第一篇：數學分析選講課程教學標準

《數學分析選講》課程教學標準 第一部分：課程性質、課程目標與要求

《數學分析選講》課程，是我院數學與應用數學、信息與計算科學本科專業的選修課程，是為報考數學專業碩士研究生及對分析感興趣的學生所開的一門選修課。本課程的目的是通過本課程的學習，使學生對已學過的數學分析的知識進行鞏固、加深、提高，并擴大所學的知識，更好地掌握分析的基本思想、基本方法，使對所學的數學分析知識能做到觸類旁通。

教學時間應安排在第五學期或第六學期。這時，學生已學完《數學分析》的課程，正準備碩士研究生的入學考試，且為了學生更好地利用時間，因此可把這門課安排在第四學期至第五學期的暑假及第六學期至第七學期的暑假。

第二部分：教材與學習參考書

本課程擬采用由裴禮文編寫的、高等教育出版社1993年出版的《數學分析中的典型問題與方法》第一版一書，作為本課程的主教材。

為了更好地理解和學習課程內容，建議學習者可以進一步閱讀以下幾本重要的參考書：

1、數學分析講義，陳紀修、於崇華、金路，高等教育出版社，19992、數學分析解題方法600例，李世金、趙潔，東北師范大學出版社，199

2第三部分：教學內容綱要和課時安排

第一章 一元函數的極限

復習數列極限和無窮大量、函數極限、數列的上、下極限的概念和性質，通過例子總結求數列、函數極限的方法，及用定義證明極限存在性。

通過這一章的學習，學習者要準確理解數列極限和無窮大量、函數極限、數列的上、下極限的概念和性質，進一步熟練掌握求數列、函數極限的方法，及用定義證明極限存在性，理解數列的上、下極限的概念和性質。本章的主要教學內容（教學時數安排：10學時）：

§1.1數列極限和無窮大量

§1.2函數極限

§1.3數列的上、下極限

第二章 實數的基本定理及函數的連續性

對實數的基本定理——七大定理（確界存在定理、單調有界定理、閉區間套定理、Weierstress定理、Cauchy收斂原理、有限覆蓋定理、聚點定理）的內容加以復習及沒證明過的定理給予補充證明，及給出例子加以說明它們的應用，同時本章介紹連續性的證明，連續性的應用，一致連續，半連續與函數方程等方面的內容。

通過本章的學習，學習者要理解實數的基本定理及其應用，掌握連續，一致

連續概念及性質，掌握連續性的應用及一致連續的證明，同時理解用連續模來描述一致連續性，理解半連續。

本章的主要教學內容（教學時數安排：12學時）：

§2.1實數的基本定理

§2.2一元函數的連續性

§2.3一致連續

§2.4上、下半連續

第三章 一元微分學

復習一元函數導數的基本概念、微分中值定理、Taylor公式、函數的凸性。給出例子討論微分中值定理的應用、討論帶Lagrange余項與帶Peano余項的Taylor公式在解題中的若干應用、以及用微分方法討論不等式、以及與不等式密切相關函數的凸性的問題。

通過本章的學習，學習者要熟練掌握微分導數的定義；進一步掌握微分中值定理、Taylor公式及其應用；掌握用微分方法討論不等式、以及與不等式密切相關函數的凸性的問題。

本章的主要教學內容（教學時數安排：18學時）：

§3.1導數與微分

§3.2微分學基本定理

§3.3Taylor公式

§3.4導數在研究函數上的應用

§3.5函數的凸性

第四章 一元函數的積分學

本章在復習已學過的一元函數的積分學的基本知識后，主要討論如下幾方面的內容：積分與極限、可積性、積分值的估計、積分不等式與定積分的若干綜合性問題、若干著名的不等式、反常積分。

通過本章內容的學習，學習者進一步熟練掌握一元函數的積分學的基本概念及基本性質；掌握利用積分求極限及求積分的極限；初步掌握定積分的可積性的證明；掌握利用變形求估計及積分估計的應用；掌握證明積分不等式的若干基本方法；掌握幾個著名的不等式的變形與應用；掌握反常積分的計算及其收斂性的判定。

本章的主要教學內容（教學時數安排：14學時）。

§4.1不定積分

§4.2定積分

§4.3反常積分

第五章 級數

本章復習歸納數項級數斂散性的判別法，函數列、函數項級數一致收斂的概念及其判別法，求冪級數收斂半徑、收斂域、級數和的方法，以及級數和的分析性質。并用有一定難度的例子來加深這些方面的訓練，使得學生能夠更好地掌握

