第一篇：微積分下冊復習要點

微積分下冊復習要點

第七章 多元函數微分學

1．了解分段函數在分界點連續的判別；

2．掌握偏導數的計算（特別是抽象函數的二階偏導數）必考 3．掌握隱函數求導（曲面的切平面和法線），及方程組求導（曲線的切線和法平面方程）必考。

4．方向導數的計算，特別是梯度，散度，旋度的計算公式；必考。

5．可微的定義，分段函數的連續性及可微性，偏導數及偏導數的連續性。6．多元函數的極值和最值：無條件極值和條件極值（拉格朗日乘數法），實際問題的最值。必考。

第八章 重積分

1．二重積分交換積分次序；必考。

2．利用合適的坐標系計算（特別是極坐標）3．三重積分中三種坐標系的合理使用（直角坐標系，柱坐標系，球坐標系）

在使用時特別注意“先二后一法”的運用。必考。

4．重積分的應用中曲面面積、重心、轉動慣量、引力的公式，曲面面積為重點。

第九章 曲線曲面積分

1．第一、二類曲線積分的計算公式（特別是參數方程）；

2．第一、二類曲面積分的計算公式（常考第一類曲面積分，第二類曲面積分一般用高斯公式）

3．三個公式的正確使用（格林公式、高斯公式、斯托克斯公式）必考。

可以參考期中考試卷中最后三個題。

4．格林公式中有“奇點”的使用條件及積分與路徑無關的條件（可能和全微分方程結合）必考。

第10章 級數

1．數項級數的斂散性的判別：定義，收斂的必要條件，比較判別法及極限形式，比值判別法，根值判別法，萊布尼茲判別法，條件收斂和絕對收斂的概念。

2．冪級數的收斂域及和函數的計算。（利用逐項求導和逐項積分）必考。

3．將函數展成冪級數。（一般利用間接法）必考。

4．將函數展成傅里葉級數，系數的計算公式；狄利克雷收斂定理；幾個詞的理解（周期延拓、奇延拓、偶延拓、變量替換）

第11章 常微分方程

1．各種一階微分方程的計算：可分離變量、齊次方程、可化為齊次方程的方程、一階線性微分方程、伯努利方程、全微分方程。

2．可降階的微分方程三種形式，特別注意不顯含x 這種情形。

3．二階非齊次線性微分方程的階的結構：齊次通解+非齊次的一個特解。

4．二階常系數非齊次線性微分方程的計算：特征方程+待定系數法（特解的形式）必考。

5．常微分方程的實際應用。必考。

第二篇：微積分考試要點

微積分(下)期末考試要點：

1，二元函數的定義域；

2，二元函數的極限；

3，二元函數的全微分；

4，交換二次積分的積分順序；（參考P231頁 例8）

5，冪級數的收斂區間；（參考P262頁 例1,2）

6，正項級數斂散性的判別；

7，微分方程的定義；

8，可分離變量的微分方程；（參考P281頁 例1,2）

9，二階常系數齊次線性方程的通解；（參考P294頁 例1，2，3）10，一階常系數線性差分方程的解法；（參考P308頁 例1）11，二元復合函數求偏導；（參考P208頁 例1,2）

12，二元隱函數求偏導數；（參考P211頁 例9）

13，二元函數的極值；（參考P216頁 例1）

14，在平面直角坐標系下二重積分的計算；（參考P229頁 例4,5,6）15，一階線性微分方程的解法；（參考P284頁 例4,5）

16，二階常系數非齊次線性方程的解法。（參考P296頁 例4,5）

（注意：要點的最后六個是大題，就是11至16。）

第三篇：微積分復習教案

第一講 極限理論

一 基本初等函數的定義域、值域、奇偶性、單調性、周期性和圖象，其中函數圖像是重中之重，由函數圖像可以輕易的得到函數的其它要素（P17-20）二 求極限的各種方法

⑴當f(x)為連續函數時,x0?Df,則有limf(x)?f(x0)

x?x0例1 計算極限limxarcsinx

x?22 ⑵設m,n為非負整數,a0?0,b0?0則

?0,當n?ma0xm?a1xm?1???am?1x?am??a0lim??,當n?m x??bxn?bxn?1???b01n?1x?an?b0???,當n?m 例2 計算極限：⑴ lim973x?1 ⑵ ?3x?2??2x?3?

