第一篇：余弦定理教學案

余弦定理數學教學案2

教學目的

1．使學生掌握余弦定理及其證明方法．

2．使學生初步掌握余弦定理的應用．

教學重點與難點

教學重點是余弦定理及其應用；

教學難點是用解析法證明余弦定理．

教學過程設計

一、復習

師：直角△ABC中有如下的邊角關系(設∠C=90°)：

(1)角的關系 A+B+C=180°．

A+B=90°．

(2)邊的關系c2=a2+b2．

二、引入

師：在△ABC中，當∠C=90°時，有c2=a2+b2．若a，b邊的長短不變，變換∠C的大小時，c2與a2+b2有什么關系呢？請同學們思考．

如圖1，若∠C＜90°時，由于AC與BC的長度不變，所以AB的長度變短，即c2＜a2+b2．

如圖2，若∠C＞90°時，由于AC與BC的長度不變，所以AB的長度變長，即c2＞a2+b2．

經過議論學生已得到當∠C≠90°時，c2≠a2+b2，那么c2與a2+b2到底相差多少呢？請同學們繼續思考．

如圖3，當∠C為銳角時，作BD⊥AC于D，BD把△ABC分成兩個直角三角形：

在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2；

在Rt△BDC中，BD=BC·sinC=asinC，DC=BC·cosC=acosC．

所以，AB2=AD2+BD2化為

c2=(b－acosC)2+(asinC)2，c2=b2－2abcosC+a2cos2C+a2sin2C，c2=a2+b2－2abcosC．

我們可以看出∠C為銳角時，△ABC的三邊a，b，c具有c2=a2+b2－2abcosC的關系．

從以上分析過程，我們對∠C是銳角的情況有了清楚認識．我們不僅要認識到，∠C為銳角時有c2=a2+b2－2abcosC，還要體會出怎樣把一個斜三角形轉化成兩個直角三角形的．這種未知向已知的轉化在數學中經常碰到．

下面請同學們自己動手推導結論．

如圖4，當∠C為鈍角時，作BD⊥AC，交AC的延長線于D．

△ACB是兩個直角三角形之差．

在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2．

在Rt△BCD中，∠BCD=π－C．

BD=BC·sin(π－C)，CD=BC· cos(π－C)．

所以AB2=AD2+BD2化為

c2=(AC+CD)2+BD2

=[b+acos(π－C)]2+[asin(π－C)]2

=b2+2abcos(π－C)+a2cos2(π－C)+a2sin2(π－C)

=b2+2abcos(π－C)+a2．

因為cos(π－C)=－cosC，所以c2=b2+a2－2abcosC．

這里∠C為鈍角，cosC為負值，－2abcosC為正值，所以b2+a2－2abcosC＞a2+b2，即c2＞a2+b2．

從以上我們可以看出，無論∠C是銳角還是鈍角，△ABC的三邊都滿足

c2=a2+b2－2abcosC．

這就是余弦定理．我們輪換∠A，∠B，∠C的位置可以得到

a2=b2+c2－2bccosA． b2=c2+a2－2accosB．

三、證明余弦定理

師：在引入過程中，我們不僅找到了斜三角形的邊角關系，而且還給出了證明，這個證明是依據分類討論的方法，把斜三角形化歸為兩個直角三角形的和或差，再利用勾股定理和銳角三角函數證明的．這是證明余弦定理的一個好方法，但比較麻煩．現在我們已學完了三角函數，無論∠α是銳角、直角或鈍角，我們都有統一的定義，借用三角函數和兩定點間的距離來證明余弦定理，我們就可避開分類討論．

我們仍就以∠C為主進行證明．

如圖5，我們把頂點C置于原點，CA落在x軸的正半軸上，由于△ABC的AC=b，CB=a，AB=c，則A，B，C點的坐標分別為A(b，0)，B(acosC，asinC)，C(0，0)．

