第一篇：四年級奧數 統籌規劃問題(教師用)

雅智教育 立德樹人 傳道解惑 啟發思維 成就英才

小學四年級奧數題：統籌規劃

（一）【試題】

1、燒水沏茶時，洗水壺要用1分鐘，燒開水要用10分鐘，洗茶壺要用2分鐘，洗茶杯用2分鐘，拿茶葉要用1分鐘，如何安排才能盡早喝上茶。

【分析】：先洗水壺 然后燒開水，在燒水的時候去洗茶壺、洗茶杯、拿茶葉。共需要1+10=11分鐘。

【試題】

2、有137噸貨物要從甲地運往乙地，大卡車的載重量是5噸，小卡車的載重量是2噸，大卡車與小卡車每車次的耗油量分別是10公升和5公升，問如何選派車輛才能使運輸耗油量最少？這時共需耗油多少升？

【分析】：依題意，大卡車每噸耗油量為10÷5=2(公升)；小卡車每噸耗油量為5÷2=2.5(公升)。為了節省汽油應盡量選派大卡車運貨，又由于

137=5×27+2，因此，最優調運方案是：選派27車次大卡車及1車次小卡車即可將貨物全部運完，且這時耗油量最少，只需用油

10×27+5×1=275(公升)

【試題】

3、用一只平底鍋烙餅，鍋上只能放兩個餅，烙熟餅的一面需要2分鐘，兩面共需4分鐘，現在需要烙熟三個餅，最少需要幾分鐘？

【分析】：一般的做法是先同時烙兩張餅，需要4分鐘，之后再烙第三張餅，還要用4分鐘，共需8分鐘，但我們注意到，在單獨烙第三張餅的時候，另外一個烙餅的位置是空的，這說明可能浪費了時間，怎么解決這個問題呢？

我們可以先烙第一、二兩張餅的第一面，2分鐘后，拿下第一張餅，放上第三張餅，并給第二張餅翻面，再過兩分鐘，第二張餅烙好了，這時取下第二張餅，并將第三張餅翻過來，同時把第一張餅未烙的一面放上。兩分鐘后，第一張和第三張餅也烙好了，整個過程用了6分鐘。

統籌規劃問題

（二）【試題】

4、甲、乙、丙、丁四人同時到一個小水龍頭處用水，甲洗拖布需要3分鐘，乙洗抹布需要2分鐘，丙用桶接水需要1分鐘，丁洗衣服需要10分鐘，怎樣安排四人的用水順序，才能使他們所花的總時間最少，并求出這個總時間。

【分析】：所花的總時間是指這四人各自所用時間與等待時間的總和，由于各自用水時間是固定的，所以只能想辦法減少等待的時間，即應該安排用水時間少的人先用。雅智教育 立德樹人 傳道解惑 啟發思維 成就英才

解：應按丙，乙，甲，丁順序用水。

丙等待時間為0，用水時間1分鐘，總計1分鐘

乙等待時間為丙用水時間1分鐘，乙用水時間2分鐘，總計3分鐘

甲等待時間為丙和乙用水時間3分鐘，甲用水時間3分鐘，總計6分鐘

丁等待時間為丙、乙和甲用水時間共6分鐘，丁用水時間10分鐘，總計16分鐘，總時間為1＋3＋6＋16＝26分鐘。

統籌規劃問題

（三）【試題】

5、甲、乙、丙、丁四個人過橋，分別需要1分鐘，2分鐘，5分鐘，10分鐘。因為天黑，必須借助于手電筒過橋，可是他們總共只有一個手電筒，并且橋的載重能力有限，最多只能承受兩個人的重量，也就是說，每次最多過兩個人。現在希望可以用最短的時間過橋，怎樣才能做到最短呢？你來幫他們安排一下吧。最短時間是多少分鐘呢？

【分析】：大家都很容易想到，讓甲、乙搭配，丙、丁搭配應該比較節省時間。而他們只有一個手電筒，每次又只能過兩個人，所以每次過橋后，還得有一個人返回送手電筒。為了節省時間，肯定是盡可能讓速度快的人承擔往返送手電筒的任務。那么就應該讓甲和乙先過橋，用時2分鐘，再由甲返回送手電筒，需要1分鐘，然后丙、丁搭配過橋，用時10分鐘。接下來乙返回，送手電筒，用時2分鐘，再和甲一起過橋，又用時2分鐘。所以花費的總時間為：2＋1＋10＋2＋2＝17分鐘。

解：2＋1＋10＋2＋2＝17分鐘

【試題】

6、小明騎在牛背上趕牛過河，共有甲乙丙丁四頭牛，甲牛過河需1分鐘，乙牛需2分鐘，丙牛需5分鐘，丁牛需6分鐘，每次只能騎一頭牛，趕一頭牛過河。

【分析】：要使過河時間最少，應抓住以下兩點：(1)同時過河的兩頭牛過河時間差要盡可能小(2)過河后應騎用時最少的牛回來。

解：小明騎在甲牛背上趕乙牛過河后，再騎甲牛返回，用時2＋1＝3分鐘

然后騎在丙牛背上趕丁牛過河后，再騎乙牛返回，用時6＋2＝8分鐘

最后騎在甲牛背上趕乙牛過河，不用返回，用時2分鐘。

總共用時(2＋1)＋(6＋2)＋2＝13分鐘。

第二篇：四年級奧數第十二講——簡單統籌規劃(教師用)

遠輝教育

遠輝教育奧數班第十二講

——簡單統籌規劃

主講人：楊老師

學生：四年級

電話：62379828

一、學習要點：

最優化概念反映了人類實踐活動中十分普遍的現象，即要在盡可能節省人力、物力和時間的前提下，努力爭取獲得在允許范圍內的最佳效益．因此，最優化問題成為現代應用數學的一個重要研究對象，它在生產、科學研究以及日常生活中都有廣泛的應用．作為數學愛好者，接觸一些簡單的實際問題，了解一些優化的思想是十分有益的．

二、典例剖析：

例1 媽媽讓小明給客人燒水沏茶．洗開水壺要用1分鐘，燒開水要用15分鐘．洗茶壺要用1分鐘，洗茶杯要用1分鐘，拿茶葉要用2分鐘．小明估算了一下，完成這些工作要20分鐘．為了使客人早點喝上茶，按你認為最合理的安排，多少分鐘就能沏茶了？

分析 本題取自華羅庚教授1965年發表的《統籌方法平話》．燒水沏茶的情況是：開水要燒，開水壺要洗，茶壺茶杯要洗，茶葉要取．怎樣安排工作程序最省時間呢？

辦法甲：洗好開水壺，灌上涼水，放在火上，在等待水開的時候，洗茶杯，拿茶葉，等水開了，沏茶喝．

辦法乙：先做好一切準備工作，洗開水壺，洗壺杯，拿茶葉，灌水燒水，坐等水開了沏茶喝．

辦法丙：洗開水壺，灌上涼水，放在火上坐待水開，開了之后急急忙忙找茶葉，洗壺杯，沏茶喝．

誰都能一眼看出第一種辦法好，因為后兩種辦法都“窩了工”．

開水壺不洗，不能燒開水，固為洗開水壺是燒開水的先決條件，沒開水、沒茶葉、不洗壺杯，我們不能沏茶，因而這些又是沏茶的先決條件．它們的相互關系可以用下圖的箭頭圖來顯示．

箭桿上的數字表示完成這一工作所需的時間，例如→表示從把水放在爐上到水開的時間是15分鐘．從圖上可以一眼看出，辦法甲總共要16分鐘，而辦法乙、丙需20分鐘．

洗壺杯、拿茶葉沒有什么先后關系，而且是由同一個人來做，因此可以將上圖合并成下圖．

解 先洗開水壺用1分鐘，接著燒開水用15分鐘，在等待水開的過程中，同時洗壺杯、拿茶葉，水開了就沏茶，總共用了16分鐘．又因為燒開水的15分鐘不能減少，燒水前必須用1分鐘洗開水壺，所以用16分鐘是最少的．

說明：本題涉及到的統籌方法，是生產、建設、工程和企業管理中合理安排工作的一種科學方法，它對于進行合理調度、加快工作進展，提高工作效率，保證工作質量是十分有效的．

例2 用一只平底鍋煎餅，每次能同時放兩個餅．如果煎1個餅需要2分鐘（假定正、反面各需1分鐘），問煎1993個餅至少需要幾分鐘？

分析 由于1993數目較大，直接入手不容易．我們不妨先從較小的數目來進行探索規律．

如果只煎1個餅，顯然需要2分鐘；

如果煎2個餅，仍然需要2分鐘；

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如果煎3個餅，初學者看來認為至少需要4分鐘：因為先煎2個餅要2分鐘；再單獨煎第3個餅，又需要2分，所以一共需要4分鐘．但是，這不是最佳方案．最優方法應該是：

首先煎第1號、第2號餅的正面用1分鐘；

其次煎第1號餅的反面及第3號餅的正面又用1分鐘；

最后煎第2號、第3號餅的反面再用1分鐘；這樣總共只用3分鐘就煎好了3個餅． 解：如果煎1993個餅，最優方案應該是：

煎第1、2、3號餅用“分析”中的方法只需要3分鐘；煎后面1990個餅時，每兩個餅需要2分鐘，分1990÷2=995（次）煎完，共需要2×995=1990（分鐘）；這樣總共需要3+1990=1993（分鐘）．

