第一篇：初中數學教學中的數形結合法

初中數學教學中的數形結合法

覃斗中學徐慧賢

數學課程標準總體目標明確提出：“讓學生獲得未來社會生活和進一步發展所必須的重要數學知識，以及基本的數學思想方法和必要的應用技能”。數學知識本身那固然重要，但是對于學生的后續的學習，生活和工作長期起作用，并使其終身受益的是數學思想方法。初中數學常用的數學思想思想方法有：化歸思想方法，分類思想方法，數形結合的思想方法，函數思想方法，方程思想方法，模型思想方法，統計思想方法，用字母代替數學的思想方法，運動變換思想方法等。

初中數學的兩個分支——代數和幾何，代數是研究“數”的，幾何是研究”形“的。但是研究代數要借助于“形”，研究幾何要借助于“數”，幾何圖形的形象直觀，便于理解，代數方法的一般性，解題過程的機械化，可操作性強，便于把握，因此數形結合思想是數學中重要的思想方法。數學家華羅庚說的好“數形結合百般好，隔離分家萬事休，幾何代數統一體，永遠聯系莫分離”。

數學史中的數形結合：“中國的儒家傳統文化和教育統一貫重“一”或整體的價值”,這種注重“一以貫之”的整體性和直覺性的思維模式，是“數形結合”思想產生的本源。《九章算術》中所給出的各種籌算運演規則，如開方術、方程術、割圓術、陽馬術、盈不足術等，從命名上就可以發現這些“程序”性法則（類似于算法）的直觀性。現代數學各分支“交叉滲透，學科整合”，無不體現著數形結合長盛不衰的魅力。早在數學萌芽時期，人們在度量長度、面積和體積的過程中，就把數和形聯系起來了。我國宋元時期，系統地引進了幾何問題代數化的方法，用代數式描述某些幾何特征，把圖形之間的幾何關系表達成代數式之間的代數關系。17世紀上半葉，法國數學家笛卡兒以坐標為橋梁，在點與數對之間、曲線與方程之間建立起來對應關系，用代數方法研究幾何問題，從而創立了解析幾何學。后來，幾何學中許多長期不能解決的問題，例如立方倍積、三等分任意角、化圓為方等問題，最終也借助于代數方法得到了完滿的解決。即使在近代和現代數學的研究中，幾何問題的代數化也是一條重要的方法原則，有著廣泛的應用。溝通數與形的內在聯系，不僅使幾何學獲得了代數化的有力工具，也使許多代數學和數學分析的課題具有了明顯的直觀性，在數學解題中，運用數形結合思想，就是根據問題的具體情形，或者把圖形性質問題轉化成數量關系來研究，后者把數量關系問題轉化成圖形性質來研究，以便以數助形或以形助數，使問題簡單化、抽象問題具體化。

數形結合的具體應用：

函數數形結合的應用

1、圖形信息的獲取，建立適當的代數模型。不少函數問題以圖形的形式出現，圖形中包含豐富的代數知識，仔細觀察圖形、圖像、把握圖形的特點、找出圖形中的信息是解決問題的關鍵所在。

例1：某校部分住校生，放學后到學校鍋爐房打水，每人接水 2升，他們先同時打開兩個放水籠頭，后來因故障關閉一個放水籠頭。假設前后兩人接水間隔時間忽略不計，且不發生潑灑，鍋爐內的余水量y（升）與接水時間x（分）的函數圖像如圖。

請結合圖像，回答下列問題：

（1）根據圖中信息，請你寫出一個結論；

（2）問前15位同學接水結束共需要幾分鐘？

（3）小敏說：“今天我們寢室的8位同學去鍋爐房連續接完水恰好用了3分鐘。”你說可能嗎？請說明理由。

分析：此類題型為圖像信息問題，所有的信息由圖像反映，圖形是折線，分為兩段，代數模型為：兩個不同的一次函數。根據圖形可得到點的坐標（0，96），（2，80），（4，72）。代表的意義為：到2分鐘，鍋爐內原有水96升，接水2分鐘后，鍋爐內的余水量為80升，接水4分鐘，鍋爐內的余水量為72升；2分鐘前的水流量為每分鐘8升等。利用待定系數法的代數方法求出函數解析式，利用代數的精確性說理解題。