這一章節的內容。

通過本章的學習，學習者進一步熟練掌握數項級數的判別法；準確理解函數項級數收斂和一致收斂的概念；熟練掌握函數項級數的一致收斂的判別法；準確理解一致收斂函數項級數的三大性質定理；理解掌握冪級數的性質，掌握冪級數的收斂區間的求法；掌握函數展成冪級數的條件，熟練掌握幾個基本初等函數的冪級數展開式；利用冪級數的性質掌握一些級數求和。

本章的主要教學內容（教學時數安排：10學時）：

§5.1數項級數

§5.2函數項級數

§5.3冪級數

第六章 多元函數的微分學

復習近平面點集、二元函數極限、連續的定義、及偏導數、全微分的定義。歸納二元函數極限的計算方法、證明二元極限不存在的常用方法；二元函數連續性的證明及應用；二元函數偏導數的計算及可微、不可微的證明。

通過本章的學習，準確理解平面點集、二元函數極限、連續的定義、及偏導數、全微分的定義。掌握二元函數極限的計算方法、證明二元極限不存在的常用方法；掌握二元函數連續性的證明及應用；掌握二元函數偏導數的計算及可微、不可微的證明。

本章的主要教學內容（教學時數安排：8學時）：

§6.1多元函數的極限與連續

§6.2多元函數的偏導數

第七章 多元積分學

復習廣義積分、含參量積分的各種斂散性判別法及含參量廣義積分的一致收斂性判別法；含參量積分及含參量廣義積分的連續性、可微性、可積性及其它們的應用；二重積分、三重積分的計算；第一類曲線積分、第一類曲面積分、第二類曲線積分、第二類曲面積分的計算；格林公式、高斯公式、斯托克司公式的應用。

通過本章的學習，掌握廣義積分、含參量積分的各種斂散性判別法及含參量廣義積分的一致收斂性判別法；掌握含參量積分及含參量廣義積分的連續性、可微性、可積性及其它們的應用；掌握二重積分、三重積分的計算；掌握第一類曲線積分、第一類曲面積分、第二類曲線積分、第二類曲面積分的計算；掌握格林公式、高斯公式、斯托克司公式的應用。

本章的主要教學內容（教學時數安排：8學時）：

§7.1含參量積分

§7.2含參量的反常積分

§7.5重積分

第四部分：教學方案簡要說明

課時計劃是每周4學時，總約80學時。教師可根據課時適當調整部分教學內容。本課程教學采用課堂講授為主，由于這門課是在已學完數學分析的基礎上

開設的選修課，因此需要學生課后復習已學過的知識，同時根據學生在論證題比較薄弱的特點，課堂上講授大量有一定難度的論證例題，拓寬學生的解題思路。本課程可以采用多媒體輔助教學。課程教學強調理解與分析，也強調應用和技能。

第五部分：課程作業與考核評價

本課程需要學生自主完成一定量的題目才能較好地達到課程教學目的，一般每次課（4學時）由教師統一布置一些思考作業，總量達到20余次，由于這些思考題有一定的難度，鼓勵學生互相討論完成。

本課程的半期考試采用寫小論文的形式，期末考試采用閉卷考試方式。考試題目的一般類型：（1）是非題或選擇題：基本概念或基本計算、分析；

（2）計算題：求極限、級數和等等；（3）理論分析證明題。

本課程總評成績由期末考試和平時學習情況兩大部分構成，平時學習情況包括：課堂表現、平時作業完成情況、半期考。成績的評定采用百分制。期末考試成績占總評成績的70%，平時學習情況占總評成績的30%。因此科任教師要重視學生平時學習情況的跟蹤、檢查和評價。

制定者：謝碧華執筆

校對者:

審定者：蘇維鋼

批準者：×××

第二篇：數學分析專題選講教案目錄

數學分析專題選講教案目錄

第一專題 極限理論中的若干基本方法

教案1(數學分析專題選講教案1-1)……………………………………….1 教案2(數學分析專題選講教案1-2)……………………………………….8 教案3(數學分析專題選講教案1-3)……………………………………….16 教案4(數學分析專題選講教案1-4)……………………………………….25