說明：通過本例可以看出，掌握優化的思想，合理統籌安排操作程序，就能夠節省時間，提高效率． 例3 5個人各拿一個水桶在自來水龍頭前等候打水，他們打水所需的時間分別是1分鐘、2分鐘、3分鐘、4分鐘和5分鐘．如果只有一個水龍頭，試問怎樣適當安排他們的打水順序，才能使每個人排隊和打水時間的總和最小？并求出最小值．

分析 5個人排隊一共有5×4×3×2×1=120種順序，把所有情形的時間總和都計算出來，就太繁瑣了．憑直覺，應該把打水時間少的人排在前面所費的總時間會省些．考慮用“逐步調整”法來嚴格求解． 解：首先證明要使所費總時間最省，應該把打水時間需1分鐘的人排在第一位置．

假如第一位置的人打水時間要a分鐘（其中2≤a≤5），而打水需1分鐘的人排在第b位（其中2≤b≤5）．我們將這兩個人位置交換，其他三人位置不變動．這樣調整以后第b位后面的人每人排隊打水所費的時間與調整前相同，并且前b個人每人打水所費時間也未受影響，但是第二位至第b位的人排隊等候的時間都減少了（a-1）分鐘，這說明調整后五個人排隊和打水時間的總和減少了．換言之，把打水需1分鐘的人排在第一位置所費總時間最省．

其次，根據同樣道理，再將打水需2分鐘的人調整到第二位置；將打水需3、4、5分鐘的人逐次調整到第三、四、五位．所以將五人按照打水所需時間由少到多的順序排隊，所費時間最省．這樣得出5人排隊和打水時間總和的最小值是

1×5+2×4+3×3+4×2+5×1=35（分鐘）．

說明：本題涉及到排序不等式，有興趣的讀者可參閱高年級的數學奧林匹克教材．排隊提水的問題，在其他一些場合也是會遇到的．例如，有一臺機床要加工n個工件，每個工件需要的加工時間不一樣，問應該按照什么次序加工，才能使總的等待時間最短．

例4 有157噸貨物要從甲地運往乙地，大卡車的載重量是5噸，小卡車的載重量是2噸，大卡車與小卡車每車次的耗油量分別是10公升與5公升．問如何選派車輛才能使運輸耗油量最少？這時共需用油多少公升？

解：依題意，大卡車每噸耗油量為10÷5=2（公升）；小卡車每噸耗油量為5÷2=2.5（公升）．為了節省汽油應盡量選派大卡車運貨，又由于

157=5×31+2，因此，最優調運方案是：選派31車次大卡車及1車次小卡車即可將貨物全部運完，且這時耗油量最少，只需用油

10×31+5×1=315（公升）

說明：本題是1960年上海市數學競賽試題．上述解法是最樸素的優化思想——選派每噸耗油量較少的卡車．下面用代數的知識來解題：

設選派大卡車a車次，小卡車b車次，依題意： 5a+2b=157，即10a=314-4b． 于是總耗油量為：

W=10a+5b=314=4b+5b=314+b．

顯然，當b越小時，W也越小．

又由5a+2b=157易知，b最小值是1，故W的最小值是314+1=315（公升）．若取b=0，則需派32車次大卡車，耗油量則需320公升．

例5 有十個村，坐落在從縣城出發的一條公路上（如下頁圖，距離單位是公里），要安裝水管，從縣城送自來水供給各村，可以用粗細兩種水管．粗管足夠供應所有各村用水，細管只能供一個村用水．粗管每公

遠輝教育

里要用8000元，細管每公里要用2000元．把粗管和細管適當搭配、互相連接，可以降低工程的總費用．按你認為最節約的辦法，費用應是多少？

分析 由題意可知，粗管每公里的費用恰好是細管每公里費用的4倍．因此，如果在同一段路上要安裝4根以上的細管，就應該用一根粗管來代替，便可降低工程的總費用．

解：假設從縣城到每個村子都各接一根細管（如上圖），那么在BA1、BA2、BA3、BA4、BA5、BA6之間各有10、9、8、7、6、5根細管，應該把B與A6之間都換裝粗管，工程的總費用將最低，這時的總費用是：

a=8000×（30+5+2+4+2+3）+2000×（2×4+2×3+2×2+5）

=414000（元）．

說明：容易驗證，從縣城B起鋪設粗管到A6或A7或者A6A7之間任何一個地點都是最節約的辦法，總費用仍是414000元．下面詳細論證其他安裝方案的總費用都大于a．

當粗管從縣城B鋪設到超過A7向A8移動一段路程d（0＜d≤2）公里時，粗管費用增加8000d（元），而細管費用僅減少

2000d×3=6000d（元）．

這時總費用比 a多2000d（元）．

當粗管從縣城B鋪設到超過A8向A9移動一段路程d（0＜d≤2）公里時，粗管費用增加

8000×（2+d）=16000+8000d（元），而細管增費用僅減少

2000×（2×3＋2d）=12000＋4000d（元）．

這時總費用比a多4000+4000d（元）．

當粗管從縣城B鋪設到超過A9向A10移動一段路程d（0＜d≤5）公里時，粗管費用增加

8000×（2+2+d）=32000+8000d（元）．

而細管費用僅減少

2000×（2×3+2×2+d）=20000+2000d（元）．

這時總費用比a多12000＋6000d（元）．

綜上所述，從縣城B鋪設粗管到超過A7點以東的任何地點的安裝總費用都大于a．

類似地，可以驗證從縣城鋪設粗管到A6點以西的任何地點的總費用也都大于a． 例6 有1993名少先隊員分散在一條公路上值勤宣傳交通法規，問完成任務后應該在公路的什么地點集合，可以使他們從各自的宣傳崗位沿公路走到集合地點的路程總和最小？ 分析 由于1993數目較大，不易解決．我們先從人數較小的情況入手．

當只有2個人時，設2人宣傳崗位分別為A1和A2（如上圖），顯然集合地點選在A1點或A2點或者A1A2之間的任何一個地點都可以．因為由A1、A2出發的人走過的路程總和都等于A1A2．

當有3個人時，則集合地點應該選在A2點（如右圖）．因為若集合地點選在A1A2之間的B點，那時3個人所走的路程總和是

A1B+A2B+A3B=（A1B+A3B）+A2B=A1A3+A2B；

若集合地點選在A2A3之間的C點，那時3個人所走的路程總和是：

A1C+A2C+A3C=（A1C+A3C）+A2C=A1A3+A2C；

而集合地點選在A2點時，3個人所走路程總和僅是A1A3．當然A1A3比A1A3+A2B及A1A3+A2C都小．

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當有4個人時，由于集合地點無論選在A1A4之間的任何位置，對A1、A4崗位上的人來說，這2人走的路程和都是A1A4（如下圖）．因此，集合地點的選取只影響A2、A3崗位上的人所走的路程，這就是說，問題轉化為“2個人站在A2和A3崗位的情形”．根據上面已討論的結論可知，集合地點應選在A2或A3或者A2A3之間任何地點．

當有5個人時，類似地可把問題轉化為“ 3個人站在A2、A3、A4崗位的情形”（如下圖）根據已討論的結論可知，集合地點應選在A3點．

依此遞推下去，我們就得到一個規律：

當有偶數（2n）個人時，集合地點應選在中間一段 AnAn+1之間的任何地點（包括An和An+1點）；

當有奇數（2n+1）個人時，集合地點應選在正中間崗位An+1點．

本題有1993=2×996+1（奇數）個人，因此集合地點應選在從某一端數起第997個崗位處．

說明：本題的解題思路值得掌握，那就是先從簡單的較少的人數入手，通過逐步遞推，探索一般規律，從而解決某些數字較大的問題．

模擬測試

1．媽媽殺好魚后，讓小明幫助燒魚．他洗魚、切魚、切姜片蔥花、洗鍋煎燒，各道工序共花了17分鐘（如下圖），請你設計一個順序，使花費的時間最少．

2．用一只平底鍋煎餅，每次能同時放兩個餅．如果煎一個餅需要4分鐘（假定正、反面各需2分鐘），問煎m個餅至少需要幾分鐘？

3．小明、小華、小強同時去衛生室找張大夫治病．小明打針要5分鐘．小華換紗布要3分鐘，小強點眼藥水要1分鐘．問張大夫如何安排治病次序，才能使他們耽誤上課的時間總和最少？并求出這個時間．

4．趙師傅要加工某項工程急需的5個零件，如果加工零件A、B、C、D、E所需時間分別是5分鐘、3分鐘、4分鐘、7分鐘、6分鐘．問應該按照什么次序加工，使工程各部件組裝所耽誤的時間總和最少？這個時間是多少？

5．某水池可以用甲、乙兩個水管注水，單放甲管需12小時注滿，單放乙管需24小時注滿．若要求10小時注滿水池，并且甲、乙兩管合放的時間盡可能地少，則甲、乙兩管合放最少需要多少小時？

6．山區有一個工廠．它的十個車間分散在一條環行的鐵道上．四列貨車在鐵道上轉圈，貨車到了某一車間，就要有裝卸工裝上或卸下貨物．當然，裝卸工可以固定在車間等車（各車間所需裝卸工人數如圖所示）；也可以坐在貨車到各車間去；也可以一部分裝卸工固定在車間，另一部分坐車．問怎樣安排才能使裝卸工的總人數最少？最少需多少名工人？

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答案：

1．12分鐘．

2．若m＝1時，至少需要4分；

若m≥2時，至少需要2m分鐘．

3．按小強、小華、小明的順序安排，耽誤上課的時間總和為：

1×3+3×2+5=14（分鐘）．

4．按B、C、A、E、D的順序加工，耽誤時間總和最少為：

3×5+4×4+5×3+6×2+7=65（分鐘）．

6．46×4+4+2+6+11=207（人）．

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附加：速算與巧算

（1）678?(354?322)

（4）2904?1327?173

（7）235?99

（10）222222?999999

（11）399999?39999?3999?399?39?3

（12）20?19?18?17???4?3?2?1

（13）8888?125

(14)345345?15015

（2）283?147?17?1653

（3）384?(37?184)

（5）653?197

（6）125?17?125

（8）(1300?520)?13

（9）67?21?18?21?85?79

第三篇：小學奧數統籌規劃題庫教師版.

