第一篇：數(shù)學(xué)學(xué)案 編號(hào)40 1.1.2 余弦定理

山西大學(xué)附中高一年級(jí)（下）數(shù)學(xué)學(xué)案編號(hào)40

1.1.2余弦定理

一．學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.能理解用向量法證明余弦定理的過(guò)程，并了解從其他途徑（向量法、三角法）證明余弦定理.2.能應(yīng)用余弦定理及其推論解三角形.二、知識(shí)導(dǎo)學(xué)

（1）上節(jié)回顧

1）正弦定理：在一個(gè)三角形中，各的比值相等，即===（）

2）正弦定理的應(yīng)用：

①已知三角形的，可以求三角形的其他元素；

②已知三角形的（2）本節(jié)導(dǎo)學(xué) 問(wèn)題1：在?ABC中，已知AB?3,AC?2,A?60?,如何求BC？

問(wèn)題2：在?ABC中，已知AB?c,AC?b,以及角A, 如何求BC？ C

ab

AB22同理可得：b? c?上面這三個(gè)等式稱為余弦定理(文字描述為)：

提出質(zhì)疑：1、2、3、思考：你還有其他方法證明余弦定理嗎?試試看！

222問(wèn)題3：觀察余弦定理結(jié)構(gòu)：a?b?c?2bccosA,指明了三邊長(zhǎng)與其中一角的具體關(guān)系,公式中涉及個(gè)量，應(yīng)用方程的思想可得：已知其中個(gè)量，可求的剩余一個(gè)量。特別的，若已知三角形的三邊a,b,c，可求得

即：cosA?;cosB?;

cosC?;----------------余弦定理的推論.三、知識(shí)導(dǎo)練

1.(1)在?ABC中，AB?1,BC?2,B?60,則.?

3,則c?

2(2)在?ABC中，已知a?7,，b?10,c?6，則cosB? 變式：在?ABC中，已知a?3,，b?2,sinC?

思考：應(yīng)用余弦定理及其推論，可以解決那類解三角形的問(wèn)題？

2.已知?ABC中,a?2,b?3,c?6-2,A?45?，解這個(gè)三角.2

探究：在解三角形時(shí)，已知三邊和一個(gè)角的情況下，求另一個(gè)角，既可以用余弦定理的推論，又可以用正弦定理，通過(guò)上面例題的學(xué)習(xí)，你認(rèn)為兩種方法有什么利弊呢？

3.在?ABC中，已知acos

四．當(dāng)堂檢測(cè)： 2C32A+ccos=b，求證：2b?a?c.222

1．在?ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a?c?bac，則

???5??2?角B的值為（）A.B.C.或D.或 66336

32.在?ABC中，A?C?2B,a?c?8,ac?15,求b.*(2010·浙江高考)在?ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知cos2C??

(1)求sinC的值；(2)當(dāng)a?2,2sinA?sinC時(shí)，求b及c的長(zhǎng)． ?222?tanB?1.4

第二篇：余弦定理學(xué)案

1.1正弦定理和余弦定理 ?

探究案

Ⅰ.質(zhì)疑探究——質(zhì)疑解惑、合作探究

探究一：課本中余弦定理是用（）法證明的，也就是說(shuō)，在△ABC中，已知BC=a，AC=b及邊BC，AC的夾角C，則=（），所以BA2=（）=（），即c=（）

探究二：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角

形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個(gè)定理之間的關(guān)系？

【歸納總結(jié)】

1.熟悉余弦定理的（），注意（）,（），（）等。

2.余弦定理是（）的推廣，（）是余弦定理的特例.3.變形：（），（），（）。

3.余弦定理及其推論的基本作用為：

（1）

（2）

例1． 在△ABC中，已知a?2，c?6?2，B?45，求b及A。

【規(guī)律方法總結(jié)】

1.當(dāng)已知三角形的兩邊及其夾角三角形時(shí)，可選用（）求解。

2.在解三角形時(shí)，如果（）與（）均可選用時(shí)，那么 求邊時(shí)（），求角是最好（）原因是（）

例2．（1）在△ABC中，已知a?42,b?4,c?2(6?2)，解三角形。

（2）在△ABC中，已知a:b:c?2::3?1，求△ABC的各角。

【拓展提升】 在△ABC中，已知sinA:sinB:sinC?3:2:4，判斷△ABC 的形狀。

2例3．在?ABC中，a、b、c分別是?A，?B，?C的對(duì)邊長(zhǎng)。已知b?ac，且2?