請同學們分析B點坐標是怎樣得來的．

生：∠ACB=∠C，CB為∠ACB的終邊，B為CB上一點，設B的坐標為(x，師：回答很準確，A，B兩點間的距離如何求？

生：|AB|2=(acosC－b)2+(asinC－0)=a2cos2C－2abcosC+b2+a2sin2C

=a2+b2－2abcosC，即c2=a2+b2－2abcosC．

師：大家請看，我們這里也導出了余弦定理，這個證明方法是解析法．這種方法以后還要詳細學習．

余弦定理用語言可以這樣敘述，三角形一邊的平方等于另兩邊的平方和再減去這兩邊與夾角余弦的乘積的2倍．即：

a2=b2+c2－2bccosA． c2=a2+b2－2abcosC． b2=a2+c2－2accosB．

若用三邊表示角，余弦定理可以寫為

四、余弦定理的作用

(1)已知三角形的三條邊長，可求出三個內角；

(2)已知三角形的兩邊及夾角，可求出第三邊．

解 由余弦定理可知

Bc2=Ab2+Ac2－2AB×AC·cosA

所以BC=7．

以上兩個小例子簡單說明了余弦定理的作用．

五、余弦定理與勾股定理的關系、余弦定理與銳角三角函數的關系

在△ABC中，c2=a2+b2－2abcosC．若∠C=90°，則cosC=0，于是

c2=a2+b2－2ab·0=a2+b2．

說明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推廣．

這與Rt△ABC中，∠C=90°的銳角三角函數一致，即直角三角形中的銳角三角函數是余弦定理的特例．

六、應用舉例

例1 在△ABC中，求證c=bcosA+acosB．

師：請同學們先做幾分鐘．

生甲：如圖6，作CD⊥AB于D．

在Rt△ACD中，AD=b·cosA；在Rt△CBD中，DB=a·cosB．而c=AD+DB，所以

c=bcosA+acosB．

師：這位學生的證法是否完備，請大家討論．

生乙：他的證法有問題，因為作CD⊥AB時垂足D不一定落在AB上．若落在AB的延長線上時，c≠AD+DB，而c=AD－DB．

師：學生乙的問題提得好，我們如果把學生乙所說的情況補充上是否就完備了呢？

生丙：還不夠．因為作CD⊥AB時，垂足D還可以落在B處．

師：其實垂足D有五種落法，如落在AB上；AB的延長線上；BA的延長線上；A點或B點處．我們要分這么多種情況證明未免有些太麻煩了．

請大家借用余弦定理證明．

生：因為 acosB+bcosA

所以 c=acosB+bcosA．

師：這種證法顯然簡單，它避開了分類討論．你們知道為什么這種證法不用分類討論嗎？

生：因為余弦定理本身適用于各種三角形．

例2 三角形ABC中，AB=2，AC=3，BC=4，求△ABC的面積．

師：我們通常求三角形的面積要用公式

這個題目，我們應該如何下手呢？

生：可以用余弦定理由三邊求出一個內角的余弦值，再用同角公式導出這個角的正弦后，最后代入三角形面積公式．

解 因為a=4，b=3，c=2，所以

由sin2A+cos2A=1，且A為△ABC內角，得

例3 在三角形ABC中，若CB=7，AC=8，AB=9，求AB邊的中線長．

請同學們先設計解題方案．

生甲：我想在△ABC中，已知三邊的長可求出cosB．在△BCD中，由BC=7，BD=4.5及cosB的值，再用一次余弦定理便可求出CD．

師：這個方案很好．請同學很快計算出結果．

解 設D為AB中點，連CD．

在△ACB中，由AC=8，BC=7，AB=9，得

生乙：我們在初中碰到中線時，經常延長中線，所以我想延長中線CD到E，使DE=CD，想在△BCE中解決．

已知BC=7，BE=AC=8，若再知道cos∠CBE，便可解決，但我不知怎樣求cos∠CBE．

師：這個問題提得很有價值，請大家一起幫助學生乙解決這個難點．

(學生開始議論．)

生丙：連接AE，由于AD=DB，CD=DE，所以四邊形ACBE為平行四邊形，可得AC∥BE，∠CBE與∠ACB互補．我能利用余弦定理求出cos∠BCA，再利用互補關系解出cos∠CBE．

師：大家看看他講得好不好．請大家用第二套方案解題．

解 延長CD至E，使DE=CD．

因為CD=DE，AD=DB，所以四邊形ACBE是平行四邊形．所以

BE=AC=8，∠ACB+∠CBE=180°．

在△ACB中，CB=7，AC=8，AB=9，由余弦定理可得

在△CBE中，這兩種解法都是兩次用到余弦定理，可見掌握余弦定理是十分必要的．

七、總結

本節課我們研究了三角形的一種邊角關系，即余弦定理，它的證明我們可以用解析法．它的形式有兩種，一種是用兩邊及夾角的余弦表示第三邊，另一種是三邊表示角．

余弦定理適用于各種三角形，當一個三角形的一個內角為90°時，余弦定理就自然化為勾股定理或銳角三角函數．

余弦定理的作用如同它的兩種形式，一是已知兩邊及夾角解決第三邊問題；另一個是已知三邊解決三內角問題．注意在(0，π)范圍內余弦值和角的一一對應性．若cos A＞0，則A為銳角；若cosA=0，則A為直角；若cosA＜0，則A為鈍角．