8-4統籌規劃

知識點說明：

統籌學是一門數學學科，但它在許多的領域都在使用，在生活中有很多事情要去做時，科學的安排好先后順序，能夠提高我們的工作效率．我國著名數學家華羅庚教授生前十分重視數學的應用，并親自帶領小分隊推廣優選法、統籌法，使數學直接為國民經濟發展服務，他在中學語文課本中，曾有一篇名為《統籌原理》的文章詳，細介紹了統籌方法和指導意義．運籌學是利用數學來研究人力、物力的運用和籌劃，使它們能發揮最大效率的科學。它包含的內容非常廣泛，例如物資調運、場地設置、工作分配、排隊、對策、實驗最優等等，每類問題都有特定的解法。運籌學作為一門科學，要運用各種初等的和高等的數學知識及方法，但是其中分析問題的某些樸素的思想方法，如高效率優先的原則、調整比較的思想、嘗試探索的方法等，都是我們小學生能夠掌握的。這些來源于生活實際的問題，正是啟發同學們學數學、用數學最好的思維鍛煉題目。

本講主要講統籌安排問題、排隊問題、最短路線問題、場地設置問題等。這些都是人們日常生活、工作中經常碰到的問題，怎樣才能把它們安排得更合理，多快好省地辦事，就是這講涉及的問題。“節省跑空車的距離”是物資調運問題的一個原則。“發生對流的調運方案”不可能是最優方案。

“小往大靠，支往干靠”。

板塊

一、合理安排時間

【例 1】 一只平底鍋上最多只能煎兩張餅，用它煎1張餅需要2分鐘(正面、反面各1分鐘)．問：煎3張餅需幾分鐘？怎樣煎？

【解析】 因為這只平底鍋上可煎兩只餅，如果只煎1個餅，顯然需要2分鐘；如果煎2個餅，仍然需要2分鐘；如果煎3個餅，所以容易想到：先把兩餅一起煎，需2分鐘；再煎第3只，仍需2分鐘，共需4分鐘，但這不是最省時間的辦法．最優方法應該是：首先煎第1號、第2號餅的正面用1分鐘；其次煎第1號餅的反面及第3號餅的正面又用1分鐘；最后煎第2號、第3號餅的反面再用1分鐘；這樣總共只用3分鐘就煎好了3個餅．(因為每只餅都有正反兩面，3只餅共6面，1分鐘可煎2面，煎6面只需3鐘．)

【鞏固】(2000年《小學生數學報》數學邀請賽)烙餅需要烙它的正、反面，如果烙熟一塊餅的正、反面，各用去3分鐘，那么用一次可容下2塊餅的鍋來烙21塊餅，至少需要多少分鐘？

【解析】 先將兩塊餅同時放人鍋內一起烙，3分鐘后兩塊餅都熟了一面，這時取出一塊，第二塊翻個身，再放人第三塊，又烙了3分鐘，第二塊已烙熟取出，第三塊翻個身，再將第一塊放入烙另一面，再烙3分鐘，鍋內的兩塊餅均已烙熟．這樣烙3塊餅，用去9分鐘，所以烙21塊餅，至少用21?3?9?63(分鐘)．

【鞏固】 一只平底鍋上最多只能煎兩張餅，用它煎1張餅需要2分鐘(正面、反面各1分鐘)．問：煎2009張餅需幾分鐘？

【解析】 我們歸納出煎1、2、3個餅分別需要2、2、3分鐘，我們可以繼續往下分析，煎4個餅最少需要4分鐘，煎5個餅需要3?2?5分鐘，煎6個餅需要6?2?2?6分鐘，煎7個餅需要3?4?2?2?7分鐘，那么煎2009個餅至少需要2009分鐘．

【例 2】 星期天媽媽要做好多事情。擦玻璃要20分鐘，收拾廚房要15分鐘，洗臟衣服的領子、袖口要10分鐘，打開全自動洗衣機洗衣服要40分鐘，晾衣服要10分鐘。媽媽干完所有這些事情最少

用多長時間？

【解析】 如果按照題目告訴的幾件事，一件一件去做，要95分鐘。要想節約時間，就要想想在哪段時間里閑著，能否利用閑著的時間做其它事。最合理的安排是：先洗臟衣服的領子和袖口，接著打開全自動洗衣機洗衣服，在洗衣服的40分鐘內擦玻璃和收拾廚房，最后晾衣服，共需60分鐘（見下圖）。

【鞏固】 小明在家的一面墻上貼獎狀，一共有32張，給一張獎狀涂滿膠水需要2分鐘，涂完膠水后要過2分鐘才能往墻上貼，貼的過程需要1分鐘，但是如果等待超過6分鐘的話膠水就會干掉不能再貼，問：小明最快用多長時間能貼完所有的獎狀？

【解析】 用最短時間貼完所有的獎狀就相當于問如何最節省時間，這道題目應該從反面來考慮：時間如果浪費了，會浪費在等待上，也就是說如果不想浪費時間，我們最需要做的就是不能等待．那么可以試驗一下，當第一張獎狀涂完的時候，這時候不能貼也不能等那么就只能繼續涂下一張，等第二張涂完了就可以繼續貼，但是這樣下去到了最后一張的時候還是需要等待膠水可以粘貼的一段時間．

那么繼續試驗先涂第一張A然后涂B，然后涂C，這時候A等待了4分鐘馬上貼上，再涂一張D馬上貼上已經等待了5分鐘的B，再涂一張E貼上已經等待6分鐘的C(題目中說等待超過6分鐘就不可以，那么等于六分鐘應是可以的)這樣一直下去，會使每一張獎狀花費的時間就只有涂的2分鐘和貼的1分鐘，那么總時間是96分鐘．

【例 3】 小明騎在牛背上趕牛過河．共有甲、乙、丙、丁4頭牛．甲牛過河需要1分鐘，乙牛過河需要2分鐘，丙牛過河需要5分鐘，丁牛過河需要6分鐘．每次只能趕兩頭牛過河，那么小明要把這4頭牛都趕到對岸，最小要用多少分鐘？

【解析】 要想用最少的時間，4頭牛都能過河，保證時間最短：

第一步：甲與乙一起過河，并由小明騎甲牛返回，共用：2?1?3(分鐘)；

第二步：返回原地的小明再騎丙與丁過河后再騎乙牛返回，共用了6?2?8(分鐘)； 第三步：最后小明騎甲與乙一起過河用了2分鐘；

所以，小明要把這4頭牛都趕到對岸，最小要用3?8?2?13(分鐘)．

【例 4】 有四個人在晚上準備通過一座搖搖欲墜的小橋．此橋每次只能讓2個人同時通過，否則橋會倒塌．過橋的人必須要用到手電筒，不然會一腳踏空．只有一個手電筒．4個人的行走速度不同：小強用1分種就可以過橋，中強要2分中，大強要5分中，最慢的太強需要10分中．17分鐘后橋就要倒塌了．請問：4個人要用什么方法才能全部安全過橋？

【解析】 小強和中強先過橋，用2分鐘；再用小強把電筒送過去，用1分鐘，現在由大強跟太強一起過橋，用10分鐘，過去以后叫中強把電筒送給小強用2分鐘，最后小強與中強一起過河再用2分鐘，他們一起用時間：2?1?10?2?2?17(分鐘)，正好在橋倒塌的時候全部過河．(時間最短過河的原則是：時間長的一起過，時間短的來回過．這樣保證總的時間是最短的)．

【例 5】 有一家五口人要在夜晚過一座獨木橋．他們家里的老爺爺行動非常不便，過橋需要12分鐘；孩子們的父親貪吃且不愛運動，體重嚴重超標，過河需要時間也較長，8分鐘；母親則一直堅持勞作，動作還算敏捷，過橋要6分鐘；兩個孩子中姐姐需要3分鐘，弟弟只要1分鐘．當時正是初一夜晚又是陰天，不要說月亮，連一點星光都沒有，真所謂伸手不見五指．所幸的是他們有一盞油燈，同時可以有兩個人借助燈光過橋．但要命的燈油將盡，這盞燈只能再維持30分鐘了！他們焦急萬分，該怎樣過橋呢？

【解析】 首先姐姐跟弟弟一起過，用時3分鐘，姐姐再回去送油燈，用時3分鐘，老爺爺跟爸爸一起過河，用時12分鐘，弟弟將燈送回去，用時1分鐘，弟弟和母親一起過，用時6分鐘，弟弟送燈過河，用時1分鐘，最后與姐姐一起過河，用時3分鐘．一共用時：3?3?12?1?6?1?3?29(分鐘)．最后能夠安全全部過河．

【鞏固】(迎春杯試題)小強、小明、小紅和小蓉4個小朋友效游回家時天色已晚，他們來到一條河的東岸，要通過一座小木橋到西岸，但是他們4個人只有一個手電筒，由于橋的承重量小，每次只能過2人，因此必須先由2個人拿著手電筒過橋，并由1個人再將手電筒送回，再由2個人拿著手電筒過橋……直到4人都通過小木橋．已知，小強單獨過橋要1分鐘；小明單獨過橋要1.5分鐘；小紅單獨過橋要2分鐘；小蓉單獨過橋要2.5分鐘．那么，4個人都通過小木橋，最少要多少分鐘？