a2?c2?ac?bc，求?A的大小及bsinB的值。c

課后作業(yè)

基礎(chǔ)鞏固-----------把簡(jiǎn)單的事情做好就叫不簡(jiǎn)單！

1.在△ABC中，已知a?2,b?2,c?3?1，則A等于（）

A．30B.135C.45D.120

2.在△ABC中，已知a?b?c?bc，則A為（）

A．222??????2??2?B.C.D.或 3336

33.若三條線段的長(zhǎng)分別為5、6、7，則用這三條線段（）

A．能組成直角三角形B.能組成銳角三角形C.能組成鈍角三角形

D．不能組成三角形

4.已知△ABC中，a=6 ,b=3 ,C=2?，c=

35.(2012,福建理)已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別是2x,2x,22x（x>0）,則其最大角的余弦值

6.（2012，北京理）在△ABC中，若a?2,b?c?7,cosB??

綜合應(yīng)用--------------挑戰(zhàn)高手，我能行！

7.在不等邊三角形ABC中，a是最大邊，若a?c?b，則A的取值范（）

A．90?A?180B.45?A?90C.60?A?90 B.0?A?90

8.在△ABC中,已知a+b+c=2c(a+b),則角C=

9.若△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊a、b、c滿足(a?b)?c?4且C=

值為

拓展探究題------------戰(zhàn)勝自我，成就自我10.在△ABC中，已知a=2，b=2,（a+b+c）(b+c-a)=(2?2)bc，解三角形。

11．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，tanC?

（1）求cosC； 224442221,則b=4222?????????，則ab的3????????5CA?，且a?b?9，求c．（2）若CB?

2課后檢測(cè)案

1.△ABC中，若AB?5，AC?3，BC?7，則A 的大小為（）

A．150 ?B．120C．60D．30

2???2.在△ABC中，若c

A.60°?a2?b2?ab，則∠C=（）C.150°D.120°B.90°

3.在△ABC中,若a=7,b=8,cosC=13/14,則最大角的余弦為()1111B.?C.?D.? 5678

4.邊長(zhǎng)為5,7,8的三角形的最大角的余弦是（）.A.?A．?11111B．C．D．714147

ab?，cosBcosA5.在?ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若

則?ABC的形狀一定是（）

A．等腰三角形B．直角三角形

C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形

6.已知?ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，且a?2,b?3,cosB?則sinA 的值為． 4，512,13cosA?7.已知△ABC的面積是30，內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊分別為a、b、c，若c?b?1，則a的值是.8.在△ABC中,若(a+c-b)tanB = 3ac,則角B的值為。2229.在?ABC中，若cosB?b? cosC2a?c

（1）求角B的大小

（2）若b?a?c?4，求?ABC的面積

10.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且bcosC?3acosB?ccosB.（1）求cosB的值；

（2）若??2，且b?22，求a和c的值.

第三篇：余弦定理學(xué)案

【總03】§1.2余弦定理第3課時(shí)

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

1理解用向量的數(shù)量積證明余弦定理的方法。，2.掌握并熟記余弦定理

3.能運(yùn)用余弦定理及其推論解三角形

二、學(xué)法指導(dǎo)

1.余弦定理揭示了任意三角形的邊角關(guān)系，其證明的方法有向量法，解析法和幾何法。

2.余弦定理適用的題型：

（1）已知三邊求三角，用余弦定理，有解時(shí)只有一解

（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他的角，用余弦定理必有一解 3.余弦定理適用于判斷三角形的形狀。