第二專題 函數連續性中的若干基本方法

教案5(數學分析專題選講教案2-1)……………………………………….32 教案6(數學分析專題選講教案2-2)……………………………………….44

第三專題 微分中值定理中的若干基本方法

教案7(數學分析專題選講教案3-1)……………………………………….51 教案8(數學分析專題選講教案3-2)……………………………………….58 教案9(數學分析專題選講教案3-3)……………………………………….65 教案10(數學分析專題選講教案3-4)………………………………………69

第四專題 定積分中的若干基本方法

教案11(數學分析專題選講教案4-1)………………………………………77 教案12(數學分析專題選講教案4-2)………………………………………88 教案13(數學分析專題選講教案4-3)………………………………………95 教案14(數學分析專題選講教案4-4)…………………………………….103

第五專題 無窮級數與無窮積分中的若干基本方法

教案15(數學分析專題選講教案5-1)…………………………………….111 教案16(數學分析專題選講教案5-2)…………………………………….119 教案17(數學分析專題選講教案5-3)…………………………………….126

第六專題 多元函數微分學中的若干基本方法

教案18(數學分析專題選講教案6-1)…………………………………….131 教案19(數學分析專題選講教案6-2)…………………………………….141 教案20(數學分析專題選講教案6-3)…………………………………….148

第七專題 函數級數與含參變量無窮積分中的若干基本方法

教案21(數學分析專題選講教案7-1)…………………………………….156 教案22(數學分析專題選講教案7-2)…………………………………….162 教案23(數學分析專題選講教案7-3)…………………………………….169 教案24(數學分析專題選講教案7-4)…………………………………….177

第八專題 多元函數積分學中的若干基本方法

教案25(數學分析專題選講教案8-1)……………………………………185.教案26(數學分析專題選講教案8-2)……………………………………195.教案27(數學分析專題選講教案8-3)……………………………………205.教案28(數學分析專題選講教案8-4)……………………………………217.教案29(數學分析專題選講教案8-5)……………………………………225.附件: 1.數學分析專題選講課程簡介…………………………………………..231 2.數學分析專題選講課程教學大綱……………………………………..232 3.數學分析專題選講課程考試大綱……………………………………..238

第三篇：數學分析課程教學大綱

《數學分析》課程教學大綱

(理工科師范類數學教育專業)

說明

數學分析是理工科師范類數學教育專業的一門必修的基礎課。這門課程對于學員加深理論基礎的學習，增強基本技能的訓練，提高數學修養和業務素質，以便居高臨下地分析和處理中學數學教材，有著重要作用。