【解析】 方法一：要想用最少的時間，4人都通過小木橋，可采用讓過橋最快的小強往返走，將手電筒送

回，這樣就能保證時間最短了．

第一步：小強與小明一起過橋，并由小強帶手電筒返回，共用：1.5?1?2.5(分鐘)； 第二步：返回原地的小強與小紅過橋后再返回，共用了2?1?3(分鐘)； 第三步：最后小強與小蓉一起過橋用了2.5分鐘；

所以，4個人都通過小木橋，最少用2.5?3?2.5?8(分鐘)．

方法二：要想用最少的時間，4人都能過橋，保證時間最短還可以：

第一步：小強與小明一起過橋，并由小強帶手電筒返回，共用：1.5?1?2.5(分鐘)； 第二步：返回原地的小紅與小蓉過橋后再由小明帶手電返回，共用了2.5?1.5?4(分鐘)； 第三步：最后小強與小小明一起過橋用了1.5分鐘；

所以，4個人都通過小木橋，最少用2.5?4?1.5?8(分鐘)．

【例 6】 有甲、乙兩個水龍頭，6個人各拿一只水桶到水龍頭接水，水龍頭注滿6個人的水桶所需時間分別是5分鐘、4分鐘、3分鐘、10分鐘、7分鐘、6分鐘．怎么安排這6個人打水，才能使他們等候的總時間最短，最短的時間是多少？

【解析】 一人打水時，其他人需等待，為使總的等待時間盡量短，應讓打水所需時間少的人先打．安排需3分鐘的，然后5分鐘的，最后7分鐘的在甲水龍頭打；安排需4分鐘的，然后6分鐘的，最后10分鐘的在乙水龍頭打；在甲水龍頭3分鐘的人打時，有2人等待，占用三人的時間和為(3?3)分；然后，需 5分鐘的人打水，有1人等待，占用兩人的時間和為(5?2)分；最后，需7分鐘的人打水，無人等待．甲水龍頭打水的三個人，共用(3?3?5?2?7)分，乙水龍頭的三人，共用(4?3?6?2?10)分．總的占用時間為(分)．

【鞏固】 6個人各拿一只水桶到水龍頭接水，水龍頭注滿6個人的水桶所需時間分別是5分鐘、4分鐘、3分鐘、10分鐘、7分鐘、6分鐘．現在只有這一個水龍頭可用，問怎樣安排這6人的打水次序，可使他們總的等候時間最短？這個最短時間是多少？

【解析】 第一個人接水時，包括他本人在內，共有6個人等候，第二個人接水時，有5個人等候；??第6個人接水時，只有他1個人等候．可見，等候的人越多(一開始時)，接水時間應當越短，這樣總的等候時間才會最少，因此，應當把接水時間按從少到多順序排列等候接水，這個最短時間是3?6?4?5?5?4?6?3?7?2?10?100(分)．

【鞏固】 理發室里有甲、乙兩位理發師，同時來了五位顧客，根據他們所要理的發型，分別需要10、12、15、20和24分鐘，怎樣安排他們理發的順序，才能使這五人理發和等候所用時間的總和最少？最少時間為多少？

【解析】 一人理發時，其他人需等待，為使總的等待時間盡量短，應讓理發所需時間少的人先理．甲先給需10分鐘的人理發，然后15分鐘的，最后24分鐘的；乙先給需12分鐘的人理發，然后20分鐘的，甲給需10分鐘的人理發時，有2人等待，占用三人的時間和為(10?3)分；然后，甲給需 15分鐘的人理發，有1人等待，占用兩人的時間和為(15?2)分；最后，甲給需 24分鐘的人理發，無人等待．甲理發的三個人，共用(10?3?15?2?24)分，乙理發的兩個人，共用(12?2?20)

分．總的占用時間為（10?3?15?2?24）?（12?2?20）?128(分)．

【例 7】(101培訓試題)車間里有五臺車床同時出現故障，已知第一臺到第五臺修復時間依次為18，30，17，25，20分鐘，每臺車床停產一分鐘造成經濟損失5元．現有兩名工作效率相同的修理工，⑴ 怎樣安排才能使得經濟損失最少？⑵ 怎樣安排才能使從開始維修到維修結束歷時最短？

【解析】 ⑴ 一人修17、20、30，另一人修18、25 ；最少的經濟損失為：5?（17?3?20?2?30?18?2?25）?910(元)． ⑵ 因為（18?30?17?25?20）?2?55(分)，經過組合，一人修需18，17和20分鐘的三臺，另一人修需30和25分鐘的兩臺，修復時間最短，為55分鐘．

【例 8】(三帆中學入學考試試題)設有十個人各拿著一只提桶同時到水龍頭前打水，設水龍頭注滿第一個人的桶需要1分鐘，注滿第二個人的桶需要2分鐘，……．如此下去，當只有兩個水龍頭時，如何巧妙安排這十個人打水，使他們總的費時時間最少？最少的時間是多少？

【解析】 要想總的時間最少，應該安排打水時間少的人先來打水，下面給出排隊方式：

顯然計算總時間時，1、2計算了5次，3、4計算了4次，5、6計算了3次，7、8計算了2次，9、10計算了1次．所以有最短時間為（1?2）?5?（3?4）?4?（5?6）?3?（7?8）?2?（9?10）?1?125分鐘．

【例 9】(小學數學報試題)右圖是一張道路示意圖，每段路上的數字表示小明走這段路所需要的時間(單位：分)．小明從A到B最快要幾分鐘？

G65E4503F3H7646BDCA14

【解析】 我們采用分析排除法，將道路圖逐步簡化．從A到O有兩條路，A→C→O用6分鐘，A→F→O用7分鐘，排除后者，可將FO抹去，但AF不能抹去，因為從A到B還有其它路線經過AF，簡化為圖⑴．從A到E還剩兩條路，A→C→G→E用12分鐘，A→C→O→E用10分鐘，排除前者，可將CG，GE抹去，簡化為圖⑵．從A到D還剩兩條路，A→C→O→D用12分鐘，A→H→D用13分鐘，排除后者，可將AH，HD抹去，簡化為圖⑶．從A到B還剩兩條路，A→C→O→E→B用17分鐘，A→C→O→D→B用16分鐘，排除前者，可將OE，EB抹去，簡化為圖⑷． 小明按A→C→O→D→B走最快，用16分鐘．

5E6CA1574O67F（1）46HBDCA1E74O67F46H（2）BDCA15E746O4GBDCA15O64BD（3）

⑴

⑵

⑶

⑷

【鞏固】(十一學校考題)下圖為某三岔路交通環島的簡化模型，在某高峰時段，單位時間進出路口A，（4）

B，C的機動車輛數如圖所示，圖中x1，x2，x3分別表示該時段單位時間通過路段AB，BC，CA的機動車輛數(假設：單位時間內，在上述路段中，同一路段上駛入與駛出的車輛數相等)，問：x1，x2，x3的大小關系．

5055X3X12030X23035

【解析】 x1?x3?55?50?x3?5，x2?x1?20?30?x1?10，x3?x2?35?30?x2?5，所以x2?x3?x1

【例 10】 某人從住地外出有兩種方案，一種是騎自行車去，另一種是乘公共汽車去.顯然公共汽車的速度比自行車速度快，但乘公共汽車有一個等候時間(候車時間可以看成是固定不變的)，在任何情況下，他總是采用時間最少的最佳方案.下表表示他到達A、B、C三地采用最佳方案所需要的時間.為了到達離住地8千米的地方，他需要花多少時間？并簡述理由.【解析】 顯然A、B兩地所需時間與路程不成比例，所以不可能為A、B兩地均為騎自行車．

①．如果A、B兩地均采用公共汽車，那么到達B地比A地多1千米，多用15.5－12＝3.5分鐘，即公共汽車行1千米需3.5分鐘，則等候時間為12－2×3.5＝5分鐘．

當達到A、B兩個較短的路程都采用公共汽車，那么到達C地采用的方式一定也是公共汽車，于是所需時間為4×3.5+5＝19分鐘，與題中條件不符，所以開始假設不成立；

②．所以只能是到達A采用自行車，到達B采用公共汽車，則C地采用的也是公共汽車．

由C地比B地多1千米，多18－15.5＝2.5分鐘，那么行3千米所需時間為3×2.5＝7.5分鐘，等候時間為15.5－7.5＝8分鐘．那么行至8千米的路程及等候時間為8×2.5+8＝28分鐘．

板塊

二、合理安排地點

【例 11】 如圖，在街道上有A、B、C、D、E、F六棟居民樓，現在設立一個公交站，要想使居民到達車站的距離之和最短，車站應該設在何處？

ABCDEF

【解析】 找最中間的那棟樓，可這時最中間的樓有兩個，這該怎么辦呢？其實經過研究發現，建在這兩個樓都一樣，路程和最短，所以可以建在C或D ．如果我們只要求建在這條道路上的一點即可，那么CD之間及點C、D均可．

【鞏固】 如圖，在街道上有A、B、C、D、E五棟居民樓，為使五棟樓的居民到車站的距離之和最短，車站應立于何處？

ABCDE

【解析】 條件中只有五個樓的名字和排列順序，樓與樓的距離也不確定．那么我們先來分析一下A、E兩個點，不論這個車站放在AE之間的那一點，A到車站的距離加上E到車站的距離就是AE的長