另外本節課我們所涉及的內容有兩處用到分類討論的思想方法．請大家解決問題時要考慮全面．如果能回避分類討論的，應盡可能回避，如用解析法證明余弦定理、用余弦定理證明例1等等．

八、作業

5．已知△ABC中，acosB=bcos A，請判斷三角形的形狀．

課堂教學設計說明

1．余弦定理是解三角形的重要依據，要給予足夠重視．本內容安排兩節課適宜．第一節，余弦定理的引出、證明和簡單應用；第二節復習定理內容，加強定理的應用．

2．當已知兩邊及一邊對角需要求第三邊時，可利用方程的思想，引出含第三邊為未知量的方程，間接利用余弦定理解決問題，此時應注意解的不唯一性．

第二篇：余弦定理學案

1.1正弦定理和余弦定理 ?

探究案

Ⅰ.質疑探究——質疑解惑、合作探究

探究一：課本中余弦定理是用（）法證明的，也就是說，在△ABC中，已知BC=a，AC=b及邊BC，AC的夾角C，則=（），所以BA2=（）=（），即c=（）

探究二：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關系，余弦定理則指出了一般三角

形中三邊平方之間的關系，如何看這兩個定理之間的關系？

【歸納總結】

1.熟悉余弦定理的（），注意（）,（），（）等。

2.余弦定理是（）的推廣，（）是余弦定理的特例.3.變形：（），（），（）。

3.余弦定理及其推論的基本作用為：

（1）

（2）

例1． 在△ABC中，已知a?2，c?6?2，B?45，求b及A。

【規律方法總結】

1.當已知三角形的兩邊及其夾角三角形時，可選用（）求解。

2.在解三角形時，如果（）與（）均可選用時，那么 求邊時（），求角是最好（）原因是（）

例2．（1）在△ABC中，已知a?42,b?4,c?2(6?2)，解三角形。

（2）在△ABC中，已知a:b:c?2::3?1，求△ABC的各角。

【拓展提升】 在△ABC中，已知sinA:sinB:sinC?3:2:4，判斷△ABC 的形狀。

2例3．在?ABC中，a、b、c分別是?A，?B，?C的對邊長。已知b?ac，且2?

a2?c2?ac?bc，求?A的大小及bsinB的值。c

課后作業

基礎鞏固-----------把簡單的事情做好就叫不簡單！

1.在△ABC中，已知a?2,b?2,c?3?1，則A等于（）

A．30B.135C.45D.120

2.在△ABC中，已知a?b?c?bc，則A為（）

A．222??????2??2?B.C.D.或 3336

33.若三條線段的長分別為5、6、7，則用這三條線段（）

A．能組成直角三角形B.能組成銳角三角形C.能組成鈍角三角形

D．不能組成三角形

4.已知△ABC中，a=6 ,b=3 ,C=2?，c=

35.(2012,福建理)已知△ABC的三邊長分別是2x,2x,22x（x>0）,則其最大角的余弦值

6.（2012，北京理）在△ABC中，若a?2,b?c?7,cosB??

綜合應用--------------挑戰高手，我能行！

7.在不等邊三角形ABC中，a是最大邊，若a?c?b，則A的取值范（）

A．90?A?180B.45?A?90C.60?A?90 B.0?A?90

8.在△ABC中,已知a+b+c=2c(a+b),則角C=

9.若△ABC的內角A、B、C所對的邊a、b、c滿足(a?b)?c?4且C=

值為

拓展探究題------------戰勝自我，成就自我10.在△ABC中，已知a=2，b=2,（a+b+c）(b+c-a)=(2?2)bc，解三角形。

11．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，tanC?

（1）求cosC； 224442221,則b=4222?????????，則ab的3????????5CA?，且a?b?9，求c．（2）若CB?