limx??2x?4?4x?1?16x???⑶用兩個重要極限求

①limsinx?1（limsinx?0，limsinf(x)?1）

x?0x??f(x)?0xxf(x)x2 結論：當x?0時，x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx，1?cosx~。②lim(1?1)x?e（lim(1?x)x?e，lim(1?1)f(x)?e）

x?0x??f(x)??xf(x)實質：外大內小，內外互倒

例4 計算極限：⑴ lim(1?2x)⑵ lim(1?sinx)

x?0x?013x1x1 ⑷未定式的極限（?000，???，0??，0，?）?0 ①羅必達法則

例5 計算極限：

x?0?limsinxlnx lim(sinx)x lim(x?0?x?011?)sinxx②設法消去零因子（分子有理化，分母有理化，分子分母同時有理化等方法）例6 計算極限：⑴ lim1?x?1 ⑵ lim3?x?2

x?0x?1xx?1 ③用等價無窮小量代換（切記：被代換的部分和其他部分必須是相乘關系！）例7 計算極限limsinxtanx

x?0x2(1?cosx)⑸無窮小量乘有界變量仍是無窮小量。

例8 計算極限：⑴ limx2sin1 ⑵ limxcosx

x?0x???1?x2x三 連續和間斷 1.連續的定義

2.間斷點的定義和分類

四 閉區間上連續函數的性質（這里有一些證明題值得注意）。

第二講 微分學

一 導數概念

導數：f?(x)?limf(x0??x)?f(x0)?limf(x)?f(x0)

?x?0x?x0?xx?x0左導數：f??(x)?limf(x0??x)?f(x0)?limf(x)?f(x0)?x?0?x?x0??xx?x0右導數：f??(x)?limf(x0??x)?f(x0)?limf(x)?f(x0)?x?0?x?x0??xx?x0 實質：差商的極限。

例1 計算極限：⑴ limh?0f(x0?h)?f(x0)f(x0)?f(x0??x)⑵ lim

?x?0h?x二 各種求導法

⑴導數公式表（P94）和四則運算法則（P85）

例2設f(x)?4x?3x?x4?5logax?sin2，求f?(x)；

例3設f(x)?1sinx?arctanx?cscx，求f?(x)，f?()；

4x ⑵復合函數的求導（P90）

例4 求下列函數的導數

①f(x)?arctane2x ②f(x)?etanx ⑶隱函數求導（方法：把y當作x的函數，兩邊對x求導）

例5 求下列隱函數的導數

①xy?e?y?0 ②2y?3x?5lny ⑷對數求導法（多用于冪指函數和由多因子相乘構成的函數的求導）

例6 求下列函數的導數

① y?xsinxx? ②y?2x?1(x?1)(3?2x)⑸由參數方程確定的函數的求導

?x??(t)重點：由參數方程?確定的函數y?f(x)的導數為dy???(t)；

dx??(t)?y??(t)?x?ln(1?t)例7 設?，求dy；

dx?y?t?arctant三 高階導數

例8 設y?2arctanx，求y??； 例9 設y?ex?xn，求y(n)； 四 微分

重點：函數y?f(x)的微分是dy?f?(x)dx

例10 設y?3x2?e2x，求dy； 例11設y?2x?ey，求dy； 五 單調性和極值

重點：⑴由f?(x)的符號可以判斷出f(x)的單調性；

⑵求f(x)的極值方法：①求出f?(x)，令其為零，得到駐點及不可導點，姑且統稱為可疑點；②判斷在可疑點兩側附近f?(x)的符號，若左正右負，則取得極大值；若左負右正，則取得極小值；若同號，則不取得極值。

例12 求函數y?x?ln(x?1)的單調區間和極值點。

例13 證明：當0?x?六 最值問題

求函數f(x)在區間[a,b]上的最值之步驟：①求出f?(x)，令其為零，得到可疑點（駐點和不可導點），并求出函數在這些點處的取值；②求出函數在區間端點取值f(a)，f(b)；