度，也就是說車站放在哪兒不會影響這兩個點到車站的距離之和；那么我們就使其他的3個點到車站的距離之和最短，再看為了使B、D兩個到車站的距離之和小，應把車站放在BD之間．同理，只要是在BD之間，B、D到車站的距離之和也是不變的，等于BD．最后，只需要考慮C點到車站的距離最近就行了．那么當然也就是把車站放在C點了．這里就體現了一個“向中心靠攏的思想”．

【鞏固】 有1993名少先隊員分散在一條公路上值勤宣傳交通法規，問完成任務后應該在公路的什么地點集合，可以使他們從各自的宣傳崗位沿公路走到集合地點的路程總和最小？

【解析】 由于1993數目較大，不易解決．我們先從人數較小的情況入手．

當只有2個人時，設2人宣傳崗位分別為A1和A2（如上圖），顯然集合地點選在A1點或A2點或者A1A2之間的任何一個地點都可以．因為由A1、A2出發的人走過的路程總和都等于A1A2．

當有3個人時，則集合地點應該選在A2點（如上圖）．因為若集合地點選在A1A2之間的B點，那時3個人所走的路程總和是A1B+A2B+A3B=（A1B+A3B）+A2B=A1A3+A2B；

若集合地點選在A2A3之間的C點，那時3個人所走的路程總和是：A1C+A2C+A3C=（A1C+A3C）+A2C=A1A3+A2C；而集合地點選在A2點時，3個人所走路程總和僅是A1A3．當然A1A3比A1A3+A2B及A1A3+A2C都小．

當有4個人時，由于集合地點無論選在A1A4之間的任何位置，對A1、A4崗位上的人來說，這2人走的路程和都是A1A4（如上圖）．因此，集合地點的選取只影響A2、A3崗位上的人所走的路程，這就是說，問題轉化為“2個人站在A2和A3崗位的情形”．根據上面已討論的結論可知，集合地點應選在A2或A3或者A2A3之間任何地點．

當有5個人時，類似地可把問題轉化為“ 3個人站在A2、A3、A4崗位的情形”（如下圖）根據已討論的結論可知，集合地點應選在A3點．

依此遞推下去，我們就得到一個規律： 當有偶數（2n）個人時，集合地點應選在中間一段 AnAn+1之間的任何地點（包括An和An+1點）； 當有奇數（2n+1）個人時，集合地點應選在正中間崗位An+1點．

本題有1993=2×996+1（奇數）個人，因此集合地點應選在從某一端數起第997個崗位處．

【例 12】 如圖，在街道上有A、B、C、D、E五棟居民樓，每棟樓里每天都有20個人要坐車，現在設立一個公交站，要想使居民到達車站的距離之和最短，應該設在何處？

【解析】 如果不考慮樓里坐車的人數，應該把車站放在C點．因為每棟樓的人數相同所以數量不影響選

擇，所以答案不影響，應該把車站放在C點．

【例 13】 在一條公路上每隔100千米，有一個倉庫(如圖)共有5個倉庫，一號倉庫存有10噸貨物，二號倉庫有20噸貨物，五號倉庫存有40噸貨物，其余兩個倉庫是空的．現在想把所以的貨物集中存放在一個倉庫里，如果每噸貨物運輸1公里需要0.5元運輸費，那么最少要多少運費才行？ ABCDE

一二三四五10噸40噸20噸

【解析】 做此類問題時我們都可以根據“小往大處靠”的原則進行判斷，觀察可知五號倉的最大，所以先把一號倉庫的10噸貨物往五號方向靠攏，先集中到二號倉庫，那么現在二號倉庫中就有30噸貨物了．再根據“小往大處靠”的原則，那么這30噸貨物應該集中到五號倉庫中． 所以所需的費用是：共需要：10?0.5?100?500(元)，30?0.5?300?4500(元)，500?4500?5000(元)．

【鞏固】(人大附中分班考試題)在一條公路上，每隔10千米有一座倉庫(如圖)，共有五座，圖中數字表示各倉庫庫存貨物的重量．現在要把所有的貨物集中存放在一個倉庫里，如果每噸貨物運輸1千米需要運費0.9元，那么集中到哪個倉庫運費最少？

10噸A30噸B20噸C10噸D60噸E

【解析】 這道題可以用“小往大處靠”的原則來解決．E點60噸，存的貨物最多，那么先處理小勢力，A往E那個方向集中，集中到B，B變成40噸，判斷仍是E的勢力最大，所以繼續向E方向集中，B點集中到C點，C點變成60噸．此時C點和E點都是60噸，那么C、E誰看成大勢力都可以．例如把E點集中到D點，D點是70噸．所以C點也要集中到D點．確定了集中地點，運輸費用也就容易求了．運費最少為：（10?30?30?20?20?10?60?10）?0.9?1530(元)．

【例 14】 在一條公路上，每隔100千米有一座倉庫，共有8座，圖中數字表示各倉庫庫存貨物的重量(單位：噸)，其中C、G為空倉庫．現在要把所有的貨物集中存入一個倉庫里，如果每噸貨物運輸1千米需要0.5元，那么集中到那個倉庫中運費最少，需要多少元運費？

A10B30CD20E5F10GH60

【解析】 根據這道題可以用“小往大處靠”的原則來解決．H點60噸，存的貨物最多，那么先處理小勢力，A往H那個方向集中，集中到B，B變成40噸，判斷仍是H的勢力最大，所以繼續向H方向集中，B點集中到D點，D點變成60噸．此時D點和H點都是60噸，那么D、H誰看成大勢力都可以．例如把H點集中到F點，F點是70噸．把D點集中到E點，E點是65噸所以E點也要集中到F點．確定了集中地點為F點，運輸費用也就容易求了．運費最少為：（10?500?30?400?20?200?5?100?60?200）?0.5?16750(元)．

【鞏固】(04年我愛數學夏令營試題)一條直街上有5棟樓，從左到右編號為1，2，3，4，5，相鄰兩樓的距離都是50米．第1號樓有1名職工在A廠上班，第2號樓有2名職工在A廠上班……，第5號樓有5名職工在A廠上班．A廠計劃在直街上建一通勤車站接送這5棟樓的職工上下班，為使這些職工到通勤車站所走的路程之和最小，車站應建在距1號樓多少米處？

【解析】 如圖所示，“小往大處靠”的原則來解決，故應建在4號樓的位置，距1號樓150米處．

12345

［小結］對于集中貨物的問題，涉及到了重量，而集中到何處起決定作用的是貨物的重量，而至于距離，僅僅只是為了計算所以對于這類問題老師要強調“小往大處靠”的原則．

【例 15】(奧數網習題庫)右圖是A，B，C，D，E五個村之間的道路示意圖，○中數字是各村要上學的學生人數，道路上的數表示兩村之間的距離(單位：千米)．現在要在五村之中選一個村建立一所小學．為使所有學生到學校的總距離最短，試確定最合理的方案．

A402B20320C435D550E

【解析】 “小往大處靠”的原則來解決，A點向C點集中，因為根據“小往大處靠”的原則，雖然A點40人比C點20人多，但是人最多的點是E點，所以大方向是向E點的方向靠攏．那么B點當然也要向C點靠攏．C點就有80人了．此時人數最多的點變成了C點了．D、E又變成小勢力了，因此還是“小往大處靠”的原則，看大方向，E點要向D點靠攏．此時D點變成85人了．那么D點比此時C點的80人多了．C點又變成小勢力了．所以最終要集中在D點．也就是學校要設在D點．

【鞏固】(三帆中學分班考試題)有七個村莊A1，A2，?，A7分布在公路兩側(見右圖)，由一些小路與公路相連，要在公路上設一個汽車站，要使汽車站到各村莊的距離和最小，車站應設在哪里？

A1CBA2A3A4A5DEA7A6F公路

【解析】 本題可簡化為“B，C，D，E，F處分別站著1，1，2，2，1個人(見右圖)，求一點，使所有人走到這一點的距離和最小”．顯然D、E最大，靠攏完的結果變成了D?4，E?3，所以車站設在D點．

【例 16】(奧數網習題庫)某鄉共有六塊麥地，每塊麥地的產量如右圖．試問麥場設在何處最好？(運輸總量的千克千米數越小越好．)

3000千克F2000千克EAG6000千克4000千克BD5000千克C1000千克

【解析】 依據“小往大靠”，“支往干靠”．我們不妨以F-E-C-D為干，顯然麥場設在C點．當然你以其他路經為干，都會的到同樣結果．譬如：若以F-E-C-A為干，那么依據“支往干靠”，D就靠到C，B移到G，當作“干”上一成員．

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三、合理布線和調運

【例 17】 新建的自來水廠要給沿公路的十個村莊供應自來水(如下圖，距離單位為千米)，要安裝水管有粗細兩種選擇，粗管足夠供應所有村莊使用，細管只能供一個村用水，粗管每千米要用8000元，細管每千米要2000元，如果粗細管適當搭配，互相連接，可以降低費用，怎樣安排才能使這項工程費用最低？費用是多少元？

自來水廠30A5B2C4D2E3F2G2H2I5J

【解析】 由于細管相對于粗管來講，價錢要少一些，因此先假設都用細管．那么從自來水廠到J村要鋪設10根細管，自來水廠到I村要鋪設9根細管，依次下去，我們用圖表示鋪細管的情況．因為粗管

是細管價格的4倍，如果用細管代替粗管重疊數超過4條費用更大，僅在3條或3條以下才會節約，而細管只能供應一村用水，所以粗管從水廠一直接到G村為止，再用三條細管連接H、I、J三個村，這樣費用最低，總費用：8000?（30?5?2?4?2?3?2）?2000?（2?3?2?2?5）?414000(元)．

