第一篇：正余弦定理導學案

成功不會辜負任何一個對它有誠意的人——為理想付諸努力的人！

正余弦定理

（一）導學案班級姓名：___________

主備人： 焦曉東審核人：鄭鴻翔

【學習目標】理解正余弦定理在討論三角形邊角關系時的作用，能根據正余弦定理解斜三角形或判斷三角形的形狀。

【學習重點】應用正余弦定理解斜三角形

【學習難點】正余弦定理公式的靈活運用（邊角互化等應用）．

學習過程：

一、知識鏈接

1.敘述并運用兩種以上方法證明正弦定理.2.敘述并運用兩種以上方法證明余弦定理.3.正弦定理可以解決哪兩種類型的三角形問題：

①——————————————————————————————————————— ②——————————————————————————————————————— a

定理的其它表示形式：sin?b

sin?c

sin?a?b?c?k?k?0?sin?sin?sin；

或a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC(k?0)其中k的意義是___________________

S?ABC=____________________________________________________________________

4.余弦定理可以解決哪兩種類型的三角形問題：

①——————————————————————————————————————— ②———————————————————————————————————————

__ cosB?____________cosC?____________ 定理的其它表示形式: cosA?__________

“我們欣賞數學，我們需要數學?！保愂∩戆布呒壷袑W高一備課組-1-

二、例題剖析

例1.解下列三角形

（1）已知△ABC中，a＝4，b＝

40o3，∠A＝30°（2）在?ABC中，A?60，a?3,b?1 0（3）在△ABC中，已知A=45，B=60，c =1（4）△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120°

【歸納小結】體會何時應用正弦定理解題。

例2．.解下列三角形

（1）在?ABC中，已知b?3,c?3，B?300(2)在?ABC中，已知A?

6?

22，2?3，c?2，b?4.(3)在?ABC中，AB?,BC?2AC?

【歸納小結】體會何時應用余弦定理解題。

例3.(1)在?ABC中，三邊的長為連續自然數，且最大角為鈍角，求這個三角形三邊的長

(2)已知兩線段a

例4（1）在?ABC中，若acos

跟蹤練習1：在?ABC中，已知acos

2.在?ABC中，已知3b?2,b?22，若以a,b為邊作三角形，求邊a所對的角A的取值范圍 A?bcosB（2）在?ABC中，已知a?2bcosC，試分別判斷?ABC的形狀.A?bcosB?ccosC，則?ABC的形狀是?23asinB,cosB?cosC，則?ABC的形狀是

【歸納小結】三角形的形狀的判定方法。

三、小結：

正余弦弦定理（1）達標檢測

一、選擇題

1.在?ABC中，已知a:b:c?3:5:7，則?ABC的最大角是（）

A.300B.600C.900D.1200

2.在?ABC中，已知a?2，則bcosC?ccosB等于（）

A.1B.2C.2D.43．在△ABC中，若a?7,b?3,c?8，則其面積等于（）

A．12B．21C．28D．63

24.在?ABC中，若sinA?sinB，則A與B的大小關系為（）

A.A?BB.A?BC.A?BD.A,B的大小關系不能確定

5.在?ABC中,若a?2bsinA，則B?（）

??2???5?

A.3B.6C.3或3D.6或6

6．在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，那么△ABC一定是()

A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形

二、填空題

00c?10,A?45,C?30?ABC7.在中，則b?_________________

8.在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC?7∶8∶13，則C?____________

9.在△ABC中，已知a，b，c是角A，B，C的對應邊，①若a＞b，則f（x）=（sinA﹣sinB）?x在R上是增函數； ②若a﹣b=（acosB+bcosA），則△ABC是Rt△； ③cosC+sinC的最小值為

cosA=cosB，則A=B；其中真命題的個數是______________ 222； ④若

2sinA?sinB?sinC10.在?ABC中，若a:b:c?2:4:5，則___________________

三、解答題

11． 已知△ABC中，面積S＝，a＝，b＝2，求角A，B的正弦值..12．在?ABC中，AC?2,BC?1,cosC?3.4

(1)求AB的長（2）求sin?2A?C?的值

13.在△ABC中，已知a＝，b＝，B＝450，求角A，B及邊C.14.在?ABC中，已知B?45，AC?，cosC?025.5

(1)求BC邊的長（2）記AB中點為D，求中線CD的長.15.如圖：在四邊形ABCD中，已知AD?CD，AD?10，AB?14，?BDA?60°，?BCD?135°，求BC的長．