③比較函數在可疑點和區間端點上的取值，最大者即為最大值，最小者即為最小值。

例14 求下列函數在指定區間上的最值。

⑴f(x)?x4?2x2?5，[?2,3] ⑵y?x?1，[0,4]

x?1七 凹凸性和拐點

重點：

⑴凹凸性概念：設f(x)在區間(a,b)內連續，若對?x1,x2?(a,b)（x1?x2），有

?2時，恒有x?sinx。

f(x1?x2f(x1)?f(x2)x?x2f(x1)?f(x2))?)?（f(1）

2222則稱f(x)在(a,b)內是凹函數（凸函數）。（用此定義可以證明一些不等式，見下例）。⑵由f??(x)的符號可以判斷出f(x)的凹凸性。f??(x)為正號則f(x)是凹函數，f??(x)為負號則f(x)是凸函數。

⑵判斷f(x)的拐點之方法：①求出f??(x)，令其為零，得到f??(x)等于0的點和f??(x)不存在的點；②判斷在這些點兩側附近f??(x)的符號，若為異號，則該點是拐點；若同號，則該點不是拐點。

例15 求下列函數的凹凸區間和拐點。

⑴y?x?2x?1 ⑵y?3x

例16 證明：當x1?x2時，必有ax1?x2243ax1?ax2?（a?0）。

2第三講 積分學

一 不定積分與原函數的概念與性質

⑴原函數：若F?(x)?f(x)，則稱F(x)為f(x)的一個原函數。

⑵不定積分：f(x)的全體原函數稱為f(x)的不定積分，即

?f(x)dx?F(x)?c，這里F?(x)?f(x)

⑶不定積分的性質（P174,共2個）

特別強調：?F?(x)dx?F(x)?c；?dF(x)?F(x)?c（切記常數c不可丟）二 定積分的概念與性質

⑴定積分概念：

n?baf(x)dx?lim?f(?i)?xi

??0i?1 ⑵定積分和不定積分的區別：定積分是和式的極限，計算結果是個常數；不定積分是由一族函數（被積函數的原函數）構成的集合。

⑶f(x)在[a,b]上可積的必要條件：f(x)在[a,b]上有界； 充分條件：f(x)在[a,b]上連續；

⑷定積分的幾何意義：設f(x)?0，x?[a,b]，則?f(x)dx表示由x?a，x?b，y?0ab及y?f(x)圍成的曲邊梯形的面積。

⑸定積分的性質（P210,共7個）注意結合定積分的幾何意義理解之。

例：⑥若對?x?[a,b]，有m?f(x)?M，則有m(b?a)? ⑦若f(x)在[a,b]上連續，則存在??[a,b]，使得滿足 另：若f(x)是奇函數，則三 由變上限積分確定的函數

⑴定義：設f(t)在[a,b]上連續，則稱函數

b??abf(x)dx?M(b?a)。f(x)dx?f(?)(b?a)。

a?a?af(x)dx?0。

?(x)??f(t)dt，a?x?b

ax 為變上限積分確定的函數。

⑵求導問題：??(x)?dx[?f(t)dt]?f(x)dxax2 例1 求下列函數的導數f?(x)。

①f(x)??xln4tedt ②f(x)??x4?2t01?t2dt

⑶與羅必達法則結合的綜合題

例2 求下列極限： ①

t?lim0x?02sintdtx4sin3tdt? ②lim

?tedt0x?0x3?t0x2四 求積分的各種方法

⑴直接積分法（兩個積分表P174和P185）

cos2x1?x?x2 例3 計算積分：①? ②dx dx?2sinx?cosxx(1?x)⑵第一換元法（湊微分法）

重點：?f(x)dx?????g[?(x)]??(x)dx??g[?(x)]d?(x)

令u??(x)整理f(x)????g(u)du???G(u)?c????G[?(x)]?c

常用湊微分公式：xndx?1d(xn?1)，1dx?2d(x)，1dx?d(lnx)，sinxdx??d(cosx)

n?1x?積分變量還原xcosxdx?d(sinx)，sec2xdx?d(tanx)，csc2xdx??d(cotx)，secxtanxdx?d(secx)，cscxcotxdx??d(cscx)。