【例 18】(奧數網習題庫)有十個村莊，座落在從縣城出發的一條公路上，現要安裝水管，從縣城供各村自來水．可以用粗、細兩種水管，粗管每千米7000元，細管每千米2000元．粗管足夠供應所有各村用水，細管只能供應一個村用水，各村與縣城間距離如右圖所示(圖中單位是千米)，現要求按最節約的方法鋪設，總費用是多少？

30縣城A1524232225A10

A2A3A4A5A6A7AA89【解析】 由于細管相對于粗管來講，價錢要少一些，因此先假設都用細管．那么從縣城到A1村要鋪設10根細管，A1村到A2村要鋪設9根細管，依次下去，我們用圖表示鋪細管的情況．

因為粗管每千米7000元，細管每千米2000元，所以4根細管的價錢將大于1根粗管的價錢．這樣一來，凡是超過3根細管的路段，都應改鋪粗管． 因此，從縣城到A7村鋪1根粗管，A7村到A8村鋪3根細管，A8村到A9村鋪2根細管，A9村到A10村鋪1根細管．總費用為： 7000?（30?5?2?4?2?3?2）?2000?（2?3?2?2?5?1）?36600(元)．

【例 19】 北京、洛陽分別有11臺和5臺完全相同的機器，準備給杭州7臺、西安9臺，每臺機器的運費如右表，如何調運能使總運費最省？

運費/元到站發站北京洛陽杭州800700西安1000600

【解析】 方法一：由表中看出，北京到杭州的運費比到西安便宜，而洛陽正相反，到西安的運費比到杭州便宜．所以，北京的機器應盡量運往杭州，洛陽的機器應盡量運往西安．最佳的調運方案為：北京發往杭州7臺，發往西安4臺，洛陽發往西安5臺．總運費為800?7?1000?4?600?5?12600(元)．

方法二：本題也可以采用下面的代數方法解決，設北京調運杭州x臺，調運西安(11?x)臺，則洛陽應調運杭州(7?x)臺，調運西安9?（11?x）?x?2(臺)，總運費W?800x?1000（11?x）?700（7?x）?600（x?2）?800x?11000?1000x?4900

因為要使總運費14700?300x最小，需要300x最大． ?700x?600x?1200?14700?300x，由于x是北京調運杭州的臺數，且x≤7，所以當x?7時，總運費W?14700?300?7?12600(元)最小．由x?7可知，北京調運杭州7臺，調運西安4臺，洛陽調運杭州0臺，調運西安5臺．

【鞏固】 北京、上海分別有10臺和6臺完全相同的機器，準備給武漢11臺，西安5臺，每臺機器的運費如右表，如何調運能使總運費最省？

運費/元到站發站北京上海武漢500700西安6001000

【解析】 與例題不同的是，北京、上海到西安的運費都比到武漢的高，沒有出現一高一低的情況．此時，可以通過比較運輸中的差價大小來決定最佳方案． ⑴ 上表中第一行的差價為600?500?100(元)，第二行的差價為1000?700?300(元)．說明從北京給西安多發1臺機器要多付運費100元，而從上海給西安多發1臺機器要多付運費300元．所

以應盡量把北京的產品運往西安，而西安只要5臺，于是可知北京調往西安5臺，其余5臺調往武漢，上海6臺全部調往武漢，總運費為：600?5?500?5?700?6?9700(元)．

⑵ 如果改為看表中的列，那么由于第一列的差價為700?500?200(元)，第二列差價為(元)，所以武漢需要的機器應盡量從上海調運，而上海只有6臺，不足的部1000?600?400分由北京調運．這個結論同前面得到的相同．

【例 20】 北京和上海同時制成了電子計算機若干臺，除了供應本地外，北京可以支援外地10臺，上海可以支持外地4臺．現決定給重慶8臺，漢口6臺，若每臺計算機的運費如右表，上海和北京制造的機器完全相同，應該怎樣調運，才能使總的運費最省？最省的運費是多少？

運費/元到站發站北京上海漢口43重慶85

【解析】 方法一：本題中雖然上海到漢口的運費最少，只有3百元，但是上海到漢口比北京到漢口只節省

(4?3?)1百元，相比之下，上海到重慶比北京到重慶要節省(8?5?)3百元．所以重慶所需臺數應由上海盡量滿足，即上海的4臺全部調運重慶，北京再補給重慶4臺，漢口的6臺從北京調運．總運費為：5?4?8?4?4?6?76(百元)

方法二：本題也可以采用下面的代數方法解決，設北京調運漢口x臺，調運重慶(10?x)臺，則上海應調運漢口(6?x)臺，調運重慶4?（6?x）?x?2(臺)，總運費W?4x?（810?x）?（36?x）?（5x?2）?4x?80?8x?18?3x?5x?10?88?2x，因為要使總運費88?2x最小，需要2x最大．由于x是北京調運漢口的臺數，且x?6，所以當x?6時，總運費W?88?2?6?76(百元)最小．由x?6可知，北京調運漢口6臺，調運重慶4臺，上海調運漢口0臺，調運重慶4臺．

【例 21】 北倉庫有貨物35噸，南倉庫有貨物25噸，需要運到甲、乙、丙三個工廠中去．其中甲工廠需要28噸，乙工廠需要12噸，丙工廠需要20噸．兩個倉庫與各工廠之間的距離如圖所示(單位：公里)．已知運輸每噸貨物1公里的費用是1元，那么將貨物按要求運入各工廠的最小費用是多少元？

北倉庫10甲86乙5南倉庫1612丙

【解析】 通過分析將題目給的圖形先轉化為下圖⑴，我們仍可以通過差價的大小來決定最佳方案．觀察上表各列兩數之差，最大的是第三列16?12?4，因此北倉庫的貨物盡可能的供應丙工廠，即北倉庫供應丙20噸．在剩下的兩列中，第一列的差大于第二列的差，所以南倉庫的貨物盡可能的供應甲工廠，即南倉庫供應甲25噸．因為南倉庫貨物分配完，其余的甲需要的28?25?3(噸)由北倉庫供應，即北倉庫供給丙后剩下的15噸貨物3噸給甲15?3?12(噸)給乙，相應的運費為：3?10?12?6?20?12?25?8?542(元)．

運費/元到站發站北倉庫南倉庫甲108乙65丙1216運費/元到站發站北倉庫35噸南倉庫25噸甲325乙12丙20

⑴ ⑵

【例 22】 A、B兩個糧店分別有70噸和60噸大米，甲、乙、丙三個居民點分別需要30噸、40噸和50噸大米．從A，B兩糧店每運1噸大米到三個居民點的運費如右圖所示：如何調運才能使運費最少？

運費/元到站發站AB甲030乙400丙3020運費/元到站發站AB甲23乙710丙35

【解析】 A，B糧店共有大米 70?60?130(噸)，甲、乙、丙三個居民點需要大米30?40?50?120(噸)，供應量與需求量不相等，但是我們仍可以通過差價的大小來決定最佳方案．觀察上表各列兩數之差，最大的是第二列10?7?3，因此A糧店的大米應盡可能多地供應乙，即A供應乙40噸．在剩下的兩列中，第三列的差大于第一列的差，所以A糧店剩下的30噸應全部供應丙．因為A糧店的的大米已分配完，其余的由B糧店供應，即B供應甲30噸，供應丙20噸，調運方案如右表，相應的運費為：30?3?40?7?30?3?20?5?560(元)．

【例 23】 一支勘探隊在五個山頭A、B、C、D、E設立了基地，人數如右圖所示.為調整使各基地人數相同，如何調動最方便？（調動時不考慮路程遠近）

【解析】 在人員調運時不考慮路程遠近的因素，就只需避免兩個基地之間相互調整，即“避免對流現象”。

五個基地人員總數為17+4+16+14+9=60（人）依題意，調整后每個基地應各有60÷5=12（人）。

因此，需要從多于12人的基地A、C、D向不足12人的基地B、E調人.為了避免對流，經試驗容易得到調整方案如下：先從D調2人到E，這樣E尚缺1人；再由A調1人給E，則E達到要求.此時，A尚多余4人，C也多余4人，總共8人全部調到B，則B亦符合要求。調動示意圖如右圖所示.這樣的圖形叫做物資流向圖.用流向 圖代替調運方案，能直觀地看出調運狀況及有無對流現象，又可避免列表和計算的麻煩，圖中箭頭表示流向，箭桿上的數字表示流量。

【例 24】 下圖是一個交通示意圖，A、B、C是產地(用●表示，旁邊的數字表示產量，單位：噸)，D、E、F是銷地(用○表示，旁邊的數字表示銷量，單位：噸)，線段旁邊有括號的數字表示兩地每噸貨物的運價，單位：百元(例如B與D兩地，由B到D或由由D到B每噸貨物運價100元)．將產品由產地全部運往銷地，怎樣調運使運價最小？最小運價是多少？

E5(6)(4)C6(4)8(3)5FA(3)D(1)9B5第3題【解析】 為了運價最小，圖中可以直接看出B地的5噸貨物，必然要運往D，這個時候D還差9?5?4

(噸)．一定需要從A運4噸．之后A剩下8?4?4噸．之后分兩種情況．如果A的4噸全部運往F，之后把C中的1噸運往F，5噸運往E．總共需要運費為

5?1?4?3?4?3?1?4?5?6?63(百元)?6300(元)；如果A的4噸全部運往E，之后C中的1噸運往E，5噸運往F，總共需要運費為5?1?4?3?4?4?1?6?5?4?59(百元)?5900(元)．