2課后檢測案

1.△ABC中，若AB?5，AC?3，BC?7，則A 的大小為（）

A．150 ?B．120C．60D．30

2???2.在△ABC中，若c

A.60°?a2?b2?ab，則∠C=（）C.150°D.120°B.90°

3.在△ABC中,若a=7,b=8,cosC=13/14,則最大角的余弦為()1111B.?C.?D.? 5678

4.邊長為5,7,8的三角形的最大角的余弦是（）.A.?A．?11111B．C．D．714147

ab?，cosBcosA5.在?ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若

則?ABC的形狀一定是（）

A．等腰三角形B．直角三角形

C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形

6.已知?ABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，且a?2,b?3,cosB?則sinA 的值為． 4，512,13cosA?7.已知△ABC的面積是30，內角A、B、C所對邊分別為a、b、c，若c?b?1，則a的值是.8.在△ABC中,若(a+c-b)tanB = 3ac,則角B的值為。2229.在?ABC中，若cosB?b? cosC2a?c

（1）求角B的大小

（2）若b?a?c?4，求?ABC的面積

10.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且bcosC?3acosB?ccosB.（1）求cosB的值；

（2）若??2，且b?22，求a和c的值.

第三篇：余弦定理學案

【總03】§1.2余弦定理第3課時

一、學習目標

1理解用向量的數量積證明余弦定理的方法。，2.掌握并熟記余弦定理

3.能運用余弦定理及其推論解三角形

二、學法指導

1.余弦定理揭示了任意三角形的邊角關系，其證明的方法有向量法，解析法和幾何法。

2.余弦定理適用的題型：

（1）已知三邊求三角，用余弦定理，有解時只有一解

（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他的角，用余弦定理必有一解 3.余弦定理適用于判斷三角形的形狀。

三、課前預習

（1）余弦定理：

a2?____________________________b2?____________________________ c2?____________________________

（2）余弦定理的推論：

cosA?____________________________cosB?____________________________ cosC?____________________________

（3）用余弦定理可以解決兩類有關解三角形的問題 已知三邊，求

已知和它們的，求第三邊和其他兩個角。

三、課堂探究

1．余弦定理的證明及理解：

2．例題講解

例1在?ABC中，（1）已知b?3,c?1,A?600，求a；（2）已知a?4,b?5,c?6，求A

例2 △ABC中,sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶,求C

例3在?ABC中，?A、?B、?C所對的邊長分別為a、b、c，設a、b、c滿足條件b2?c2?bc?a2，求A

例題4在△ABC中，已知a＝2，b＝22，C＝15°，求A。

四、鞏固訓練

（一）當堂練習

1.在?ABC中，（1）已知A?60?,b?4,c?7，求a；（2）已知a?7,b?5,c?3，求A

2．在?ABC中，已知a2

?b2

?ab?c2，求C的大小.（二）課后作業

1． 在?ABC中，(a?c)(a?c)?b(b?c)，求 A?

2.在?ABC中，已知a?7,b?8,cosC?13

14，求最大角的余弦值是

第四篇：余弦定理學案2

高二數學必修五學案

姓名班級有夢就有希望編制：杜鳳華

余弦定理 學案(2)

一．復習公式：

1．余弦定理：___________________________2．利用余弦定理可以解決哪類解三角形問題？

二、基本題型:

類型一：已知兩邊一角解三角形。

例1：在△ABC中，根據下列條件解三角形：

（1）a?2,b?22,C?15?.（2）a?,b?2,B?45?.類型二：已知三邊及三邊關系解三角形。

例2：在△ABC中，a:b:c=2:6:(3?1)，求各角度數。

變式練習：在△ABC中，sinA:sinB:sinC=2:6:(?1)，求各角度數。

類型三：判斷三角形的形狀：

例3：在△ABC中，已知sinA＝2sinBcosC，試判斷△ABC的形狀。

變式1：△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sinA＝2sinBcosC，判斷△ABC的形狀．

變式2：△ABC中，已知2a＝b＋c，且sin2A＝sinBsinC，判斷△ABC的形狀．

:

跟蹤練習：

1.在△ABC中，sinA:sinB:sinC?2:3:4，那么cosC等于（）

A．

23B． ?23C．?13D．?14

2.已知△ABC的三邊滿足1a?b?1b?c?3a?b?c,則B等于()A．30?

B． 45?

C．60?

D．120?

