5分）

證明

一、填空題（每小題3分，共30分）

1.;

2.;

3.0;

4.1；

5.2

;

6.>3

;

7.1;

8.二;

9.；

10..二、單選題（每小題3分，共15分）

1.A

.B

3.A

4.B

5.C

三、計算題（每小題8分，共32分）

.解：

令

則

原式

（5分）

.（8分）

2.解設

則

(5分)

(8分)

3.解：原式

（4分）

（6分）

（8分）

5.解：由于，由公式得其通解

（4分）

=

=

（6分）

故原方程的通解為

（C

為任意常數)

（8分）

四、應用題（每小題9分，共18分）

1.先求的交點（0，0），（1，1）

(4分)

(9分)

2.解:顯然,有條件成立,所求利潤函數

3.作拉格朗日函數

(3分)

令

解之得唯一駐點

(7分)

故當兩種廣告費用分別為15,10時,利潤最大,且最大利潤為

(9分)

五、證明題（5分）

證明：令，則

于是=

（3分）

所以原式成立

（5分）

第四篇：微積分復習教案

第一講 極限理論

一 基本初等函數的定義域、值域、奇偶性、單調性、周期性和圖象，其中函數圖像是重中之重，由函數圖像可以輕易的得到函數的其它要素（P17-20）二 求極限的各種方法

⑴當f(x)為連續函數時,x0?Df,則有limf(x)?f(x0)

x?x0例1 計算極限limxarcsinx

x?22 ⑵設m,n為非負整數,a0?0,b0?0則

?0,當n?ma0xm?a1xm?1???am?1x?am??a0lim??,當n?m x??bxn?bxn?1???b01n?1x?an?b0???,當n?m 例2 計算極限：⑴ lim973x?1 ⑵ ?3x?2??2x?3?

limx??2x?4?4x?1?16x???⑶用兩個重要極限求

①limsinx?1（limsinx?0，limsinf(x)?1）

x?0x??f(x)?0xxf(x)x2 結論：當x?0時，x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx，1?cosx~。②lim(1?1)x?e（lim(1?x)x?e，lim(1?1)f(x)?e）

x?0x??f(x)??xf(x)實質：外大內小，內外互倒

例4 計算極限：⑴ lim(1?2x)⑵ lim(1?sinx)

x?0x?013x1x1 ⑷未定式的極限（?000，???，0??，0，?）?0 ①羅必達法則

例5 計算極限：

x?0?limsinxlnx lim(sinx)x lim(x?0?x?011?)sinxx②設法消去零因子（分子有理化，分母有理化，分子分母同時有理化等方法）例6 計算極限：⑴ lim1?x?1 ⑵ lim3?x?2

x?0x?1xx?1 ③用等價無窮小量代換（切記：被代換的部分和其他部分必須是相乘關系！）例7 計算極限limsinxtanx

x?0x2(1?cosx)⑸無窮小量乘有界變量仍是無窮小量。

例8 計算極限：⑴ limx2sin1 ⑵ limxcosx

x?0x???1?x2x三 連續和間斷 1.連續的定義

2.間斷點的定義和分類

四 閉區間上連續函數的性質（這里有一些證明題值得注意）。

第二講 微分學

一 導數概念

導數：f?(x)?limf(x0??x)?f(x0)?limf(x)?f(x0)

?x?0x?x0?xx?x0左導數：f??(x)?limf(x0??x)?f(x0)?limf(x)?f(x0)?x?0?x?x0??xx?x0右導數：f??(x)?limf(x0??x)?f(x0)?limf(x)?f(x0)?x?0?x?x0??xx?x0 實質：差商的極限。