本課程以極限概念為基礎，主要內容為一元微積分的理論和應用。

本課程的教學目的一要求是：

一、使學員對極限思想與方法有較深刻的認識，弄清具體與抽象、特殊與一般、有限與無限等辯證關系，學習科學的思想方法，以利于辯證唯物主義世界觀的培養與形成。

二、使學員掌握數學分析的基本知識、基本理論與基本技能，提高抽象思維、邏輯推理與運算的能力，并認識到數學分析在自然科學與社會科學中的廣泛應用。

三、使學員對中學數學的有關內容有較深刻的理性認識，能深入淺出地處理好這些教材內容。

本大綱是在國家教委1990年頒布的《中學教師進修高等師范專科數學分析教學大綱》基礎上修訂而成。本課程課內學時為288學時，其中錄像220學時(學時分配見下表)。

大綱內容

一、函數

（一）目的要求

１、正確理解和掌握函數概念，了解函數的各種表示法和記號；理解和掌握函數的四則運算與復合，會求函數的定義域；掌握反函數的定義和圖象等。

２、理解和掌握有界函數與無界函數、單調函數、奇函數與偶函數、周期函數等概念。３、熟練掌握五種基本初等函數的定義與性質，能熟練地繪出它們的草圖。

４、了解幾個常用的非初等函數的例子。

（二）主要內容

１、函數概念（函數概念絕對值不等式定義域值域函數的符號圖象 函數的各種表示法）

２、函數的特性種類（有界函數與無界函數單調函數奇函數與偶函數周期函數）３、函數的四則運算與復合４、反函數（定義存在的充要條件圖象）

５、基本初等函數（冪函數指數函數對數函數三角函數反三角函數）６、初等函數（基本初等函數初等函數）

７、幾個非初等函數的例子（整數部分函數小數部分函數符號函數狄里赫勒函數黎曼函數）

二、極限

（一）目的要求

１、理解和掌握數列極限與函數極限的概念，掌握它們的有關性質。

２、理解和掌握無窮小量與無窮大量的概念，掌握它們的有關性質。

３、會用“ε-N”、“ε-δ”、“ε-E” 等語言處理極限的有關問題。

４、能運用四則運算、兩邊夾定理、單調有界數列極限存在定理與兩個重要極限，熟練地求極限。

（二）主要內容

１、數列極限的概念（數列數列極限的定義幾何意義）

２、數列極限的性質（唯一性有界性保號性保序性兩邊夾定理四則運算定理單調有界數列極限存在定理）

３、子數列（子數列數列極限與子數列極限的關系）

４、函數極限的概念（在一點處函數極限的定義左、右極限及其與雙邊極限的關系 χ→∞時的極限幾何意義）

５、函數極限的定理（函數極限的性質函數極限與數列極限的關系）

６、兩個重要極限

limsinχ── χ ＝1lim（1＋1─ χ）χ＝ е

χ→0χ→∞

７、無窮小量與無窮大量（無窮小量與無窮大量的定義、關系、性質、無窮大量與無界的區別無窮小量比較）

三、連續函數

（一）目的要求

１、理解和掌握函數連續的概念，一致連續概念要清楚。

２、對于間斷點及其分類要有清楚的了解。

３、掌握閉區間上連續函數的性質。

４、了解初等函數的連續性。

（二）主要內容

１、連續概念（一點處連續、單側連續與區間上連續的定義間斷點及其分類）

２、函數在一點處連續的性質（有界性全保號性四則運算復合函數的連續性反函數的連續性）

３、閉區間上連續函數的性質（價值性有界性量值定理一致連續定理（均暫不證明））

４、初等函數連續性

四、實數的連續性

（一）目的要求

１、了解實數集關于極限運算的封閉性。

２、了解實數連續性的幾個基本定理的證明方法并掌握其條件與結論。

３、了解閉區間上連續函數的性質的證明方法。

（二）主要內容

１、幾個基本定理（閉區間套定理確界確界存在定理聚點聚點定理有限覆蓋定理柯西收斂準則）

２、閉區間上連續函數性質的證明（一致連續定理不證）

五、導數與微分

（一）目的要求

１、掌握導數與微分的概念及其幾何意義，了解它們的應用。

２、能熟練地應用導數的定義與求導法則求函數的導數。

３、會求一些函數的高階導數。

（二）主要內容

１、導數概念（概念引入導數定義幾何意義可導與連續的關系）

２、求導法則（四則運算復合函數與反函數的導數基本公式表）

３、隱函數與參數方程求導（隱函數求導法則參數方程求導法則）

４、微分（微分定義幾何意義微分與導數的關系微分法則一階微分形式不變性微分在近似計算上的應用）

５、高階導數與高階微分（高階導數萊布尼茲公式（不證）高階微分）

６、幾何應用（曲線的切線方程與法線方程兩條曲線的交角弧長的微分）

六、微分學中值定理和泰勒公式

（一）目的要求

１、掌握中值定理的條件、結論和證明方法。

２、會用中值定理證明一些恒等式與不等式。

３、會求一些簡單函數的泰勒展開式。

（二）主要內容

１、中值定理（費爾引理羅爾定理拉格朗日定理柯西定理）

２、泰勒公式（泰勒公式泰勒公式的余項（拉格朗日型））

七、導數的應用

（一）目的要求