第二篇：余弦定理導學案

1.1.2余弦定理導學案

一、學習聚焦

1.余弦定理揭示了任意三角形的邊角關系，其證明的方法有向量法，解析法和幾何法。

2.余弦定理適用的題型：

（1）已知三邊求三角，用余弦定理，有解時只有一解

（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他的角，用余弦定理必有一解

3.余弦定理適用于判斷三角形的形狀

二、目標設置

1.理解用幾何畫板驗證余弦定理成立的過程

2.掌握并熟記余弦定理及其變形

3.能運用余弦定理及其推論解三角形

三、課前預習

1．余弦定理：三角形任何一邊的平方等于 ________

222①即a＝________，②即b＝________，③即c＝________，2．余弦定理的推論：

cosA=⑤________，cosB=⑥________，cosC＝⑦________.四、課堂探究

1.余弦定理的證明過程及理解:證明涉及到了向量方法，暫時不要求，我們可以用數學軟件幾何畫板對這一結論進行驗證，以加深理解。

2.余弦定理適用的題型：

（1）已知三邊求三角，用余弦定理，有解時只有一解

（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他的角，用余弦定理必有一解

3.余弦定理適用于判斷三角形的形狀（怎么判斷？在判斷時有沒有什么技巧？）

4.例題：（1）已知b?3,c?1,A?600，求a；

（2）已知a?4,b?5,c?6，求A

（3）用余弦定理證明：在?ABC中，當?C為銳角時，a?b?c；當?C為鈍角時，a?b?c 22222

2五、學法回顧

1.余弦定理的內容及其變形，余弦定理適用的題型，解題時的技巧

2.正弦定理與余弦定理在解三角形時的選用原則

六、達標練習

1.在?ABC中，（1）已知A?60,b?4,c?7，求a；

（2）已知a?7,b?5,c?3，求A

2．在?ABC中，已知a?b?ab?c，求C的大小

222?

第三篇：余弦定理學案

【總03】§1.2余弦定理第3課時

一、學習目標

1理解用向量的數量積證明余弦定理的方法。，2.掌握并熟記余弦定理

3.能運用余弦定理及其推論解三角形

二、學法指導

1.余弦定理揭示了任意三角形的邊角關系，其證明的方法有向量法，解析法和幾何法。

2.余弦定理適用的題型：

（1）已知三邊求三角，用余弦定理，有解時只有一解

（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他的角，用余弦定理必有一解 3.余弦定理適用于判斷三角形的形狀。

三、課前預習

（1）余弦定理：

a2?____________________________b2?____________________________ c2?____________________________

（2）余弦定理的推論：

cosA?____________________________cosB?____________________________ cosC?____________________________

（3）用余弦定理可以解決兩類有關解三角形的問題 已知三邊，求

已知和它們的，求第三邊和其他兩個角。

三、課堂探究

1．余弦定理的證明及理解：

2．例題講解

例1在?ABC中，（1）已知b?3,c?1,A?600，求a；（2）已知a?4,b?5,c?6，求A

例2 △ABC中,sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶,求C

例3在?ABC中，?A、?B、?C所對的邊長分別為a、b、c，設a、b、c滿足條件b2?c2?bc?a2，求A

例題4在△ABC中，已知a＝2，b＝22，C＝15°，求A。

四、鞏固訓練

（一）當堂練習

1.在?ABC中，（1）已知A?60?,b?4,c?7，求a；（2）已知a?7,b?5,c?3，求A

2．在?ABC中，已知a2

?b2

?ab?c2，求C的大小.（二）課后作業

1． 在?ABC中，(a?c)(a?c)?b(b?c)，求 A?