三、課前預(yù)習(xí)

（1）余弦定理：

a2?____________________________b2?____________________________ c2?____________________________

（2）余弦定理的推論：

cosA?____________________________cosB?____________________________ cosC?____________________________

（3）用余弦定理可以解決兩類有關(guān)解三角形的問(wèn)題 已知三邊，求

已知和它們的，求第三邊和其他兩個(gè)角。

三、課堂探究

1．余弦定理的證明及理解：

2．例題講解

例1在?ABC中，（1）已知b?3,c?1,A?600，求a；（2）已知a?4,b?5,c?6，求A

例2 △ABC中,sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶,求C

例3在?ABC中，?A、?B、?C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c，設(shè)a、b、c滿足條件b2?c2?bc?a2，求A

例題4在△ABC中，已知a＝2，b＝22，C＝15°，求A。

四、鞏固訓(xùn)練

（一）當(dāng)堂練習(xí)

1.在?ABC中，（1）已知A?60?,b?4,c?7，求a；（2）已知a?7,b?5,c?3，求A

2．在?ABC中，已知a2

?b2

?ab?c2，求C的大小.（二）課后作業(yè)

1． 在?ABC中，(a?c)(a?c)?b(b?c)，求 A?

2.在?ABC中，已知a?7,b?8,cosC?13

14，求最大角的余弦值是

第四篇：余弦定理學(xué)案2

高二數(shù)學(xué)必修五學(xué)案

姓名班級(jí)有夢(mèng)就有希望編制：杜鳳華

余弦定理 學(xué)案(2)

一．復(fù)習(xí)公式：

1．余弦定理：___________________________2．利用余弦定理可以解決哪類解三角形問(wèn)題？

二、基本題型:

類型一：已知兩邊一角解三角形。

例1：在△ABC中，根據(jù)下列條件解三角形：

（1）a?2,b?22,C?15?.（2）a?,b?2,B?45?.類型二：已知三邊及三邊關(guān)系解三角形。

例2：在△ABC中，a:b:c=2:6:(3?1)，求各角度數(shù)。

變式練習(xí)：在△ABC中，sinA:sinB:sinC=2:6:(?1)，求各角度數(shù)。

類型三：判斷三角形的形狀：

例3：在△ABC中，已知sinA＝2sinBcosC，試判斷△ABC的形狀。

變式1：△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sinA＝2sinBcosC，判斷△ABC的形狀．

變式2：△ABC中，已知2a＝b＋c，且sin2A＝sinBsinC，判斷△ABC的形狀．

:

跟蹤練習(xí)：

1.在△ABC中，sinA:sinB:sinC?2:3:4，那么cosC等于（）

A．

23B． ?23C．?13D．?14

2.已知△ABC的三邊滿足1a?b?1b?c?3a?b?c,則B等于()A．30?

B． 45?

C．60?

D．120?

3.在平行四邊形ABCD中,B?120?,AB?6,BC?4則AC?_________,BD?_______

4.用余弦定理證明: 在△ABC中,(1)a?bcosC?ccosB(2)b?ccosA?AcosC(3)c?acosB?bcosA

5.在△ABC中,已知2a?b?c,sin2

A?sinBsinC,試判斷△ABC的形狀.成功來(lái)自與勤奮和努力

第五篇：余弦定理教學(xué)案

余弦定理數(shù)學(xué)教學(xué)案2

教學(xué)目的

1．使學(xué)生掌握余弦定理及其證明方法．

2．使學(xué)生初步掌握余弦定理的應(yīng)用．

教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)是余弦定理及其應(yīng)用；

教學(xué)難點(diǎn)是用解析法證明余弦定理．

教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

一、復(fù)習(xí)

師：直角△ABC中有如下的邊角關(guān)系(設(shè)∠C=90°)：

(1)角的關(guān)系 A+B+C=180°．

A+B=90°．

(2)邊的關(guān)系c2=a2+b2．

二、引入

師：在△ABC中，當(dāng)∠C=90°時(shí)，有c2=a2+b2．若a，b邊的長(zhǎng)短不變，變換∠C的大小時(shí)，c2與a2+b2有什么關(guān)系呢？請(qǐng)同學(xué)們思考．