１、能熟練地應用洛畢大法則求不定理的極限。

２、會利用導數判定函數的單調性，會求函數的極值和最大（小）值。

３、能運用導數較正確地作出函數的圖象。

（二）主要內容

１、洛畢大法則（0 ─0 型∞─∞ 型（不證）其他不定型的轉化）

２、函數的單調性（函數單調的充要條件函數嚴格單調的充要條件應用函數的單調性證明不等式）

３、函數的極值（極值概念極值判別法最大值與最小值）

４、函數作圖（函數的凹凸性拐點漸近線函數作圖）

八、不定積分

（一）目的要求

１、掌握原函數與不定積分概念。

２、熟練掌握換元積分法與分部積分法，了解不理函數積分法。

（二）主要內容

１、不定積分的概念（原函數與不定積分的概念不定積分的運算法則基本積分表）２、換元積分法（湊微分法典型代換法）

３、分部積分法

４、有理函數的積分（有理函數部分分式（了解原理，掌握方法））

∫dχ──────（χ2＋a2）n的遞推公式

５、三角函數有理式和積分

九、定積分

（一）目的要求

１、正確理解和掌握定積分概念，了解可積準則，掌握可積函數類。

２、掌握定積分的性質，能熟練地應用牛頓－萊布尼茲公式計算定積分。

３、掌握并正確用換元積分法與分部積分法。

（二）主要內容

１、定積分概念（概念引入定積分的定義）

２、可積準則（大和與小和可積的必要條件可積的充要條件）

３、可積函數類（連續函數只有有限個間斷點的有界函數單調有界函數可積分函數類與有原函數的函數類的區別）

４、定積分的性質（線性有限可加性單調性絕對可積性積分第一中值定理）５、定積分的計算（可變上限的定積分牛頓－萊布尼茲公式換元積分法分部積分法）

十、定積分的應用

（一）目的要求

１、掌握定積分在幾何上的應用，了解定積分在物理上的應用。

２、了解定積分的近似計算。

（二）主要內容

１、定積分在幾何上的應用（微元法平面區域的面積平面曲線的弧長利用截面面積計算立體體積旋轉體的側面積）

２、定積分在物理上的應用（靜壓力變力作功非均勻曲線的質量）

３、定積分在近似計算（梯形法拋物線法）

十一、數項級數

（一）目的要求

１、掌握無窮級數及其斂散性等基本概念。

２、了解收斂級數的性質。

３、能熟練使用幾種常用的判斂法則。

（二）主要內容

１、數項級數的斂散性（無窮級數部分和收斂與發散和與余和收斂級數的性質收斂的必要條件柯西準則）

２、正項級數斂散性判別法（比較判別法級數通項比值極限法達朗貝爾判別法柯西判別法）

３、任意項級數斂散性判別法（絕對收斂與條件收斂交錯級數萊布尼茲判別法）

十二、函數項級數

（一）目的要求

１、掌握函數項級數的收斂域、和函數與一致收斂等基本概念。

２、會使用一致收斂的優級數判別法。

３、掌握和函數與極限函數的分析性質。

４、了解極限、收斂的否定語句敘述。

（二）主要內容

１、函數項級數的收斂域（函數項級數收斂域和函數極限函數一致收斂極限與收斂的否定語句敘述）

２、一致收斂的判別法（柯西準則優級數判別法）

３、函數項級數的分析性質（和函數的連續性、可積性、可微性極限函數的連續性、可積性、可微性）

十三、冪級數

（一）目的要求

１、弄清冪級數及其收斂半徑、收斂域等概念，會求冪級數的收斂半徑與收斂域。２、明確冪級數和函數的分析性質。

３、了解函數能展成泰勒級數的條件，能將一些函數民成泰勒級數。

４、了解函數民開式在近似計算上的應用及三角函數表與對數表的造表原理。

（二）主要內容

１、冪級數的收斂域（冪級數阿貝爾定理收斂半徑收斂域）

２、冪級數的性質（內閉一致收斂性和函數的連續性、可積性、可微性）

３、函數的泰勒展開（系數求法與展開式的唯一性可展成冪級數的充要條件 幾個初等函數的冪級數展開式）

４、冪級數在近似計算上的應用（求方根的近似值e和π的近似值三角函數造表對數造表）

十四、廣義積分

（一）目的要求

１、掌握廣義積分的收斂、發散、絕對收斂與條件收斂等概念。

２、能用收斂性判別法判斷一些廣義積分的斂散性。

（二）主要內容

１、無窮區間上的廣義積分（無窮積分的收斂與發散絕對收斂與條件收斂收斂準則收斂性判別法與級數的關系）

２、無界函數的廣義積分（瑕積分的收斂與發散絕對收斂與條件收斂收斂準則收斂判別法與無窮積分的關系Г函數簡介）

十五、多元函數微分學

（一）目的要求

１、掌握平面點集的一些基本概念與多元函數的概念。

２、理解和掌握二元函數的極限、二元函數的連續性等概念。

３、掌握偏導數、全微分等概念，能熟練地求偏導數與全微分，了解高階偏導數的概念，能求高階偏導數。

４、弄清全微分、偏導數與連續三者之間的關系。

（二）主要內容

１、平面點集（點的圓形領域內點聚點界點邊界開集閉集區域）

２、二元函數的極限與連續性（多元函數概念二元函數的定義域二元函數的極限與累次極限二元函數連續的概念閉區間上連續函數的性質（不證））