解：（1）略

（2）當0≤x≤2時，y=-8x+96（0≤x≤2），當x＞2時，y=-4x+88（x>2）

∵前15位同學接完水時余水量為96-15×2=66（升），∴66=-4x+88，x=5.5

答：前15位同學接完水需5.5分鐘。

（3）若小敏他們是一開始接水的，則接水時間為8×2÷8=2（分），即8位同學接完水，只需要2分鐘，與接水時間恰好3分鐘不符。

若小敏他們是在若干位同學接完水后開始接水的，設8位同學從t分鐘開始接水，當0＜t≤2則8（2-t）+4[3-（2-t）]=8×2，16-8t+4+4t=16，∴t=1（分），∴（2-t）+[3-（2-t）]=3（分），符合。

當t＞2時，則8×2÷4=4（分）

即8位同學接完水，需7分鐘，與接水時間恰好3分鐘不符。

所以小敏說法是可能的，即從1分鐘開始8位同學連續接完水恰好用了3分鐘。

作為一名中學數學教師，我們要有滲透數學思想方法的意識和自覺性，用心挖掘，在教學中，深入淺出的、潛移默化的、可行的讓學生領悟數學思想方法。由此可見加強“數形結合”思想教育，培養學生運用“數形結合”的意識就顯得尤為重要。總之，數學知識與數學思想方法是相輔相成的。教師在數學教學過程中，必然涉及很多的概念，數學概念是數學思維的細胞，它是在感覺、知覺、思維形成表象的基礎上，經過分析、綜合、比較、抽象、概括等思維的邏輯加工而逐步形成的理性認識結果，它蘊涵著豐富的思想內涵。如果能充分揭示“數”與“形”的關系，實現“數”與“形”的轉化，一定能使枯燥的數學增加幾分趣味性，也能幫助學生拓展知識，強化思維。

第二篇：數形結合法在不等式證明中的應用

數形結合在不等式證明中的應用

數形結合思想簡而言之就是把數學中“數”和數學中“形”結合起來解決數學問題的一種數學思想。數形結合具體地說就是將抽象數學語言與直觀圖形結合起來，使抽象思維與形象思維結合起來，通過“數”與“形”之間的對應和轉換來解決數學問題。在中學數學不等式的證明中，主要以“形”助“數”。

以“形”助“數” ：

由于“數”和“形”是一種對應，有些數量比較抽象，我們難以把握，而“形”具有形象，直觀的優點，能表達較多具體的思維，起著解決問題的定性作用，因此我們可以把“數”的對應——“形”找出來，利用圖形來解決問題。我們能夠從所給問題的情境中辨認出符合問題目標的某個熟悉的“模式”，這種模式是指數與形的一種特定關系或結構。這種把數量問題轉化為圖形問題，并通過對圖形的分析、推理最終解決數量問題的方法，就是圖形分析法。數量問題圖形化是數量問題轉化為圖形問題的條件，將數量問題轉化為圖形問題一般有三種途徑：應用平面幾何知識，應用立體幾何知識，應用解析幾何知識將數量問題轉化為圖形問題。解一個數學問題，一般來講都是首先對問題的結構進行分析，分解成已知是什么（條件），要求得到的是什么（目標），然后再把條件與目標相互比較，找出它們之間的內在聯系。因此，對于“數”轉化為“形”這類問題，解決問題的基本思路： 明確題中所給的條件和所求的目標，從題中已知條件或結論出發，先觀察分析其是否相似（相同）于已學過的基本公式（定理）或圖形的表達式，再作出或構造出與之相適合的圖形，最后利用已經作出或構造出的圖形的性質、幾何意義等，聯系所要求解（求證）的目標去解決問題。

中學數學的基本知識分三類：一類是純粹數的知識，如實數、代數式、方程（組）、不等式（組）、函數等；一類是關于純粹形的知識，如平面幾何、立體幾何等；一類是關于數形結合的知識，主要體現是解析幾何。數形結合是一個數學思想方法，包含“以形助數”和“以數輔形”兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動和直觀性來闡明數之間的聯系，即以形作為手段，數為目的，比如應用函數的圖像來直觀地說明函數的性質；或者是借助于數的精確性和規范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數作為手段，形作為目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質。