注意：在定積分的換元法中，要相應調整積分上下限。

例4 計算積分：

?①tanxdx ② ⑶第二換元法

重點：??20sin?cos2?d? ③?2x?41?lnxdx ④?(1?xlnx)4dx x2?4x?8?f(x)dx?????f[?(t)]??(t)dx ?dx??(t)dt令x??(t)???????g(t)du???G(t)?c????G[??1(x)]?c 整理f[?(t)]??(t)?積分變量還原 常用換元方法：

①被積函數中若有nax?b，令t?nax?b；若有kx和lx，令x?t，這里m是k，ml的最小公倍數。

②被積函數中若有a2?x2，令x?asint； ③被積函數中若有a2?x2，令x?atant； ④被積函數中若有x2?a2，令x?asect；

注意：在定積分的換元法中，要相應調整積分上下限。

例5 計算積分：⑴ ?a0a?xdx ⑵ ?2241dx

1?x例6 設f(x)是定義于實數集上的連續函數，證明 ⑴?baf(x)dx??b?ca?cf(x?c)dx，⑵ ?baf(x)dx???ba?2bf(a?b?x)dx

⑷分部積分法 u?vdx?uv?uv?dx

關鍵：適當選擇u?，v。選擇的技巧有①若被積函數是冪函數乘易積函數，令u?為易積函數，v為冪函數。②若被積函數是冪函數乘不易積函數，令u?為冪函數，v為不易積函數。

例7 計算積分：arctanxdx

⑸有理分式函數的積分

步驟：①若是假分式，先用分式除法把假分式化為多項式與真分式的和，多項式積分非常容易，下面重點考慮真分式P(x)的積分。

Q(x)②把Q(x)分解成如下形式 ???Q(x)?b0(x?a)??(x?b)?(x2?px?q)??(x2?rx?s)?

這里p2?4q?0，……，r?4s?0。③把P(x)化為如下形式

Q(x)A? A1A2P(x)?????Q(x)(x?a)?(x?a)??1(x?a)2 ??????

B?B2 ?B1? ??????1(x?b)(x?b)(x?b)?M?x?N?M1x?N1M2x?N2???? 2?2??12(x?px?q)(x?px?q)(x?px?q)?????? ?R?x?S?R1x?S1R2x?S2 ????2?2u?12(x?rx?s)(x?rx?s)(x?rx?s)這里Ai,Bi,Mi,Ni,Ri,Si為待定系數，通過對上式進行通分，令等式兩邊的分子相等，即可解得這些待定系數。

④于是對P(x)的積分就轉化成對上面等式的右端積分了，然后再對上式右端積分。

Q(x)x3?2x2dx

⑵ 例8 計算積分：⑴ ?2x?2x?10五 定積分的分段積分問題

例9 計算積分：⑴4x?3?x2?5x?6dx

?0x?3dx。⑵?sin2xdx

0?六 定積分的應用：重點是再直角坐標系下求平面圖形的面積。

⑴由曲線y?f(x)，y?g(x)[f(x)?g(x)]及直線x?a，x?b[a?b]圍成的圖形的面積為：S??[f(x)?g(x)]dx。

ab⑵由曲線x??(y)，x??(y)[?(y)??(y)]及直線y?a，y?b[a?b]圍成的圖形的面積為：S??[?(y)??(y)]dy。

ab例10 求由下列曲線圍成的圖形的面積。⑴y?lnx，y?1?x，y?2； ⑵x?0，x??2，y?sinx，y?cosx；

七 廣義積分

沿著定積分的概念的兩個限制條件（積分區間有限和被積函數在積分區間上有界）進行推廣，就得到兩種類型的廣義積分。

⑴第一類廣義積分

①定義：? ???abf(x)dx?lim?f(x)dx

b??ab????f(x)dx?lim?f(x)dx

a???a0b ???f(x)dx????f(x)dx????0f(x)dx?lim?f(x)dx?lim?f(x)dx

a???ab???00b ②計算方法：先計算定積分，在取極限。

⑵第二類廣義積分（暇積分）

①定義：?f(x)dx?lim?ababb??0?a??b??f(x)dx（a是暇點）f(x)dx（b是暇點）

bc?? ?f(x)dx?lim?bcaa??0?a ?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx?lim?c??0?af(x)dx?lim?b??0?c?? f(x)dx（c是暇點）②計算方法：先計算定積分，在取極限。