３、偏導數與全微分（偏導數全微分高階偏導數全微分與偏導數、連續三者之間的關系）

４、復合函數的偏導數（復合函數可導的充分條件鏈式公式一階微分形式不變性）５、隱函數存在定理（一元隱函數存在定理隱函數的求導）

十六、二重積分

（一）目的要求

１、掌握二重積分的概念，了解它的性質。

２、會正確計算二重積分，并利用它計算空間形體的體積與平面圖形的面積。３、了解三重積分的概念。

（二）主要內容

１、二重積分的概念（概念引入二重積分的定義二重積分的性質二重積分的性質二重積分存在的充分條件（不證））２、二重積分的計算（二重積分化為累次積分利用級坐標計算二重積分）

３、二重積分的應用（空間形體的體積平面圖形的面積）

４、三重積分的概念計算方法舉例

十七、曲線積分

（一）目的要求

１、掌握兩類曲線積分的概念，會求曲線積分。

２、掌握格林公式、曲線積分與道路無關的條件。

（二）主要內容

１、兩類曲線積分（第一型曲線積分的定義、性質與計算方法兩類曲線積分的關系）２、格林公式

３、曲線積分與道路無關的條件

十八、微分方程簡介

（一）目的要求

１、了解微分方程的一些基本概念。

２、掌握幾種簡單類型微分方程的解法。

（二）主要內容

１、基本概念（微分方程階解初始條件特解通解）

２、一階微分方程（可分離變量的微分方程齊次方程一階線性方程全微分方程）

第四篇：2015年秋西南大學《數學分析選講》-第一次作業

《數學分析選講》 第一次作業

一、判斷下列命題的正誤

1.設S為非空數集。若S有上界，則S必有上確界；若S有下界，則S必有下確界.對

2.函數f(x)?sinx為(??,??)上的有界函數.對 3．函數f(x)?sinx?cosx既不是奇函數，也不是偶函數.對 4.若數列{an}收斂，則數列{an2}收斂.對 5．若數列{an}有界，則數列{an}一定收斂.錯 6．若數列{an}收斂，則數列{an}的任何子列都收斂.對 7.設數列{an}與{bn}都發散，則數列{an?bn}一定發散.8．若S為無上界的數集,則S中存在一遞增數列趨于正無窮.錯 對

9．若函數f(x)在x0的極限存在，則f(x)在x0處一定連續.錯

二、選擇題

?x?2,x?11．設f(x)??, 則 f[f(0)]?(A)3?x,x?1? A 1 ； B 2 ； C 3 ； D 0 2．設函數f(x)???1,x為有理數，則 f(2?1)?（C）．

?0,x為無理數1 2A ?1 ； B 1 ； C 0 ； D 3．若數列{xn}有極限a,則在a的?(?0)鄰域之外，數列中的點（B）A 必不存在 ； B 至多只有有限多個；

C 必定有無窮多個 ； D 可以有有限個，也可以有無限多個 4．數列{xn}收斂，數列{yn}發散，則數列{xn?yn}（D）．

A 收斂； B 發散； C 是無窮大； D 可能收斂也可能發散 5．設lim|xn|?2，則（C）

n??A 數列{xn}收斂； B limxn?2；

n??C 數列{xn}可能收斂，也可能發散； D limxn??2；

n??x2?ax?b)?0，其中a,b是常數，則（B）6．已知 lim(x??x?1

A a?1,b?1；

B

a?1,b??1；

C a??1,b?1 ；

D a??1,b??1

三、計算題

(3x?1)80(2x?5)201．求極限 lim.x???(5x?1)100(3x?6)70(8x?5)201．求極限 lim.90x???(5x?1)6??5??3?8?????x??x???lim90x???1???5??x??7020(3x?6)70(8x?5)20解: limx???(5x?1)90

2．求極限limx?0370?820 ?905sinx.x?1?1解：limx?0sin2x(x?1?1)sin2x ?limx?0x?1?1(x?1?1)(x?1?1)(x?1?1)sin2x(x?1?1)sin2x?lim?4

x?0x?0(x?1)?1x ?lim

3． 求極限lim(n??1n?1<2?1n?2?2??1n?n?2).解：因為nn?n21n?1n21n?22?1n?n2<

nn?12

又limnn?n2n???limn??n?12?1，所以由迫斂性定理，limn??1n?12?1n?22??1n?n2?1

nx?n?x,x?(??,??)的連續性.若有間斷點指出其類型.4．考察函數f(x)?limxn??n?n?xnx?n?xn2x?1?lim2x??1；解： 當x?0時，有f(x)?limx同理當x?0時，有f(x)?1.n??n?n?xn??n?1??1,x?0?而f(0)?0，所以f(x)?sgnx??0,x?0。所以0是f的跳躍間斷點.?1,x?0?