數形結合的思想，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來，關鍵是代數問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數問題幾何化，幾何問題代數化。在運用數形結合思想分析和解決問題時，要注意徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數特征，對數學題目中的條件和結論既分析其幾何意義又分析其代數意義。

不等式的證明在中學階段甚至是大學階段都是很重要的知識模塊，其證明的方法也不計其數，但是利用數形結合的方法證明卻是其中巧妙便捷的方法之一。下面就以實際例子加以闡述。

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1?111?11119

????????9，當且僅當a?b?c?1時，??13?abc?abca?b?c

?a?b?c?3

結構取聯想更多的關于此問題的特征表達，不單獨的考慮不等式問題，而是將所有已經學習的知識都聯系在一起來思考，這樣就會找到更多捷徑.

第三篇：數形結合在小學數學概念教學中的運用

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數形結合在小學數學概念教學中的運用

徐永加

（浙江省永康市石柱小學 浙江 永康 321300）

摘 要：在小學數學概念教學中，運用數形結合的方法，實際上就是借助于直觀形象模型理解抽象的數學概念以及抽象的數量關系，來幫助學生感知、生成、深化概念。

關鍵詞：數形結合 小學數學 概念教學

中圖分類號： G623.5 文獻標識碼： C 文章編號： 1671-8437（2009)1-0103-01 數形結合不是真正數學意義上的數形結合思想，這里的“數”指的是小學數學的概念、定義、規律等數學知識，而不是代數式、函數解析式、方程；“形”則主要是指有形的數學學具、數學模型，而不是幾何圖形與直角坐標系下的函數圖象。因而本文所說的數形結合指的是借助于直觀形象模型理解抽象的數學概念以及抽象的數量關系，它是“數形結合”思想方法的雛形。本文結合教學實際，談談小學數學概念教學中如何運用數形結合的方法來幫助學生感知、生成、深化概念的。圖形演示，注重概念引入

概念的引入將直接關系到學生對概念的理解和接受，在概念的引入過程中，要注意使學生建立清晰的表象。而表象的建立，是以對所感知材料的觀察和分析為基礎的。圖形演示是小學數學概念引入教學中最常用的方法，因為小學生的思維還停留在形象思維的階段，他們對抽象的概念的理解需要借助豐富的感性材料。在小學數學概念教學中，如果能夠建立抽象的數學概念與形象的圖形之間的聯系，把數學概念中最本質的屬性用恰當的圖形演示出來，把數和形結合起來，就可以豐富學生的感性材料，為建構數學概念奠定基礎。學生對所學數學概念就容易理解和掌握。

如小學應用題中常常涉及到“求一個數的幾倍是多少”，學生最不易理解的是“倍”的概念，如何把“倍”的數學概念深入淺出地教授給學生，使他們能對“倍”有個深刻的印象？筆者認為用圖形演示的方法是最簡單又最有效的方法。可以利用多媒體技術在第一行排出3根一組的紅色小木棒，再在第二行排出3根一組的藍色的小木棒，第二行一共排4組藍色小木棒。結合演示，讓學生觀察比較第一行和第二行小木棒的數量特征，通過教師啟發，學生小組合作討論和交流，使學生清晰地認識到：藍色小木棒與紅色小木棒比較，紅色小木棒是1個3根，藍色小木棒是4個3根；把一個3根當作一份，則紅色小木棒是1份，而藍色小木棒就有4份。用數學語言：藍色小木棒與紅色小木棒比，把紅色小木棒當作1倍，藍色小木棒的根數就是紅色小木棒的4倍。這樣，從演示圖形中讓學生看到從“個數”到“份數”，再引出倍數，很快就觸及了概念的本質。

有些教師為了增強刺激效果，值得注意的是在數形結合的圖形演示中，一味在圖形的豐富性上下功夫，把圖形本身搞得色彩斑斕，其效果適得其反。因為過度的無關刺激會發散學生的注意力，干擾學生的數學思維，從而妨礙對概念的理解。圖形演示，目的不在于形，形只是手段，這里數形結合的目的在于更好地理解數學概念。因此用作演示的圖形本身要求簡潔明了。2 借形設問，探究形成過程