例11 判斷下列廣義積分的斂散性，若收斂，收斂于何值。

①? ??1`1dx ②5x?211dx 5(x?1)

第四篇：2012-2013微積分(下)要點

2012-2013（2）《微積分（下）》重要知識點

第7章

向量的數量積、向量積；

平面方程，直線方程

第8章

多元復合函數偏導數（具體函數要求到二階、抽象函數要求到一階）； 全微分；

多元函數的極值與最值——拉格朗日乘數法

第9章

在直角坐標下計算二重積分；

在極坐標下計算二重積分

第10章

級數基本概念與性質；

常數項級數：正項級數、交錯級數收斂性判別；

冪級數：收斂半徑、收斂區間、收斂域

第11章

一階微分方程：可分離變量微分方程、一階線性微分方程；

二階微分方程：線性微分方程解的結構、二階常系數線性齊次微分方程、簡單的二階常系數線性非齊次微分方程

第12章

一階常系數線性齊次、非齊次(f(t)為多項式函數)差分方程

Mathematics程序

第五篇：大一上學期微積分高數復習要點

大一上學期高數復習要點

同志們，馬上就要考試了，考慮到這是你們上大學后的第一個春節，為了不影響闔家團圓的氣氛，營造以人文本，積極向上，相互理解的師生關系，減輕大家學習負擔，以下幫大家梳理本學期知識脈絡，抓住復習重點；

1.主要以教材為主，看教材時，先把教材看完一節就做一節的練習，看完一章后，通過看小結對整一章的內容進行總復習。

2.掌握重點的知識，對于沒有要求的部分可以少花時間或放棄，重點掌握要求的內容，大膽放棄老師不做要求的內容。

3.復習自然離不開大量的練習，熟悉公式然后才能熟練任用。結合課后習題要清楚每一道題用了哪些公式。沒有用到公式的要死抓定義定理！

一.函數與極限二.導數與微分 三.微分中值定理與導數的應用四.不定積分瀏覽目錄了解真正不熟悉的章節然后有針對的復習。

一函數與極限

熟悉差集對偶律（最好掌握證明過程）鄰域（去心鄰域）函數有界性的表示方法數列極限與函數極限的區別收斂與函數存在極限等價 無窮小與無窮大的轉換 夾逼準則（重新推導證明過程）熟練運用兩個重要極限第二準則會運用等價無窮小快速化簡計算了解間斷點的分類零點定理

本章公式：

兩個重要極限：

二.導數與微分

熟悉函數的可導性與連續性的關系 求高階導數會運用兩邊同取對數 隱函數的顯化會求由參數方程確定的函數的導數

洛必達法則：

利用洛必達法則求未定式的極限是微分學中的重點之一，在解題中應注意：

①在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足或型，否則濫用洛必達法則會出錯.當不存在時（不包括∞情形），就不能用洛必達法則，這時稱洛必達法則失效，應從另外途徑求極限.②洛必達法則可連續多次使用，直到求出極限為止.③洛必達法則是求未定式極限的有效工具，但是如果僅用洛必達法則，往往計算會十分繁瑣，因此一定要與其他方法相結合，比如及時將非零極限的乘積因子分離出來以簡化計算、乘積因子用等價量替換等等.曲線的凹凸性與拐點：

注意：首先看定義域然后判斷函數的單調區間

求極值和最值

利用公式判斷在指定區間內的凹凸性或者用函數的二階導數判斷（注意二階導數的符號）

四.不定積分：（要求：將例題重新做一遍）

對原函數的理解

原函數與不定積分

1基本積分表基本積分表（共24個基本積分公式）

不定積分的性質

最后達到的效果是會三算兩證（求極限，求導數，求積分）（極限和中值定理的證明），一定會取得滿意的成績！