如圖1，若∠C＜90°時(shí)，由于AC與BC的長(zhǎng)度不變，所以AB的長(zhǎng)度變短，即c2＜a2+b2．

如圖2，若∠C＞90°時(shí)，由于AC與BC的長(zhǎng)度不變，所以AB的長(zhǎng)度變長(zhǎng)，即c2＞a2+b2．

經(jīng)過(guò)議論學(xué)生已得到當(dāng)∠C≠90°時(shí)，c2≠a2+b2，那么c2與a2+b2到底相差多少呢？請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)思考．

如圖3，當(dāng)∠C為銳角時(shí)，作BD⊥AC于D，BD把△ABC分成兩個(gè)直角三角形：

在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2；

在Rt△BDC中，BD=BC·sinC=asinC，DC=BC·cosC=acosC．

所以，AB2=AD2+BD2化為

c2=(b－acosC)2+(asinC)2，c2=b2－2abcosC+a2cos2C+a2sin2C，c2=a2+b2－2abcosC．

我們可以看出∠C為銳角時(shí)，△ABC的三邊a，b，c具有c2=a2+b2－2abcosC的關(guān)系．

從以上分析過(guò)程，我們對(duì)∠C是銳角的情況有了清楚認(rèn)識(shí)．我們不僅要認(rèn)識(shí)到，∠C為銳角時(shí)有c2=a2+b2－2abcosC，還要體會(huì)出怎樣把一個(gè)斜三角形轉(zhuǎn)化成兩個(gè)直角三角形的．這種未知向已知的轉(zhuǎn)化在數(shù)學(xué)中經(jīng)常碰到．

下面請(qǐng)同學(xué)們自己動(dòng)手推導(dǎo)結(jié)論．

如圖4，當(dāng)∠C為鈍角時(shí)，作BD⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線于D．

△ACB是兩個(gè)直角三角形之差．

在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2．

在Rt△BCD中，∠BCD=π－C．

BD=BC·sin(π－C)，CD=BC· cos(π－C)．

所以AB2=AD2+BD2化為

c2=(AC+CD)2+BD2

=[b+acos(π－C)]2+[asin(π－C)]2

=b2+2abcos(π－C)+a2cos2(π－C)+a2sin2(π－C)

=b2+2abcos(π－C)+a2．

因?yàn)閏os(π－C)=－cosC，所以c2=b2+a2－2abcosC．

這里∠C為鈍角，cosC為負(fù)值，－2abcosC為正值，所以b2+a2－2abcosC＞a2+b2，即c2＞a2+b2．

從以上我們可以看出，無(wú)論∠C是銳角還是鈍角，△ABC的三邊都滿足

c2=a2+b2－2abcosC．

這就是余弦定理．我們輪換∠A，∠B，∠C的位置可以得到

a2=b2+c2－2bccosA． b2=c2+a2－2accosB．

三、證明余弦定理

師：在引入過(guò)程中，我們不僅找到了斜三角形的邊角關(guān)系，而且還給出了證明，這個(gè)證明是依據(jù)分類討論的方法，把斜三角形化歸為兩個(gè)直角三角形的和或差，再利用勾股定理和銳角三角函數(shù)證明的．這是證明余弦定理的一個(gè)好方法，但比較麻煩．現(xiàn)在我們已學(xué)完了三角函數(shù)，無(wú)論∠α是銳角、直角或鈍角，我們都有統(tǒng)一的定義，借用三角函數(shù)和兩定點(diǎn)間的距離來(lái)證明余弦定理，我們就可避開(kāi)分類討論．

我們?nèi)跃鸵浴螩為主進(jìn)行證明．

如圖5，我們把頂點(diǎn)C置于原點(diǎn)，CA落在x軸的正半軸上，由于△ABC的AC=b，CB=a，AB=c，則A，B，C點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(b，0)，B(acosC，asinC)，C(0，0)．