E4A4D5B1FC5圖1

板塊

四、其他最優化問題

【例 25】 用10尺長的竹竿做原材料，來截取3尺、4尺長的甲、乙兩種短竹竿各100根，至少要用去原材料幾根？怎么截法最合算？

【解析】 分析 不難想到有三種截法省料：

截法1：截成3尺、3尺、4尺三段，無殘料； 截法2：截成3尺、3尺、3尺三段，殘料1尺； 截法3：截成4尺、4尺兩段，殘料2尺。由于截法1最理想（無殘料），因此應該充分應用截法1.考慮用原材料50根，可以截成100根3尺長的短竹竿，而4尺長的僅有50根，還差50根.于是再應用截法3，截原材料25根，可以得到4尺長的短竹竿50根，留下殘料2×25＝50（尺）。

【例 26】 山區有一個工廠．它的十個車間分散在一條環行的鐵道上．四列貨車在鐵道上轉圈運送貨物。貨車到了某一車間，就要有裝卸工人裝上或卸下貨物．各車間由于工作 量不同，所需裝卸工人數也不同，各車間所需裝卸工人數如圖所示。當然，裝卸工可以固定在車間等車；也可以坐在貨車上跟車到各車間去干活；也可以一部分裝卸 工固定在車間，另一部分跟車．問怎樣安排跟車人數和各車間固定人數，才能使裝卸工的總人數最少？最少需多少名工人？

【解析】 如跟車人數為57，則各車間都不用安排人，但這樣在需要人數少的車間，浪費人力,不行；為此找出各車間人數的平均數，后再調整。各車間人數的平均數為.43.9.若跟車人數為43，則需人數多于43的車間需增加的人數分別為14，7，5，3，9，此時共需人數43×4+14+7+5+3+9=210。若 跟車人數為46，由于需人數多于46的有四個車間，貨車上增多的人數與四個車間減少的人數一樣。故跟車人數為46人，需人數多于46的四個車間人數各增加 所差數即可 46×4+4+2+6+11=207（人）．

【例 27】 現有5段鐵鏈，每段上有4個封閉的鐵環．現在要打開一些鐵環，把這20個鐵環焊接成一個一環套一環的圓圈．如果每打開一個鐵環要2分鐘，焊接上一個鐵環要3分鐘．那么焊成這個圓圈，至少需要________分鐘．

第8題)，下面用每個鐵環把剩下的4 段鐵鏈之間的兩個【解析】 把第一段的每個都打開之后用了4?2?8(分鐘相連，只需要4?3?12(分鐘)．所以至少需要20分鐘．

【例 28】 國王準備了1000桶酒作慶祝他的生日，可惜在距離生日前十日，國王得知其中有一桶酒被人下毒，若毒服后則正好第10日發作．有人提議用死刑犯試毒，問至少需要多少個死刑犯才能保證檢驗出一桶有毒的酒桶？如何試毒？

【解析】 將酒桶編號1～1000全部改為二進制 應該是0000000001～1111101000，讓一號犯人喝末位數字是1的毒酒，二號犯人喝倒數第二位數字是1的毒酒．．．．．．十號犯人喝第一位編號是1的毒酒，這樣的話如果某一號犯人死亡就說明相應的某一位數字是1，如果沒有死亡那就說明相應位上的數字是零．比如一號犯人死亡，二號~九號犯人存活．．．．．．十號犯人死亡，那么毒酒的編號就是0111111110也就是第510桶有毒．

【鞏固】 歡歡、迎迎各有4張卡片，每張卡片上各寫有一個自然數．兩人各出一張卡片，計算兩張卡片上所寫數的和，結果發現一共能得到16個不同的和．那么，兩人的卡片上所寫的數中最大的數最小是 ．

【解析】 為了讓兩人的卡片上所寫的數中最大的數最小，首先應該讓它們這16個不同的和最小，因為他們都是自然數，所以最小的十六個數應該是0~15，這恰好是二進制0000~1111，每人手里有四張牌，可以有四種不同的數字，那么可以這樣，讓每個人手中的牌控制二進制當中的兩位，比如歡歡手里的牌是0000、1000、0100、1100這樣的話他可以控制二進制的前兩位，相應的迎迎手里的卡片應該是0000、0001、0010、0011，這樣的話它們就能組成0000~1111所有的數，但是這樣的話歡歡手里的牌控制的是最高的兩位，這樣的話他手里的牌就有點太大了，為了讓最大的數最小應該讓控制最高位的人同時控制最低位，這樣的話，對歡歡手里的牌做調整，可以得到0000、1000、0001、1001，迎迎手里的牌是0000、0010、0100、0110，這樣的話同樣可以得到0000~1111，16各不同的數字，而且8張牌中最大的數字也只是1001也就是9．

【例 29】 一個物流港有6個貨站，用4輛同樣的載重汽車經過這6個貨站組織循環運輸．每個貨站所需要的裝卸工人數如下圖．為了節省人力，可安排流動的裝卸工隨車到任何一個貨站裝卸．在最優的安排下使物流港裝卸工總人數最少，則是 人．

【解析】 如果每輛車配4人，此時共有裝卸工4?4?2?0?4?1?0?0?23人，如果每輛車配5人，此時共有裝卸工4?5?1?0?3?0?0?0?24人，如果每輛車配6人，此時共有裝卸工4?6?0?0?2?0?0?0?26人，如上我們發現人數是越來越多的，23小于24小于26，故最少23人．

【鞏固】 一個工廠有7個車間，分散在一條環形鐵路上，三列火車循環運輸產品．每個車間裝卸貨物所需工人數為25、18、27、10、20、15、30．若改為部分工人跟車，部分工人固定在車間，那么安排多少名裝卸工，所用總人數最合理？

【解析】 一個工廠有7個車間，分散在一條環形鐵路上，三列火車循環運輸產品．每個車間裝卸貨物所需工人數為25、18、27、10、20、15、30，．若改為部分工人跟車，部分工人固定在車間，那么安排多少名裝卸工，所用總人數最合理．

如果車上不跟人，各車間所需人數和為：10?15?18?20?25?27?30?147(人)，如果每列車上跟1人，共多3人；每個車間可少1人，共少7人，多3少7，可減少4人．

每列車上跟10人，總人數可減少40人．

從11至15，列車上每增加1人，總人數可減少3人． 從16至18，列車上每增加1人，總人數可減少2人． 從19至20，列車上每增加1人，總人數可減少1人． 21增3減3無意義．

總人數為 20?3?5?7?10?82(人)最少．

【例 30】 一次，齊王與大將賽馬．每人有四匹馬，分為四等．田忌知道齊王這次比賽馬的出場順序一次為一等，二等，三等，四等，而且還知道這八匹馬跑得最快的是齊王的一等馬，接著依次為自己的一等，齊王的二等，自己的二等，齊王的三等，自己的三等，齊王的四等自己的四等．田忌有 種方法安排自己的馬出場順序，保證自己至少能贏得兩場比賽．

【解析】 第一場不管怎么樣田忌都必輸，田忌只可能在接下來的三場里贏得比賽，若三場全勝，則只有一種出場方法；

若勝兩場，則又分為三種情況：

二，三兩場勝，此時只能是田忌的一等馬贏得齊王的二等馬，田忌的二等馬贏齊王的三等馬，只有這一種情況；

二，四兩場勝，此時有三種情況； 三，四兩場勝，此時有七種情況； 所以一共有1?1?3?7?12種方法．

第四篇：四年級奧數——雞兔同籠問題

第6講 雞兔同籠問題與假設法

雞兔同籠問題是按照題目的內容涉及到雞與兔而命名的，它是一類有名的中國古算題。許多小學算術應用題，都可以轉化為雞兔同籠問題來加以計算。

【例題講解及思維拓展訓練題】

例1 小梅數她家的雞與兔，數頭有16個，數腳有44只。問：小梅家的雞與兔各有多少只？

分析：假設16只都是雞，那么就應該有2×16＝32（只）腳，但實際上有44只腳，比假設的情況多了44-32＝12（只）腳，出現這種情況的原因是把兔當作雞了。如果我們以同樣數量的兔去換同樣數量的雞，那么每換一只，頭的數目不變，腳數增加了2只。因此只要算出12里面有幾個2，就可以求出兔的只數。

解：有兔（44-2×16）÷（4-2）=6（只），有雞16-6＝10（只）。

答：有6只兔，10只雞。

當然，我們也可以假設16只都是兔子，那么就應該有4×16＝64（只）腳，但實際上有44只腳，比假設的情況少了64－44＝20（只）腳，這是因為把雞當作兔了。我們以雞去換兔，每換一只，頭的數目不變，腳數減少了4-2＝2（只）。因此只要算出20里面有幾個2，就可以求出雞的只數。

有雞（4×16-44）÷（4-2）=10（只），有兔16——10＝6（只）。

由例1看出，解答雞兔同籠問題通常采用假設法，可以先假設都是雞，然后以兔換雞；也可以先假設都是兔，然后以雞換兔。因此這類問題也叫置換問題。

【思維拓展訓練一】 1、100個和尚140個饃，大和尚1人分3個饃，小和尚1人分1個饃。問：大、小和尚各有多少人？ 分析與解：本題由中國古算名題“百僧分饃問題”演變而得。如果將大和尚、小和尚分別看作雞和兔，饃看作腿，那么就成了雞兔同籠問題，可以用假設法來解。