數學概念一般都有一個形成過程，在進行概念教學時如果能借助有形物體或圖形，設置一些步步深入的誘導性問題，就可以經歷從感知表象到認識的思維過程，學生在探究概念的形成過程中不僅理解概念，而且能夠運用概念。這里的數形結合，其中“數”是我們要探究的數學概念知識，具體體現在環環相扣，步步遞進的問題上；其中的“形”是問題的背景，教師借助學生熟知的能夠觸摸和直接感知的有形物體，作為問題的情境，增強問題的形象性，便于啟迪學生的數學思維。在教師引導下，學生通過觀察、比較、分析、抽象概括的過程，逐步形成新的概念。

如，教學“體積”概念。教師可以借助形象物體設問，引導學生分析比較。首先觀察物體，初步感知。讓學生觀察一塊橡皮和黑板擦，問學生：哪個大，哪個小？又出示兩個邊長分別為2厘米和5厘米的正方形，問：哪個大，哪個小？通過觀察物體，讓學生對物體的大小有個感性認識。接著在一個盛有半杯水的玻璃杯里慢慢加入小石子，學生可以觀察到，隨著小石子投入的增多，杯中的水位不斷上升。問：玻璃杯里的水位為什么會上升？學生從這一具體事例中獲得了物體占有空間的表象。在教師的引導下，對“為什么玻璃杯里的水位會隨著小石子放入的增多而升高”這一問題進行深入討論，通過討論交流學生能夠很自然地領悟“物體所占空間的大小叫體積”這一概念。為了進一步使概念在應用中得到鞏固，繼續在盛滿水的玻璃杯里放石子，學生觀察到水溢了出來，教師啟發學生：從觀察到的現象中你們發現了什么問題？學生思考后提出：杯里溢出的水的多少與放進去的石子有什么關系？經過討論得出：從杯里溢出水的體積等于石子的體積。至此，學生不僅認識了概念，而且能夠應用概念。

在利用實物創設問題情境時，教師要特別注意數與形的有機結合，以問題引導學生觀察，不僅要用誘導性問題，更要用一些啟發性問題，激疑性問題，讓學生在觀察中發現問題，自己提出問題和解決問題。教師除了提供充分的形象感性材料讓學生形成鮮明的表象外，還必須在此基礎上，引導學生分析和比較，及時抽象出概念的本質屬性，使學生在主動參與中完成概念的建構。畫圖體驗，揭示概念本質 小學生由于生活經歷少，常常不能借生活經驗把實際問題轉化為數學問題，從而來理解數學概念。因此教師要根據教學內容的實際情況，引導學生利用直尺、三角板和圓規等作圖工具畫出已學過的圖形，通過動手作圖，幫助學生建立表象，從畫圖體驗中領悟概念。通過作圖觀察、比較分析，可以發展學生的空間觀念，培養學生分析、綜合、抽象、概括的能力。

如，講三角形的“高”和“底”，如果離開圖形來講解，是很難講清楚的，既使學生聽懂了也不會有深刻的理解。而讓學生自己動手作圖，親自經歷一個發現的過程，學生對“高”和“底”的理解就會深刻得多。教師可以讓學生先作圖：（1）過直線上的一點畫一條和這條直線垂直的直線；（2)過直線外一點畫一條和這條直線垂直的直線；（3）給出三個不同的三角形，要求學生作一條過頂點和頂點所對的邊垂直的線段。在大量作圖的基礎上，讓學生觀察比較，分析討論，學生就能概括出“高”和“底”的概念。新課程理念倡導發現學習，通過作圖來概括“高”和“底”的概念的知識，實際是引導學生自己發現知識的過程。讓學生在作圖過程中自己去探索，去發現這個圖形所具有的特征，充分調動自身原有的生活經驗，培養他們的觀察和操作能力，讓學生更加深刻的體會到“高”和“底”的存在,深刻理解“高”和“底”的本質屬性。

畫圖體驗最重要的是要引導學生在作圖過程中體驗和領悟、探究和發現、把握和發展數學概念。讓作圖過程成為促使學生獲得成功的體驗，提高學生學習興趣的過程，讓學生在“再發現”中學會“再創造”。