例1 計算極限：⑴ limh?0f(x0?h)?f(x0)f(x0)?f(x0??x)⑵ lim

?x?0h?x二 各種求導法

⑴導數公式表（P94）和四則運算法則（P85）

例2設f(x)?4x?3x?x4?5logax?sin2，求f?(x)；

例3設f(x)?1sinx?arctanx?cscx，求f?(x)，f?()；

4x ⑵復合函數的求導（P90）

例4 求下列函數的導數

①f(x)?arctane2x ②f(x)?etanx ⑶隱函數求導（方法：把y當作x的函數，兩邊對x求導）

例5 求下列隱函數的導數

①xy?e?y?0 ②2y?3x?5lny ⑷對數求導法（多用于冪指函數和由多因子相乘構成的函數的求導）

例6 求下列函數的導數

① y?xsinxx? ②y?2x?1(x?1)(3?2x)⑸由參數方程確定的函數的求導

?x??(t)重點：由參數方程?確定的函數y?f(x)的導數為dy???(t)；

dx??(t)?y??(t)?x?ln(1?t)例7 設?，求dy；

dx?y?t?arctant三 高階導數

例8 設y?2arctanx，求y??； 例9 設y?ex?xn，求y(n)； 四 微分

重點：函數y?f(x)的微分是dy?f?(x)dx

例10 設y?3x2?e2x，求dy； 例11設y?2x?ey，求dy； 五 單調性和極值

重點：⑴由f?(x)的符號可以判斷出f(x)的單調性；

⑵求f(x)的極值方法：①求出f?(x)，令其為零，得到駐點及不可導點，姑且統稱為可疑點；②判斷在可疑點兩側附近f?(x)的符號，若左正右負，則取得極大值；若左負右正，則取得極小值；若同號，則不取得極值。

例12 求函數y?x?ln(x?1)的單調區間和極值點。

例13 證明：當0?x?六 最值問題

求函數f(x)在區間[a,b]上的最值之步驟：①求出f?(x)，令其為零，得到可疑點（駐點和不可導點），并求出函數在這些點處的取值；②求出函數在區間端點取值f(a)，f(b)；

③比較函數在可疑點和區間端點上的取值，最大者即為最大值，最小者即為最小值。

例14 求下列函數在指定區間上的最值。

⑴f(x)?x4?2x2?5，[?2,3] ⑵y?x?1，[0,4]

x?1七 凹凸性和拐點

重點：

⑴凹凸性概念：設f(x)在區間(a,b)內連續，若對?x1,x2?(a,b)（x1?x2），有

?2時，恒有x?sinx。

f(x1?x2f(x1)?f(x2)x?x2f(x1)?f(x2))?)?（f(1）

2222則稱f(x)在(a,b)內是凹函數（凸函數）。（用此定義可以證明一些不等式，見下例）。⑵由f??(x)的符號可以判斷出f(x)的凹凸性。f??(x)為正號則f(x)是凹函數，f??(x)為負號則f(x)是凸函數。

⑵判斷f(x)的拐點之方法：①求出f??(x)，令其為零，得到f??(x)等于0的點和f??(x)不存在的點；②判斷在這些點兩側附近f??(x)的符號，若為異號，則該點是拐點；若同號，則該點不是拐點。

例15 求下列函數的凹凸區間和拐點。

⑴y?x?2x?1 ⑵y?3x

例16 證明：當x1?x2時，必有ax1?x2243ax1?ax2?（a?0）。

2第三講 積分學

一 不定積分與原函數的概念與性質

⑴原函數：若F?(x)?f(x)，則稱F(x)為f(x)的一個原函數。

⑵不定積分：f(x)的全體原函數稱為f(x)的不定積分，即

?f(x)dx?F(x)?c，這里F?(x)?f(x)

⑶不定積分的性質（P174,共2個）

特別強調：?F?(x)dx?F(x)?c；?dF(x)?F(x)?c（切記常數c不可丟）二 定積分的概念與性質

⑴定積分概念：

n?baf(x)dx?lim?f(?i)?xi

??0i?1 ⑵定積分和不定積分的區別：定積分是和式的極限，計算結果是個常數；不定積分是由一族函數（被積函數的原函數）構成的集合。

⑶f(x)在[a,b]上可積的必要條件：f(x)在[a,b]上有界； 充分條件：f(x)在[a,b]上連續；

⑷定積分的幾何意義：設f(x)?0，x?[a,b]，則?f(x)dx表示由x?a，x?b，y?0ab及y?f(x)圍成的曲邊梯形的面積。

⑸定積分的性質（P210,共7個）注意結合定積分的幾何意義理解之。

例：⑥若對?x?[a,b]，有m?f(x)?M，則有m(b?a)? ⑦若f(x)在[a,b]上連續，則存在??[a,b]，使得滿足 另：若f(x)是奇函數，則三 由變上限積分確定的函數