假設100人全是大和尚，那么共需饃300個，比實際多300－140＝160（個）。現在以小和尚去換大和尚，每換一個總人數不變，而饃就要減少3——1＝2（個），因為160÷2＝80，故小和尚有80人，大和尚有

100－80＝20（人）。

同樣，也可以假設100人都是小和尚，同學們不妨自己試試。

在下面的例題中，我們只給出一種假設方法。

2、彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，這兩種文化用品共買了16套，用錢280元。問：兩種文化用品各買了多少套？

分析與解：我們設想有一只“怪雞”有1個頭11只腳，一種“怪兔”有1個頭19只腳，它們共有16個頭，280只腳。這樣，就將買文化用品問題轉換成雞兔同籠問題了。

假設買了16套彩色文化用品，則共需19×16＝304（元），比實際多304——280＝24（元），現在用普通文化用品去換彩色文化用品，每換一套少用19——11＝8（元），所以

買普通文化用品 24÷8=3（套），買彩色文化用品 16－3＝13（套）。

學習，就是努力爭取獲得自然沒有賦予我們的東西。/ 4

例2 雞、兔共100只，雞腳比兔腳多20只。問：雞、兔各多少只？

分析：假設100只都是雞，沒有兔，那么就有雞腳200只，而兔的腳數為零。這樣雞腳比兔腳多200只，而實際上只多20只，這說明假設的雞腳比兔腳多的數比實際上多200——20=180（只）。

現在以兔換雞，每換一只，雞腳減少2只，兔腳增加4只，即雞腳比兔腳多的腳數中就會減少4＋2＝6（只），而180÷6＝30，因此有兔子30只，雞100——30＝70（只）。解：有兔（2×100——20）÷（2＋4）＝30（只），有雞100——30=70（只）。

答：有雞70只，兔30只。

【思維拓展訓練二】

1、現有大、小油瓶共50個，每個大瓶可裝油4千克，每個小瓶可裝油2千克，大瓶比小瓶共多裝20千克。問：大、小瓶各有多少個？

分析：本題與例4非常類似，仿照例4的解法即可。解：小瓶有（4×50-20）÷（4＋2）＝30（個），大瓶有50-30＝20（個）。

答：有大瓶20個，小瓶30個。

2、一批鋼材，用小卡車裝載要45輛，用大卡車裝載只要36輛。已知每輛大卡車比每輛小卡車多裝4噸，那么這批鋼材有多少噸？

分析：要算出這批鋼材有多少噸，需要知道每輛大卡車或小卡車能裝多少噸。

利用假設法，假設只用36輛小卡車來裝載這批鋼材，因為每輛大卡車比每輛小卡車多裝4噸，所以要剩下4×36=144（噸）。根據條件，要裝完這144噸鋼材還需要45-36=9（輛）小卡車。這樣每輛小卡車能裝144÷9＝16（噸）。由此可求出這批鋼材有多少噸。解：4×36÷（45-36）×45＝720（噸）。

答：這批鋼材有720噸。

例3 樂樂百貨商店委托搬運站運送500只花瓶，雙方商定每只運費0.24元，但如果發生損壞，那么每打破一只不僅不給運費，而且還要賠償1.26元，結果搬運站共得運費115.5元。問：搬運過程中共打破了幾只花瓶？

分析：假設500只花瓶在搬運過程中一只也沒有打破，那么應得運費0.24×500=120（元）。實際上只得到115.5元，少得120-115.5=4.5（元）。搬運站每打破一只花瓶要損失0.24＋1.26＝1.5（元）。因此共打破花瓶4.5÷1.5＝3（只）。

解：（0.24×500－115.5）÷（0.24＋1.26）＝3（只）。

答：共打破3只花瓶。

【思維拓展訓練三】

1、小樂與小喜一起跳繩，小喜先跳了2分鐘，然后兩人各跳了3分鐘，一共跳了780下。已知小喜比小樂每分鐘多跳12下，那么小喜比小樂共多跳了多少下？

分析與解：利用假設法，假設小喜的跳繩速度減少到與小樂一樣，那么兩人跳的總數減少了

12×（2＋3）＝60（下）。

可求出小樂每分鐘跳

（780——60）÷（2＋3＋3）＝90（下），小樂一共跳了90×3=270（下），因此小喜比小樂共多跳

780——270×2＝240（下）。

學習，就是努力爭取獲得自然沒有賦予我們的東西。/ 4

【課堂鞏固訓練題】

1．雞、兔共有頭100個，腳350只，雞、兔各有多少只？

2．學校有象棋、跳棋共26副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰好可供120個學生進行活動。問：象棋與跳棋各有多少副？

3．班級購買活頁簿與日記本合計32本，花錢74元。活頁簿每本1.9元，日記本每本3.1元。問：買活頁簿、日記本各幾本？

4．龜、鶴共有100個頭，鶴腿比龜腿多20只。問：龜、鶴各幾只？

5．小蕾花40元錢買了14張賀年卡與明信片。賀年卡每張3元5角，明信片每張2元5角。問：賀年卡、明信片各買了幾張？

6．一個工人植樹，晴天每天植樹20棵，雨天每天植樹12棵，他接連幾天共植樹112棵，平均每天植樹14棵。問：這幾天中共有幾個雨天？

學習，就是努力爭取獲得自然沒有賦予我們的東西。/ 4

7．振興小學六年級舉行數學競賽，共有20道試題。做對一題得5分，沒做或做錯一題都要扣3分。小建得了60分，那么他做對了幾道題？

8．有一批水果，用大筐80只可裝運完，用小筐120只也可裝運完。已知每只大筐比每只小筐多裝運20千克，那么這批水果有多少千克？

9．蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對翅膀，蟬有6條腿和1對翅膀。現有三種小蟲共18只，有118條腿和20對翅膀。問：每種小蟲各有幾只？

10．雞、兔共有腳100只，若將雞換成兔，兔換成雞，則共有腳92只。問：雞、兔各幾只？

學習，就是努力爭取獲得自然沒有賦予我們的東西。/ 4

第五篇：四年級奧數雞兔同籠問題

雞兔同籠問題

雞兔同籠問題是按照題目的內容涉及到雞與兔而命名的，它是一類有名的中國古算題。許多小學算術應用題，都可以轉化為雞兔同籠問題來加以計算。

【例題講解及思維拓展訓練題】

例1 小梅數她家的雞與兔，數頭有16個，數腳有44只。問：小梅家的雞與兔各有多少只？

【思維拓展訓練一】 1、100個和尚140個饃，大和尚1人分3個饃，小和尚1人分1個饃。問：大、小和尚各有多少人？

2、彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，這兩種文化用品共買了16套，用錢280元。問：兩種文化用品各買了多少套？

例2 雞、兔共100只，雞腳比兔腳多20只。問：雞、兔各多少只？

【思維拓展訓練二】

學習，就是努力爭取獲得自然沒有賦予我們的東西。1 / 5

1、現有大、小油瓶共50個，每個大瓶可裝油4千克，每個小瓶可裝油2千克，大瓶比小瓶共多裝20千克。問：大、小瓶各有多少個？

2、一批鋼材，用小卡車裝載要45輛，用大卡車裝載只要36輛。已知每輛大卡車比每輛小卡車多裝4噸，那么這批鋼材有多少噸？

例3 樂樂百貨商店委托搬運站運送500只花瓶，雙方商定每只運費0.24元，但如果發生損壞，那么每打破一只不僅不給運費，而且還要賠償1.26元，結果搬運站共得運費115.5元。問：搬運過程中共打破了幾只花瓶？

【思維拓展訓練三】

1、小樂與小喜一起跳繩，小喜先跳了2分鐘，然后兩人各跳了3分鐘，一共跳了780下。已知小喜比小樂每分鐘多跳12下，那么小喜比小樂共多跳了多少下？

【課堂鞏固訓練題】

1．雞、兔共有頭100個，腳350只，雞、兔各有多少只？

學習，就是努力爭取獲得自然沒有賦予我們的東西。2 / 5

2．學校有象棋、跳棋共26副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰好可供120個學生進行活動。問：象棋與跳棋各有多少副？

3．班級購買活頁簿與日記本合計32本，花錢74元。活頁簿每本1.9元，日記本每本3.1元。問：買活頁簿、日記本各幾本？

4．龜、鶴共有100個頭，鶴腿比龜腿多20只。問：龜、鶴各幾只？

5．小蕾花40元錢買了14張賀年卡與明信片。賀年卡每張3元5角，明信片每張2元5角。問：賀年卡、明信片各買了幾張？

學習，就是努力爭取獲得自然沒有賦予我們的東西。3 / 5

6．一個工人植樹，晴天每天植樹20棵，雨天每天植樹12棵，他接連幾天共植樹112棵，平均每天植樹14棵。問：這幾天中共有幾個雨天？

7．振興小學六年級舉行數學競賽，共有20道試題。做對一題得5分，沒做或做錯一題都要扣3分。小建得了60分，那么他做對了幾道題？

8．有一批水果，用大筐80只可裝運完，用小筐120只也可裝運完。已知每只大筐比每只小筐多裝運20千克，那么這批水果有多少千克？

9．蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對翅膀，蟬有6條腿和1對翅膀。現有三種小蟲共18只，有118條腿和20對翅膀。問：每種小蟲各有幾只？

學習，就是努力爭取獲得自然沒有賦予我們的東西。4 / 5

10．雞、兔共有腳100只，若將雞換成兔，兔換成雞，則共有腳92只。問：雞、兔各幾只？

學習，就是努力爭取獲得自然沒有賦予我們的東西。/ 5