第四篇：數與形結合在小學數學教學中的運用

數與形結合在小學數學教學中的運用

“空間與圖形”是小學數學教學中的重要內容之一，在以后的學習中體現得更為明顯。數形結合帶給教學以蓬勃之生命，賦予教學以持續性的活力，使有效教學的策略更豐富，更清晰。

1以童真喚起興趣，營造樂學的有效教學情境

著名教育家皮亞杰說過：“兒童是具有主動性的人，所教的東西要能引起兒童的興趣，符合他們的需要，才能有效地促使他的發展。”在我們的童年的記憶中，好的動畫片和童話書總會給人一種最美好的的印象，那種感覺揮之不去，抹之不滅。新課改教材里各種鮮艷逼真的情境圖，各種平移、旋轉、對稱的美麗圖案，可以讓學生真切地體會到了數學的美，受到美的熏陶。因此，在教學《分數的初步認識》時，與學生互相問好后，筆者設計了“分數樂園”這個孩子特別喜歡的卡通畫面，可是“智慧大門”卻關閉著。生動形象的動畫謎語，一下子就吸引了孩子們的目光。成功地激發學生的挑戰精神和戰勝困難的斗志。學生猜對后，引出生活中分東西的經驗，自然而然地導出課題“認識幾分之一”。筆者利用信息技術資源，創設了一個生動有趣的故事情境，引出孩子們特別熟悉和喜歡的———“分數樂園里智勇闖三關”的游戲，使學生們的自主參與意識自然而然的產生，主動探索，學習新知。

2看圖說話，鼓勵多提問；先學后導，作圖更有效

陶行知先生說過：“創造始于問題”。學生沒將題目讀懂時，他是沒有問題的，這與他沒讀題效果一樣。只有鉆研之后，才會生出“看似絕壁，卻辟小徑”之感。在《分數的初步認識》學習過程中，要引導學生自主發現問題，提出問題，分析問題，解決問題。因此，在新授部分，筆者利用多媒體展開教學，分三次展示課件“分數樂園”，從易到難，由淺入深地逐層深入地讓學生觀看直觀的感性材料，啟發學生自己發現數學信息，提出問題，自主學習與合作探究相結合地學習新知。課件出示：兩個小朋友，和一些食物（包括：兩瓶水，四個蘋果和一塊月餅。）讓學生根據生活經驗分蘋果和水后，引導只有一塊月餅，要分給兩個小朋友，該怎么辦呢？隨之“半塊”的答案就悄然產生，緊接著讓學生說說自己是怎么想的，那么把一個月餅平均分成2份，一份就是半塊？”那半塊是怎么樣的呢？經過動態展示比較平均分與不平均分的“一半”月餅，讓學生形象充分地理解平均分，在突出平均分的基礎上，介紹二分之一的意義，從而自然引出1/2的寫法和讀法。

3數形結合，不忘操作 根據新課程標準的要求，筆者在本課中設計了“折一折”這個游戲環節。讓學生通過自己動手操作折紙，來突破難點，完成“把一個整體平均分成幾份，一份就是它的幾分之一”的轉化過程。學生興致勃勃地在“折一折”中玩起了折紙游戲，使他們在玩中發現問題，開動腦筋想辦法解決問題。同時，筆者還設置了“快樂猜猜猜”的小游戲，讓孩子們在玩中體驗數學知識，運用數學知識。

3.1強化認識，完整敘述

由平均分實物導出，圖形也可以平均分成2份，其中一份就是它的1/2。要求學生利用自己喜歡的圖形（包括長方形、正方形和圓）折出它的1/2。引導學生動手操作，在小組合作中解決疑難。通過進行比較交流，說一說：你拿的是什么圖形？如何得到它的二分之一？哪部分是它的二分之一。使學生能夠完整敘述1/2的含義，提高表達能力。這個過程不但培養了學生的自主學習的能力，激發了學生主動參與的意識，還讓他們明白數學無處不在，源于我們的生活。最后，在共同交流，檢查所學習的新知識，達到鍛煉學生語言表達能力的目的。