四、證明題

設liman?a，limbn?b，且a?b.證明：存在正整數N，使得當n?N時，有n??n??an?bn.證明： 由a?b，有a?a?ba?b?b.因為liman?a?，由保號性定理，存在n??22a?ba?bN1?0，使得當n?N1時有an?。又因為limbn?b?，所以，又存在n??22a?bN2?0，使得當n?N2時有bn?N1,N2}，當n?N時，有.于是取N?max{2a?ban??bn

第五篇：數學分析課程論文選題

1.初等函數的定義及分類。2.分段函數的性質及應用。3.復合函數的性質研究。

4.數列極限定義（??N）的注。5.極限求法綜述。

6.利用公理（實數連續性）證明極限的若干技巧。7.利用兩邊夾定理證明極限的若干技巧。8.極限證明方法綜述。

9.連續函數的若干等價定義。

10.函數一致連續性的等價性及性質。

11．閉區間上的連續函數的性質及其應用。

12．初等函數的連續性及對中學數學教學的指導作用。13．實數的構造理論。

14．閉區間套定理的證明、推廣及應用。15．有限覆蓋定理的證明、推廣及應用。16．實數的連續性定理的等價性。17．上、下確界的性質及應用。18．對各種導數的研究。

19．微分在近似計算中的應用。20．（高階導數）萊布尼茲公式的應用及推廣。21．拉格朗日中值定理的證明及應用。22．柯西中值定理的證明及應用。23．泰勒公式的證明及應用。

24．中值定理“中間值”的漸進性。25．羅爾中值定理的證明及應用。26．泰勒公式在近似計算中的應用。27．利用導數證明不等式。28．凸函數的等價定義。

29．凸函數在不等式證明中的應用。30.函數的最值研究。（一元、多元）31．函數的極值研究。（一元、多元）32．常用的幾個函數的圖象及性質。（正態分布的密度函數、?函數……）33．不定積分計算中的若干技巧。34．分部積分法中U、V的選取技巧。35．換元積分法中的換元技巧。

36．有理函數的不定積分計算中的若干技巧。37．三角函數的不定積分計算中的若干技巧。38．黎曼積分的定義。39．可積準則的等價性。

40．積分變限函數的若干應用。41．積分等式證明的若干技巧。42．積分不等式證明的若干技巧。43．平面圖形的面積的計算方法。44．積分中值定理的證明及推廣。45．積分中值定理中間值的漸進性。46．（不同旋轉軸的）旋轉體體積的計算方法。47．微積分在物理學中的應用。48．微積分在經濟學中的應用。49．正項級數判別法綜述。50．絕對收斂級數的若干性質。51．一致收斂性質及其判別法。52．和函數的分析性質及其應用。53．將函數展開為冪級數的若干方法。54．冪級數的應用。

55．Fourier級數收斂定理的證明及應用。56．閉區間套定理的推廣及其應用。

57．二元函數的極限、連續、偏導數、可微性之間的關系。58．方向導數的性質及其應用。59．多元函數極值的充要條件。60．Lagrange乘數法及應用。61．最小二乘法及應用。62．隱函數的存在性。

63．廣義積分的收斂判別法。64．?函數的性質及其應用。65．B函數的性質及其應用。

66．含參變量有限積分的性質及應用。67．含參變量無窮積分的性質及應用。68．二重積分的計算方法。69．三重積分的計算方法。70．重積分在幾何中的應用。71．重積分在物理學中的應用。72．分片函數的重積分的計算方法。73．分片函數的可微性及其應用。74．第一型曲線積分的性質及其應用。75．格林公式及其應用。76．奧高公式及其應用。

77．奇偶對稱性在重積分中的應用。78．奇偶對稱性在曲線積分中的應用。79．代換技巧在曲線積分中的應用。80．第二型曲線（面）積分的計算方法。81．斯托克斯公式及其應用。