⑴定義：設f(t)在[a,b]上連續，則稱函數

b??abf(x)dx?M(b?a)。f(x)dx?f(?)(b?a)。

a?a?af(x)dx?0。

?(x)??f(t)dt，a?x?b

ax 為變上限積分確定的函數。

⑵求導問題：??(x)?dx[?f(t)dt]?f(x)dxax2 例1 求下列函數的導數f?(x)。

①f(x)??xln4tedt ②f(x)??x4?2t01?t2dt

⑶與羅必達法則結合的綜合題

例2 求下列極限： ①

t?lim0x?02sintdtx4sin3tdt? ②lim

?tedt0x?0x3?t0x2四 求積分的各種方法

⑴直接積分法（兩個積分表P174和P185）

cos2x1?x?x2 例3 計算積分：①? ②dx dx?2sinx?cosxx(1?x)⑵第一換元法（湊微分法）

重點：?f(x)dx?????g[?(x)]??(x)dx??g[?(x)]d?(x)

令u??(x)整理f(x)????g(u)du???G(u)?c????G[?(x)]?c

常用湊微分公式：xndx?1d(xn?1)，1dx?2d(x)，1dx?d(lnx)，sinxdx??d(cosx)

n?1x?積分變量還原xcosxdx?d(sinx)，sec2xdx?d(tanx)，csc2xdx??d(cotx)，secxtanxdx?d(secx)，cscxcotxdx??d(cscx)。

注意：在定積分的換元法中，要相應調整積分上下限。

例4 計算積分：

?①tanxdx ② ⑶第二換元法

重點：??20sin?cos2?d? ③?2x?41?lnxdx ④?(1?xlnx)4dx x2?4x?8?f(x)dx?????f[?(t)]??(t)dx ?dx??(t)dt令x??(t)???????g(t)du???G(t)?c????G[??1(x)]?c 整理f[?(t)]??(t)?積分變量還原 常用換元方法：

①被積函數中若有nax?b，令t?nax?b；若有kx和lx，令x?t，這里m是k，ml的最小公倍數。

②被積函數中若有a2?x2，令x?asint； ③被積函數中若有a2?x2，令x?atant； ④被積函數中若有x2?a2，令x?asect；

注意：在定積分的換元法中，要相應調整積分上下限。

例5 計算積分：⑴ ?a0a?xdx ⑵ ?2241dx

1?x例6 設f(x)是定義于實數集上的連續函數，證明 ⑴?baf(x)dx??b?ca?cf(x?c)dx，⑵ ?baf(x)dx???ba?2bf(a?b?x)dx

⑷分部積分法 u?vdx?uv?uv?dx

關鍵：適當選擇u?，v。選擇的技巧有①若被積函數是冪函數乘易積函數，令u?為易積函數，v為冪函數。②若被積函數是冪函數乘不易積函數，令u?為冪函數，v為不易積函數。

例7 計算積分：arctanxdx

⑸有理分式函數的積分

步驟：①若是假分式，先用分式除法把假分式化為多項式與真分式的和，多項式積分非常容易，下面重點考慮真分式P(x)的積分。

Q(x)②把Q(x)分解成如下形式 ???Q(x)?b0(x?a)??(x?b)?(x2?px?q)??(x2?rx?s)?

這里p2?4q?0，……，r?4s?0。③把P(x)化為如下形式

Q(x)A? A1A2P(x)?????Q(x)(x?a)?(x?a)??1(x?a)2 ??????

B?B2 ?B1? ??????1(x?b)(x?b)(x?b)?M?x?N?M1x?N1M2x?N2???? 2?2??12(x?px?q)(x?px?q)(x?px?q)?????? ?R?x?S?R1x?S1R2x?S2 ????2?2u?12(x?rx?s)(x?rx?s)(x?rx?s)這里Ai,Bi,Mi,Ni,Ri,Si為待定系數，通過對上式進行通分，令等式兩邊的分子相等，即可解得這些待定系數。