3.2動手操作，促進內化

緊接著，順勢引導：你能繼續折出這個圖形的1/4嗎？引發學生繼續探索新知的欲望，逐層深入的誘導新知。交流匯報意義后，課件引出長方形的4種不同的折法，引導學生思考：為什么涂色部分都可以用1/4來表示呢？讓學生體會到：雖然紙的形狀不同、折法不同，但把這張紙都“平均分”成了4份，所以每一份就表示這張紙的四分之一。這個過程由淺入深地逐層深入，學生自主探索，欲望強烈，解決了疑難問題，使他們充分地體驗到了成功。

3.3順勢引路，巧妙遷移

認識了二分之一和四分之一，你還想認識幾分之一呢？讓孩子們乘勝追擊，繼續研究各種幾分之一。順勢教師要求：你能試著折一折，涂一涂表示出你想認識的幾分之一嗎？拿出學具袋中的材料，每人選擇一樣試一試。經過折涂，學生之間的交流介紹，讓學生展示并解說成果。通過變換板書的數字，引導學生討論：你發現了什么？師提示：把一個圖形平均分成3份，每一份是它的三分之一，那平均分成5份、6份、100份呢？學生總結出：把一個整體平均分成幾份，一份就是它的幾分之一。鍛煉他們語言能力的同時，培養了學生們的邏輯思維能力。

4“形→數”、“數→形”，分階段把握數形結合知識難度，制定相應的教學策略 低段學生及圖形建構差的的學生適宜“形→數”的直觀思維，其教學大多以觀察、操作等活動開始，在感知和積累了大量空間圖形的具體形象及抽象化圖形后，自然過渡到復雜、抽象的圖形學習。高段的學生適宜“數→形”、“數→數”的抽象思維，因其數形知識有了一定積累后，幾何直觀圖形感知能力，邏輯思維能力已有一定程度的發展。他們在觀察、分析、思考題目后，對于簡單的圖，不一定每次都要畫出來。數量關系式、圖形能用“腦圖”表現出來再好不過，“腦圖”才是我們最美好的追求。我們要做的，就是將數與形的知識結合起來，降低學生的認知難度，使問題迎刃而解。對于學習有困難的學生，應視其情況，降低層次，回溯到相應的基礎上再予以教學。

第五篇：初中數學教學中如何滲透數形結合的思想

數學源于生活，又高于生活，要想把數學學好，就需要把它回歸到生活中去，這樣才能讓學生對它產生興趣，提高學習的效率。學習離不開思維，數學探索需要通過思維來實現，在初中數學教學中逐步滲透數學思想方法，培養思維能力，形成良好的數學思維習慣，既符合新的課程標準，也是進行數學素質教育的一個切入點。“數缺形，少直觀；形缺數，難入微”，數形結合的思想，就是研究數學的一種重要的思想方法，它是指把代數的精確刻劃與幾何的形象直觀相統一，將抽象思維與形象直觀相結合的一種思想方法。

1、滲透數形結合的思想,養成用數形結合分析問題的意識

每個學生在日常生活中都具有一定的圖形知識，如刻度尺與它上面的刻度，溫度計與其上面的溫度，教室里每個學生的坐位，行政地圖等等，我們利用學生的這一認識基礎，把生活中的形與數相結合遷移到數學教學中來，在教學中進行數形結合思想的滲透。如數與數軸，一對有序實數與平面直角坐標系，一元一次不等式的解集與一次函數的圖象，二元一次方程組的解與一次函數圖象之間的關系等，都是滲透數形結合思想的很好機會。讓學生理解數形結合思想在解決問題中的應用。為下面進一步學習數形結合思想奠定基礎。

2、學習數形結合思想，增強解決問題的靈活性，提高分析問題、解決問題的能力在教學中滲透數形結合思想時，應讓學生了解，所謂數形結合就是找準數與形的契合點，根據對象的屬性，將數與形巧妙地結合起來，有效地相互轉化，就成為解決問題的關鍵所在。數形結合的結合思想主要體現在以下幾種：(1)用方程、不等式或函數解決有關幾何量的問題；(2)用幾何圖形或函數圖象解決有關方程或函數的問題；(3)解決一些與函數有關的代數、幾何綜合性問題；(4)以圖象形式呈現信息的應用性問題。