第一篇：數學歸納法學案

課題：數學歸納法及其應用舉例

一、教學要求：

（1）了解數學歸納法的原理，并能以遞推思想作指導；

（2）理解數學歸納法的操作步驟，能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題，并能嚴格按照數學歸納法證明問題的格式書寫.二、基礎梳理：

1.什么叫數學歸納法？

2.用數學歸納法證明一個與正整數有關的命題的步驟：

總結：

三、例題

類型一 證明等式

例1 用數學歸納法證明

分析 1?4?2?7?3?10???n(3n?1)?n(n?1)

21）第一步應做什么？此時n0=，左，2)當n=k時，等式左邊共有項，第k項是。

假設n=k時命題成立，即________________________________

3）當n=k+1時，命題的形式是

4）此時，左邊增加的項是

5)從左到右如何變形？證明：

變式訓練

1、用數學歸納法證:

11113?????n?1n?22n2

4(n≥2,n∈N)過程中,由“n=k”變到“n=k+1”時，不等式左邊的變化是（）：

1(A)?;2(k?1)11(B)??;2k?12k?2111(D)???.2k?12k?2k?1 11(C)??;2k?2k?

12、用數學歸納法證:

11111??????nn2342?

1(n≥2,n∈N)過程中,由“n=k”變到“n=k+1”時，左式所需添加的項數為（）：

2項 Ａ.１項Ｂ.kk2Ｃ.項Ｄ.2?1項

k?1

類型二 證明整除問題

例2證明：n2?5n(n?N?)能被6整除

分析：這是一個與整除有關的命題，它涉及全體正整數，若用數學歸納法證明，第一步應證n?1時命題成立；第二步應明確目標，即在假設k3?5k能夠被6整除的前提下，證明（k?1)?5(k?1)也能夠被6整除

證明：

變式訓練:用數學歸納法證明:An?5?2?3?1(n?N)能被8整除.類型三 證明不等式問題 nn?1*

例3:用數學歸納法證明:

11113?????(n?2,n?N*).n?1n?22n2

4分析： 此題關鍵在于從n=k到n=k+1不等式左端的變化

證明：

變式訓練

求證: 1?1111?????2?(n?N,n?2).22223nn

四、小結 ：

1、數學歸納法有哪些應用？

2、第二步中從n=k到n=k+1應注意哪些問題，有哪些技巧方法？

五、課后作業：

（一）、必做題

1、用數學歸納法證明下式

111111111???????????? 2342n?12nn?1n?22n

(1)當n=1時,左邊有_____項,右邊有_____項；

(2)當n=k時,左邊有_____項,右邊有_____項；

(3)當n=k+1時,左邊有_____項,右邊有_____項；

(4)等式的左右兩邊,由n=k到n=k+1時有什么不同?

左邊增加兩項:_____________

右邊增加兩項:__________,減少一項:________

2、用數學歸納法證明用數學歸納法證明4?

3（其中n∈N*）

3、用數學歸納法證明當

（二）、選做題

1、用數學歸納法證明:當n為正偶數時x, ?y能被x+y整除.2、平面內有n條直線,其中任何兩條不平行,任何三條不過同一點,證明交點的個數f(n)=n(n-1)/2.nnn?2能被13整除，n?5時，2?nn2

第二篇：2013-2014學年九年級數學上冊 1.2.3 公式法導學案

1·2·3公式法(2)