請(qǐng)同學(xué)們分析B點(diǎn)坐標(biāo)是怎樣得來(lái)的．

生：∠ACB=∠C，CB為∠ACB的終邊，B為CB上一點(diǎn)，設(shè)B的坐標(biāo)為(x，師：回答很準(zhǔn)確，A，B兩點(diǎn)間的距離如何求？

生：|AB|2=(acosC－b)2+(asinC－0)=a2cos2C－2abcosC+b2+a2sin2C

=a2+b2－2abcosC，即c2=a2+b2－2abcosC．

師：大家請(qǐng)看，我們這里也導(dǎo)出了余弦定理，這個(gè)證明方法是解析法．這種方法以后還要詳細(xì)學(xué)習(xí)．

余弦定理用語(yǔ)言可以這樣敘述，三角形一邊的平方等于另兩邊的平方和再減去這兩邊與夾角余弦的乘積的2倍．即：

a2=b2+c2－2bccosA． c2=a2+b2－2abcosC． b2=a2+c2－2accosB．

若用三邊表示角，余弦定理可以寫為

四、余弦定理的作用

(1)已知三角形的三條邊長(zhǎng)，可求出三個(gè)內(nèi)角；

(2)已知三角形的兩邊及夾角，可求出第三邊．

解 由余弦定理可知

Bc2=Ab2+Ac2－2AB×AC·cosA

所以BC=7．

以上兩個(gè)小例子簡(jiǎn)單說(shuō)明了余弦定理的作用．

五、余弦定理與勾股定理的關(guān)系、余弦定理與銳角三角函數(shù)的關(guān)系

在△ABC中，c2=a2+b2－2abcosC．若∠C=90°，則cosC=0，于是

c2=a2+b2－2ab·0=a2+b2．

說(shuō)明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推廣．

這與Rt△ABC中，∠C=90°的銳角三角函數(shù)一致，即直角三角形中的銳角三角函數(shù)是余弦定理的特例．

六、應(yīng)用舉例

例1 在△ABC中，求證c=bcosA+acosB．

師：請(qǐng)同學(xué)們先做幾分鐘．

生甲：如圖6，作CD⊥AB于D．

在Rt△ACD中，AD=b·cosA；在Rt△CBD中，DB=a·cosB．而c=AD+DB，所以

c=bcosA+acosB．

師：這位學(xué)生的證法是否完備，請(qǐng)大家討論．

生乙：他的證法有問(wèn)題，因?yàn)樽鰿D⊥AB時(shí)垂足D不一定落在AB上．若落在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，c≠AD+DB，而c=AD－DB．

師：學(xué)生乙的問(wèn)題提得好，我們?nèi)绻褜W(xué)生乙所說(shuō)的情況補(bǔ)充上是否就完備了呢？

生丙：還不夠．因?yàn)樽鰿D⊥AB時(shí)，垂足D還可以落在B處．

師：其實(shí)垂足D有五種落法，如落在AB上；AB的延長(zhǎng)線上；BA的延長(zhǎng)線上；A點(diǎn)或B點(diǎn)處．我們要分這么多種情況證明未免有些太麻煩了．