3.在平行四邊形ABCD中,B?120?,AB?6,BC?4則AC?_________,BD?_______

4.用余弦定理證明: 在△ABC中,(1)a?bcosC?ccosB(2)b?ccosA?AcosC(3)c?acosB?bcosA

5.在△ABC中,已知2a?b?c,sin2

A?sinBsinC,試判斷△ABC的形狀.成功來自與勤奮和努力

第五篇：正余弦定理導學案

成功不會辜負任何一個對它有誠意的人——為理想付諸努力的人！

正余弦定理

（一）導學案班級姓名：___________

主備人： 焦曉東審核人：鄭鴻翔

【學習目標】理解正余弦定理在討論三角形邊角關系時的作用，能根據正余弦定理解斜三角形或判斷三角形的形狀。

【學習重點】應用正余弦定理解斜三角形

【學習難點】正余弦定理公式的靈活運用（邊角互化等應用）．

學習過程：

一、知識鏈接

1.敘述并運用兩種以上方法證明正弦定理.2.敘述并運用兩種以上方法證明余弦定理.3.正弦定理可以解決哪兩種類型的三角形問題：

①——————————————————————————————————————— ②——————————————————————————————————————— a

定理的其它表示形式：sin?b

sin?c

sin?a?b?c?k?k?0?sin?sin?sin；

或a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC(k?0)其中k的意義是___________________

S?ABC=____________________________________________________________________

4.余弦定理可以解決哪兩種類型的三角形問題：

①——————————————————————————————————————— ②———————————————————————————————————————

__ cosB?____________cosC?____________ 定理的其它表示形式: cosA?__________

“我們欣賞數學，我們需要數學。”－－－－陳省身安吉高級中學高一備課組-1-

二、例題剖析

例1.解下列三角形

（1）已知△ABC中，a＝4，b＝

40o3，∠A＝30°（2）在?ABC中，A?60，a?3,b?1 0（3）在△ABC中，已知A=45，B=60，c =1（4）△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120°

【歸納小結】體會何時應用正弦定理解題。

例2．.解下列三角形

（1）在?ABC中，已知b?3,c?3，B?300(2)在?ABC中，已知A?

6?

22，2?3，c?2，b?4.(3)在?ABC中，AB?,BC?2AC?

【歸納小結】體會何時應用余弦定理解題。

例3.(1)在?ABC中，三邊的長為連續自然數，且最大角為鈍角，求這個三角形三邊的長

(2)已知兩線段a

例4（1）在?ABC中，若acos

跟蹤練習1：在?ABC中，已知acos

2.在?ABC中，已知3b?2,b?22，若以a,b為邊作三角形，求邊a所對的角A的取值范圍 A?bcosB（2）在?ABC中，已知a?2bcosC，試分別判斷?ABC的形狀.A?bcosB?ccosC，則?ABC的形狀是?23asinB,cosB?cosC，則?ABC的形狀是

【歸納小結】三角形的形狀的判定方法。

三、小結：

正余弦弦定理（1）達標檢測

一、選擇題

1.在?ABC中，已知a:b:c?3:5:7，則?ABC的最大角是（）

A.300B.600C.900D.1200

2.在?ABC中，已知a?2，則bcosC?ccosB等于（）

A.1B.2C.2D.43．在△ABC中，若a?7,b?3,c?8，則其面積等于（）

A．12B．21C．28D．63

24.在?ABC中，若sinA?sinB，則A與B的大小關系為（）

A.A?BB.A?BC.A?BD.A,B的大小關系不能確定

5.在?ABC中,若a?2bsinA，則B?（）

??2???5?

A.3B.6C.3或3D.6或6

6．在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，那么△ABC一定是()

A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形

二、填空題

00c?10,A?45,C?30?ABC7.在中，則b?_________________

8.在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC?7∶8∶13，則C?____________

9.在△ABC中，已知a，b，c是角A，B，C的對應邊，①若a＞b，則f（x）=（sinA﹣sinB）?x在R上是增函數； ②若a﹣b=（acosB+bcosA），則△ABC是Rt△； ③cosC+sinC的最小值為

cosA=cosB，則A=B；其中真命題的個數是______________ 222； ④若

2sinA?sinB?sinC10.在?ABC中，若a:b:c?2:4:5，則___________________

三、解答題

11． 已知△ABC中，面積S＝，a＝，b＝2，求角A，B的正弦值..12．在?ABC中，AC?2,BC?1,cosC?3.4

(1)求AB的長（2）求sin?2A?C?的值

13.在△ABC中，已知a＝，b＝，B＝450，求角A，B及邊C.14.在?ABC中，已知B?45，AC?，cosC?025.5

(1)求BC邊的長（2）記AB中點為D，求中線CD的長.15.如圖：在四邊形ABCD中，已知AD?CD，AD?10，AB?14，?BDA?60°，?BCD?135°，求BC的長．