2.在?ABC中，已知a?7,b?8,cosC?13

14，求最大角的余弦值是

第四篇：余弦定理學案

1.1正弦定理和余弦定理 ?

探究案

Ⅰ.質疑探究——質疑解惑、合作探究

探究一：課本中余弦定理是用（）法證明的，也就是說，在△ABC中，已知BC=a，AC=b及邊BC，AC的夾角C，則=（），所以BA2=（）=（），即c=（）

探究二：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關系，余弦定理則指出了一般三角

形中三邊平方之間的關系，如何看這兩個定理之間的關系？

【歸納總結】

1.熟悉余弦定理的（），注意（）,（），（）等。

2.余弦定理是（）的推廣，（）是余弦定理的特例.3.變形：（），（），（）。

3.余弦定理及其推論的基本作用為：

（1）

（2）

例1． 在△ABC中，已知a?2，c?6?2，B?45，求b及A。

【規律方法總結】

1.當已知三角形的兩邊及其夾角三角形時，可選用（）求解。

2.在解三角形時，如果（）與（）均可選用時，那么 求邊時（），求角是最好（）原因是（）

例2．（1）在△ABC中，已知a?42,b?4,c?2(6?2)，解三角形。

（2）在△ABC中，已知a:b:c?2::3?1，求△ABC的各角。

【拓展提升】 在△ABC中，已知sinA:sinB:sinC?3:2:4，判斷△ABC 的形狀。

2例3．在?ABC中，a、b、c分別是?A，?B，?C的對邊長。已知b?ac，且2?

a2?c2?ac?bc，求?A的大小及bsinB的值。c

課后作業

基礎鞏固-----------把簡單的事情做好就叫不簡單！

1.在△ABC中，已知a?2,b?2,c?3?1，則A等于（）

A．30B.135C.45D.120

2.在△ABC中，已知a?b?c?bc，則A為（）

A．222??????2??2?B.C.D.或 3336

33.若三條線段的長分別為5、6、7，則用這三條線段（）

A．能組成直角三角形B.能組成銳角三角形C.能組成鈍角三角形

D．不能組成三角形

4.已知△ABC中，a=6 ,b=3 ,C=2?，c=

35.(2012,福建理)已知△ABC的三邊長分別是2x,2x,22x（x>0）,則其最大角的余弦值

6.（2012，北京理）在△ABC中，若a?2,b?c?7,cosB??

綜合應用--------------挑戰高手，我能行！

7.在不等邊三角形ABC中，a是最大邊，若a?c?b，則A的取值范（）

A．90?A?180B.45?A?90C.60?A?90 B.0?A?90

8.在△ABC中,已知a+b+c=2c(a+b),則角C=

9.若△ABC的內角A、B、C所對的邊a、b、c滿足(a?b)?c?4且C=

值為

拓展探究題------------戰勝自我，成就自我10.在△ABC中，已知a=2，b=2,（a+b+c）(b+c-a)=(2?2)bc，解三角形。

11．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，tanC?

（1）求cosC； 224442221,則b=4222?????????，則ab的3????????5CA?，且a?b?9，求c．（2）若CB?