④于是對P(x)的積分就轉化成對上面等式的右端積分了，然后再對上式右端積分。

Q(x)x3?2x2dx

⑵ 例8 計算積分：⑴ ?2x?2x?10五 定積分的分段積分問題

例9 計算積分：⑴4x?3?x2?5x?6dx

?0x?3dx。⑵?sin2xdx

0?六 定積分的應用：重點是再直角坐標系下求平面圖形的面積。

⑴由曲線y?f(x)，y?g(x)[f(x)?g(x)]及直線x?a，x?b[a?b]圍成的圖形的面積為：S??[f(x)?g(x)]dx。

ab⑵由曲線x??(y)，x??(y)[?(y)??(y)]及直線y?a，y?b[a?b]圍成的圖形的面積為：S??[?(y)??(y)]dy。

ab例10 求由下列曲線圍成的圖形的面積。⑴y?lnx，y?1?x，y?2； ⑵x?0，x??2，y?sinx，y?cosx；

七 廣義積分

沿著定積分的概念的兩個限制條件（積分區間有限和被積函數在積分區間上有界）進行推廣，就得到兩種類型的廣義積分。

⑴第一類廣義積分

①定義：? ???abf(x)dx?lim?f(x)dx

b??ab????f(x)dx?lim?f(x)dx

a???a0b ???f(x)dx????f(x)dx????0f(x)dx?lim?f(x)dx?lim?f(x)dx

a???ab???00b ②計算方法：先計算定積分，在取極限。

⑵第二類廣義積分（暇積分）

①定義：?f(x)dx?lim?ababb??0?a??b??f(x)dx（a是暇點）f(x)dx（b是暇點）

bc?? ?f(x)dx?lim?bcaa??0?a ?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx?lim?c??0?af(x)dx?lim?b??0?c?? f(x)dx（c是暇點）②計算方法：先計算定積分，在取極限。

例11 判斷下列廣義積分的斂散性，若收斂，收斂于何值。

①? ??1`1dx ②5x?211dx 5(x?1)

第五篇：2018考研數學：微積分如何復習？

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2018考研數學：微積分如何復習？

微積分的基本內容可以分為三大塊：一元函數微積分，多元函數微積分(主要是二元函數)，無窮級數和常微分方程與差分方程。一元函數微積分學的凱程是考研數學三微積分部分出題的重點，應引起重視。多元函數微積分學的出題焦點是二元函數的微分及二重積分的計算。無窮級數和常微分方程與差分方程考查主要集中在數項級數的求和、冪級數的和函數、收斂區間及收斂域、解簡單的常微分方程等。下面從三個方面來談微積分復習方法。

一、基本內容扎實過一遍

事實上，數學三考微積分相關內容的題目都不是太難，但是出題老師似乎對基本計算及應用情有獨鐘，所以對基礎知識扎扎實實地復習一遍是最好的應對方法。閱讀教材雖然是奠定基礎的一種良方，但參考一下一些輔導資料，如《微積分過關與提高》等，能夠有效幫助同學們從不同角度理解基本概念、基本原理，加深對定理、公式的印象，增加基本方法及技巧的攝入量。對基本內容的復習不能只注重速度而忽視質量。在看書時帶著思考，并不時提出問題，這才是好的讀懂知識的方法。

二、讀書抓重點

在看教材及輔導資料時要依三大塊分清重點、次重點、非重點。閱讀數學圖書與其他文藝社科類圖書有個區別，就是內容沒有那么強的故事性，同時所述理論有一定抽象性，所以在此再一次提醒同學們讀書需要不斷思考其邏輯結構。比如在看函數極限的性質中的局部有界性時，能夠聯系其在幾何上的表現來理解，并思考其實質含義及應用。三大塊內容中，一元函數的微積分是基礎，定義一元函數微積分的極限及微積分的主要研究對象——函數及連續是基礎中的基礎。這個部分也是每年必定會出題考查的，必須引起注意。多元函數微積分，主要是二元函數微積分，這個部分大家需要記很多公式及解題捷徑。無窮級數和常微分方程與差分方程部分的重點很容易把握，考點就那幾個，需要注意的是其與實際問題結合出題的情況。

三、做題檢測學習效果

大量做題是學習數學區別與其他文科類科目的最大區別。在大學里，我們常常會看到，平時不斷輾轉于各自習室占坐埋頭苦干的多數是學數學的，而那些平時總抱著小說看，還時不時花前月下的同學多半是文科院系的。并不是對兩個院系的同學有什么詬病，這種狀況只是所學專業特點使然。在備考研究生考試數學的時候，如果充分了解其特點，就能對癥下藥。微積分的選擇及填空題考查的是基本知識的掌握程度及技巧的靈活運用大家可以找一本相關習題多練練。微積分的解答題注重計算及綜合應用能力，平時多做這方面的題目既可以練習做題速度及提高質量，也能檢測復習效果。

其實看看凱程考研怎么樣，最簡單的一個辦法，看看他們有沒有成功的學生，最直觀的辦法是到凱程網站，上面有大量學員經驗談視頻，這些都是凱程扎扎實實的輔導案例，其他機構網站幾乎沒有考上學生的視頻，這就是凱程和其他機構的優勢，凱程是扎實輔導、嚴格管理、規范教學取得如此優秀的成績。

辨別凱程和其他機構誰靠譜的辦法。

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