學習目標：

1、熟練運用求根公式解一元二次方程。

2、運用根的判別式判斷一元二次方程根的情況。

學習過程：

一、快樂自學：

1、自學教材P17-P18，關注b2－4ac的大小與方程根的情況的關系。

2、自學檢測：(1)解方程：

①x2-4x+3=0② x2-4x+4=0③x2-4x+5=0

(2)上面三個方程：方程①的解的情況為，方程②的解的情況為，方程③的解的情況是。

（3）一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的跟的情況為：

①當﹥0時，②當﹤0時，③當=0時，（4）不解方程,判斷下列方程根的情況：

①2x2-3x-5=0② 9x2=30x-25③ x2+6x+10=0

解a=b=c=∵b2-4ac=

∴方程。

解 a=b=c=∵b2-4ac=

∴方程。

解 a=b=c=∵b2-4ac=

∴方程。

三、合作探究：

當k為何值時方程x2-kx+4=0有兩個相等實數根，并求此時方程的根。

四、課堂小結

五、當堂檢測：

1、不解方程判斷下列方程根的情況

①x2+9x=0②4y+2y2+3=02、判斷關于x的方程mx2+(2m+1)x+（m+1）=0的根的情況。

第三篇：2013-2014學年九年級數學上冊 1.2.3 公式法導學案

1·2·3公式法（1）

學習目標：

運用求根公式解一元二次方程。

學習過程：

一、課前熱身：

方程x2－2x=1化為一般形式為，a=，b=，c=。b2－4ac=。

二、快樂自學：

1、自學P15-P17的內容。重點掌握求根公式的推導過程。

2、把一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的二次項系數化為1得，把方程左邊配方得

即為。

把方程左邊因式分解得

由此得出或

解得，3、一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）當b2－4ac≧0時，此方程的根為。

三、合作探究：

解方程（1）x2+ 2x-4=0（2）5x2=2x +

1(1)解 a=b=c=(2)解

b2－4ac=

因此x=

從而 x =, x=

四、課堂小結：

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c為常數）的求根公式是。

五、當堂檢測：

A組題

1、解方程 x2-x-5=02、x為何值時，3x2-7的值與x-3的值相等？

B組題

3、已知一個矩形的長比寬多3㎝，其面積為18㎝2，則矩形的周長為多少？

第四篇：數學放縮法

放縮法的常見技巧（1）舍掉（或加進）一些項

（2）在分式中放大或縮小分子或分母。（3）應用基本不等式放縮(例如均值不等式）。（4）應用函數的單調性進行放縮（5）根據題目條件進行放縮。（6）構造等比數列進行放縮。（7）構造裂項條件進行放縮。

（8）利用函數切線、割線逼近進行放縮。

使用放縮法的注意事項（1）放縮的方向要一致。（2）放與縮要適度。

（3）很多時候只對數列的一部分進行放縮法，保留一些項不變（多為前幾項或后幾項）。（4）用放縮法證明極其簡單，然而，用放縮法證不等式，技巧性極強，稍有不慎，則會出現放縮失當的現象。所以對放縮法，只需要了解，不宜深入。

先介紹工具

柯西不等式（可以通過向量表示形式記住即摸摸大于向量乘積）

均值不等式

調和平均數≤幾何平均數≤算術平均數≤平方平均數

絕對值三角不等式

定理1：|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b| 推論1：|a1＋a2＋a3|≤|a1|＋|a2|＋|a3| 此性質可推廣為|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|． 推論2：|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b| 定理2：如果a，b，c是實數，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，當且僅當(a－b)(b－c)≥0時，等號成立．

常用放縮思想

這幾個務必牢記

不常見不常用的不等式

這幾個一般用不到，放的太大了，知道有印象就好了

下面就是常用思路了，主要就是裂項部分

當年apucng與V_First研究的題

二項平方和

f（x）=（a1x-b1）^2+（a2x-b2）^2+……(anx-bn)^2 由f（x）≥0可得△小于等于0

第五篇：因式分解公式法(導學案)

因式分解(二)(導學案)（公式法因式分解）

學習目標：

1、會用公式法進行因式分解。

2、了解因式分解的步驟。

學習重點：會用公式法進行因式分解。學習難點：熟練應用公式法進行因式分解。學習過程

一、提出問題，創設情境

探討新知：(a?b)(a?b)?

(a?b)2

?把這兩個公式反過來，就得到：

（1）（2）把它們當做公式，就可以把某些多項式進行因式分解，這種因式分解的方法叫做公式法。

二、深入研究，合作創新

例

1、因式分解：4x2

?25例

2、因式分解：x2

?6ax?9a2

自主練習，小組交流：

216a2?9b2

81x4?y

m2?mn?1

n2239

?x2?4y?4xy

??

?

?

三、小組合作，應用新知 1.辨析運用

（1）下列多項式能否平方差公式進行因式分解的是

①4x2+9y2②81x4-y4③-16x2+y2④-x2-y2⑤a2+2ab+b2

歸納：可運用平方差公式進行因式分解的多項式特點是：①恰好兩項 ②一項正，一項負③可化為的形式。2.下列各多項式能否運用完全平方公式分解因式？

①-2xy+x2+y

2②

②-x2+4xy-4y

2③

③a2

+2ab+4b2

④a2

+a+1

4歸納：完全平方式的特征是：①三項 ②兩平方項同號 ③另一項可化為的形式。3.因式分解：

1、a2b2?0.25c22、9(a?b)2?6(b?a)?

13、a4x2?4a2x2y?4x2y24、(x?y)2?12(x?y)z?36z25、(x?2y)2?(x?2y)2

6計算：992+198+17.982-2

2四、課堂反饋，強化練習

1、因式分解：

（1）(3a?2b)2

?(2a?3b)2

（2）(m2

?n2

?1)2

?4m2

n2

（3）(x2

?4x)2

?8(x2

?4x)?16

1(x2

?2y2)2?2(x2?2y2)y2?2y4

（4）2（5）（x2+x+1）2-1(6)36(x+y)2-49(x-y)

2(7)(x-1)+b2(1-x)（8）3a2(2a+b)2-27a2b2(9)(x+y)2-2(x2-y2)+(x-y)2

(10)(x+y)(x-1)-xy-y2(11)(x+2)(x+4)+x2-4(12)2m3-8m2、多項式4x2

?x加上一個怎樣的單項式，就成為一個完全平方式？多項式0.25x2

?1呢？

3.已知a,b,c,是三角形ABC的三邊長，試判斷b2

+c2

-a2

+2ab的正負。

4.若a2b2

+a2

+b2

+1-2ab=2ab，求a+b的值。

5.已知a,b是有理數，試說明a2

+b2

-2a-4b+8的值是正數。