2課后檢測案

1.△ABC中，若AB?5，AC?3，BC?7，則A 的大小為（）

A．150 ?B．120C．60D．30

2???2.在△ABC中，若c

A.60°?a2?b2?ab，則∠C=（）C.150°D.120°B.90°

3.在△ABC中,若a=7,b=8,cosC=13/14,則最大角的余弦為()1111B.?C.?D.? 5678

4.邊長為5,7,8的三角形的最大角的余弦是（）.A.?A．?11111B．C．D．714147

ab?，cosBcosA5.在?ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若

則?ABC的形狀一定是（）

A．等腰三角形B．直角三角形

C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形

6.已知?ABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，且a?2,b?3,cosB?則sinA 的值為． 4，512,13cosA?7.已知△ABC的面積是30，內角A、B、C所對邊分別為a、b、c，若c?b?1，則a的值是.8.在△ABC中,若(a+c-b)tanB = 3ac,則角B的值為。2229.在?ABC中，若cosB?b? cosC2a?c

（1）求角B的大小

（2）若b?a?c?4，求?ABC的面積

10.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且bcosC?3acosB?ccosB.（1）求cosB的值；

（2）若??2，且b?22，求a和c的值.

第五篇：正余弦定理測試題

正余弦定理測試題

一、選擇題

1.已知三角形三內角之比為1：2：3，則它們所對邊之比為（）

A.1：2：3B.1:2:C.1::2D.2:3:

22.有分別滿足下列條件的兩個三角形：（1）?B?30?,a?14,b?7（2）?B?60?,a?10,b?9

那么下面判斷正確的是（）

A．（1）只有一解（2）也只有一解B．（1）有兩解（2）也有兩解

C．（1）有兩解（2）只有一解D．（1）只有一解（2）有兩解

3．在△ABC

中，已知角B?450,c?b?，則角A的值是（）A．15°B．75°C．105°D．75°或15°

4．邊長為5、7、8的三角形的最大角與最小角之和的（）

A．90° B．120° C．135° D．150°

5．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC=3∶2∶4，那么cosC的值為（）

A．－1 4B．1 4C．－ 2 3D．2

36．△ABC中，∠A=60°，a?

A．有一個解

7.6,b?4，那么滿足條件的△ABC（）C．無解 D．不能確定 B．有兩個解(a?b?c)(a?b?c)?3ab，則c邊所對的角等于（）

????A．45B．60C．30D．150

8.銳角三角形的三邊長分別為x+x+1,x－1和2x+1(x＞1)，則最大角為（）

A．150°B．120°C．60°D．75°

9．在 中，則三角形的形狀為（）2

2A．直角三角形B．銳角三角形C．等腰三角形D．等邊三角形

10.三角形三條邊如下：（1）3，5，7（2）10，24，26（3）21，25，28，其中銳角三角形，直角三角形，鈍角三角形的順序依次是（）

A．（3）（2）（1）B．(1)(2)(3)C．(3)(1)(2)D．（2）（3）（1）

11.三角形ABC周長等于20，面積等于3,?A?60?，則a為（）

A.5B.7C.6D.8

正余弦定理測試題

12．某人朝正東方向走x km后，向右轉150°，然后朝新方向走3km，結果他離出發點恰好km，那么

x的值為

A．3

二、填空題（）C．2或D．3B．2

313．在△ABC中，a?2,b?6,?A?30?,則?C?

14．在△ABC中，若∠B=30°,AB=2,AC=2,則△ABC的面積為___。

15．在△ABC中，(sinA?sinC):(sinC?sinA):(sinA?sinB)?4:5:6，則最大角的度數是___

16．在△ABC 中，A=3°，b=12，S△ABC =18，則sinA?sinB?sinC 的值_______。a?b?c

三、解答題

17．已知鈍角△ABC 的三邊a=k,b=k+2,c=k+4, 求k的取值范圍。

18．根據所給條件，判斷△ABC的形狀.

（1）acosA=bcosB；(2)

19．在△ABC中,已知?C?60?,AB?31,線段AC上有一點D，AD=20，BD=21，求BC長。

20.a、b、c為△ABC的三邊，其面積S△ABC=123,bc=48,b－c=2,求a.21.已知a2?b2?c2?bc,2b?3c,a?，求?ABC的面積。

22.（2011.陜西）敘述并證明余弦定理。

abc??． cosAcosBcosC