請(qǐng)大家借用余弦定理證明．

生：因?yàn)?acosB+bcosA

所以 c=acosB+bcosA．

師：這種證法顯然簡(jiǎn)單，它避開(kāi)了分類討論．你們知道為什么這種證法不用分類討論嗎？

生：因?yàn)橛嘞叶ɡ肀旧磉m用于各種三角形．

例2 三角形ABC中，AB=2，AC=3，BC=4，求△ABC的面積．

師：我們通常求三角形的面積要用公式

這個(gè)題目，我們應(yīng)該如何下手呢？

生：可以用余弦定理由三邊求出一個(gè)內(nèi)角的余弦值，再用同角公式導(dǎo)出這個(gè)角的正弦后，最后代入三角形面積公式．

解 因?yàn)閍=4，b=3，c=2，所以

由sin2A+cos2A=1，且A為△ABC內(nèi)角，得

例3 在三角形ABC中，若CB=7，AC=8，AB=9，求AB邊的中線長(zhǎng)．

請(qǐng)同學(xué)們先設(shè)計(jì)解題方案．

生甲：我想在△ABC中，已知三邊的長(zhǎng)可求出cosB．在△BCD中，由BC=7，BD=4.5及cosB的值，再用一次余弦定理便可求出CD．

師：這個(gè)方案很好．請(qǐng)同學(xué)很快計(jì)算出結(jié)果．

解 設(shè)D為AB中點(diǎn)，連CD．

在△ACB中，由AC=8，BC=7，AB=9，得

生乙：我們?cè)诔踔信龅街芯€時(shí)，經(jīng)常延長(zhǎng)中線，所以我想延長(zhǎng)中線CD到E，使DE=CD，想在△BCE中解決．

已知BC=7，BE=AC=8，若再知道cos∠CBE，便可解決，但我不知怎樣求cos∠CBE．

師：這個(gè)問(wèn)題提得很有價(jià)值，請(qǐng)大家一起幫助學(xué)生乙解決這個(gè)難點(diǎn)．

(學(xué)生開(kāi)始議論．)

生丙：連接AE，由于AD=DB，CD=DE，所以四邊形ACBE為平行四邊形，可得AC∥BE，∠CBE與∠ACB互補(bǔ)．我能利用余弦定理求出cos∠BCA，再利用互補(bǔ)關(guān)系解出cos∠CBE．

師：大家看看他講得好不好．請(qǐng)大家用第二套方案解題．

解 延長(zhǎng)CD至E，使DE=CD．

因?yàn)镃D=DE，AD=DB，所以四邊形ACBE是平行四邊形．所以

BE=AC=8，∠ACB+∠CBE=180°．

在△ACB中，CB=7，AC=8，AB=9，由余弦定理可得

在△CBE中，這兩種解法都是兩次用到余弦定理，可見(jiàn)掌握余弦定理是十分必要的．

七、總結(jié)

本節(jié)課我們研究了三角形的一種邊角關(guān)系，即余弦定理，它的證明我們可以用解析法．它的形式有兩種，一種是用兩邊及夾角的余弦表示第三邊，另一種是三邊表示角．

余弦定理適用于各種三角形，當(dāng)一個(gè)三角形的一個(gè)內(nèi)角為90°時(shí)，余弦定理就自然化為勾股定理或銳角三角函數(shù)．

余弦定理的作用如同它的兩種形式，一是已知兩邊及夾角解決第三邊問(wèn)題；另一個(gè)是已知三邊解決三內(nèi)角問(wèn)題．注意在(0，π)范圍內(nèi)余弦值和角的一一對(duì)應(yīng)性．若cos A＞0，則A為銳角；若cosA=0，則A為直角；若cosA＜0，則A為鈍角．

另外本節(jié)課我們所涉及的內(nèi)容有兩處用到分類討論的思想方法．請(qǐng)大家解決問(wèn)題時(shí)要考慮全面．如果能回避分類討論的，應(yīng)盡可能回避，如用解析法證明余弦定理、用余弦定理證明例1等等．

八、作業(yè)

5．已知△ABC中，acosB=bcos A，請(qǐng)判斷三角形的形狀．

課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明

1．余弦定理是解三角形的重要依據(jù)，要給予足夠重視．本內(nèi)容安排兩節(jié)課適宜．第一節(jié)，余弦定理的引出、證明和簡(jiǎn)單應(yīng)用；第二節(jié)復(fù)習(xí)定理內(nèi)容，加強(qiáng)定理的應(yīng)用．

2．當(dāng)已知兩邊及一邊對(duì)角需要求第三邊時(shí)，可利用方程的思想，引出含第三邊為未知量的方程，間接利用余弦定理解決問(wèn)題，此時(shí)應(yīng)注意解的不唯一性．